Material de apoyo a la docencia: estudio didáctico de la relación de la Matemática de los griegos en el proyecto escolar (Cuba) (página 3)

Ya en las primeras páginas de su tratado Euclides
enumera los postulados en los cuales con posterioridad se
apoyará al deducir los teoremas geométricos. Dentro
de ellos se encuentran:

1. Dados dos puntos cualesquiera puede trazarse una
   línea recta que los une.
2. Toda línea recta finita puede prolongarse
   indefinidamente.
3. Dado un punto cualquiera siempre puede trazarse un
   círculo de radio
   arbitrario y con centro en dicho punto.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre
   sí.
5. Si dos rectas de un plano son cortadas por una
   tercera y si la suma de los ángulos interiores, que se
   forman de un mismo lado de la recta es menor que dos rectos,
   entonces las dos primeras rectas, al ser prolongadas
   convenientemente, se cortarán del mismo lado donde esto
   tiene lugar.

Recurriendo al quinto postulado, Euclides demuestra, por
ejemplo, el teorema sobre la igualdad de
los ángulos alternos internos de dos rectas paralelas
y ', así como
también ß y ß'(fig-16). En realidad, doblemos
las paralelas (fig-17). Si los ángulos alternos fuesen no
iguales entre sí, entonces la suma de algunos de los
ángulos que yacen de un mismo lado AB, resultaría
menor que dos rectos y las paralelas se cortarían, pero
eso es imposible. Eso significa que los ángulos alternos
y ', así como
también ß y ß' son iguales.

fig ? 16 fig – 17

De ahí se pasa a la suma de los ángulos
interiores de los triángulos gracias al
paralelismo.

Aparece también, la demostración, muy
sobresaliente, que se hizo del teorema ya enunciado y demostrado
mediante otro método por los
pitagóricos.

"En los triángulos rectángulos, el
cuadrado construido sobre el lado que subtiende el ángulo
recto es igual a los cuadrados construidos sobre los lados que
forman el ángulo recto".

La demostración usada por Euclides, no es ni la
de los pitagóricos ni ninguna de las de la geometría anterior, aunque estas fuesen
todas válidas. Euclides debió de buscarlas para no
presuponer proposiciones ulteriores a fin de salvaguardar el
orden rigurosamente lógico de las
proposiciones.

La demostración es la siguiente
(fig-18).

fig – 18

Se traza el triángulo ABC, rectángulo en B
seguidamente sobre cada uno de los lados AB, BC y CA se dibujan
los cuadrados ABB'A', BCC'D, ACEF y se trazan los segmentos A'C,
AC', BF y BE, así como la paralela BG a AF que cortan en H
a CA y en G a EF.

En el triángulo ABF y en el rectángulo
AHGF se cumple que:

área(ABF)= área(AHGF)=AF.AH

sea, el área(AHGF) = 2área(ABF)
(1)

En el
triángulo ACA´ y en el cuadrado ABB'A' se
tiene:

área(ACA')= área(ABB'A')=AB.AB=AB²

o sea, el área(ABB'A') = 2área(ACA')
(2)

Como los triángulos ABF y ACA' tienen iguales AF
y AC, AB y AA' y los ángulos BAF y A'AC por tener un recto
más una parte común, en este caso el ángulo
BAC, los triángulos son iguales, de donde:

área(ABB'A') = área(AHGH) (3)

Para el triángulo ACC' y el cuadrado BCC'D se
tiene:

área(ACC') = área(BCC'D) = BC.BC =
BC2

o sea, el área(BCC'D) = 2área(ACC')
(4)

Para las áreas de BCE y CEGH se cumple
que:

área(BCE) = área(CEGH) = CE.CH

o sea, área(CEGH) = 2área(BCE)
(5)

Los triángulos ACC' y BCE tienen dos lados
respectivamente iguales, así como el ángulo
determinado por ellos, es decir son iguales, pues AC=CE, CC'=BC
y

ACC'
=BCE que vale un
recto más el ángulo ACB.

De 4 y 5 área(ACC') = área(BCE) y
área(BCC'D) = área(CEGH)

Como el área(AHGF)+área(CEGH) =
área(ACEF) se cumple:

área (ABB'A')+área(BCC'D) =
área(ACEF) o sea,
AB2+BC2=AC2.

Los griegos antiguos conocieron muy temprano la rigurosa
demostración lógica
de la irracionalidad de por la vía de reducción al absurdo. En
los Elementos de Euclides aparece reflejado con implecable
proceder metodológico la demostración deductiva que
se siguio desde entonces por todas las escuelas y corrientes
posteriores y que encuentra su vigencia en casi todos los
programas
aplicados en la enseñanza de las matemáticas en el mundo moderno.

Allí aparecen expresados en el original griego la
siguiente demostración: Sea =
, donde m y n son números primos entre sí, entonces
m2 = 2n2 , de donde sigue que m2
es par y consecuentemente m es par , entonces n es impar.Sin
embargo, si m es par, entonces m2 se divide por 4, y
por consiguiente n2 es par. Por tanto, n
también es par. La contradicción formal obtenida (
n no puede ser a la vez par e impar) indica la falsedad de la
suposición sobre la racionalidad de .

De este resultado los griegos llegaron a generalizar el
caso para n natural con lo cual obtuvieron la conclusión
de que existen números naturales que no son el cuadrado de
ningún número racional. Para ello hicieron uso de
los trabajos de los matemáticos del Período
Ateniense en su intento por solucionar la situación de los
inconmensurables.

El método aparecido para demostrar la
irracionalidad de
en los trabajos de Euclides muestra por
qué no es considerada por muchos investigadores de la
Matemática
que fue esta la primera irracionalidad tratada.

Euclides se nos presenta en "Los Elementos" como un
excelente sistematizador de la materia
matemática conocida, no obstante, dejó
también toda una serie de resultados de investigaciones
independientes. A continuación citamos algunos
títulos: "Sobre la descomposición de figuras",
"Porismos" (o sea, teoremas con los que se puede hallar algo),
"Pseudaria" (sobre conclusiones erróneas). Las "Dedomena"
(hechos, datos) investigan
qué parte de una figura y sus relaciones – magnitud,
situación – se determinan cuando se dan otras partes
según la magnitud, la situación, u otros detalles.
Una teoría de las secciones cónicas de Euclides en
cuatro libros se extravió ya que se sustituyó por
otra posterior más detallada de Apolonio.

Otro sorprendente matemático de este
período es sin lugar a dudas Arquímedes (287-212 a.n.e) en quien
alcanzó su punto culminante la Matemática de la
antigüedad. Su abundancia de ideas en todas las ramas del
saber, le concedió, ya desde entonces, un elevado
prestigio. Sus numerosos trabajos lo caracterizaron como un
pensador original y profundo en la rama de la Matemática
y, al mismo tiempo, como
fundador de la Física –
Matemática. Fue el cerebro
científico mejor organizado de los antiguos y en verdad la
flor del genio griego.

En la "cuadratura de la parábola" logró el
cálculo
exacto del área de un segmento de parábola, sumando
para ello una serie geométrica infinita; este es un
resultado temprano del verdadero cálculo integral. "Sobre
esferas y cilindros", "sobre conoides y esferoides", son algunos
de sus trabajos donde aborda, entre otras cosas, la
determinación de longitudes de arcos, superficies y el
volumen de la
esfera, así como de sus segmentos y sectores, los
elipsoides e hiperboloides de revolución, además de los centros de
gravedad de estas superficies y cuerpos. "Sobre espirales"
estudia las relaciones de superficies en la llamada, en su honor,
espiral de Arquímedes. Otros escritos, por ejemplo, "el
libro de Los
lemas", "La construcción del heptágono regular",
y "Sobre cuerpos regulares" se perdieron total o parcialmente o
se conservan solamente traducidos al árabe.

La incomodidad del sistema
alfabético de numeración y la falta de
elaboración de los símbolos resultaba un serio
obstáculo para las operaciones de
cálculo. Tras una colección de números
relativamente limitada, que tenía una denominación,
aparecía el umbral, después del cual el
número de elementos se consideraba no calculado. Para
eliminar semejante imperfección y mostrar la
prolongación ilimitada de los números de la serie
natural. Arquímedes escribió su significativa obra
"Arenario": en la cual todos los números hasta con A = reciben una
denominación y plantea la continuidad ilimitada de la
serie numérica. En ella se constituye un sistema de
números, se muestra que puede prolongarse tanto como se
quiera y servir para contar cualquier conjunto finito de objetos.
Este fue construido según el principio decimal: las
unidades (mónadas), las decenas (décadas), la
centena (hécadas), los miles (kéliadas), las
decenas de miles (miríadas).

La dificultad de la cuadratura del círculo,
radica en la naturaleza del
número .
Por métodos,
geométricos, simples y muy conocidos, empleando solamente
regla y compás pueden duplicarse, tantas veces como se
quiera, el número de lados de los polígonos
inscritos y circunscritos. El área de los polígonos
sucesivamente inscritos se aproximará a la del
círculo, pero siempre quedará ligeramente menor; el
área de los polígonos circunscritos se
aproximará también a la del círculo, pero su
superficie permanecerá siempre ligeramente mayor. El
valor
común al que se aproximan ambas es el área del
círculo. En otras palabras, el círculo es el
límite de estas dos series de polígonos. Si el
radio del círculo es igual a uno, su área, dada por
r², es
simplemente igual a .

Este método de polígono creciente y
decreciente, empleado para calcular el valor de , ya era conocido por
Arquímedes, quien, mediante polígonos de noventa y
seis lados, demostró que es menor que 3 y mayor que 3. En alguna parte, entre ambos, se encuentra el
área del círculo.

La aproximación dada para por Arquímedes es
considerablemente perfecta, esta aparece en "Medida de
círculo" conservado sólo parcialmente, pues el
valor correcto es 3.14159 y la medida dada por este es
3.1419.

fig – 19

Teóricamente el método de
Arquímedes para calcular , aumentando el número de lados de los
polígonos (fig 19), puede extenderse indefinidamente, pero
los cálculos necesarios pronto se hacen muy engorrosos. No
obstante, durante la Edad Media,
dichos cálculos fueron realizados apasionadamente. En otra
ocasión establece casualmente aproximaciones de en la forma:

<
< .

Con lo anterior se enciende una tenue llama, por
Arquímedes que resplandecería con inigualable
fulgor en el clima intelectual
hospitalario del siglo XVIII, para proyectar su luz sobre todo el
futuro de la
ciencia.

La parábola es una curva más complicada
que la circunferencia, pero como ya lo sabía
Arquímedes, cualquier área limitada por una
parábola y una línea recta, puede determinarse
mediante operaciones racionales y, en consecuencia, la
"parábola puede ser convertida en un cuadrado
equivalente". [2;49p]

La demostración matemática rigurosa, sobre
el área de un segmento de parábola, aparece en el
tratado "Cuadratura de la parábola", allí
Arquímedes destaca "… yo muestro precisamente que el
área de cada segmento de parábola es mayor que el
triángulo que tiene con él igual base y altura".
[2;49p]

Arquímedes haciendo uso de su ingenio y el
poder de su
método heurístico de trabajo
pesó mentalmente su parábola al " dotarla " de masa
para hallar el área de un segmento y este experimento le
sugirió el teorema de que el área parabólica
es del
área del paralelogramo circunscrito ( fig – 20
).

fig – 20

En la demostración, Arquímedes realiza
primero la suma de una serie:

– Sean A, B, C, D, E, . . . términos de una
serie, entonces:

B + B
=B =A, C +C=C=B, . . . mediante la adición:

B + C + D + E + B +C
+ D + E = ( A + B + C + D
).

Adicionando A y sustrayendo B, C, D, E, se
obtiene

A + B + C + D + E + E = A.

Naturalmente, en Arquímedes no encontramos la
frase: "suma de una serie infinita", pero por la esencia de la
cosa en sí, se trata de una verdadera determinación
del límite de una sucesión de sumas parciales, el
cual se diferencia de una magnitud finita en menos de una
magnitud arbitrariamente pequeña.

Más brillante aún es la verdadera
demostración: (fig-21) al segmento de la parábola
sobre AC se le inscribe el triángulo ABC; H divide en dos
partes iguales a AC; AB es paralela al eje de la parábola.
Mediante AB y BC se seccionan nuevamente segmentos de la
parábola, en ellos se aplica otra vez el procedimiento; se
obtienen los triángulos ADB y BEC. De las propiedades de
la parábola se deduce que el triángulo ABC es
cuatro veces mayor que la suma de estos dos triángulos.
Después del paso siguiente se obtienen cuatro
triángulos, cuya suma conforma de las superficies de los dos anteriores,
y así sucesivamente. Suponiendo que el teorema fuera
erróneo, entonces el área del segmento
tendría que ser mayor o menor que del área K del triángulo
ABC.

fig-21

Se supone primeramente que el segmento es mayor que
del área
K, pero esto es imposible, pues allí existen ciertas
áreas que forman una serie geométrica con los
cocientes , . . .,
así que queda claro que la suma de todas las áreas
es menor que de
la mayor. La otra consideración conduce así mismo
hacia una contradicción. El teorema queda entonces
demostrado.

Por los ejemplos antes mencionados, el estudio de la
obra de Arquímedes no se limita al sabroso anecdotario de
su vida y se adentra en su característico y original
método de investigación en el que se entrelazaban la
intuición mecánica y el rigor lógico de los
métodos infinitesimales, un ejemplo está en la obra
de Arquímedes "Epístola a Eratóstenes", la
cual fue encontrada en 1906 y trata sobre la resolución de
problemas
geométricos utilizando el método
mecánico.

Así al calcular el volumen de la esfera, (fig-22)
se construye a la vez una esfera, un cono y un cilindro, con el
radio de la base y la altura de los dos últimos iguales al
diámetro de la esfera, después, a través de
todos estos cuerpos, se traza una sección, paralela a la
base, a una distancia de ellos fijada arbitrariamente.
Arquímedes da a esta relación una interpretación mecánica, fundamentada en la regla de la
palanca en la cual muestra ingeniosamente el uso de su pensamiento
heurístico aplicado a la mecánica. Tomando el punto
A como apoyo de la palanca, el elemento del cilindro fijado en O
equilibra los elementos del cono y la esfera, fijados en T
(AT=AB). Pasando a los volúmenes de los cuerpos como sumas
de todas las secciones arbitrarias, paralelas entre sí,
él obtiene:

V cilAC = (V esf + V
cono )AT = (V esf + V
cono)2AC

de donde V esf =V cil ? V
cono

Pero como: V cono =V cil , cosa ya probada por
Demócrito,

entonces V esf =V cil; o V esf =
=.

fig-22

Este método desarrollado anteriormente por
Eudoxio y los atomistas de la escuela de
Demócrito, sirve de valiosa orientación para
comprender cómo aún los más abstractos
razonamientos que encontramos tan concisa y formalmente
presentados, conllevan una inmensa carga de elaboración
empírico – deductiva.

Arquímedes perdió la vida en el año
212 ane, a los 65 años de edad, en la confusión que
siguió a la toma de Siracusa por los romanos. Roma y Cartago
estaban luchando en las destructoras guerras
púnicas y Sicilia, con su capital
Siracusa se extendía entre ella como tierra de
nadie. Durante el sitio de Siracusa por los romanos
Arquímedes dedicó su habilidad a desconcertar al
enemigo, de manera que este aprendió a temer a las
máquinas y artificios del "intrépido
viejo griego". Los soldados romanos en cuanto veían un
trozo de cuerda o madera asomar
en la muralla, declaraban que éste hacía funcionar
sus máquinas contra ellos y huían. El viejo,
evidentemente no atribuía ninguna importancia a estos
juguetes, los
cuales no eran, para él más que distracción
de la geometría
en el juego.

Después que Siracusa cayó bajo el
ejército romano, Arquímedes siguió
estudiando Matemática ,había dibujado un diagrama en la
arena y estaba allí absorto en sus pensamientos cuando los
soldados le descubrieron; su muerte fue
innecesaria por ello el investigador de la ciencia
Whitehead expresó:

"La muerte de
Arquímedes a manos de los soldados romanos simboliza un
cambio
mundial de primera magnitud. Los romanos eran una gran raza,
pero estaban condenados a la esterilidad que acompaña a
la calidad
práctica. No eran suficientemente soñadores para
llegar a nuevos puntos de vista, que podrían
proporcionar un control
más fundamental sobre las fuerzas de la naturaleza.
Ningún romano perdió su vida porque se encontrara
absorto en la contemplación de un diagrama
matemático." [4;61p ]

Apolonio de Pérgamo (260-200 a.n.e), quien
también estudió en Alejandría, vivió
en Pérgamo y de él proviene, entre otras cosas, una
teoría de las secciones cónicas en ocho tomos que
apareció bajo el título de "Konika", los cuatro
primeros se conservaron en griego, los tres siguientes en su
traducción al árabe y el libro ocho
aún está desaparecido, aquí se nos presenta
al mundo científico con un trabajo casi perfecto en el que
descubre las curvas formadas por la intersección de un
plano y un cono a partir de los métodos reductivos donde
hace uso de formas inductivas, regalando a la humanidad el punto
de su gran talento y dando también a los
científicos del futuro una valoración positiva de
la reducción como principio esencial en la búsqueda
de conocimientos.

Definió estas curvas como secciones de un cono
construido sobre una base circular; aún cuando el cono
podía ser oblicuo. Observó que no sólo
había secciones circulares paralelas a la base, sino que
también existía un segundo grupo de
secciones circulares.

Si bien es más fácil estudiar el
círculo que la elipse, toda propiedad del
círculo da lugar, no obstante, a una propiedad
correspondiente de la elipse. Resolvió el difícil
problema de encontrar las distancias más cortas y
más largas de un punto dado a una
cónica.

La teoría de las secciones cónicas es
desarrollada por Apolonio sobre la base de premisas iniciales
suficientemente generales. Introduce ambas cavidades de un cono
arbitrario con base circular y examina sus secciones planas.
(fig-23) Cada una de las curvas que así se obtienen las
considera con relación a un cierto diámetro y a una
familia de
cuerdas conjugadas a él. De las clases de curvas que se
forman separa las formas canónicas en las cuales los
diámetros son perpendiculares a las cuerdas conjugadas a
él. Apolonio indica que estas formas canónicas son
secciones de los conos de
revolución.

fig-23

Con este método de estudio se garantiza el acceso
a todos los tipos de secciones cónicas, se consideran a la
vez ambas ramas de la hipérbola. Cuando se refiere a los
diámetros y las cuerdas conjugadas valora ideas que
posibilitarán muchos años después concebir
en ello la sugerente concepción del método de
coordenadas, aunque en forma imperfecta. Las propiedades de las
curvas, que es el equivalente geométrico de sus ecuaciones, se
formulan con la aplicación de los recursos del
álgebra
– geométrica.

No debe olvidarse que, en primer lugar, estos
"sistemas de
coordenadas" de Apolonio son inseparables de sus curvas
individuales; en segundo lugar, no se introducen aún las
coordenadas para todos los puntos del plano, tanto
pertenecientes, como no pertenecientes a la curva dada; en tercer
lugar, aquí aún no se habla sobre la
reducción del problema de la relación entre los
puntos y los ejes de coordenadas a los cálculos, ya que no
hay, en general, una tendencia a reducir los problemas
geométricos a los algebraicos.

Para poner un ejemplo sobre el estilo de razonamiento de
Apolonio se hace mención a su definición de
parábola:

"si un cono se interseca por un plano por el eje y
se interseca además por otro plano, el cual interseca la
base del cono por una recta, perpendicular a la base del
triángulo respecto al eje, y si además de esto el
diámetro de la sección es paralelo a uno o a otro
de los dos lados del triángulo respecto al eje, entonces
cada recta, la cual se traza desde la sección del cono,
paralelamente a la sección común del plano en
cuestión y a la base del cono, hasta el diámetro,
tomada al cuadrado, será igual al rectángulo
encerrado directamente desde el diámetro, seccionado
desde él hasta el vértice de la sección y
alguna otra recta, la cual tiene con la recta, tomada entre el
ángulo del cono y el vértice de la
sección, la misma relación que el cuadrado de la
base del triángulo, respecto al eje, al
rectángulo encerrado por los restantes dos lados del
triángulo. Tal sección se denomina
"parábola". [1;93p]

El empeño de Apolonio de Pérgamo
logró proporcionarnos, un tratado sintético y bien
ordenado de todo aquel conjunto, una exposición
didáctica que pareció desde aquel
momento definitivo en su campo. Con ella culmina aquel
capítulo de la ciencia de los griegos y de acuerdo con la
visión que tenían de la Ciencia Matemática,
fue para la geometría superior helénica lo que "Los
Elementos" de Euclides había sido para la Geometría
Elemental. Se imponen la comparación y la
asimilación, podríamos decir que Apolonio
tomó a Euclides como modelo si no
se hubiera mantenido con tanta plenitud dentro de la gran
tradición del espíritu geométrico de la
Hélade. Debemos agregar que la parte original del autor de
"Konica" es mucho mayor que la de Euclides en "Los
Elementos".

La obra de Apolonio con la de Euclides y de
Arquímedes conforma uno (y el último
cronológicamente) de los tres grandes legados de la
Geometría Helénica. Fue el primero que
planteó de una manera auténticamente
filosófica la teoría de las secciones
cónicas en toda su generalidad: secciones planas
cualesquiera de conos circulares cualesquiera. Las secciones
cónicas se consideran desde entonces como curvas de
segundo grado relacionadas directamente con la
construcción que servía a los antiguos para
resolver la ecuación de segundo grado. Así se
consume la obra del álgebra – geométrica que en
este caso proporciona los mismos servicios, en
cierta manera por sus diseños, que nuestra Geometría
Analítica.

La teoría de las secciones cónicas de
Apolonio, que poseía un asombroso nivel, tenía que
salir adelante sin geometría de coordenadas ni escritura de
fórmulas, por lo que resultaba relativamente
incómoda y
difícil de percibir.

Esto hace que haya que estimar mucho más la
agudeza de Apolonio, su ingeniosidad, ya que en los libros del
seis al ocho presentó fundamentalmente los resultados de
investigaciones propias.

De acuerdo con la terminología actual, aborda los
temas siguientes:[2;51p]

• Libro 1: Obtención de las secciones
  cónicas mediante la intersección de un cono
  circular. Centro, diámetro y diámetro conjugado
  de las secciones cónicas.
• Libro 2: Ejes y asíntotas de la
  hipérbola.
• Libro 3: Foco, teoría del polo y los
  polares, generación proyectiva de las secciones
  cónicas.
• Libro 4: Número de puntos de
  intersección de dos secciones cónicas
  (demostración de que existen a lo sumo cuatro puntos de
  intersección).
• Libro 5: Normal y subnormal. Centros de
  curvaturas.
• Libro 6: Secciones cónicas
  semejantes.
• Libro 7: Propiedades especiales del
  diámetro conjugado.
• Libro 8: (Reconstrucción):
  Determinación de tareas especiales de
  construcción.

Otro matemático importante del Período
Alejandrino fue Ptolomeo, en su maravillosa obra "Almagest" cuya
traducción significa "la gran unión" se encuentra
una trigonometría plana y esférica
bastante bien desarrollada, basada en el cálculo de
cuerdas, o sea, que en lugar de las funciones
trigonométricas actuales se emplea una función
que expresada en lenguaje
moderno tendría que definirse por: ch (2) = 2sen. La abreviatura ch
significa chorda, cuerda. Aquí se evidencia la
relación entre la trigonometría de las cuerdas y la
del seno (fig-24).

En efecto; si se traza la mediatriz de CA, entonces
como OA=OC por radios de la misma circunferencia, el segmento OB
corta perpendicularmente a AC y los triángulos AOB Y COB
son rectángulos en B e iguales entre
sí.

Por las relaciones trigonométricas en el
triángulo AOB se cumple que , o sea, AB = AO..

Como AC = 2AB, AC = 2OAy tomando OA = 1, AC = .

Luego , relación que posibilita reconocer el valor
metodológico de los trabajos trigonométricos de los
griegos y en especial la formulación dada en sus inicios
en la obra de Ptolomeo.

fig – 24

Herón de Alejandría representaba una
matemática que servía a la satisfacción de
necesidades prácticas; en la antigüedad tales casos
resultan raros. Herón forma parte de las
excepciones.

De los escritos realmente matemáticos podemos
citar "La Métrica", tres libros sobre teoría de la
medición, "Geometría"
(cálculo de superficies) y "Estereometría"
(cálculo de volúmenes). Los escritos de
Herón hallaron amplia difusión gracias a su
presentación ejemplar. Completados, modificados y
redactados mediante el uso continuo, estos escritos se
convirtieron en obra estándar de la matemática
práctica de la época posterior. Al mismo tiempo
merece destacarse que algunos escritos matemáticos de
Herón poseen una forma de presentación rigurosa,
basada en definiciones, teoremas demostraciones, también
contienen resultados que van más allá de los
trabajos de Euclides. De él proviene (o de
Arquímedes) la fórmula del triángulo de
Herón para el área del triángulo:
F=, en donde s =
, siendo a, b y c
lados del triángulo. Herón tenía una idea
notablemente clara para su época de la esencia de la
Matemática.

El carácter brutal de la esclavitud a la
cual eran sometidas tantas personas encuentra en la
relación de Herón con sus trabajos un punto de
asombrosa valoración; la historia recoge en la
creación científica heroniana la obra de un
matemático práctico, especie de ingeniero que con
mucha inteligencia
había logrado el fundamento para la confección de
máquinas que humanizaran el esfuerzo y rindieran mejor en
la producción lo cual se recoge en su tratado
"Pneumotica" ( obras de presión )
en la cual construye con ingeniosidad aparatos insignificantes
para la producción que se ponían en movimiento
mediante la presión de vapor o diferencias de la
presión del aire, en síntesis
se manejaba el
conocimiento de la fuerza del
vapor, pero no existía la necesidad social de utilizarla
para la producción como una fuerza nueva de energía
mientras los esclavos proporcionaran la fuerza suficiente para
el
trabajo.

Herón es sin lugar a dudas el exponente
más elevado del concepto griego
de la exactitud y rigor en la medición, de él es el
aparato de medición denominado dióptero que
describe en su "Dioptrica", o sea, instrumentos de
medición. También impulsó los estudios
de artillería en su "Belopoiika" y la mecánica de
su tiempo al descubrir y desarrollar teóricamente la
matemática de las máquinas más simples como
la palanca, el plano inclinado, la cuña, el polipasto y el
torno entre
otros.

Diofantos, otro matemático griego de este
período, también procedente de Alejandría
escribió por lo menos tres obras. La más importante
es "La Arithmetica" que consta de trece tomos, los cuales
solamente se han conservado en partes, se trata de un tipo de
libro de texto para la
solución de ecuaciones. En este libro él
utilizó abreviaturas fijas para las potencias, las
variables
desde hasta
, para la igualdad
y la sustracción. En forma de cálculo se trataron
todos los tipos de ecuaciones cuadráticas, cúbicas
y bicuadráticas así como ecuaciones fraccionarias y
en varias variables (ecuaciones indeterminadas que posteriormente
recibieron el nombre de ecuaciones diofánticas). En las
soluciones se
admitieron también fracciones. El carácter
algebraico de la "Arithmetica" incluye también una notable
técnica para la conversión de las ecuaciones, por
ejemplo, la sustitución de variables auxiliares. Merece
destacar que su obra proporcionó en los siglos XVI y XVII
notables impulsos en la fundación de la Matemática
Moderna.

Al final de la antigüedad apareció un
tipo de matemática recreativa. En forma de versos, en
epigramas matemáticos, con contenido ocasionalmente
gracioso, se plantearon problemas, uno de ellos exponía la
vida de Diofantos (cuyo tiempo de vida quedó
indeterminado) y hacía alusión a su destreza
aritmético – algebraica.

Hasta aquí se trataron por separados importantes
matemáticos del Período Helenístico, aunque
el número de matemáticos era mucho mayor. En la
época de Arquímedes, por ejemplo, vivía y
trabajaba en Alejandría, Eratóstenes de Cirene
quien fue desde el año 235 a.n.e, director del Museo,
describió un procedimiento que lleva su nombre para la
separación de los números primos (Criba de
Eratóstenes) e indicó un procedimiento para
calcular el perímetro terrestre. Además
construyó un dispositivo mecánico para la
solución del problema de Delos (duplicación del
cubo) .

Al círculo de matemáticos alejandrinos
pertenecía también Dionisodoro ( hacia el 230 ane )
se ocupó del problema de división de la esfera,
Nicomedes ( hacia el 180 ane ) y Diocles ( hacia el 180 ane ),
los que con la concoide y cisoide proporcionaron curvas que
hicieron posible soluciones gráficas para el problema de la
duplicación del cubo, Hipsides ( hacia el 180 ane )
estudió superficies de volúmenes de cuerpos
semirregulares y escribió el libro XIV, complementario a
"Los Elementos". Zenodoro ( hacia el 180 ane ) demostró
que cada dos polígonos aquel con el mayor número de
vértices posee el área mayor; que el círculo
es de todas las superficies de igual perímetro la que
tiene el área mayor (problema isoperimétrico); y
que la esfera es de todos los cuerpos de igual superficie la que
posee mayor volumen. Aquí se aprecian ya los rudimentos
del posterior cálculo de variaciones.

PERÍODO DE LOS
COMENTARISTAS

En el imperio romano
el estado
esclavista alcanzó su máxima expresión. En
el siglo I a.n.e se agudizó la contradicción entre
fuerzas productivas y relaciones de producción.
También el tránsito de la república a la
monarquía militar consolidó
sólo provisionalmente las condiciones sociales.

El creciente estancamiento y la descomposición
repercutieron sobre las ciencias,
entre ellas las matemáticas. El conocimiento
no se perdió directamente, pero a los científicos
les resultó cada vez más difícil seguir,
desde el punto de vista del contenido, las obras cumbres de
etapas anteriores. Por eso se hizo habitual redactar los
comentarios detallados sobre Euclides, Arquímedes y
Apolonio entre otros, quienes perseguían explicar
definiciones, representar detalladamente breves demostraciones e
ilustrar el nexo recíproco de los teoremas.

Algunos de estos comentarios constituyen trabajos
científicos serios, muchas veces notables, que contienen
incluso resultados conocidos con anterioridad, pero que ahora
están ilustrados o simplemente esclarecidos con ejemplos.
Estos esbozaron virtualmente todo el diseño
que debía dar incesantes oportunidades a los
matemáticos y físicos de siglos posteriores. En
algunas partes de la geometría y en la teoría de
los números irracionales, el cuadro había sido, de
hecho, completo.

Los griegos ordenaron el brillante cúmulo de
rompecabezas y misceláneas numéricas y
geométricas acumuladas en tiempos pasados en Egipto y en
Oriente. Cada uno a su manera ha modificado profundamente y
enriquecido las matemáticas legadas por los griegos. Se
han forjado cambios tan profundos que se han visto en peligro de
perder una perspectiva adecuada de la
Matemática.

Hablando numéricamente, el proceso rector
de los griegos fue la multiplicación y no la
división. El predominio de los comentarios constituye
indudablemente un criterio de descenso en la creatividad
matemática, sin embargo, las obras de los comentaristas
fueron muy útiles para la historia de esta ciencia,
conservando en fragmentos o en recuentos muchas obras
clásicas importantes.

A veces los comentarios son la única fuente de
información sobre obras perdidas o logros
olvidados de las matemáticas antiguas. La actividad de los
comentaristas se suspendió aproximadamente en el siglo VI
dne, después de la clausura de la escuela ateniense. En la
Cuenca del Mediterráneo se produjo un largo receso en el
desarrollo de
las matemáticas.

Las contradicciones internas del desarrollo de la
Matemática, en el período de refuerzo, coincidieron
con las condiciones socio ? políticas
desfavorables de la época de desintegración de la
estructura
esclavista, producidas en virtud de los cambios de la forma de
producción. Así, los factores económicos de
finales de la formación económica esclavista
resultaron en última instancia la causa determinante de la
expresión temporal del desarrollo teórico y
práctico de las matemáticas.

La agudización de las contradicciones entre las
fuerzas productivas y las relaciones de producción tuvo su
punto culminante en los levantamientos de esclavos, Espartaco
dirigió desde el año 74 hasta el 71 ane la
rebelión más grande contra el Imperio Romano que lo
puso al borde del abismo.

Todas estas situaciones de confrontación se
sintieron en las ciencias, en especial dentro de la
Matemática; criterios místicos se reanimaron
provenientes de los reductos desintegrados de la secta
pitagórica, incluso el pensamiento marcado del idealismo
platónico o neoplatónico reconoció otros
síntomas; el conocimiento no se perdió, pero a los
científicos les resultó cada vez más
difícil seguir las obras cumbres de las etapas anteriores
y sobre todo se fue perdiendo el carácter de publicar o
intercambiar que enriqueció a partir del Período
Jónico la obra griega de la Matemática.

Posteriormente en el año 529 la Academia fue
cerrada violentamente por órdenes del Emperador Cristiano
Justiniano; pero ya con anterioridad, en el año 415 dne
Hipatya, la hija de Theón de Alejandría, la primera
mujer que recoge
la historia dedicada a la ciencia, había sido cruelmente
asesinada por fanáticos cristianos que la acusaron de
realizar teorías
paganas y corruptas; en ella se apagó la escuela
matemática alejandrina.

La matemática de la antigüedad no
desapareció sin dejar huellas, pues a través de
diferentes vías históricas logró el efecto
que le posibilitó llegar hasta nosotros: algunos
conocimientos matemáticos se convirtieron en componentes
de la instrucción cristiana mediante el neoplatonismo y
fueron incluidos después en el conocido Quadrivium
universitario; los eruditos bizantinos conservaron algunas cosas
que sobrepasaron lo elemental; algunos representantes de las
ciencias, entre ellos de la Matemática, emigraron hacia la
India y los
países árabes al no soportar la intolerancia de la
iglesia
cristiana continuando en aquellos lugares sus estudios y
publicando, para bien de la humanidad, sus resultados; a esto se
debe agradecer que muchos trabajos matemáticos de la
antigüedad se salvaran.

CAPÍTULO 3

A partir de nuestro levantamiento fueron encuestados 86
profesores en ejercicio de la provincia de Villa Clara de los
municipios de Santa Clara, Manicaragua y Corralillo, de estos 29
son graduados de la Carrera Profesoral Superior de
Matemática, 56 son Licenciados en Educación de los
Planes de Estudio A, B, C y C modificado, siendo 7 de estos dos
últimos y uno es graduado de otra carrera universitaria no
pedagógica. ( Ver anexos 3, 4, 5 y 6 )

GRADUADOS DE DIFERENTES PLANES

La experiencia laboral media es
de 17 años lo cual indica la distancia de la
mayoría de los egresados con aquellos planes de estudios
de las carreras pedagógicas que admitieran la Historia de
la Matemática como uno de sus componentes.

EXPERIENCIA DE LOS DOCENTES
ENCUESTADOS

De los docentes encuestados 52 han realizado al menos un
curso de posgrado en los últimos cinco años, lo que
representa un 60,4% del total y sólo 2 de ellos, es decir,
el 2,3% se han relacionado con el desarrollo
historiográfico de la Matemática, sin embargo, al
solicitar sus necesidades, 40 han planteado el deseo de
desarrollar superación en materia de Historia de la
Matemática, esto es un 46,5% de los encuestados que
permite valorar una aspiración significativa del claustro
en materia didáctico ? metodológica, si se toma en
cuenta cómo esta disciplina
ayudaría la formación pedagógica de nuestro
claustro.

De todos estos maestros 55 dicen tener la
preparación metodológica para impartir la
asignatura en el nivel en el cual trabajan y 33 coinciden en que
el tratamiento de conceptos matemáticos y definiciones en
la enseñanza de la Matemática es la
situación típica que más problemas trae en
su presentación por los motivos que le son propios al
carácter abstracto de esta ciencia y al nivel de
complejidad que le acompaña, pero que encuentra en los
modos de ejercitar la materia la dificultad del alumno para
identificar, realizar y aplicarla a la solución de
problemas.

En este grupo hay 29 docentes que coinciden en que el
tratamiento de ejercicios con textos y de aplicación tiene
la mayor dificultad, pero que se relaciona con las pocas
habilidades de los estudiantes para mostrar con eficiencia el
dominio de
contenidos desde la asimilación de los conceptos y por lo
tanto de sus relaciones.

VALORACIÓN DEL TRABAJO CON LAS SITUACIONES
TÍPICAS DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA A
PARTIR DE LOS CRITERIOS DEL PERSONAL
ENCUESTADO

El 90,7% de los encuestados no recibió en su
carrera la Historia de la Matemática y sin embargo, todos
coinciden que es un gran auxilio para motivar la actividad y
garantizar determinados momentos de la presentación de los
contenidos, de ello se desprende el porqué tan pocos
profesores utilizan con frecuencia en sus clases los recursos
históricos como motivación
o presentación de nuevos contenidos.

A las situaciones dadas con anterioridad se une que
sólo el 8,1% de estos profesores creen que sus alumnos
están motivados para la asignatura, pero el 37,2% plantean
que nunca sus alumnos tienen intereses para aprender
Matemática y la ven como algo obligatorio que deben
cumplir.

La concepción metodológica de ofrecer la
información a los escolares a través de un proceso
de abstracción que se inicia en situaciones concretas y
que los alumnos deben ir alcanzando desde la secuencia de las
etapas "manipulativa", "icónico ? gráfica" y "
simbólica" no es observable en 40,7% de los casos lo cual
indica un alto índice de deficiencia metódica para
la realización de la clase y el
alcance de sus objetivos.

Estos lineamientos también nos permitieron
determinar que el 11,6% de los docentes estudiados dicen hacer
uso adecuado de la intuición de sus alumnos al plantearles
las tareas y 25,6% no utilizan nunca los recursos
históricos aún cuando las condiciones del contenido
se los permite por desconocer la historiografía y el
trabajo con ellos.

Las situaciones planteadas que se siguieron desde el
trabajo de curso realizado por los autores posibilitó
manifestar nuestro propósito de poner en manos de los
docentes de las secundarias básicas un modesto material de
apoyo con el objetivo de
intentar cambios en las formas de actuar de los profesores y las
relaciones que motivan a los estudiantes en la asignatura, de
esta suerte el folleto concibe la idea de aplicación en la
forma que se ha estructurado, es decir, cada período tiene
sus representantes y también sus principales aportes que
en la medida de las circunstancias encuentran aceptación o
rechazo, pero que se perfeccionan de tiempo en tiempo,
además la experiencia en esta dirección de la investigación
histórica es pobre en la institución ya que
sólo un docente se ocupa de ello desde hace poco tiempo y
por tales motivos sólo obra un proyecto de
diploma realizado con la intención de favorecer la
enseñanza a partir de un sistema de medios para la
clase con los recursos históricos que fue ejecutado en el
curso 96 – 97 y que ha sido validado en los municipios de
Corralillo y Manicaragua con buena aceptación, no
sólo por los estudiantes, sino también por los
propios profesores de la asignatura los cuales ya se acercan
más a las fuentes de la
utilización de este método, pero que se enfrentan a
la carencia de materiales
para acometer inteligentemente el trabajo .

Consideramos prudente que en este folleto se ha acopiado
una gran cantidad de información actualizada y junto a
ella se ha presentado una ilustración de aquellos conceptos y
propiedades que bien utilizadas pueden posibilitar el camino a la
comprensión del objeto de trabajo dentro de la
clase.

La novedad de nuestra investigación está
expresada, y consideramos que por su utilidad en el
desarrollo de la cultura de los
egresados, por el hecho de posibilitar una ubicación
cronológica de los acontecimientos, por relacionar la
tarea de la perseverancia con la cual sistematizaron los griegos
el conocimiento empírico de los pueblos asentados a
orillas de los ríos Nilo, Éufrates y Tigris
posibilita realizar la tarea de contribuir a la formación
de valores desde
la clase de Matemática sin necesidad de forzar las
situaciones fuera del contexto.

El método que hemos empleado ha partido de la
búsqueda de la información bibliográfica en
la cual se ha tenido que seguir la lógica de las
circunstancias en la cual se dan los fenómenos estudiados
bajo los diferentes matices y posiciones ideológicas de
los estudiosos e investigadores, pero que a ello se le ha
incorporado nuestra posición ideológica definida en
la dirección dialéctico ? materialista con lo cual
hemos dado respuesta al planteamiento de Marx en que dijo
que lo lógico en la investigación contenía
lo histórico y lo mejoraba en la práctica,
además se ha hecho uso de otros recursos de la
investigación como la observación y confrontación de
criterios para deducir y extraer finalmente
conclusiones.

CONCLUSIONES

Ninguna ciencia pier de más de sus interioridades
que la Matemática si en sus estudios no aparecen los
rasgos históricos que acompañan sus métodos
de elaboración como premisas de teorías y como
conjunto acabado de conceptos que estructuran su armazón
como un todo monolítico y confiable.

Para un profesor de
Matemática resulta necesario conocer el decursar, de la
historia de esta ciencia, pues en sus interioridades se
encuentran concentradas las fuentes de los recursos que
posibilitan la
motivación con un enfoque interno, pero alusivo a
condiciones humanas.

La tarea de crear desde la clase valores se favorece
cuando el maestro es capaz de hacer pensar a sus alumnos a
través del contenido y de las relaciones que se
posibilitan desde las diferentes posiciones que atendiendo a la
función partidista de la enseñanza se pueden
extraer.

Cuando se conoce el origen y desarrollo de un
fenómeno se puede utilizar en aras de la claridad de
exposiciones o presentación de ciertos componentes de la
materia de enseñanza, por ello al entrar en las
interioridades del mundo antiguo y conocer la vida y obra de los
egipcios, mesopotámicos, griegos, hindúes,
musulmanes y otros hombres de estas etapas de la historia de la
humanidad, el docente se prepara para realizar el trabajo con
mayor eficiencia y calidad.

En este trabajo se han podido conciliar los procedimientos
registrados en la Historiografía de la Ciencia con los
conocimientos matemáticos, metodológicos y
filosóficos que permiten un acercamiento de manera clara y
precisa al objeto de nuestro trabajo y los propósitos que
nos planteamos desde el inicio, por lo que concluimos lo
siguiente:

1. El estudio y comprensión de la Historia de la
   Matemática posibilita la realización activa de la
   clase desde la motivación hasta otras fases del proceso
   docente, pues su conocimiento y dominio favorecen la
   decisión para proyectar el trabajo en función de
   los objetivos y del nivel que se debe lograr en el
   aula.
2. Cuando se tiene conocimiento activo de la Metodología de la Enseñanza de la
   Matemática y se vincula con la génesis de los
   conceptos y teoremas matemáticos que tienen incidencias
   en el curso escolar se posibilitan las acciones
   para motivar el desarrollo de los diferentes complejos de
   materia con tal grado de acercamiento psicológico con el
   interés del educando que ello favorece
   las interioridades de la actividad educativa al plantear
   fórmulas sencillas para procedimientos que a veces
   resultan demasiado abstractos.
3. Cuando empleamos los recursos históricos y se
   hace una valoración de los aspectos educativos de la
   clase, encontramos en la Historia de las Ciencias, en especial
   dentro de la Matemática, un material que permite
   realizar un trabajo ideo ? político donde se sobresalten
   los valores
   humanos relativos al respeto a
   todos los hombres que de una forma sencilla y con humildad nos
   regalaron las bases científicas de la cultura
   matemática que hoy disfrutamos. Negar la obra de los
   egipcios es tratar de ocultar la existencia de los monumentos
   relevantes de la cultura de la humanidad, negar el desarrollo
   de la geometría práctica egipcia o el desarrollo
   de los métodos mesopotámicos es negar nuestra
   existencia cultural. Negar la cultura
   griega de la antigüedad representaría no
   reconocer la esencia misma de la presentación de la
   Matemática como ciencia separada de la Filosofía,
   ocultar la obra creada con ingeniosidad por los genios de
   Tales de
   Mileto, Demócrito de Abdera, Hipócrates de
   Quíos, los pitagóricos y sus enfrentamientos
   equivaldría a negar los cimientos de un cálculo
   eficiente que fluyó en espacio de tiempo hacia un
   cálculo
   diferencial e integral acabados en teoría y
   métodos.
4. Nuestro trabajo nos deja la huella imperecedera de la
   estimación de los sabios de la antigüedad y nos
   hace deudores infinitos de sus aportes.

La importancia de investigar como alumnos de la Carrera
Matemática ? Computación de la Licenciatura en
Educación nos obliga a dirigir nuestros pasos hacia muchas
direcciones, pero precisando aquellas que por su carácter
pueden ser revertidas en el proceso de enseñanza ?
aprendizaje de
manera útil y práctica, por todo ello
recomendamos:

• Que el material pueda ser utilizado por los alumnos
  de nuestra especialidad y por todos aquellos docentes en
  ejercicios que con su experiencia puedan
  enriquecerlo.
• Que se profundice en cada hecho, método y
  personaje con el objetivo de ampliar la información y
  arribar a las conclusiones que por su valor ayudarían a
  la comprensión más eficiente del objeto de
  estudio de la Matemática y posibilitarían el uso
  activo de los recursos históricos como elemento
  motivacional de nuestras clases.

BIBLIOGRAFÍA

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   Edición Mir. Moscú, 1981.
   —-P.51, 93.
2. Wussing, , H. Conferencias sobre Historia de las
   Matemáticas. Editorial Pueblo y Educación. La
   Habana. —- p. 32, 34, 36, 39, 46, 49, 51.
3. Gran enciclopedia del mundo. Vol. 15. —- p.
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4. Turnbull, Hebert Westren. Grandes matemáticos.
   Colección Vulcano. La Habana, 1984. —- p. 42,
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5. Rey, Abel. La evolución de la Humanidad. Vol.165. El
   apogeo de la ciencia técnica griega. Tomo – 2. Editorial
   UTEHA , 1962. —- P. 122.

• Casanova, Gastón. La Matemática y el
  materialismo
  dialéctico. ? Editorial nacional de Cuba.
  1965.
• Colectivo de autores. Folleto complementario para la
  asignatura Historia de la Matemática. 1987.
• Colectivo de autores. Trabajo de curso, Algunas
  consideraciones históricas y científicas del
  surgimiento y desarrollo del Algebra. 1984.
• ———————–. Diccionario
  enciclopédico hispano ? americano. Vol. 16,
  23.
• ———————–. Gran enciclopedia del mundo.
  Vol. 12, 15, 19.
• Hernández Trimiño, Omar. Una vía
  para lograr la activación de la enseñanza
  vinculando la didáctica y la Historia de la Ciencias al
  contenido.
• Hofmann. Historia de las Matemáticas. —
  Edición Rivol, 1968.
• Ivanovich Dombrovski, Anatoli. La tritogenia de
  Demócrito. — Editorial Mir. Moscú. Biografía.
• Kasnor, Edward y Newan, James R. Matemática e
  imaginación.
• Newman, James R. Sigma, el mundo de las
  matemáticas. — Edición Grijalbo SA.
• Popov, Yu. Las matemáticas en imágenes.
• Rey, Abell. La evolución de la humanidad. Vol.
  165. El apogeo de la ciencia técnica griega. Tomo – 2 —
  Edición UTEHA. 1962.
• Ribnikov. Historia de las matemáticas. —
  Editorial Mir. Moscú. 1981.
• Sánchez Fernández, Carlos. Conferencias
  sobre problemas filosóficos y metodológicos de
  las matemáticas. — Universidad
  de la Habana. 1986.
• Sánchez Fernández, Carlos. El recurso
  de la historia y metodología de las matemáticas.
  — En revista
  Sociedad
  cubana de matemática 1989 #11 La Habana.
• Turbull, H. Grandes matemáticos. —
  Colección Vulcano. LaHabana, 1984.
• Turner Ralph. Las grandes culturas de la humanidad..
  ?- Edición Revolucionaria. La Habana. 1966.
• Vitrac, Bernard. Antigua Grecia
  "La odisea de la
  razón". En revista Correo de la UNESCO.
• Wussing, H. Conferencias sobre historia de las
  mateáticas. — Editorial pueblo y educación. La
  Habana, 1978.

ANEXOS

Anexo ? 3

Compañero profesor, por razones de nuestro
Plan de
Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita
para su fundamentación de los conocimientos del entorno al
cual Usted pertenece; por esta situación estamos
solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos
disculpas por las molestias que le causamos estando muy
agradecidos de que nos atienda.

Marque con una cruz ( x ) su respuesta:

1 – Usted es graduada (o) o universitaria (o)
sí____ no____

____Carrera Profesoral Secundaria Superior

____Licenciatura en Educación Plan A

____Licenciatura en Educación Plan B

____Licenciatura en Educación Plan C

____Otra carrera universitaria

2 – Su experiencia acumulada es:

____Hasta 5 años

____Entre 5 y 10 años

____Entre 11 y 15 años

____Entre 16 y 20 años

____Más de 20 años

3 – Ha cursado estudios de posgrado en los
últimos 5 años sí____ no____

4 – De ser afirmativa su respuesta indique las
disciplinas abarcadas en esos estudios

____ Análisis
Matemático ____Álgebra

____Geometría ____Didáctica

____Psicología ____ Pedagogía

____Filosofía ____Economía
Política

____Historia de las Ciencias

5 – Unido a sus intereses y la actividad docente de la
escuela en la que Usted desarrolla su trabajo los posgrados que
desearía realizar en los próximos cinco años
son:

____Análisis Matemático
____Álgebra

____Geometría ____Trigonometría

____Didáctica ____Psicología

____Filosofía ____Historia de las
Ciencias

Anexo ? 4

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan
de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita
para su fundamentación de los conocimientos del entorno al
cual Usted pertenece; por esta situación estamos
solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos
disculpas por las molestias que le causamos estando muy
agradecidos de que nos atienda.

Marque con una cruz ( x ) su respuesta:

1 ? La labor docente Usted la realiza en

____ S/B ____ SOC ? FOC

____ ETP ____ P/U

2 – ¿ Se considera Usted con la
preparación metodológica necesaria para acometer el
trabajo de la asignatura Matemática? Sí____ No____

3 ? No todas las situaciones típicas de la
enseñanza de la Matemática tienen el mismo nivel de
dificultad para cada docente. ¿ Cuál de ellas
consideras más difícil para Usted?

____Tratamiento de conceptos y definiciones

____ Tratamiento de teoremas y sus
demostraciones

____ Tratamiento de ejercicios de aplicación y
con textos

____ Tratamiento de las construcciones
geométricas

____ Tratamiento de los procedimientos de
solución

4 – La fase de orientación del aprendizaje se
caracteriza por el trabajo con las funciones
didácticas " aseguramiento del nivel de partida ", "
orientación hacia el objetivo " y " motivación ".
Para la ejecución de esta tarea Usted se plantea una
valoración del trabajo metodológico y procura que
la orientación hacia el objetivo y la motivación
fluyan a favor de los propósitos
didácticos.

____ siempre ____ algunas veces ____nunca

5 – ¿ Considera Usted que los recursos
históricos posibilitan el desarrollo del pensamiento
matemático en la actividad de la clase si pueden ser
utilizados?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

Anexo ? 5

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan
de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita
para su fundamentación de los conocimientos del entorno al
cual Usted pertenece; por esta situación estamos
solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos
disculpas por las molestias que le causamos estando muy
agradecidos de que nos atienda.

Sin lugar a dudas la motivación para la actividad
es un factor reconocido por la Didáctica en el proceso de
instrucción ? educación que facilita conducir al
alumno hacia una docencia de
calidad.

Marque con una cruz (x) su respuesta.

1 – ¿ Considera Usted que sus alumnos se sienten
motivados para aprender

Matemática?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

2 – ¿Ayuda el entorno socio ? cultural y
ambiental de la escuela a la motivación de sus
actividades?

____siempre ____algunas veces ____nunca

3 – ¿Puede Usted aprovechar todas las
potencialidades educativas del complejo de materia a favor de una
buena motivación para la actividad?

____ siempre ____algunas veces ____ nunca

4 ? Se considera que la Historia de la Matemática
puede favorecer el aprendizaje de
conceptos, propiedades y algoritmos
cuando se utiliza con eficiencia.

¿ Usted trabaja en el uso de estos elementos para
apoyar las actividades docentes?

____ siempre ____ algunas veces ____ siempre

Anexo ? 6

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan
de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita
para su fundamentación de los conocimientos del entorno al
cual Usted pertenece; por esta situación estamos
solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos
disculpas por las molestias que le causamos estando muy
agradecidos de que nos atienda.

Marque con una cruz ( x ) su respuesta

1 ? A su modo de analizar el trabajo docente, ¿
considera Usted que la actividad docente cumple sus
objetivos?

____ siempre ____ algunas veces ____ siempre

2 ? Los maestros de Matemática hacen caso a la
concepción metodológica de ofrecer la
información a los escolares a través de un proceso
de abstracción que se inicia en situaciones concretas y
que los alumnos deben ir alcanzando desde la secuencia de las
etapas " manipulativa ", " icónico ? gráfica " y "
simbólica ".

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

3 – ¿ Considera Usted que los maestros hacen uso
adecuado de la intuición de los escolares al proponerles
tareas que exijan el uso de los recursos y habilidades para
realizarlas de modo inteligente?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

4 ? El nivel de abstracción de la
Matemática trae consigo las complejidades de los
contenidos y las dificultades que cuando se agigantan
obstaculizan la motivación de la
enseñanza.

¿Ofrece el programa de la
asignatura las posibilidades para dar adecuado tratamiento
metodológico a estas irregularidades del
aprendizaje?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

5 ? En la Historia de las Ciencias se presenta una
valiosa información que puede ser utilizada por la
escuela media
como recurso didáctico.

¿ Se acercan los profesores a esta ciencia para
realizar su trabajo docente con los alumnos?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

Referencia Bibliográfica:

1. Ribnikov. Historia de las Matemáticas.—-
   Edición Mir. Moscú, 1981. —-P.51,
   93.
2. Wussing, , H. Conferencias sobre Historia de las
   Matemáticas. Editorial Pueblo y Educación. La
   Habana. —- p. 32, 34, 36, 39, 46, 49, 51.
3. Gran enciclopedia del mundo. Vol. 15. —- p.
   326.
4. Turnbull, Hebert Westren. Grandes matemáticos.
   Colección Vulcano. La Habana, 1984. —- p. 42,
   61.
5. Rey, Abel. La evolución de la Humanidad.
   Vol.165. El apogeo de la ciencia técnica griega. Tomo –
   2. Editorial UTEHA , 1962. —- P. 122.

Breve biografía del
autor.

Yo Maria Milena Rodríguez Fernández hija
de Arsenio Rodríguez Acosta y Juana Fernández
Monteagudo, nací el 10 de abril de1976 en Santa
Clara.

Comencé mis estudios en el año 1981 en la
escuela Primaria La Plata donde permanecí hasta terminar
el 6to grado.Me inicie de pionera en 1er grado .En la OPJM
ocupé varios cargos, fui monitora, obtuve buenos
resultados docentes y los sellos correspondientes a todas las
etapas emulativas.

Curse la secundaria básica en la ESBU Alberto Pis
Delgado. Curse del 10mo al 12mo grado en el preuniversitario de
ciencias exacta Comandante Ernesto Guevara de la Serna, en la
especialidad de Matemática. En la FEEM fui en varias
ocasiones vanguardia de
grupo y de escuela.

Curse la Licenciatura en Educación en la
especialidad de Matemática y Computación en el
Instituto Pedagógico Félix Varela.

Trayectoria laboral.

En agosto de 1999 comencé mi vida laboral en el
IPVCE Comandante Ernesto Guevara de la Serna.

He ocupado cargos administrativos Jefa de Departamento
(Curso 2002-2003).

En agosto del 2003 comencé a trabajar en el
Departamento de Matemática de la UCLV donde laboró
actualmente. He cursado la parte curricular de la maestría
de Matemática Aplicada y en estos momentos me encuentro
enfrascada en la elaboración de la tesis
vinculando la Estadística con la
Bioinformática.

País Cuba.

Ciudad Santa Clara.

Fecha correspondiente al trabajo desarrollado diciembre
del 2006.

Maria Milena Rodriguez Fernandez