El administrador tendrá como opción el utilizar un modelo matemático que podría ser un medio más económico para evaluar diferentes alternativas.

Los modelos matemáticos son relativamente nuevos particularmente en el campo de la administración.

Ejemplo:

• Elaborar un modelo matemático para determinar cual es el pago que un vendedor recibe por una comisión de $20.00 por cada venta. Supóngase que se tienen los siguientes datos para describir la relación entre la comisión del vendedor y el número de ventas.

Si utilizamos x para representar el número de ventas, las que sean, y y para representar la cantidad de ingresos en dólares, entonces la función matemática entre las ventas los ingresos se expresaría:

y=20x

Puede pensarse que los valores de x (0, 1, 2,3,…) son entradas, y los correspondientes valores de y (0, 20, 40,60,…) salidas o resultados. A entradas y resultados se les denomina regularmente variables.

Una variable es solo una representación de algo que puede asumir diversos valores numéricos.

Utilizando terminología matemática, la variable de entrada se denomina variable independiente y la variable de salida es la variable dependiente.

Por esto en la ecuación

y=20x

x= variable independiente

y= variable independiente

El valor numérico 20 se denomina de diversas formas: constante, coeficiente y parámetro.

Si en la relación funcional se designara la cantidad que se paga por ventas como "a dólares por venta" en vez de "$20 por venta, la función se expresaría:

En donde a es el parámetro del modelo.

En el planteamiento de modelos matemáticos resulta útil expresar la relación funcional en términos generales.

Si en nuestro modelo comentado decimos que y es una función no especificada del número de ventas x, entonces la representación simbólica seria expresada:

Esta notación no significa que y sea igual a f multiplicada por x; mas bien indica que la variable y tiene un valor numérico determinado en función f y por el valor numérico de la variable x.

Con este ejemplo, observamos que la elaboración de modelos en la ciencia de la administración implica algo más que el desarrollo de relaciones abstractas o funcionales entre variables.

Dentro de los modelos matemáticos existen dos clases principales:

• Los modelos descriptivos; y
• Los modelos normativos.

Un modelo descriptivo es el que representa una relación pero que no indica ningún curso de acción.

Un modelo normativo, también llamado de optimización, es prescriptivo, lo que quiere decir que, señala el curso de acción que quien toma las decisiones debe seguir para alcanzar un objetivo definido.

Los modelos descriptivos son útiles para pronosticar la conducta de sistemas pero no pueden identificar el "mejor" curso de acción que debe tomarse.

El modelo que se desarrolló de comisión por ventas podría denominarse como modelo descriptivo, porque puede utilizarse para pronosticar, el beneficio por ventas, si se especifica el número de las mismas.

Un modelo normativo puede contener submodelos descriptivos, pero varía del modelo descriptivo porque es posible determinar un curso de acción óptimo o mejor.

La mayoría de los modelos normativos están constituidos por tres conjuntos básicos de elementos:

1.- variables de decisión y parámetros;

2.- restricciones; y

3.- una o mas funciones objetivo.

Son las cantidades desconocidas que deben determinarse en la solución del modelo.

Ejemplo:

• Determinar las horas de mano de obra que se requieren para fabricar una unidad de un producto determinado.

Generalmente las restricciones se expresan como funciones matemáticas (submodelos descriptivos).

Ejemplo:

Ejemplo:

En forma matemática, la función Z = 4x1 + 5x2 describe las utilidades en términos de las variables de decisión, suponiendo que se sabe que se obtiene una utilidad de $4.00 por cada x1 y $5.00 por cada x2. En general, se obtiene la solución óptima del modelo cuando los valores de las variables de decisión arrojan el mejor valor de la función objetivo, al mismo tiempo que se satisfacen todas las restricciones.

Pero ya sabemos que solo hay disponibles 400 horas- hombre de mano de obra; por tanto, la relación funcional en realidad es,

Supongamos que además de los datos iniciales que se proporcionan, se señala que el producto 1 contribuye con $12 por unidad a las utilidades, el producto 2 contribuye con $ 10 por unidad y el producto 3 contribuye con $8 por unidad. A partir de estos datos, puede desarrollarse un modelo descriptivo para las utilidades totales, Z; esto se expresa de la siguiente manera:

Combinando los modelos y con el antecedente de buscar maximizar las utilidades, entonces se tiene un modelo normativo, el cual sería el siguiente:

MAXIMIZAR: Z = 12x1 + 10x2 + 8x3

SUJETO A: 8x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 400

Con frecuencia se mencionan otras clasificaciones de los modelos en el lenguaje referente a la ciencia de la administración. Estos son:

• Modelo determinístico.- En un modelo determinístico, las relaciones funcionales, es decir, los parámetros del modelo, se conocen con certeza.

Ejemplo:

Este modelo podría denominarse determinístico porque los parámetros (coeficientes $12, $10 y $8) se conocen con certidumbre.

• Modelo estocástico.- Modelo en el que no se conocen los parámetros con certidumbre:

Por ejemplo, en el modelo 8x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 400 sabemos el dato de que se ocupan 8 horas de mano de obra para fabricar una unidad del producto 1; sin embargo supongamos que existe una probabilidad de 0.60 de que se requieran 10 horas de mano de obra, en este momento se elaboraría un modelo estocástico para incorporar la incertidumbre.

Los modelos estocásticos suelen tener algunas relaciones del modelo determinístico y otras tantas del estocástico, o ser todo estocástico. Las soluciones para estos modelos se pueden obtener si se estructuran en forma de un modelo normativo que proporcionen los mejores resultados esperados.

• Modelo lineal.- Un modelo lineal es en el que todas las relaciones funcionales implican que la variable dependiente es proporcional a las variables independientes.
• Modelo No lineal.- Los modelos no lineales utilizan ecuaciones curvilíneas o no proporcionales. Estos modelos tienen variables elevadas a una potencia diferente de uno y/o tienen productos de dos o mas variables.
• Modelo estático.- Los modelos estáticos se definen en un punto fijo del tiempo y se supone que las condiciones del modelo no cambian para ese periodo especifico en el proceso de solución del modelo.
• Modelo dinámico.- El modelo dinámico se integra por características que varían de un periodo a otro. Determinar el curso óptimo de acción requiere el examen de periodos múltiples.
• Simulación.-La simulación es un proceso de planteamiento de modelos y experimentación que se utiliza para describir y/o analizar un problema o un área de problemas específicos.

• Método heurístico.- el método heurístico de solución se basa en reglas empíricas o intuitivas que, cuando se aplican al modelo, proporcionan una o mas soluciones.

• Algoritmo.- Un algoritmo es un conjunto de procedimientos o reglas que cuando se siguen en forma ordenada, proporcionan la mejor solución para un modelo determinado.

• Simulación.- En algunos problemas tal vez sea imposible resolver en forma analítica el modelo; es decir, en forma matemática. En esos casos puede utilizarse la simulación para analizar el problema, pero la solución que se tiene a partir de un proceso de simulación no es necesariamente la óptima.

Existen ciertas etapas que deben seguirse en cualquier estudio de CA/IO; estas etapas deben seguirse para que sea posible esperar cierto grado de éxito en el proceso de planteamiento de modelos. Estas etapas se denominan proceso de solución de problemas.

El proceso de solución de problemas de CA/IO puede describirse en una estructura de seis etapas como sigue:

1. Identificación, observación y planteamiento del problema, en esta etapa se reconoce que existe un problema, se explica verbalmente en que consiste el problema para mediante pruebas y aplicación de métodos se obtenga el resultado querido;
2. Construcción del modelo, una vez identificado el problema y antes de pasar al modelo matemático a aplicar, es necesario conocer las variables controlables y las no controlables para que el constructor del modelo estructure de forma matemática el problema;
3. Generación de una solución, que significa el desarrollo de un algoritmo o proceso de selección;
4. Prueba y evaluación de la solución para determinar si produce resultados útiles para el problema original.
5. Implante, es importante reconocer que el implante del modelo inicia el primer día del proyecto y no cuando el modelo ya esta operando, esto debido a que en el desarrollo del modelo es necesario hacer pruebas para determinar errores y corregirlos hasta alcanzar la optimización requerida;
6. Evaluación, en esta etapa final se deberá hacer constantes revisiones al modelo con el fin de que no hayan cambiado las variables y se siga obteniendo el mejor beneficio.

• El origen del término ciencia administrativa se suscitó en la etapa de pre-inicio de la segunda guerra mundial, siendo Gran Bretaña quien impulsó el desarrollo de esta ciencia con el objetivo de maximizar sus fuerzas militares;
• Derivado de los conocimientos adquiridos por el personal que laboró creando modelos de optimización de recursos, surgió el termino de investigación de operaciones, el cual es usado en conjunto con el de ciencia administrativa;
• La construcción de modelos administrativos le permite al administrador resolver problemas en base al análisis y estudio del problema y sus posibles soluciones;
• Los modelos matemáticos son una opción para el administrador de evaluar alternativas de solución;
• Un modelo matemático esta conformado por variables independientes, variables dependientes y constantes;
• Los modelos matemáticos se clasifican en descriptivos y normativos;
• La diferencia entre los modelos descriptivos y los normativos es la señalización del curso de acción a seguir;
• Los modelos normativos están constituidos por tres elementos básicos: variables de decisión y parámetros, restricciones y una o más funciones objetivo;
• Existe otra clasificación de los modelos en el lenguaje referente a la ciencia de la administración;
• Detallamos los procesos de solución para optimizar resultados; y
• Conocimos el proceso de solución de problemas en la ciencia de la administración.

"Modelos Cuantitativos para administración" Davis McKeown
Biografía: C.P. Carmen Haydee López Medina, C.N. Mexicali B.C. Nte. C.R.

Morelia Michoacán México
Morelia, Michoacán Noviembre 2007