A la escuela le corresponde un altísimo papel en esta preparación, las personas transitan una buena cantidad de años de su formación por sus aulas, no obstante si viéramos a la escuela como la única vía para esta preparación estaríamos cometiendo un gravísimo error; se aprende mucho fuera de ella, en el barrio, en la calle, en las asociaciones, en las lecturas de libros y otros materiales, en las fiestas, con los padres, tíos, abuelos ,en la casa, con la televisión, en las excursiones, en los encuentros deportivos, en los cines, en los debates entre amigos etc, es decir tenemos que ampliar el concepto de escuela al concepto de "la escuela de la vida", para tener una buena preparación en todos los sentidos.

Pero nuestro trabajo, el cual es el reflejo de la experiencia profesional de los autores, se sale del concepto estrecho de escuela, y va a un concepto más estrecho aun, el concepto de asignatura dentro de un plan de estudio, a partir del cual nos preguntamos:

• ¿Cómo se puede potenciar la "Educación para la vida" desde el desarrollo en el aula de una asignatura tan concreta como el Álgebra Lineal?.
• ¿Tendremos que modificar nuestros enfoques didácticos?.
• ¿Seguiremos nosotros los profesores dando recetas al tratar los contenidos de esta asignatura?

Muchas otras preguntas pudiéramos hacernos. No obstante aclaramos que la experiencia vivida es más rica que lo que hoy podemos exponer en este resumen del trabajo desarrollado a lo largo del trabajo como profesores de Algebra Lineal.

Hemos impartido esta asignatura en la Carrera de Licenciatura en Economía en la Universidad de Pinar del Río en más de 5 cursos escolares.

El programa consta de 52 horas/clases para desarrollar los 3 temas que lo forman: Tema 1. "Matrices", Tema 2. "Sistemas de Ecuaciones Lineales" y Tema 3. "Espacios Vectoriales".

Al comenzar a trabajar con este programa hicimos una planificación de las actividades docentes a desarrollar donde la cantidad de horas de conferencias (24h), prácticamente eran iguales a la cantidad de horas de actividades prácticas ( 28 h).

En un segundo momento la cantidad de horas de conferencias (20h) se reduce con respecto a la cantidad de horas de actividades prácticas (32h).

A nuestro juicio, esta disminución y aumento por la otra parte de la cantidad de horas, tiene un alto valor, pues consideramos que el aprendizaje tiene su mayor expresión en la "acción que desarrolla el alumno", es decir, en la actividad que bajo la dirección del profesor desarrollo el estudiante y para ello se necesitan horas de actividades practicas suficientes.

El profesor que desarrolle un programa de una asignatura, donde la forma de organización principal sea la conferencia, está bajo la clasificación de "profesor tradicional" o "profesor transmisor", pues está utilizando esencialmente el método expositivo, sus objetivos dependen de los que se definen en el programa, está utilizando solamente la pizarra y de vez en cuando otros medios de enseñanza.

Con esta forma de organización del proceso docente el profesor impone esquemas de razonamientos tradicionales en la enseñanza de la matemática, por ejemplo, entre otros:

• Definición de un concepto→representación→ejemplos resueltos.
• Desarrollos de ejemplos resueltos→ejercicios similares.
• Trabajo con el libro de texto solamente.
• Etc.

En general, el alumno no encuentra espacio para desarrollar su creatividad, su pensamiento y por tanto se vuelve repetitivo, memorístico y no aprovecha entonces todas las potencialidades que se le pudieran inculcar o enseñar a través de los contenidos de la asignatura.

Otros elementos que perjudicaban la preparación que debíamos darle a los alumnos son:

• El desarrollo de los contenidos del programa era lineal, es decir, se seguían en el orden establecido por el programa.
• No se visualizaban los contenidos con situaciones de la vida del futuro profesional que formábamos.
• Sólo se trabajaban los contenidos con un interés matemático y no para el desarrollo del pensamiento de los alumnos.
• Se repetían los tipos de ejercicios y no se daban posibilidades al alumno para que fuera protagonista de su propio aprendizaje.

Otros cuestiones se pudieran exponer para mostrar la necesidad del cambio que se debía operar en el profesor de esta asignatura, pero pensamos, que en la misma medida que fuimos "formándonos como profesores de Álgebra Lineal" fuimos cambiando nuestra metodología de la enseñanza de esta asignatura. Afortunadamente esto ha sido un cambio operado en la misma medida en que desarrollábamos el programa, por lo que constituye una experiencia práctica de los autores

Expondremos brevemente algunas de las ideas de las transformaciones sufridas al interiorizar el programa que desarrollábamos y comprender las posibilidades que se tenían con los contenidos de esta asignatura para lograr un alumno más preparado para su futura vida profesional y para su vida privada en general.

• Hoy desarrollamos el programa a partir de lograr la integración de los 3 temas del mismo (anexo 1), reduciendo a 5 conferencias (10h/clases) y el resto (42h/clases) a actividades prácticas y de obtención de conocimientos, por lo que el alumno tendrá que ocupar un papel activo, dada que muchas de las actividades conducen a nuevos conocimientos para él, por lo que al desarrollar el programa de esta manera estamos potenciando el trabajo y desarrollo de las actividades mentales generales, dándole un papel protagónico en su propia formación, todo lo cual conducirá a poder enfrentar situaciones y problemas en el futuro en su actividad profesional y personal y darles soluciones a partir de su formación a lo largo de la carrera.
• Igualmente comprendimos la necesidad de retomar lo que los alumnos saben de la enseñanza de la matemática para la enseñanza del álgebra. Es por ello que expresiones usadas en la matemática pueden incorporarse al álgebra; las cuales potencias en su momento el desarrollo de las actividades mentales generales, entre estas tenemos:

Con estos impulsos se pretende que los alumnos, razonen, comparen, representen, expliquen, resuelvan, etc., todo lo cual conduce desde el punto de vista académico al desarrollo de su pensamiento en general, cuestiones estas vitales para la vida futura.

El trabajo con las actividades mentales generales: analizar, sintetizar, generalizar, particularizar, comparar, clasificar, etc, deben ser pensadas y planificadas por el profesor al desarrollar los diferentes contenidos del programa que imparte. A continuación exponemos algunos ejemplos:

• Al introducir el concepto de matriz se debe utilizar una situación práctica que el alumno conozca (ver anexo 2). Un ejemplo puede ser este de la tabla que relaciona los alumnos de un grupo de una carrera y los resultados obtenidos en trabajos evaluativos desarrollados en el semestre. Aquí el profesor guía el pensamiento del alumno de manera que éste llegue al concepto deseado y para ello le pide que analice lo que aparece en la tabla:

. ¿Qué se trata en esta tabla?,

. ¿Cuántas filas y cuántas columnas tiene la tabla?,

El profesor valora la posición de algún resultado de la tabla y hace notar que ellos tienen un sentido de información en esa posición que ocupan, etc.

Es decir hay análisis, síntesis, abstracciones, generalizaciones, etc. Todo lo cual permite un trabajo con determinadas operaciones mentales generales.

Una vez introducido el concepto de matriz, se llega a su representación, como fue hecha cuando se explico el concepto de función en Matemática. Se le explica al alumno que las matrices tienen leyes de formación, al igual que las funciones, que no necesariamente son ecuaciones. Con esto se persigue que el alumno identifique los elementos de cada matriz, el concepto de fila y de columna y pueda generalizar su pensamiento, por ejemplo, se le dice al alumno que determine la matriz A si A = (a_ij)_3x2 con a_ij = 3i –2j. Aquí el alumno aplica un procedimiento de trabajo que ya conoce del trabajo con las funciones, por lo que su pensamiento se eleva al aplicarlo a un nuevo concepto, siendo activo y gestor de su propia formación. Con este ejemplo se potencia el desarrollo de determinadas actividades mentales generales, entre ellas:

. Analizar. --- ¿De qué tipo es la matriz A?

--- ¿Cuál es el orden de la matriz A?.

--- ¿Cuál es la correspondencia definida para los elementos de la matriz A?

--- ¿Cuál es la forma de la matriz genérica correspondiente a la matriz A?

¿Por qué?

. Sintetizar. --- ¿Cuáles son los valores numéricos de cada elemento de la matriz A?

--- ¿Cuál es la matriz resultante?

. Particularizar. --- Se parte de lo general, de los datos de la matriz A así expresados y

se particulariza al determinar los valores numéricos de sus

elementos.

Además se está potenciando la generalización de contenidos matemáticos por parte del alumno en su formación.

- En matemática estudió operaciones con funciones, aquí se le introducen las operaciones con matrices. Con esto continúa desarrollando las actividades mentales generales.

• En el tema Sistemas de Ecuaciones Lineales, para llegar a su concepto, partimos de utilizar lo que el alumno conoce, es decir, nos apoyamos en conocimientos ya adquiridos por los alumnos en sistemas de enseñanzas precedentes. Aquí indicamos a los estudiantes que obtengan una nueva expresión a partir de la dada:

Con este ejemplo el alumno llega a un sistema de ecuaciones lineales particular, sin conocer a lo que conducía el ejercicio; es decir llega a un conocimiento apoyándose en lo que sabe. Después de esto, puede utilizando los conocimientos adquiridos en Matemática y generalizar su pensamiento sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales, para así ampliar el concepto que él poseía.

- En el tema I "Matrices" el alumno aprende a calcular el rango de una matriz, con este conocimiento el profesor puede introducir el Teorema de Rouché – Frobenius que detalla la forma de clasificar los Sistemas de Ecuaciones Lineales. Este teorema es del Tema 2. Para poder llegar a relacionar estos dos contenidos el profesor debe guiar al alumno en el desarrollo de su pensamiento, el cual permite establecer las relaciones matemáticas entre ambos contenidos.

- El alumno sabe resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas; en este tema se le amplia este concepto a n-ecuaciones con m-incógnitas. Se introduce el Método de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales conocido como método de Gauss, el cual a partir del calculo del rango de la matriz del sistema y de la matriz ampliada de este, se obtiene el Sistema de Ecuaciones Lineales Equivalente al dado en el ejercicio y a partir de este se comienza a despejar de abajo hacia arriba; obteniéndose así la solución del Sistema. Consideramos que no hay nuevos conocimientos para el alumno en este trabajo, sólo que utiliza todo lo que conoce: calculo del rango, concepto de matriz del sistema, matriz ampliada, sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y despejes de variables para así llegar a la solución del sistema de ecuaciones lineales planteado. Aquí se define el Método de Gauss, el cual fue elaborado totalmente por el alumno. El elemento formal está en definir matemáticamente este concepto.

- El tema 3 "Espacios Vectoriales" tiene una vinculación directa con el tema 1 y 2, pues a partir del rango y del trabajo con la solución de sistemas de ecuaciones lineales se definen conceptos tales como Combinación Lineal, Dependencia e Independencia Lineal, etc. Al trabajarse este tema se potencia la abstracción en el alumno, ya que sus contenidos así lo exigen para su asimilación correcta por parte del estudiante.

- Existen muchos más ejemplos que se trabajan en la asignatura con el objetivo de desarrollar el pensamiento de los alumnos al trabajar las operaciones mentales generales con esta intención por parte del profesor de la asignatura.

• El trabajo con los contenidos de la asignatura Álgebra Lineal por parte del profesor tiene altísimas posibilidades para que el alumno adquiera formas de pensar que aunque propias de la Matemática (Álgebra) puede usar en la vida privada y profesional; dado que ante un problema práctico vinculado con su especialidad y donde su solución sea usando los conocimientos del Álgebra Lineal le exige desarrollar sus capacidades mentales generales, es decir, adquiere un método de razonamiento que puede traspolar a otras situaciones futuras en la vida.
• Con esta manera de trabajar en la asignatura, al alumno se le coloca en situaciones que tiene que usar formas de trabajo ya conocidas de la matemática (Álgebra), lo que induce en la necesidad de buscar relaciones para arribar a conocimientos nuevos y sea él mismo el "descubridor del conocimiento buscado".
• La contribución de la asignatura Álgebra Lineal al desarrollo del alumno no radica esencialmente en sus contenidos, sino en las posibilidades que estos brindan para el desarrollo de sus actividades mentales.
• Los profesores no tienen que demostrar solamente que tienen un buen dominio de los conocimientos de la asignatura, sino que saben extraerle a estos las potencialidades para trabajar y desarrollar en el alumno métodos de razonamientos válidos para la vida y ahí esta el aporte de esta asignatura a la FORMACION PARA LA VIDA DEL ALUMNO.

1.- Bongiovanni, Vincenzo y otros. Matemática e Vida. 2^o Grau. Volume 2.Editora Ática S.A. Sao Paulo. Brasil. 1993. (En Portugués).

3.- Colectivo de Autores. Metodología de la enseñanza de la Matemática. Tomo l. Editorial Pueblo y Educación. C. Habana, 2001.

4.- Davydov, V.V. Tipos de Generalización en la enseñanza. Editorial Pueblo y Educación. C. Habana. 1979.

6.- Fernández Homochea, C. y otros. Álgebra Lineal: Teoría y problemas. Universidad de la Habana.

7.- González Abreu, J.M. Programa analítico de Álgebra Lineal. Universidad de Pinar del Río.

10. De la Peña, J. Algunos problemas de la educación en Matemática en México. México: Siglo XXI – UNAM.

Autor(es):

UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RIO

-2007-

Pinar del Río, Cuba.

(1). Licenciado en Matemática, Profesor de Metodología de la Enseñanza de la Matemática, de Matemática Superior, Algebra lineal, de Estadística aplicada a las investigaciones educativas y de Evaluación del aprendizaje.

Doctor en Ciencias Pedagógicas.

Asesor Metodológico de la Vicerrectoría Docente de la Universidad de Pinar del Río en Cuba.