- Máximos y mínimos
de funciones de varias variables - Método
del Gradiente o descenso rápido - Solución
de un problema de Programación Cuadrática con
SOLVER - Comandos del
MatLab para Máximos y Mínimos
Modelamiento industrial mediante
programación cuadrñatica aplicando
Excel-Solver
incluyendo: Multiplicadores de Lagrange, Máximos y
mínimos de funciones de
varias variables y
Método del
Gradiente o descenso rápido.
1. Máximos y
mínimos de funciones de varias variables
Ejemplos
Hallar los puntos críticos, los máximos,
mínimos y puntos de silla de la función:
Como la función es un polinomio en dos variables,
tiene derivadas
parciales continuas de todos los órdenes en cada punto
de 
. En consecuencia los
puntos críticos son únicamente soluciones de
la ecuación 
, esto es, del sistema no
lineal: 
[
]
[ 
]
De aquí se tienen 4 sistemas de
ecuaciones
(
)
Resolviendo cada sistema se obtienen los puntos
críticos
CÁLCULO DE LA SOLUCIÓN CON
MATLAB
>> ecua = '2*x*y+y^3-y=0,
x^2+3*x*y^2-x=0'
ecua =
2*x*y+y^3-y=0,
x^2+3*x*y^2-x=0
>> [x,y] = solve(ecua)
x =
0
0
0
1
2/5
2/5
y =
0
1
-1
0
1/5*5^(1/2)
-1/5*5^(1/2)
Análisis en los puntos críticos ayudado
por el MatLab
1) punto critico p5
x=2/5; y=5^(0.5)/5;
Componentes de la Matriz
Hessiana
a=2*y;
b=2*x+3*y^2-1;
c=6*x*y;
Menores principales
» H1=a
H1 = 0.8944
» H2=det([a b;b c])
H2 = 0.8000
El punto critico corresponde a un
mínimo relativo.
f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y;
f = -0.0716 =mínimo
relativo
2) punto crítico p6
x=2/5;
y= – 5^(0.5)/5;
a=2*y; b=2*x+3*y^2-1;c=6*x*y;
» H1=a
H1 = -0.8944
» H2=det([a b;b c])
H2 = 0.8000
El punto critico corresponde a un
máximo relativo
» f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y
f = 0.0716 = máximo
relativo
3) punto crítico p4
x=0;
y=-1;
a=2*y; b=2*x+3*y^2-1;c=6*x*y;
»H1=a
H1 = -2
» H2=det([a b;b c])
H2 = -4
El punto crítico corresponde a un
Punto de Silla
» f=x^(2)*y+x*y^(3)-x*y
f = 0
(0,-1,0)= punto de silla
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