Introducción
Es tradicional que los estudiantes de Cálculo
manifiesten dificultades en el aprendizaje de
las integrales
indefinidas.
La causa fundamental radica en que no existe procedimiento
algorítmico para solucionarlas todas sino que se requiere
de mucha práctica.
Objetivos:
- Reactivar algunos conceptos y teoremas relacionados
con los extremos de funciones de
varias variables. - Ilustrar mediante la resolución de
ejercicios una propuesta de cómo proceder para
descubrir el éxito en el cálculo de
integrales indefinidas.
Desarrollo
Estudiante, como verás a lo largo del primer
semestre de este curso te verás necesitado de aplicar
sistemáticamente en la asignatura M3 el cálculo de
integrales indefinidas, definidas e impropias. Por este motivo te
ofrecemos un resumen a modo de recordatorio en relación a
determinados aspectos relacionados con las integrales indefinidas
así como una colección de ejercicios de los
distintos tipos de integrales estudiados en M2.
Recordemos que cuando hallamos la integral indefinida
de una función
pues esa operación siempre hay que considerarla
realizada sobre cierto intervalo 
el cual rara vez se da en forma
explícita. Si esta función se designa por
entonces buscamos ciertas funciones 
las cuales son diferenciables en
tal intervalo y tales que 
para todos los puntos de dicho intervalo.
Cada una de tales funciones se denomina primitiva de la
función en el intervalo considerado y entre dos
primitivas de la función en dicho intervalo pues la
diferencia es a lo sumo una función constante y esto
último es lo que justifica una escritura
tal como 
.
A diferencia de la diferenciación (basta
conocer las derivadas de
las funciones elementales básicas y las reglas de
derivación para las funciones que resultan de realizar
operaciones
aritméticas y de composición sobre tales
funciones) pues en la integración indefinida no existen reglas
generales para el cálculo de integrales.
No obstante lo expresado anteriormente el integrando y
sobre todo la práctica sistemática sugiere
aplicar tal método
de integración según sea el
integrando.
De lo que se trata es de tener disponibles nuestros
recursos
aritméticos y heurísticos para descubrir
cuál debe ser la clave de éxito.
¿A cuáles recursos me
refiero?
- Reglas de integración.
- Métodos clásicos de
integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante
fracciones simples.
- Uso de tablas
¿Qué metodología te recomendamos
seguir?
- Analiza si la integral está incluida en la
lista de integrales declaradas como inmediatas. De ser
así pues halla el resultado en la tabla y si no pues
valora la posibilidad de transformarla en una o varias
inmediatas aplicando alguna transformación
algebraica o simplificación del integrando.Si es una fracción propia y es una
fracción simple pues procedes como corresponda
según el tipo de fracción simple.Si es una fracción racional propia no
simple pues (excepto en casos excepcionales) procede a
descomponer en fracciones simples y luego como en el inciso
anterior.Si la fracción es racional impropia
efectúa la división para transformarla en la
suma de un polinomio y una fracción racional
propia. - Clasifica el integrando en racional (a su vez en
propia o impropia) o no racional. - Si el integrando no es racional(es algebraico
irracional o en caso contrario, trascendente) valora la
posibilidad de aplicar alguna sustitución o el
método de integración por partes y así
obtener directamente el resultado o en su defecto por lo
menos reducir el integrando a uno que esté en alguna
tabla de integrales.
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