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Estructuras de objetos discretos para la computación

Enviado por LEONEL PERALTA



Partes: 1, 2, 3

1.       Teoría de conjuntos y subconjuntos

2.       Métodos para la representación de objetos

3.       Funciones empleadas en la aplicación de las ciencias de la computación

4.       Teoría básica de los semigrupos y grupos 

5.       Razonamiento lógico en las ciencias de la computación

6.       Introducción a los autómatas finitos Teoría de la codificación

 

Teoría de conjuntos y subconjuntos

            Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.

El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo simplemente como una colección de objetos, así podemos hablar de un conjunto de personas, ciudades, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.      

Se le llama subconjuntos al conjunto aquel que pertenece a otro, o sus elementos son tomados de un conjunto superior o de mayor tamaño.

Es decir, conjunto ~A se dice que es subconjunto de otro ~B, si cada elemento de ~A es también elemento de ~B, es decir, cuando se verifique:

x\in A\Rightarrow x\in B ,

Sea cual sea el elemento ~x. En tal caso, se escribe A\subseteq B.

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si A\subseteq B , se cumpla A = B\,. Si ~Btiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto ~A, pero si todo elemento de ~Aes elemento de ~B, entonces decimos que ~Aes un subconjunto propio de ~B, lo que se representa por A\subset B. Llamamos subconjuntos impropios de ~Ba los conjuntos \emptysety ~B

Si ~Aes un subconjunto de ~B, decimos también que ~Bes un superconjunto de ~A, lo que se escribe B\supseteq A. Así pues

B\supseteq A\iff A\subseteq B.

 

   1.2 Operaciones con conjuntos

Unión

Diagrama de Venn que ilustra

 

Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como A\cup Bel cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como \bigcup Sde manera que sus elementos son todos los x\in X tales que X\in S. De esta manera A\cup Bes el caso especial donde S=\{A,B~\}.

Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a A\cup Bes condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir

x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)

 

Intersección

Diagrama de Venn que ilustra

 

Diagrama de Venn que ilustra A\cap B

Los elementos comunes a ~Ay ~Bforman un conjunto denominado intersección de ~Ay ~B, representado por A\cap B . Es decir, A\cap Bes el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:

A\cap B = \{x\in A:x\in B\}.

Si dos conjuntos ~Ay ~Bson tales que A\cap B =\emptyset, entonces ~Ay ~Bse dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que x\in A\cap Bes condición necesaria y suficiente para afirmar que x\in Ay x\in B. Es decir

x\in(A\cap B)\iff (x\in A)\wedge(x\in B)

 

Diferencia

Diagrama de Venn que muestra  y

 


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