Curvas equipotenciales (página 2)

FUNDAMENTO TEÓRICO

Al hablar de curvas equipotenciales tenemos que
mencionar muchos conceptos tales como campo
eléctrico, potencial eléctrico, líneas
de fuerza y
finalmente definir curvas equipotenciales.

a) Campo Eléctrico

Existen muchos ejemplos de campos, por ejemplo el flujo
de agua de un
río es un campo de vectores,
llamado campo de flujo. Cada punto en el agua lleva
asociado consigo una cantidad vectorial, la velocidad con
la cual pasa el agua por el punto. A los puntos cercanos ala
superficie terrestre se le puede asociar también un vector
de intensidad gravitacional.

El espacio que rodea a una varilla cargada parece estar
afectado por la varilla, y a éste espacio lo denominamos
campo eléctrico.

Esto es, si colocamos una carga
q1, ésta produce un campo
eléctrico en el espacio que lo rodea. Ahora si colocamos,
esta vez, una carga de prueba q2,
ésta experimentaría una fuerza. Se deduce que el
campo juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre
las cargas. Entonces podemos decir que el campo eléctrico
está íntimamente ligado a la distribución de cargas que lo denominaremos

Con todo esto, se define al Campo
Eléctrico utilizando el método
operacional, como un vector que sólo requiere conocer la
distribución de cargas .

Se define de esta forma, ya que si q fuera
comparable con Q, entonces afectaría al
campo creado por éste último.

Para una distribución de carga , tomamos un elemento de
contribución, y luego integramos en todo su volumen:

b) Potencial Eléctrico

Una distribución de carga produce un campo
eléctrico , esta información es hasta cierto punto un poco
incompleta y complicada de manejar, esto nos lleva a tratar de
encontrar una magnitud que nos exprese en forma sencilla
cómo una distribución de carga puede modificar su
espacio de entorno.

Analicemos si el campo electrostático es un campo conservativo.
Es decir, para una fuerza existe una función
escalar U tal que cumple con la siguiente
condición:

Entonces:

Para el caso más general:

es una
función vectorial, esto es:

Aplicando el operador rotor:

…(1)

Para

Para

Y ahora éstos resultados demuestran la
expresión (1), con lo que se demuestra también que
el campo es
conservativo, ya que , es decir justificamos la existencia de una función
escalar U=V tal que = .

Por lo tanto la propiedad
conservativa de
nos proporciona una función escalar V para evaluar
los efectos de .

La pregunta es inmediata, ¿qué interpretación toma V?. Si hacemos
el producto
escalar con un e
integramos obtendremos:

=

De acuerdo con lo anterior, como existen infinitas
soluciones de
V() debido
a V(), lo
que será importante a la postre serán los .

Analizando el V() para una carga puntual en el origen:

Aquí se ha encontrado una relación entre
la diferencia de potencial y el trabajo
realizado por una fuerza externa. Ahora si realizamos el
siguiente análisis:

c) Líneas de Fuerza

Son líneas imaginarias que representan la
trayectoria de una partícula cargada si es que fuese
colocada en algún campo eléctrico.

Las líneas de fuerza presentan las siguientes
características:

• Las líneas de fuerza comienzan en las
cargas positivas y terminan en las negativas.

• La densidad de
líneas es proporcional al valor del
campo.

• No existe intersección entre las
líneas de fuerza resultantes.

• La tangente a la línea en cualquier
punto es paralela a la dirección del campo eléctrico en
ese punto.

La forma de las líneas de fuerza depende
exclusivamente de la distribución de carga.

d) Curvas Equipotenciales

Los conceptos mencionados anteriormente son muy
importantes para reconocer las superficies equipotenciales. La
distribución del potencial eléctrico en una cierta
región donde existe un campo eléctrico puede representarse de
manera grafica mediante superficies equipotenciales.

Una curva o superficie equipotencial es el lugar
geométrico de los puntos de igual potencial, donde se
cumple que el potencial eléctrico generado por alguna
distribución de carga o carga puntual es
constante.

Si el potencial eléctrico es constante, la
diferencia de potencial se define de la siguiente
manera.

Si
ΔV=VB-VA pero
VB = VA , entonces VB-VA
= VB-VB = 0

Como q no es cero, el producto escalar de los vectores F
y dr es cero:

F.dr=0. en otras palabras se puede afirmar lo
siguiente:

VAB = = 0

Como dr pertenece a la superficie equipotencial, por
álgebra
vectorial se concluye F es ortogonal a dr, de aquí se
puede determinar que las líneas de fuerza siempre son
perpendiculares a las superficies equipotenciales y como el campo
eléctrico E es paralelo a la fuerza eléctrica, se
puede concluir también que el campo eléctrico
también es perpendicular a una superficie equipotencial,
también se puede concluir que el trabajo
requerido para llevar a una carga de un sitio A a un sitio B
(siendo A y B pertenecientes a la equipotencial) es
cero.

Por otra parte se puede afirmar que la superficie
equipotencial que pasa por cualquier punto es perpendicular a la
dirección del campo eléctrico en ese punto. Esta
conclusión es muy lógica
puesto que si se afirmo lo contrario, entonces el campo tendría una
componente a lo largo de la superficie y como consecuencia se
tendría que realizar trabajo contra las fuerzas
eléctricas con la finalidad de mover una carga en la
dirección de dicha componente.

Finalmente las líneas de fuerzas y las
superficies equipotenciales forman una red de líneas y
superficies perpendiculares entre si. En general las
líneas de fuerzas de un campo son curvas y las
equipotenciales son superficies curvas. Podemos afirmar asimismo,
que todas las cargas que están en reposo e un conductor,
entonces la superficie del conductor siempre será una
superficie equipotencial.

En el dibujo, como
se puede apreciar, las líneas de fuerza, las de color azul son
perpendiculares a las curvas equipotenciales denotadas de color
verde, en este caso generadas por una carga positiva.

Un ejemplo sencillo de curva equipotencial:

Hay que notar que las cargas o distribuciones de cargas
que generan el potencial eléctrico están en
estado de
reposo. Es importante recalcar esto para que el experimento de
laboratorio
funcione.

PROCEDIMIENTO EXPERIENTAL

Para el experimento se desea calcular las curvas
equipotenciales que generan tres sistemas
distintos: Punto-Punto, Punto-Placa y Placa-Placa. En el caso
Punto-Punto se hará uso de electrodos que servirán
de cargas estacionarias. En el presente laboratorio se usaran dos
alambres, que representaran a los electrodos.

Para esto, se necesita una cubeta de plástico,
una solución de sulfato de cobre, una
fuente de
poder DC de 2,75 V para poder cargar
los electrodos, un galvanómetro que permite medir la
diferencia de potencial, dos electrodos y tres láminas de
papel milimetrado para poder marcar dónde la diferencia de
potencial sea cero.

Lo que se tiene que hacer es colocar debajo de la cubeta
una hoja de papel milimetrado donde se haya trazado previamente
un sistema de
coordenadas cartesianas xy, donde el punto (0,0) coincida con el
centro de la cubeta. Ahora en la cubeta se vierte una
solución de sulfato de cobre tal que la altura de la
solución no pase de un centímetro, y armar un
circuito de esta manera visto desde arriba.

Con la fuente de poder, se establece una diferencia de
potencial entre los electrodos que deben estar equidistantes del
punto (0,0).

Para empezar a encontrar las curvas equipotenciales, se
necesita mínimo nueve puntos donde se cumpla que al medir
con el galvanómetro la diferencia de potencial entre dos
puntos, ésta debe ser cero. Esto se obtiene poniendo uno
de los punteros del galvanómetro en un punto fijo, y al
otro se le hace variar paralelo al eje x. Los procedimientos
para los otros dos sistemas son similares.

CÁLCULOS Y RESULTADOS

Para el presente laboratorio se uso 2 alambres como
electrodos, mediante el cual se pudo establecer las curvas
equipotenciales para dos puntos, para dos placas y para un
sistema punto-placa. Por ello los cálculos y resultados se
muestran a continuación, mediante puntos, que pertenecen a
las curvas equipotenciales, en el eje de coordenadas XY, para los
tres casos. Las graficas de
las curvas equipotenciales, así como las líneas de
fuerza se presentarán en tres papeles
milimetrados.

Tabla nº 1

PLACA-PLACA

Tabla nº 2

PUNTO-PUNTO

Tabla nº 3

PUNTO-PLACA

*NOTA: todos los datos y
cálculos están en milímetros

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

1. En teoría
las líneas equipotenciales para la configuración
Punto-Punto son las que parecen círculos
concéntricos y las líneas de fuerza son las que van
de carga a carga. Se debe notar la simetría entre las
ordenadas positivas y negativas respecto al eje x. En el
laboratorio, las cargas estaban separadas 20 centímetros.
La foto fue tomada de un simulador de cargas de la
página:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/electrico/cElectrico.html

Debido a que el galvanómetro que se
utilizó era muy antiguo e impreciso, el resultado
salió parecido pero no igual.

Hay que notar que las equipotenciales son mas intensas
cerca de las cargas.

2. En el caso de la configuración placa-placa,
como se puede observar en las curvas equipotenciales graficadas
mediante los puntos que se hallaron, las curvas equipotenciales
tienen una tendencia vertical (paralela al eje de las y) y como
sabemos que las líneas de fuerza son perpendiculares a las
curvas equipotenciales; entonces se puede notar que las
líneas de fuerza son paralelas al eje x. Este resultado
concuerda con lo teórico, sin embargo se puede notar al
graficar las curvas equipotenciales hay un pequeño margen
de error (no salen exactamente paralelas al eje y) este hecho es
debido a que el galvanómetro que hemos utilizado no era
tan eficiente. Por ello concluimos que para obtener la gráficas exactas de las curvas
equipotenciales se requiere de instrumentos adecuados y
precisos.

Además en el grafico de arriba se puede notar las
líneas de fuerza, por lo tanto ya se tienen las curvas
equipotenciales, puesto que son perpendiculares a
estas.

3. La superficie equipotencial del experimento
Punto-Placa, donde la carga positiva se encuentra a la izquierda
representándose mediante un punto y la carga negativa a la
derecha de la placa metálica.

Las líneas más próximas a la carga
positiva que representan esta superficie, mientras mas se acerca,
van ganando mas curva y si continuáramos prolongando estas
líneas que representa la superficie equipotencial,
pareciera que se forman circunferencias con centro en el punto
donde se colocó la carga positiva.

En este caso del Punto-Placa, la distancia del punto
mide 20cm, en el grafico del papel milimetrado pareciera que esta
distancia es relativamente grande, es por eso que las curvas no
se asemejan a la grafica que aparecen en textos de Física. Si la
distancia entre las cargas fuese más pequeño o con
un tamaño de papel mas grande y con mas puntos la grafica
se parecería a la siguiente.

También se observa que las líneas que se
acercan a la placa van tomando una ligera curvatura, esto no se
debe a que se tomo muy mal las mediciones, por el contrario, las
mediciones realizadas fueron buenas ya que uno pensaría
que las líneas que se acerquen a la placa deberán
ser paralelas a esta, lo cual es incorrecto, la líneas que
representan la superficie equipotencial y que se aproximen a la
placa serán paralelas a esta si es que la placa
metálica es infinita, o tenga una longitud relativamente
larga.

BIBLIOGRAFÍA

Fuentes bibliográficas

Electrostática y Magnetismo, LEYVA
NAVEROS, Humberto, pp. 121,122, MOSHERA S.R.L., 1999,
Perú, Lima.

Física General III, ASMAT AZAHUANCHE, Humberto,
pp. 134,135, SAGSA S.A., 1995, Perú, Lima.

Física para Ciencias e
Ingeniería, RESNICK, Robert , pp823 – 826 ;
879 – 884; Ed Continental S.A. 1967

Autor:

Casiano Celestino José Luis