Sistemas dinámicos y no dinámicos, el caos y el fractal

1. Resumen
2. Conceptos y métodos
   generales
3. Ciclos
   límites
4. Caos y
   complejidad
5. La
   teoría del caos mediante mapas
   iterativos
6. El
   caos y los fractales
8. Bibliografía

Resumen

Se presenta el tratamiento fisico-matemático de
los sistemas
dinámicos y no dinámicos haciendo hincapié
en estos últimos lo cual permitirá acceder a la
Teoría
del Caos y del Fractal.

Conceptos y
métodos
generales

Se llama dinámicos a aquellos sistemas que
experimentan variaciones de sus valores,
cantidades o propiedades, con el tiempo. Dichos
sistemas pueden ser físicos, químicos,
biológicos, sociológicos, etc. Nos ocuparemos de
los que su variación con el tiempo puede expresarse por
sistemas de ecuaciones
diferenciales del tipo:

dx/dt = f(x,y,z…)

dy/dt = g(x,y,z…)

aunque en este trabajo al
principio sólo nos ocuparemos de sistemas de dos variables
solamente en aras de simplificar la
explicación.

La mayor parte de las veces. la resolución de las
ecuaciones
diferenciales correspondientes no será posible por los
métodos matemáticos exactos, por lo que se
procederá sólo a encontrar elementos que ayuden a
bocetar las trayectorias fásicas mediante las cuales
determinar puntos estacionarios. averiguar periodicidad de los
procesos
etc.

. Para ello necesitamos, no obstante recordar los
métodos de resolución de sistemas de ecuaciones
diferenciales por el momento lineales, aunque luego nos
ocuparemos detenidamente de los no lineales que serán los
que mas nos interesen.

Tomemos como ejemplo el sistema:

dx/dt = ax + by

dy/dt = cx + dy. que puede escribirse:

│ dx/dt │ │a b│
│x│

│dy/d t │ = │c d │
│y│

Como se conoce la solución tendrá la
forma:

x = A exp
λ1t+ B exp
λ2t

y = C exp
λ1t + D exp
λ2 t ( t tiempo
)

donde las λ se calculan por los valores
propios mediante:

│a – λ b │ = 0

│ │

│ c d –λ
│

que desarrollado da:

λ2 –(
a + d ) λ + ( ad – bc ) = 0

haciendo la traza a + d = t y el determinante ad –
bc = d, se tiene:

λ2 –
tλ + d = 0 con sus soluciones:

λ1 = ( t + (
t2 – 4d )1/2 ) / 2

λ2 = ( t
– ( t2 – 4d )1/2 ) /
2.

Los signos de
λ sustituνdas éstas en las
soluciones de x e y obtenidas anteriormente, determinarán
si las curvas exponeciales correspondientes lo son de crecimiento
( signo mas) o decrecimiento ( signo menos) de los valores de x e
y, Dichas ecuaciones de x e y con parámetro t,
servirán para trazar las trayectorias fásicas en un
sistema de coordenadas xy conformando el retrato fásico
del sistema dinámico ( dx/dt, dy/dt ).

Dada la muy frecuente dificultad de resolver las
ecuaciones diferenciales, se acude a métodos gráficos como el ir hallando los valores de
la pendiente dy/dx en varios puntos del espacio fásico y
en cada punto trazar una pequeña saeta en el sentido que
indique el valor de la
pendiente.y. de esa manera tener una idea del retrato
fásico.El conjunto de saetas constituyen el campo
vectorial del sistema. Se procede luego a situar los puntos
estacionarios o sea de los puntos donde dx/dt = 0 y dy/dt = 0. Si
las trayectorias fásicas tienden a converger en un punto
estacionario, éste será un punto estable o sea un
punto en el que pequeñas variaciones del estado del
sistema no impedirán que este vuelva a su estado inicial.
Los puntos estacionarios estables reciben también el
nombre de atractores, el cual resulta muy utilizado en dinámica. Todo lo contrario ocurrirá
cuando las trayectorias fásicas tiendan a alejarse de un
punto estacionario, éste será inestable,
pequeñas variaciones del estado del sistemas harán
que éste no vuelva a su estado inicial. Los acercamientos
y alejamientos de las trayectorias fásicas los
determinarán los signos de las λ por razones
similares a las antes explicadas para las soluciones de x e y. A
su vez, como es obvio, esos signos vendrán determinados
por los valores de la traza t y del determinante
d.