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SEGUNDO PASO: CONCEBIR UN PLAN
Punto A) Problema semejante :
Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido, con base de un radio de 2 m y altura de 4 m . S i se bombea agua a razón de 2 m 3 / min , encuentre la razón a la cual sube el nivel del agua cuando ésta tiene una profundidad de 3 m .
Punto B) Buscamos relaciones entre los datos y la incógnitas
TERCER PASO : EJECUTAR EL PLAN
- Si , en cierto tiempo t, la pila tiene 60 pies de alto ¿ cuánto tiempo tardarán en llegar a la parte superior del silo?
- 1)La gerencia quiere saber cuánto lugar quedara en el área del piso del silo cuando la pila tenga 60 pies de alto ¿ Con cuanta rapidez aumenta el área del piso de la pila cuando ésta tiene esa altura?
V = 3 / 4 πy 3 esta expresión es la delación entre V e y derivamos ambos miembros con respecto al tiempo :
dv/ dt = 9/4 π y 2 dy/dt despejamos la incógnita y reemplazamos los datos
dy/ dt = 7,4 pies/h en 1 hora la altura del cono aumenta 7,4 pies (razón de cambio)
Como nos faltan 40 pies para llegar a 100 pies que es la altura de la parte superior del silo por regla de tres simple tenemos
Respuesta: Tardará en llegar a la parte superior del silo cuando la pila tiene 60 pies , 5 hs 24 minutos.
Tenemos que calcular el área de la corona circular para y = 60 pies.
Si la altura del cono es de 60 pies , por la proporcionalidad de los triángulos semejantes teníamos que :
El área de la corona circular es : π ( a 2 – x 2 ) = π [(200 pies ) 2 – (90 pies )2]
= π (40.000 pies 2 – 8100 pies 2) = π 31.900 pies 2 = 100.166 pies 2
Respuesta : El área del piso sin cubrir cuando la pila tiene 60 pies es de aproximadamente 100.166 pies 2
2) Rapidez con la cual aumenta el área le piso cuando la pila tiene 60 pies.
Partimos de la relación entre el volumen ,el radio y la altura
V= 1/3 π x2 y como y = 2/3 x reemplazamos y tenemos :
dx/dt = 11, 1 pies / h este resultado indica que el radio aumenta por 11,1 pies por hora (razón de cambio)
Como queremos saber como aumenta el área del piso y dijimos que es una corona circular reemplazamos en la ecuación y tenemos :
Área de la corona circular = π a 2 – π (x + rc)2 reemplazamos la razón de cambio
Tenemos : π a 2 – π (x + 11, 1 pies/h) 2
Respuesta: La rapidez con la cual aumenta el área del piso cuando la pila tiene 60 pies esta dada por la función x(t)
c) Suponga que un cargador empieza a extraer el mineral a razón de
20.000 π pies 3 / h cuando la altura de la pila alcanza 90 pies . Suponga también que la pila conserva su forma. En estas condiciones ¿ Cuanto tardara la pila en alcanzar la parte superior del silo?
Relacionamos los datos con la incógnita que es dy/dt
si y= 90 pies entonces por la relación entre x e y tenemos : X = 3/2 y
reemplazando en la ecuación
V = 1/3 π x2 y entonces V = 1/3 π (3/2 .y) 2 y resolviendo :
V= 3 / 4 π y 3 derivamos ambos miembros con respecto del tiempo
dV/ dt = ¾ π 3 y 2 . dy/dt resolvemos
dV/dt = 9/4 π y 2 dy/dt despejamos la incógnita
4
dy/dt = ——— dV/dt reemplazamos los datos
9 π y 2
4
dy/dt = ————— 40.000 π pies3 / h resolviendo las operaciones
9 π (90 pies) 2
Y(t)= 2,195 pies / h este valor nos indica que la altura aumenta 2, 195 pies en una hora .
Pero como queremos saber la rapidez con que llegara a la parte superior del silo o sea alcanzar 10 pies ya que la pila tiene 90 pies ,se resuelve con una regla de tres simple:
2,195 pies
10 pies
Respuesta : Alcanzará la parte superior del silo o sea los 100 pies a las 4hs 33 min cuando la pila tiene 90 pies.
PUNTO 4: VISIÓN RETROSPECTIVA SOBRE LOS RESULTADOS OBTENIDOS
- Como se forman triángulos semejantes sabemos que sus lados son proporcionales donde su constante de proporcionalidad es de 1,5 o 3/2, verificamos si se cumple esta relación con los valores que hallamos de razon de cambio.
- Podemos verificar los resultados utilizando la delación con uno de los ángulos ya que sabemos que son triángulos semejantes sus ángulos son iguales :
- APLICACIÓN DEL MÉTODO A OTRO PROBLEMA :
1hora ----- 7,4 pies ------11,1 pies
Formamos proporciones tomando varios valores :
90 pies 3
Si utilizamos la tg α = ———= — por lo tanto podemos calcular el αngulo α
60 pies 2
α= tag -1 1,5 entonces α= 62 Ί 33’ 59,73’’
Como sabemos la tangente de un ángulo es la razón entre el lado opuesto del ángulo y el lado adyacente.
101,1 pies
Tg 62º 33’ 59,73’’ = —— des pejando y resolviendo tenemos que A = 67,4 pies
A
B
Tg 62º 33’ 59,73’’ = —— entonces B= tg 62º 33’ 59,73’’ . 67,4 pies B= 101,1pies
67,4
Se descarga grava desde un transportador de banda, a razón de 30 pies 3 / min y su grosor es tal que forma una pila a manera de un cono cuyo diámetro en la base y su altura siempre son iguales ¿ Con qué rapidez aumenta la altura de la pila cuando ésta tiene 10 pies de alto?
Por la relacion de proporcionalidad y/2 = x
reemplamos en la ecuación V = 1/3 π x2 y
tenemos : V = 1/3 π (y/2) 2 y resolvemos
π
V= 1/3 π ( y2/ 4) y realizando las operaciones V= —— y 3
12
Derivamos ambos miembros respecto del tiempo :
π
dV/ dt = —— y 2 dy/dt despejamos la incògnita , reemplazamos los datos y
4
Resolvemos: dy/dt = 0,38 pies/ min
Respuesta : Cuando la pila tiene 10 pies su altura aumenta 0,38 pies por minuto.
CONCLUSIONES
- Leí varias veces el problema
- Realice un esquema
- Lo relacione con un reloj de arena
- Busque un problema similar
- Identifique los datos y las incógnitas
- Busque otro problema similar
- Relacione los datos con las incógnitas
- Mire hacia atrás varias veces para establecer el plan a seguir
- Realice los cálculos
- Compare los resultados
- Verifique los resultados
- Comprobé que podía realizar algunos cálculos de otra manera
Sandra Coronel
PROFESORA DE MATEMÁTICA Y ESTUDIANTE DE LA LIC EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
SAN FERNANDO BUENOS AIRES ARGENTINA
SEPTIEMBRE 2007
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