Partes: 1, 2, 3

Libros	Asuntos	Contenidos que datan de:
I	Del punto al Teorema de Pitágoras.	Pitagóricos
Libros II de Planimetría	Algebra ? Geométrica.	Período Jónico
III	Teoría del círculo.	Hipócrates
IV	Polígonos regulares inscritos y circunscritos.	Pitagóricos
V	Extensión de la teoría de las magnitudes a las irracionalidades.	Eudoxio
VI	Proporciones aplicación a la Planimetría.	Pitagóricos
Libros de VII teoría de números	Teoría de la divisibilidad, números primos.	Pitagóricos
VIII	Números cuadrados y cúbicos, series geométricas.	Pitagóricos
IX	Teoría de par e impar.	Pitagóricos
X Irracionalidad	Clases de irracionalidades cuadráticas, aproximaciones de superficies. Aspecto aritmético.	Theaitetos Eudoxio
XI Libros de Estereometría	Estereometría elemental.	Período Jónico
XII	Método de exhaución: pirámide, cono, esfera.	Eudoxio Hipócrates
XIII	Poliedros regulares.	Theaitetos Platón

Ya en las primeras páginas de su tratado Euclides enumera los postulados en los cuales con posterioridad se apoyará al deducir los teoremas geométricos. Dentro de ellos se encuentran:

1. Dados dos puntos cualesquiera puede trazarse una línea recta que los une.
2. Toda línea recta finita puede prolongarse indefinidamente.
3. Dado un punto cualquiera siempre puede trazarse un círculo de radio arbitrario y con centro en dicho punto.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si dos rectas de un plano son cortadas por una tercera y si la suma de los ángulos interiores, que se forman de un mismo lado de la recta es menor que dos rectos, entonces las dos primeras rectas, al ser prolongadas convenientemente, se cortarán del mismo lado donde esto tiene lugar.

Recurriendo al quinto postulado, Euclides demuestra, por ejemplo, el teorema sobre la igualdad de los ángulos alternos internos de dos rectas paralelas y ', así como también ß y ß'(fig-16). En realidad, doblemos las paralelas (fig-17). Si los ángulos alternos fuesen no iguales entre sí, entonces la suma de algunos de los ángulos que yacen de un mismo lado AB, resultaría menor que dos rectos y las paralelas se cortarían, pero eso es imposible. Eso significa que los ángulos alternos y ', así como también ß y ß' son iguales.

fig ? 16 fig - 17

De ahí se pasa a la suma de los ángulos interiores de los triángulos gracias al paralelismo.

Aparece también, la demostración, muy sobresaliente, que se hizo del teorema ya enunciado y demostrado mediante otro método por los pitagóricos.

"En los triángulos rectángulos, el cuadrado construido sobre el lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados construidos sobre los lados que forman el ángulo recto".

La demostración usada por Euclides, no es ni la de los pitagóricos ni ninguna de las de la geometría anterior, aunque estas fuesen todas válidas. Euclides debió de buscarlas para no presuponer proposiciones ulteriores a fin de salvaguardar el orden rigurosamente lógico de las proposiciones.

La demostración es la siguiente (fig-18).

fig - 18

Se traza el triángulo ABC, rectángulo en B seguidamente sobre cada uno de los lados AB, BC y CA se dibujan los cuadrados ABB'A', BCC'D, ACEF y se trazan los segmentos A'C, AC', BF y BE, así como la paralela BG a AF que cortan en H a CA y en G a EF.

En el triángulo ABF y en el rectángulo AHGF se cumple que:

área(ABF)= área(AHGF)=AF.AH

sea, el área(AHGF) = 2área(ABF) (1)

En el triángulo ACA´ y en el cuadrado ABB'A' se tiene:

área(ACA')= área(ABB'A')=AB.AB=AB²

o sea, el área(ABB'A') = 2área(ACA') (2)

Como los triángulos ABF y ACA' tienen iguales AF y AC, AB y AA' y los ángulos BAF y A'AC por tener un recto más una parte común, en este caso el ángulo BAC, los triángulos son iguales, de donde:

área(ABB'A') = área(AHGH) (3)

Para el triángulo ACC' y el cuadrado BCC'D se tiene:

área(ACC') = área(BCC'D) = BC.BC = BC2

o sea, el área(BCC'D) = 2área(ACC') (4)

Para las áreas de BCE y CEGH se cumple que:

área(BCE) = área(CEGH) = CE.CH

o sea, área(CEGH) = 2área(BCE) (5)

Los triángulos ACC' y BCE tienen dos lados respectivamente iguales, así como el ángulo determinado por ellos, es decir son iguales, pues AC=CE, CC'=BC y

ACC' =BCE que vale un recto más el ángulo ACB.

De 4 y 5 área(ACC') = área(BCE) y área(BCC'D) = área(CEGH)

Como el área(AHGF)+área(CEGH) = área(ACEF) se cumple:

área (ABB'A')+área(BCC'D) = área(ACEF) o sea, AB2+BC2=AC2.

Los griegos antiguos conocieron muy temprano la rigurosa demostración lógica de la irracionalidad de por la vía de reducción al absurdo. En los Elementos de Euclides aparece reflejado con implecable proceder metodológico la demostración deductiva que se siguio desde entonces por todas las escuelas y corrientes posteriores y que encuentra su vigencia en casi todos los programas aplicados en la enseñanza de las matemáticas en el mundo moderno.

Allí aparecen expresados en el original griego la siguiente demostración: Sea = , donde m y n son números primos entre sí, entonces m2 = 2n2 , de donde sigue que m2 es par y consecuentemente m es par , entonces n es impar.Sin embargo, si m es par, entonces m2 se divide por 4, y por consiguiente n2 es par. Por tanto, n también es par. La contradicción formal obtenida ( n no puede ser a la vez par e impar) indica la falsedad de la suposición sobre la racionalidad de .

De este resultado los griegos llegaron a generalizar el caso para n natural con lo cual obtuvieron la conclusión de que existen números naturales que no son el cuadrado de ningún número racional. Para ello hicieron uso de los trabajos de los matemáticos del Período Ateniense en su intento por solucionar la situación de los inconmensurables.

El método aparecido para demostrar la irracionalidad de en los trabajos de Euclides muestra por qué no es considerada por muchos investigadores de la Matemática que fue esta la primera irracionalidad tratada.

Euclides se nos presenta en "Los Elementos" como un excelente sistematizador de la materia matemática conocida, no obstante, dejó también toda una serie de resultados de investigaciones independientes. A continuación citamos algunos títulos: "Sobre la descomposición de figuras", "Porismos" (o sea, teoremas con los que se puede hallar algo), "Pseudaria" (sobre conclusiones erróneas). Las "Dedomena" (hechos, datos) investigan qué parte de una figura y sus relaciones - magnitud, situación - se determinan cuando se dan otras partes según la magnitud, la situación, u otros detalles. Una teoría de las secciones cónicas de Euclides en cuatro libros se extravió ya que se sustituyó por otra posterior más detallada de Apolonio.

Otro sorprendente matemático de este período es sin lugar a dudas Arquímedes (287-212 a.n.e) en quien alcanzó su punto culminante la Matemática de la antigüedad. Su abundancia de ideas en todas las ramas del saber, le concedió, ya desde entonces, un elevado prestigio. Sus numerosos trabajos lo caracterizaron como un pensador original y profundo en la rama de la Matemática y, al mismo tiempo, como fundador de la Física - Matemática. Fue el cerebro científico mejor organizado de los antiguos y en verdad la flor del genio griego.

En la "cuadratura de la parábola" logró el cálculo exacto del área de un segmento de parábola, sumando para ello una serie geométrica infinita; este es un resultado temprano del verdadero cálculo integral. "Sobre esferas y cilindros", "sobre conoides y esferoides", son algunos de sus trabajos donde aborda, entre otras cosas, la determinación de longitudes de arcos, superficies y el volumen de la esfera, así como de sus segmentos y sectores, los elipsoides e hiperboloides de revolución, además de los centros de gravedad de estas superficies y cuerpos. "Sobre espirales" estudia las relaciones de superficies en la llamada, en su honor, espiral de Arquímedes. Otros escritos, por ejemplo, "el libro de Los lemas", "La construcción del heptágono regular", y "Sobre cuerpos regulares" se perdieron total o parcialmente o se conservan solamente traducidos al árabe.

La incomodidad del sistema alfabético de numeración y la falta de elaboración de los símbolos resultaba un serio obstáculo para las operaciones de cálculo. Tras una colección de números relativamente limitada, que tenía una denominación, aparecía el umbral, después del cual el número de elementos se consideraba no calculado. Para eliminar semejante imperfección y mostrar la prolongación ilimitada de los números de la serie natural. Arquímedes escribió su significativa obra "Arenario": en la cual todos los números hasta con A = reciben una denominación y plantea la continuidad ilimitada de la serie numérica. En ella se constituye un sistema de números, se muestra que puede prolongarse tanto como se quiera y servir para contar cualquier conjunto finito de objetos. Este fue construido según el principio decimal: las unidades (mónadas), las decenas (décadas), la centena (hécadas), los miles (kéliadas), las decenas de miles (miríadas).

La dificultad de la cuadratura del círculo, radica en la naturaleza del número . Por métodos, geométricos, simples y muy conocidos, empleando solamente regla y compás pueden duplicarse, tantas veces como se quiera, el número de lados de los polígonos inscritos y circunscritos. El área de los polígonos sucesivamente inscritos se aproximará a la del círculo, pero siempre quedará ligeramente menor; el área de los polígonos circunscritos se aproximará también a la del círculo, pero su superficie permanecerá siempre ligeramente mayor. El valor común al que se aproximan ambas es el área del círculo. En otras palabras, el círculo es el límite de estas dos series de polígonos. Si el radio del círculo es igual a uno, su área, dada por r², es simplemente igual a .

Este método de polígono creciente y decreciente, empleado para calcular el valor de , ya era conocido por Arquímedes, quien, mediante polígonos de noventa y seis lados, demostró que es menor que 3 y mayor que 3. En alguna parte, entre ambos, se encuentra el área del círculo.

La aproximación dada para por Arquímedes es considerablemente perfecta, esta aparece en "Medida de círculo" conservado sólo parcialmente, pues el valor correcto es 3.14159 y la medida dada por este es 3.1419.

fig - 19

Teóricamente el método de Arquímedes para calcular , aumentando el número de lados de los polígonos (fig 19), puede extenderse indefinidamente, pero los cálculos necesarios pronto se hacen muy engorrosos. No obstante, durante la Edad Media, dichos cálculos fueron realizados apasionadamente. En otra ocasión establece casualmente aproximaciones de en la forma:

< < .

Con lo anterior se enciende una tenue llama, por Arquímedes que resplandecería con inigualable fulgor en el clima intelectual hospitalario del siglo XVIII, para proyectar su luz sobre todo el futuro de la ciencia.

La parábola es una curva más complicada que la circunferencia, pero como ya lo sabía Arquímedes, cualquier área limitada por una parábola y una línea recta, puede determinarse mediante operaciones racionales y, en consecuencia, la "parábola puede ser convertida en un cuadrado equivalente". [2;49p]

La demostración matemática rigurosa, sobre el área de un segmento de parábola, aparece en el tratado "Cuadratura de la parábola", allí Arquímedes destaca "... yo muestro precisamente que el área de cada segmento de parábola es mayor que el triángulo que tiene con él igual base y altura". [2;49p]

Arquímedes haciendo uso de su ingenio y el poder de su método heurístico de trabajo pesó mentalmente su parábola al " dotarla " de masa para hallar el área de un segmento y este experimento le sugirió el teorema de que el área parabólica es del área del paralelogramo circunscrito ( fig - 20 ).

fig - 20

En la demostración, Arquímedes realiza primero la suma de una serie:

- Sean A, B, C, D, E, . . . términos de una serie, entonces:

B + B =B =A, C +C=C=B, . . . mediante la adición:

B + C + D + E + B +C + D + E = ( A + B + C + D ).

Adicionando A y sustrayendo B, C, D, E, se obtiene

A + B + C + D + E + E = A.

Naturalmente, en Arquímedes no encontramos la frase: "suma de una serie infinita", pero por la esencia de la cosa en sí, se trata de una verdadera determinación del límite de una sucesión de sumas parciales, el cual se diferencia de una magnitud finita en menos de una magnitud arbitrariamente pequeña.

Más brillante aún es la verdadera demostración: (fig-21) al segmento de la parábola sobre AC se le inscribe el triángulo ABC; H divide en dos partes iguales a AC; AB es paralela al eje de la parábola. Mediante AB y BC se seccionan nuevamente segmentos de la parábola, en ellos se aplica otra vez el procedimiento; se obtienen los triángulos ADB y BEC. De las propiedades de la parábola se deduce que el triángulo ABC es cuatro veces mayor que la suma de estos dos triángulos. Después del paso siguiente se obtienen cuatro triángulos, cuya suma conforma de las superficies de los dos anteriores, y así sucesivamente. Suponiendo que el teorema fuera erróneo, entonces el área del segmento tendría que ser mayor o menor que del área K del triángulo ABC.

fig-21

Se supone primeramente que el segmento es mayor que del área K, pero esto es imposible, pues allí existen ciertas áreas que forman una serie geométrica con los cocientes , . . ., así que queda claro que la suma de todas las áreas es menor que de la mayor. La otra consideración conduce así mismo hacia una contradicción. El teorema queda entonces demostrado.

Por los ejemplos antes mencionados, el estudio de la obra de Arquímedes no se limita al sabroso anecdotario de su vida y se adentra en su característico y original método de investigación en el que se entrelazaban la intuición mecánica y el rigor lógico de los métodos infinitesimales, un ejemplo está en la obra de Arquímedes "Epístola a Eratóstenes", la cual fue encontrada en 1906 y trata sobre la resolución de problemas geométricos utilizando el método mecánico.

Así al calcular el volumen de la esfera, (fig-22) se construye a la vez una esfera, un cono y un cilindro, con el radio de la base y la altura de los dos últimos iguales al diámetro de la esfera, después, a través de todos estos cuerpos, se traza una sección, paralela a la base, a una distancia de ellos fijada arbitrariamente. Arquímedes da a esta relación una interpretación mecánica, fundamentada en la regla de la palanca en la cual muestra ingeniosamente el uso de su pensamiento heurístico aplicado a la mecánica. Tomando el punto A como apoyo de la palanca, el elemento del cilindro fijado en O equilibra los elementos del cono y la esfera, fijados en T (AT=AB). Pasando a los volúmenes de los cuerpos como sumas de todas las secciones arbitrarias, paralelas entre sí, él obtiene:

V cilAC = (V esf + V cono )AT = (V esf + V cono)2AC

de donde V esf =V cil ? V cono

Pero como: V cono =V cil , cosa ya probada por Demócrito,

entonces V esf =V cil; o V esf = =.

fig-22

Este método desarrollado anteriormente por Eudoxio y los atomistas de la escuela de Demócrito, sirve de valiosa orientación para comprender cómo aún los más abstractos razonamientos que encontramos tan concisa y formalmente presentados, conllevan una inmensa carga de elaboración empírico - deductiva.

Arquímedes perdió la vida en el año 212 ane, a los 65 años de edad, en la confusión que siguió a la toma de Siracusa por los romanos. Roma y Cartago estaban luchando en las destructoras guerras púnicas y Sicilia, con su capital Siracusa se extendía entre ella como tierra de nadie. Durante el sitio de Siracusa por los romanos Arquímedes dedicó su habilidad a desconcertar al enemigo, de manera que este aprendió a temer a las máquinas y artificios del "intrépido viejo griego". Los soldados romanos en cuanto veían un trozo de cuerda o madera asomar en la muralla, declaraban que éste hacía funcionar sus máquinas contra ellos y huían. El viejo, evidentemente no atribuía ninguna importancia a estos juguetes, los cuales no eran, para él más que distracción de la geometría en el juego.

Después que Siracusa cayó bajo el ejército romano, Arquímedes siguió estudiando Matemática ,había dibujado un diagrama en la arena y estaba allí absorto en sus pensamientos cuando los soldados le descubrieron; su muerte fue innecesaria por ello el investigador de la ciencia Whitehead expresó:

"La muerte de Arquímedes a manos de los soldados romanos simboliza un cambio mundial de primera magnitud. Los romanos eran una gran raza, pero estaban condenados a la esterilidad que acompaña a la calidad práctica. No eran suficientemente soñadores para llegar a nuevos puntos de vista, que podrían proporcionar un control más fundamental sobre las fuerzas de la naturaleza. Ningún romano perdió su vida porque se encontrara absorto en la contemplación de un diagrama matemático." [4;61p ]

Apolonio de Pérgamo (260-200 a.n.e), quien también estudió en Alejandría, vivió en Pérgamo y de él proviene, entre otras cosas, una teoría de las secciones cónicas en ocho tomos que apareció bajo el título de "Konika", los cuatro primeros se conservaron en griego, los tres siguientes en su traducción al árabe y el libro ocho aún está desaparecido, aquí se nos presenta al mundo científico con un trabajo casi perfecto en el que descubre las curvas formadas por la intersección de un plano y un cono a partir de los métodos reductivos donde hace uso de formas inductivas, regalando a la humanidad el punto de su gran talento y dando también a los científicos del futuro una valoración positiva de la reducción como principio esencial en la búsqueda de conocimientos.

Definió estas curvas como secciones de un cono construido sobre una base circular; aún cuando el cono podía ser oblicuo. Observó que no sólo había secciones circulares paralelas a la base, sino que también existía un segundo grupo de secciones circulares.

Si bien es más fácil estudiar el círculo que la elipse, toda propiedad del círculo da lugar, no obstante, a una propiedad correspondiente de la elipse. Resolvió el difícil problema de encontrar las distancias más cortas y más largas de un punto dado a una cónica.

La teoría de las secciones cónicas es desarrollada por Apolonio sobre la base de premisas iniciales suficientemente generales. Introduce ambas cavidades de un cono arbitrario con base circular y examina sus secciones planas. (fig-23) Cada una de las curvas que así se obtienen las considera con relación a un cierto diámetro y a una familia de cuerdas conjugadas a él. De las clases de curvas que se forman separa las formas canónicas en las cuales los diámetros son perpendiculares a las cuerdas conjugadas a él. Apolonio indica que estas formas canónicas son secciones de los conos de revolución.

fig-23

Con este método de estudio se garantiza el acceso a todos los tipos de secciones cónicas, se consideran a la vez ambas ramas de la hipérbola. Cuando se refiere a los diámetros y las cuerdas conjugadas valora ideas que posibilitarán muchos años después concebir en ello la sugerente concepción del método de coordenadas, aunque en forma imperfecta. Las propiedades de las curvas, que es el equivalente geométrico de sus ecuaciones, se formulan con la aplicación de los recursos del álgebra - geométrica.

No debe olvidarse que, en primer lugar, estos "sistemas de coordenadas" de Apolonio son inseparables de sus curvas individuales; en segundo lugar, no se introducen aún las coordenadas para todos los puntos del plano, tanto pertenecientes, como no pertenecientes a la curva dada; en tercer lugar, aquí aún no se habla sobre la reducción del problema de la relación entre los puntos y los ejes de coordenadas a los cálculos, ya que no hay, en general, una tendencia a reducir los problemas geométricos a los algebraicos.

Para poner un ejemplo sobre el estilo de razonamiento de Apolonio se hace mención a su definición de parábola:

"si un cono se interseca por un plano por el eje y se interseca además por otro plano, el cual interseca la base del cono por una recta, perpendicular a la base del triángulo respecto al eje, y si además de esto el diámetro de la sección es paralelo a uno o a otro de los dos lados del triángulo respecto al eje, entonces cada recta, la cual se traza desde la sección del cono, paralelamente a la sección común del plano en cuestión y a la base del cono, hasta el diámetro, tomada al cuadrado, será igual al rectángulo encerrado directamente desde el diámetro, seccionado desde él hasta el vértice de la sección y alguna otra recta, la cual tiene con la recta, tomada entre el ángulo del cono y el vértice de la sección, la misma relación que el cuadrado de la base del triángulo, respecto al eje, al rectángulo encerrado por los restantes dos lados del triángulo. Tal sección se denomina "parábola". [1;93p]

El empeño de Apolonio de Pérgamo logró proporcionarnos, un tratado sintético y bien ordenado de todo aquel conjunto, una exposición didáctica que pareció desde aquel momento definitivo en su campo. Con ella culmina aquel capítulo de la ciencia de los griegos y de acuerdo con la visión que tenían de la Ciencia Matemática, fue para la geometría superior helénica lo que "Los Elementos" de Euclides había sido para la Geometría Elemental. Se imponen la comparación y la asimilación, podríamos decir que Apolonio tomó a Euclides como modelo si no se hubiera mantenido con tanta plenitud dentro de la gran tradición del espíritu geométrico de la Hélade. Debemos agregar que la parte original del autor de "Konica" es mucho mayor que la de Euclides en "Los Elementos".

La obra de Apolonio con la de Euclides y de Arquímedes conforma uno (y el último cronológicamente) de los tres grandes legados de la Geometría Helénica. Fue el primero que planteó de una manera auténticamente filosófica la teoría de las secciones cónicas en toda su generalidad: secciones planas cualesquiera de conos circulares cualesquiera. Las secciones cónicas se consideran desde entonces como curvas de segundo grado relacionadas directamente con la construcción que servía a los antiguos para resolver la ecuación de segundo grado. Así se consume la obra del álgebra - geométrica que en este caso proporciona los mismos servicios, en cierta manera por sus diseños, que nuestra Geometría Analítica.

La teoría de las secciones cónicas de Apolonio, que poseía un asombroso nivel, tenía que salir adelante sin geometría de coordenadas ni escritura de fórmulas, por lo que resultaba relativamente incómoda y difícil de percibir.

Esto hace que haya que estimar mucho más la agudeza de Apolonio, su ingeniosidad, ya que en los libros del seis al ocho presentó fundamentalmente los resultados de investigaciones propias.

De acuerdo con la terminología actual, aborda los temas siguientes:[2;51p]

• Libro 1: Obtención de las secciones cónicas mediante la intersección de un cono circular. Centro, diámetro y diámetro conjugado de las secciones cónicas.
• Libro 2: Ejes y asíntotas de la hipérbola.
• Libro 3: Foco, teoría del polo y los polares, generación proyectiva de las secciones cónicas.
• Libro 4: Número de puntos de intersección de dos secciones cónicas (demostración de que existen a lo sumo cuatro puntos de intersección).
• Libro 5: Normal y subnormal. Centros de curvaturas.
• Libro 6: Secciones cónicas semejantes.
• Libro 7: Propiedades especiales del diámetro conjugado.
• Libro 8: (Reconstrucción): Determinación de tareas especiales de construcción.

Otro matemático importante del Período Alejandrino fue Ptolomeo, en su maravillosa obra "Almagest" cuya traducción significa "la gran unión" se encuentra una trigonometría plana y esférica bastante bien desarrollada, basada en el cálculo de cuerdas, o sea, que en lugar de las funciones trigonométricas actuales se emplea una función que expresada en lenguaje moderno tendría que definirse por: ch (2) = 2sen. La abreviatura ch significa chorda, cuerda. Aquí se evidencia la relación entre la trigonometría de las cuerdas y la del seno (fig-24).

En efecto; si se traza la mediatriz de CA, entonces como OA=OC por radios de la misma circunferencia, el segmento OB corta perpendicularmente a AC y los triángulos AOB Y COB son rectángulos en B e iguales entre sí.

Por las relaciones trigonométricas en el triángulo AOB se cumple que , o sea, AB = AO..

Como AC = 2AB, AC = 2OAy tomando OA = 1, AC = .

Luego , relación que posibilita reconocer el valor metodológico de los trabajos trigonométricos de los griegos y en especial la formulación dada en sus inicios en la obra de Ptolomeo.

fig - 24

Herón de Alejandría representaba una matemática que servía a la satisfacción de necesidades prácticas; en la antigüedad tales casos resultan raros. Herón forma parte de las excepciones.

De los escritos realmente matemáticos podemos citar "La Métrica", tres libros sobre teoría de la medición, "Geometría" (cálculo de superficies) y "Estereometría" (cálculo de volúmenes). Los escritos de Herón hallaron amplia difusión gracias a su presentación ejemplar. Completados, modificados y redactados mediante el uso continuo, estos escritos se convirtieron en obra estándar de la matemática práctica de la época posterior. Al mismo tiempo merece destacarse que algunos escritos matemáticos de Herón poseen una forma de presentación rigurosa, basada en definiciones, teoremas demostraciones, también contienen resultados que van más allá de los trabajos de Euclides. De él proviene (o de Arquímedes) la fórmula del triángulo de Herón para el área del triángulo: F=, en donde s = , siendo a, b y c lados del triángulo. Herón tenía una idea notablemente clara para su época de la esencia de la Matemática.

El carácter brutal de la esclavitud a la cual eran sometidas tantas personas encuentra en la relación de Herón con sus trabajos un punto de asombrosa valoración; la historia recoge en la creación científica heroniana la obra de un matemático práctico, especie de ingeniero que con mucha inteligencia había logrado el fundamento para la confección de máquinas que humanizaran el esfuerzo y rindieran mejor en la producción lo cual se recoge en su tratado "Pneumotica" ( obras de presión ) en la cual construye con ingeniosidad aparatos insignificantes para la producción que se ponían en movimiento mediante la presión de vapor o diferencias de la presión del aire, en síntesis se manejaba el conocimiento de la fuerza del vapor, pero no existía la necesidad social de utilizarla para la producción como una fuerza nueva de energía mientras los esclavos proporcionaran la fuerza suficiente para el trabajo.

Herón es sin lugar a dudas el exponente más elevado del concepto griego de la exactitud y rigor en la medición, de él es el aparato de medición denominado dióptero que describe en su "Dioptrica", o sea, instrumentos de medición. También impulsó los estudios de artillería en su "Belopoiika" y la mecánica de su tiempo al descubrir y desarrollar teóricamente la matemática de las máquinas más simples como la palanca, el plano inclinado, la cuña, el polipasto y el torno entre otros.

Diofantos, otro matemático griego de este período, también procedente de Alejandría escribió por lo menos tres obras. La más importante es "La Arithmetica" que consta de trece tomos, los cuales solamente se han conservado en partes, se trata de un tipo de libro de texto para la solución de ecuaciones. En este libro él utilizó abreviaturas fijas para las potencias, las variables desde hasta , para la igualdad y la sustracción. En forma de cálculo se trataron todos los tipos de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y bicuadráticas así como ecuaciones fraccionarias y en varias variables (ecuaciones indeterminadas que posteriormente recibieron el nombre de ecuaciones diofánticas). En las soluciones se admitieron también fracciones. El carácter algebraico de la "Arithmetica" incluye también una notable técnica para la conversión de las ecuaciones, por ejemplo, la sustitución de variables auxiliares. Merece destacar que su obra proporcionó en los siglos XVI y XVII notables impulsos en la fundación de la Matemática Moderna.

Al final de la antigüedad apareció un tipo de matemática recreativa. En forma de versos, en epigramas matemáticos, con contenido ocasionalmente gracioso, se plantearon problemas, uno de ellos exponía la vida de Diofantos (cuyo tiempo de vida quedó indeterminado) y hacía alusión a su destreza aritmético - algebraica.

Hasta aquí se trataron por separados importantes matemáticos del Período Helenístico, aunque el número de matemáticos era mucho mayor. En la época de Arquímedes, por ejemplo, vivía y trabajaba en Alejandría, Eratóstenes de Cirene quien fue desde el año 235 a.n.e, director del Museo, describió un procedimiento que lleva su nombre para la separación de los números primos (Criba de Eratóstenes) e indicó un procedimiento para calcular el perímetro terrestre. Además construyó un dispositivo mecánico para la solución del problema de Delos (duplicación del cubo) .

Al círculo de matemáticos alejandrinos pertenecía también Dionisodoro ( hacia el 230 ane ) se ocupó del problema de división de la esfera, Nicomedes ( hacia el 180 ane ) y Diocles ( hacia el 180 ane ), los que con la concoide y cisoide proporcionaron curvas que hicieron posible soluciones gráficas para el problema de la duplicación del cubo, Hipsides ( hacia el 180 ane ) estudió superficies de volúmenes de cuerpos semirregulares y escribió el libro XIV, complementario a "Los Elementos". Zenodoro ( hacia el 180 ane ) demostró que cada dos polígonos aquel con el mayor número de vértices posee el área mayor; que el círculo es de todas las superficies de igual perímetro la que tiene el área mayor (problema isoperimétrico); y que la esfera es de todos los cuerpos de igual superficie la que posee mayor volumen. Aquí se aprecian ya los rudimentos del posterior cálculo de variaciones.

PERÍODO DE LOS COMENTARISTAS

En el imperio romano el estado esclavista alcanzó su máxima expresión. En el siglo I a.n.e se agudizó la contradicción entre fuerzas productivas y relaciones de producción. También el tránsito de la república a la monarquía militar consolidó sólo provisionalmente las condiciones sociales.

El creciente estancamiento y la descomposición repercutieron sobre las ciencias, entre ellas las matemáticas. El conocimiento no se perdió directamente, pero a los científicos les resultó cada vez más difícil seguir, desde el punto de vista del contenido, las obras cumbres de etapas anteriores. Por eso se hizo habitual redactar los comentarios detallados sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio entre otros, quienes perseguían explicar definiciones, representar detalladamente breves demostraciones e ilustrar el nexo recíproco de los teoremas.

Algunos de estos comentarios constituyen trabajos científicos serios, muchas veces notables, que contienen incluso resultados conocidos con anterioridad, pero que ahora están ilustrados o simplemente esclarecidos con ejemplos. Estos esbozaron virtualmente todo el diseño que debía dar incesantes oportunidades a los matemáticos y físicos de siglos posteriores. En algunas partes de la geometría y en la teoría de los números irracionales, el cuadro había sido, de hecho, completo.

Los griegos ordenaron el brillante cúmulo de rompecabezas y misceláneas numéricas y geométricas acumuladas en tiempos pasados en Egipto y en Oriente. Cada uno a su manera ha modificado profundamente y enriquecido las matemáticas legadas por los griegos. Se han forjado cambios tan profundos que se han visto en peligro de perder una perspectiva adecuada de la Matemática.

Hablando numéricamente, el proceso rector de los griegos fue la multiplicación y no la división. El predominio de los comentarios constituye indudablemente un criterio de descenso en la creatividad matemática, sin embargo, las obras de los comentaristas fueron muy útiles para la historia de esta ciencia, conservando en fragmentos o en recuentos muchas obras clásicas importantes.

A veces los comentarios son la única fuente de información sobre obras perdidas o logros olvidados de las matemáticas antiguas. La actividad de los comentaristas se suspendió aproximadamente en el siglo VI dne, después de la clausura de la escuela ateniense. En la Cuenca del Mediterráneo se produjo un largo receso en el desarrollo de las matemáticas.

Las contradicciones internas del desarrollo de la Matemática, en el período de refuerzo, coincidieron con las condiciones socio ? políticas desfavorables de la época de desintegración de la estructura esclavista, producidas en virtud de los cambios de la forma de producción. Así, los factores económicos de finales de la formación económica esclavista resultaron en última instancia la causa determinante de la expresión temporal del desarrollo teórico y práctico de las matemáticas.

La agudización de las contradicciones entre las fuerzas productivas y las relaciones de producción tuvo su punto culminante en los levantamientos de esclavos, Espartaco dirigió desde el año 74 hasta el 71 ane la rebelión más grande contra el Imperio Romano que lo puso al borde del abismo.

Todas estas situaciones de confrontación se sintieron en las ciencias, en especial dentro de la Matemática; criterios místicos se reanimaron provenientes de los reductos desintegrados de la secta pitagórica, incluso el pensamiento marcado del idealismo platónico o neoplatónico reconoció otros síntomas; el conocimiento no se perdió, pero a los científicos les resultó cada vez más difícil seguir las obras cumbres de las etapas anteriores y sobre todo se fue perdiendo el carácter de publicar o intercambiar que enriqueció a partir del Período Jónico la obra griega de la Matemática.

Posteriormente en el año 529 la Academia fue cerrada violentamente por órdenes del Emperador Cristiano Justiniano; pero ya con anterioridad, en el año 415 dne Hipatya, la hija de Theón de Alejandría, la primera mujer que recoge la historia dedicada a la ciencia, había sido cruelmente asesinada por fanáticos cristianos que la acusaron de realizar teorías paganas y corruptas; en ella se apagó la escuela matemática alejandrina.

La matemática de la antigüedad no desapareció sin dejar huellas, pues a través de diferentes vías históricas logró el efecto que le posibilitó llegar hasta nosotros: algunos conocimientos matemáticos se convirtieron en componentes de la instrucción cristiana mediante el neoplatonismo y fueron incluidos después en el conocido Quadrivium universitario; los eruditos bizantinos conservaron algunas cosas que sobrepasaron lo elemental; algunos representantes de las ciencias, entre ellos de la Matemática, emigraron hacia la India y los países árabes al no soportar la intolerancia de la iglesia cristiana continuando en aquellos lugares sus estudios y publicando, para bien de la humanidad, sus resultados; a esto se debe agradecer que muchos trabajos matemáticos de la antigüedad se salvaran.

CAPÍTULO 3

A partir de nuestro levantamiento fueron encuestados 86 profesores en ejercicio de la provincia de Villa Clara de los municipios de Santa Clara, Manicaragua y Corralillo, de estos 29 son graduados de la Carrera Profesoral Superior de Matemática, 56 son Licenciados en Educación de los Planes de Estudio A, B, C y C modificado, siendo 7 de estos dos últimos y uno es graduado de otra carrera universitaria no pedagógica. ( Ver anexos 3, 4, 5 y 6 )

GRADUADOS DE DIFERENTES PLANES

CARRERA PROF. SUP.	LIC. EDUC. PLAN A	LIC. EDUC. PLAN B	LIC. EDUC. PLAN C	OTRAS
29	16	33	7	1
33,7%	18,6%	38,4%	8,1%	1,2%

La experiencia laboral media es de 17 años lo cual indica la distancia de la mayoría de los egresados con aquellos planes de estudios de las carreras pedagógicas que admitieran la Historia de la Matemática como uno de sus componentes.

EXPERIENCIA DE LOS DOCENTES ENCUESTADOS

HASTA 5 AÑOS	DE 5 A 10 AÑOS	DE 11 A 15 AÑOS	DE 16 A 20 AÑOS	MAS DE 20 AÑOS
8	26	40	8	4
9,3%	30,2%	46,5%	9,3%	4,6%

De los docentes encuestados 52 han realizado al menos un curso de posgrado en los últimos cinco años, lo que representa un 60,4% del total y sólo 2 de ellos, es decir, el 2,3% se han relacionado con el desarrollo historiográfico de la Matemática, sin embargo, al solicitar sus necesidades, 40 han planteado el deseo de desarrollar superación en materia de Historia de la Matemática, esto es un 46,5% de los encuestados que permite valorar una aspiración significativa del claustro en materia didáctico ? metodológica, si se toma en cuenta cómo esta disciplina ayudaría la formación pedagógica de nuestro claustro.

De todos estos maestros 55 dicen tener la preparación metodológica para impartir la asignatura en el nivel en el cual trabajan y 33 coinciden en que el tratamiento de conceptos matemáticos y definiciones en la enseñanza de la Matemática es la situación típica que más problemas trae en su presentación por los motivos que le son propios al carácter abstracto de esta ciencia y al nivel de complejidad que le acompaña, pero que encuentra en los modos de ejercitar la materia la dificultad del alumno para identificar, realizar y aplicarla a la solución de problemas.

En este grupo hay 29 docentes que coinciden en que el tratamiento de ejercicios con textos y de aplicación tiene la mayor dificultad, pero que se relaciona con las pocas habilidades de los estudiantes para mostrar con eficiencia el dominio de contenidos desde la asimilación de los conceptos y por lo tanto de sus relaciones.

VALORACIÓN DEL TRABAJO CON LAS SITUACIONES TÍPICAS DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA A PARTIR DE LOS CRITERIOS DEL PERSONAL ENCUESTADO

TRATAM. CONCEPTOS DEFINIC.	TRATAM. TEOREMAS DEMOSTR.	TRATAM. EJERCICIOS APLICACIÓN TEXTOS	TRATAM. CONSTRUC GEOM.	TRATAM. PROCED. SOLUCIÓN
33	13	29	7	4
38,4%	16,1%	33,7%	8,2%	4,6%

El 90,7% de los encuestados no recibió en su carrera la Historia de la Matemática y sin embargo, todos coinciden que es un gran auxilio para motivar la actividad y garantizar determinados momentos de la presentación de los contenidos, de ello se desprende el porqué tan pocos profesores utilizan con frecuencia en sus clases los recursos históricos como motivación o presentación de nuevos contenidos.

A las situaciones dadas con anterioridad se une que sólo el 8,1% de estos profesores creen que sus alumnos están motivados para la asignatura, pero el 37,2% plantean que nunca sus alumnos tienen intereses para aprender Matemática y la ven como algo obligatorio que deben cumplir.

La concepción metodológica de ofrecer la información a los escolares a través de un proceso de abstracción que se inicia en situaciones concretas y que los alumnos deben ir alcanzando desde la secuencia de las etapas "manipulativa", "icónico ? gráfica" y " simbólica" no es observable en 40,7% de los casos lo cual indica un alto índice de deficiencia metódica para la realización de la clase y el alcance de sus objetivos.

Estos lineamientos también nos permitieron determinar que el 11,6% de los docentes estudiados dicen hacer uso adecuado de la intuición de sus alumnos al plantearles las tareas y 25,6% no utilizan nunca los recursos históricos aún cuando las condiciones del contenido se los permite por desconocer la historiografía y el trabajo con ellos.

Las situaciones planteadas que se siguieron desde el trabajo de curso realizado por los autores posibilitó manifestar nuestro propósito de poner en manos de los docentes de las secundarias básicas un modesto material de apoyo con el objetivo de intentar cambios en las formas de actuar de los profesores y las relaciones que motivan a los estudiantes en la asignatura, de esta suerte el folleto concibe la idea de aplicación en la forma que se ha estructurado, es decir, cada período tiene sus representantes y también sus principales aportes que en la medida de las circunstancias encuentran aceptación o rechazo, pero que se perfeccionan de tiempo en tiempo, además la experiencia en esta dirección de la investigación histórica es pobre en la institución ya que sólo un docente se ocupa de ello desde hace poco tiempo y por tales motivos sólo obra un proyecto de diploma realizado con la intención de favorecer la enseñanza a partir de un sistema de medios para la clase con los recursos históricos que fue ejecutado en el curso 96 - 97 y que ha sido validado en los municipios de Corralillo y Manicaragua con buena aceptación, no sólo por los estudiantes, sino también por los propios profesores de la asignatura los cuales ya se acercan más a las fuentes de la utilización de este método, pero que se enfrentan a la carencia de materiales para acometer inteligentemente el trabajo .

Consideramos prudente que en este folleto se ha acopiado una gran cantidad de información actualizada y junto a ella se ha presentado una ilustración de aquellos conceptos y propiedades que bien utilizadas pueden posibilitar el camino a la comprensión del objeto de trabajo dentro de la clase.

La novedad de nuestra investigación está expresada, y consideramos que por su utilidad en el desarrollo de la cultura de los egresados, por el hecho de posibilitar una ubicación cronológica de los acontecimientos, por relacionar la tarea de la perseverancia con la cual sistematizaron los griegos el conocimiento empírico de los pueblos asentados a orillas de los ríos Nilo, Éufrates y Tigris posibilita realizar la tarea de contribuir a la formación de valores desde la clase de Matemática sin necesidad de forzar las situaciones fuera del contexto.

El método que hemos empleado ha partido de la búsqueda de la información bibliográfica en la cual se ha tenido que seguir la lógica de las circunstancias en la cual se dan los fenómenos estudiados bajo los diferentes matices y posiciones ideológicas de los estudiosos e investigadores, pero que a ello se le ha incorporado nuestra posición ideológica definida en la dirección dialéctico ? materialista con lo cual hemos dado respuesta al planteamiento de Marx en que dijo que lo lógico en la investigación contenía lo histórico y lo mejoraba en la práctica, además se ha hecho uso de otros recursos de la investigación como la observación y confrontación de criterios para deducir y extraer finalmente conclusiones.

CONCLUSIONES

Ninguna ciencia pier de más de sus interioridades que la Matemática si en sus estudios no aparecen los rasgos históricos que acompañan sus métodos de elaboración como premisas de teorías y como conjunto acabado de conceptos que estructuran su armazón como un todo monolítico y confiable.

Para un profesor de Matemática resulta necesario conocer el decursar, de la historia de esta ciencia, pues en sus interioridades se encuentran concentradas las fuentes de los recursos que posibilitan la motivación con un enfoque interno, pero alusivo a condiciones humanas.

La tarea de crear desde la clase valores se favorece cuando el maestro es capaz de hacer pensar a sus alumnos a través del contenido y de las relaciones que se posibilitan desde las diferentes posiciones que atendiendo a la función partidista de la enseñanza se pueden extraer.

Cuando se conoce el origen y desarrollo de un fenómeno se puede utilizar en aras de la claridad de exposiciones o presentación de ciertos componentes de la materia de enseñanza, por ello al entrar en las interioridades del mundo antiguo y conocer la vida y obra de los egipcios, mesopotámicos, griegos, hindúes, musulmanes y otros hombres de estas etapas de la historia de la humanidad, el docente se prepara para realizar el trabajo con mayor eficiencia y calidad.

En este trabajo se han podido conciliar los procedimientos registrados en la Historiografía de la Ciencia con los conocimientos matemáticos, metodológicos y filosóficos que permiten un acercamiento de manera clara y precisa al objeto de nuestro trabajo y los propósitos que nos planteamos desde el inicio, por lo que concluimos lo siguiente:

1. El estudio y comprensión de la Historia de la Matemática posibilita la realización activa de la clase desde la motivación hasta otras fases del proceso docente, pues su conocimiento y dominio favorecen la decisión para proyectar el trabajo en función de los objetivos y del nivel que se debe lograr en el aula.
2. Cuando se tiene conocimiento activo de la Metodología de la Enseñanza de la Matemática y se vincula con la génesis de los conceptos y teoremas matemáticos que tienen incidencias en el curso escolar se posibilitan las acciones para motivar el desarrollo de los diferentes complejos de materia con tal grado de acercamiento psicológico con el interés del educando que ello favorece las interioridades de la actividad educativa al plantear fórmulas sencillas para procedimientos que a veces resultan demasiado abstractos.
3. Cuando empleamos los recursos históricos y se hace una valoración de los aspectos educativos de la clase, encontramos en la Historia de las Ciencias, en especial dentro de la Matemática, un material que permite realizar un trabajo ideo ? político donde se sobresalten los valores humanos relativos al respeto a todos los hombres que de una forma sencilla y con humildad nos regalaron las bases científicas de la cultura matemática que hoy disfrutamos. Negar la obra de los egipcios es tratar de ocultar la existencia de los monumentos relevantes de la cultura de la humanidad, negar el desarrollo de la geometría práctica egipcia o el desarrollo de los métodos mesopotámicos es negar nuestra existencia cultural. Negar la cultura griega de la antigüedad representaría no reconocer la esencia misma de la presentación de la Matemática como ciencia separada de la Filosofía, ocultar la obra creada con ingeniosidad por los genios de Tales de Mileto, Demócrito de Abdera, Hipócrates de Quíos, los pitagóricos y sus enfrentamientos equivaldría a negar los cimientos de un cálculo eficiente que fluyó en espacio de tiempo hacia un cálculo diferencial e integral acabados en teoría y métodos.
4. Nuestro trabajo nos deja la huella imperecedera de la estimación de los sabios de la antigüedad y nos hace deudores infinitos de sus aportes.

La importancia de investigar como alumnos de la Carrera Matemática ? Computación de la Licenciatura en Educación nos obliga a dirigir nuestros pasos hacia muchas direcciones, pero precisando aquellas que por su carácter pueden ser revertidas en el proceso de enseñanza ? aprendizaje de manera útil y práctica, por todo ello recomendamos:

• Que el material pueda ser utilizado por los alumnos de nuestra especialidad y por todos aquellos docentes en ejercicios que con su experiencia puedan enriquecerlo.
• Que se profundice en cada hecho, método y personaje con el objetivo de ampliar la información y arribar a las conclusiones que por su valor ayudarían a la comprensión más eficiente del objeto de estudio de la Matemática y posibilitarían el uso activo de los recursos históricos como elemento motivacional de nuestras clases.

BIBLIOGRAFÍA

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2. Wussing, , H. Conferencias sobre Historia de las Matemáticas. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. ---- p. 32, 34, 36, 39, 46, 49, 51.
3. Gran enciclopedia del mundo. Vol. 15. ---- p. 326.
4. Turnbull, Hebert Westren. Grandes matemáticos. Colección Vulcano. La Habana, 1984. ---- p. 42, 61.
5. Rey, Abel. La evolución de la Humanidad. Vol.165. El apogeo de la ciencia técnica griega. Tomo - 2. Editorial UTEHA , 1962. ---- P. 122.

• Casanova, Gastón. La Matemática y el materialismo dialéctico. ? Editorial nacional de Cuba. 1965.
• Colectivo de autores. Folleto complementario para la asignatura Historia de la Matemática. 1987.
• Colectivo de autores. Trabajo de curso, Algunas consideraciones históricas y científicas del surgimiento y desarrollo del Algebra. 1984.
• -----------------------. Diccionario enciclopédico hispano ? americano. Vol. 16, 23.
• -----------------------. Gran enciclopedia del mundo. Vol. 12, 15, 19.
• Hernández Trimiño, Omar. Una vía para lograr la activación de la enseñanza vinculando la didáctica y la Historia de la Ciencias al contenido.
• Hofmann. Historia de las Matemáticas. -- Edición Rivol, 1968.
• Ivanovich Dombrovski, Anatoli. La tritogenia de Demócrito. -- Editorial Mir. Moscú. Biografía.
• Kasnor, Edward y Newan, James R. Matemática e imaginación.
• Newman, James R. Sigma, el mundo de las matemáticas. -- Edición Grijalbo SA.
• Popov, Yu. Las matemáticas en imágenes.
• Rey, Abell. La evolución de la humanidad. Vol. 165. El apogeo de la ciencia técnica griega. Tomo - 2 -- Edición UTEHA. 1962.
• Ribnikov. Historia de las matemáticas. -- Editorial Mir. Moscú. 1981.
• Sánchez Fernández, Carlos. Conferencias sobre problemas filosóficos y metodológicos de las matemáticas. -- Universidad de la Habana. 1986.
• Sánchez Fernández, Carlos. El recurso de la historia y metodología de las matemáticas. -- En revista Sociedad cubana de matemática 1989 #11 La Habana.
• Turbull, H. Grandes matemáticos. -- Colección Vulcano. LaHabana, 1984.
• Turner Ralph. Las grandes culturas de la humanidad.. ?- Edición Revolucionaria. La Habana. 1966.
• Vitrac, Bernard. Antigua Grecia "La odisea de la razón". En revista Correo de la UNESCO.
• Wussing, H. Conferencias sobre historia de las mateáticas. -- Editorial pueblo y educación. La Habana, 1978.

ANEXOS

Anexo ? 3

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita para su fundamentación de los conocimientos del entorno al cual Usted pertenece; por esta situación estamos solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos disculpas por las molestias que le causamos estando muy agradecidos de que nos atienda.

Marque con una cruz ( x ) su respuesta:

1 - Usted es graduada (o) o universitaria (o) sí____ no____

____Carrera Profesoral Secundaria Superior

____Licenciatura en Educación Plan A

____Licenciatura en Educación Plan B

____Licenciatura en Educación Plan C

____Otra carrera universitaria

2 - Su experiencia acumulada es:

____Hasta 5 años

____Entre 5 y 10 años

____Entre 11 y 15 años

____Entre 16 y 20 años

____Más de 20 años

3 - Ha cursado estudios de posgrado en los últimos 5 años sí____ no____

4 - De ser afirmativa su respuesta indique las disciplinas abarcadas en esos estudios

____ Análisis Matemático ____Álgebra

____Geometría ____Didáctica

____Psicología ____ Pedagogía

____Filosofía ____Economía Política

____Historia de las Ciencias

5 - Unido a sus intereses y la actividad docente de la escuela en la que Usted desarrolla su trabajo los posgrados que desearía realizar en los próximos cinco años son:

____Análisis Matemático ____Álgebra

____Geometría ____Trigonometría

____Didáctica ____Psicología

____Filosofía ____Historia de las Ciencias

Anexo ? 4

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita para su fundamentación de los conocimientos del entorno al cual Usted pertenece; por esta situación estamos solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos disculpas por las molestias que le causamos estando muy agradecidos de que nos atienda.

Marque con una cruz ( x ) su respuesta:

1 ? La labor docente Usted la realiza en

____ S/B ____ SOC ? FOC

____ ETP ____ P/U

2 - ¿ Se considera Usted con la preparación metodológica necesaria para acometer el trabajo de la asignatura Matemática? Sí____ No____

3 ? No todas las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática tienen el mismo nivel de dificultad para cada docente. ¿ Cuál de ellas consideras más difícil para Usted?

____Tratamiento de conceptos y definiciones

____ Tratamiento de teoremas y sus demostraciones

____ Tratamiento de ejercicios de aplicación y con textos

____ Tratamiento de las construcciones geométricas

____ Tratamiento de los procedimientos de solución

4 - La fase de orientación del aprendizaje se caracteriza por el trabajo con las funciones didácticas " aseguramiento del nivel de partida ", " orientación hacia el objetivo " y " motivación ". Para la ejecución de esta tarea Usted se plantea una valoración del trabajo metodológico y procura que la orientación hacia el objetivo y la motivación fluyan a favor de los propósitos didácticos.

____ siempre ____ algunas veces ____nunca

5 - ¿ Considera Usted que los recursos históricos posibilitan el desarrollo del pensamiento matemático en la actividad de la clase si pueden ser utilizados?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

Anexo ? 5

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita para su fundamentación de los conocimientos del entorno al cual Usted pertenece; por esta situación estamos solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos disculpas por las molestias que le causamos estando muy agradecidos de que nos atienda.

Sin lugar a dudas la motivación para la actividad es un factor reconocido por la Didáctica en el proceso de instrucción ? educación que facilita conducir al alumno hacia una docencia de calidad.

Marque con una cruz (x) su respuesta.

1 - ¿ Considera Usted que sus alumnos se sienten motivados para aprender

Matemática?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

2 - ¿Ayuda el entorno socio ? cultural y ambiental de la escuela a la motivación de sus actividades?

____siempre ____algunas veces ____nunca

3 - ¿Puede Usted aprovechar todas las potencialidades educativas del complejo de materia a favor de una buena motivación para la actividad?

____ siempre ____algunas veces ____ nunca

4 ? Se considera que la Historia de la Matemática puede favorecer el aprendizaje de conceptos, propiedades y algoritmos cuando se utiliza con eficiencia.

¿ Usted trabaja en el uso de estos elementos para apoyar las actividades docentes?

____ siempre ____ algunas veces ____ siempre

Anexo ? 6

Compañero profesor, por razones de nuestro Plan de Estudios estamos realizando un trabajo de diploma que necesita para su fundamentación de los conocimientos del entorno al cual Usted pertenece; por esta situación estamos solicitando su cooperación para esta obra y le pedimos disculpas por las molestias que le causamos estando muy agradecidos de que nos atienda.

Marque con una cruz ( x ) su respuesta

1 ? A su modo de analizar el trabajo docente, ¿ considera Usted que la actividad docente cumple sus objetivos?

____ siempre ____ algunas veces ____ siempre

2 ? Los maestros de Matemática hacen caso a la concepción metodológica de ofrecer la información a los escolares a través de un proceso de abstracción que se inicia en situaciones concretas y que los alumnos deben ir alcanzando desde la secuencia de las etapas " manipulativa ", " icónico ? gráfica " y " simbólica ".

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

3 - ¿ Considera Usted que los maestros hacen uso adecuado de la intuición de los escolares al proponerles tareas que exijan el uso de los recursos y habilidades para realizarlas de modo inteligente?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

4 ? El nivel de abstracción de la Matemática trae consigo las complejidades de los contenidos y las dificultades que cuando se agigantan obstaculizan la motivación de la enseñanza.

¿Ofrece el programa de la asignatura las posibilidades para dar adecuado tratamiento metodológico a estas irregularidades del aprendizaje?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

5 ? En la Historia de las Ciencias se presenta una valiosa información que puede ser utilizada por la escuela media como recurso didáctico.

¿ Se acercan los profesores a esta ciencia para realizar su trabajo docente con los alumnos?

____ siempre ____ algunas veces ____ nunca

Referencia Bibliográfica:

1. Ribnikov. Historia de las Matemáticas.---- Edición Mir. Moscú, 1981. ----P.51, 93.
2. Wussing, , H. Conferencias sobre Historia de las Matemáticas. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. ---- p. 32, 34, 36, 39, 46, 49, 51.
3. Gran enciclopedia del mundo. Vol. 15. ---- p. 326.
4. Turnbull, Hebert Westren. Grandes matemáticos. Colección Vulcano. La Habana, 1984. ---- p. 42, 61.
5. Rey, Abel. La evolución de la Humanidad. Vol.165. El apogeo de la ciencia técnica griega. Tomo - 2. Editorial UTEHA , 1962. ---- P. 122.

Breve biografía del autor.

Yo Maria Milena Rodríguez Fernández hija de Arsenio Rodríguez Acosta y Juana Fernández Monteagudo, nací el 10 de abril de1976 en Santa Clara.

Comencé mis estudios en el año 1981 en la escuela Primaria La Plata donde permanecí hasta terminar el 6to grado.Me inicie de pionera en 1er grado .En la OPJM ocupé varios cargos, fui monitora, obtuve buenos resultados docentes y los sellos correspondientes a todas las etapas emulativas.

Curse la secundaria básica en la ESBU Alberto Pis Delgado. Curse del 10mo al 12mo grado en el preuniversitario de ciencias exacta Comandante Ernesto Guevara de la Serna, en la especialidad de Matemática. En la FEEM fui en varias ocasiones vanguardia de grupo y de escuela.

Curse la Licenciatura en Educación en la especialidad de Matemática y Computación en el Instituto Pedagógico Félix Varela.

Trayectoria laboral.

En agosto de 1999 comencé mi vida laboral en el IPVCE Comandante Ernesto Guevara de la Serna.

He ocupado cargos administrativos Jefa de Departamento (Curso 2002-2003).

En agosto del 2003 comencé a trabajar en el Departamento de Matemática de la UCLV donde laboró actualmente. He cursado la parte curricular de la maestría de Matemática Aplicada y en estos momentos me encuentro enfrascada en la elaboración de la tesis vinculando la Estadística con la Bioinformática.

País Cuba.

Ciudad Santa Clara.

Fecha correspondiente al trabajo desarrollado diciembre del 2006.

Maria Milena Rodriguez Fernandez