Partes: 1, 2, 3

Diagrama de Venn que muestra A - B~~~y B - A~

Los elementos de un conjunto ~Aque no se encuentran en otro conjunto ~B, forman otro conjunto llamado diferencia de ~Ay ~B, representado por ~A\setminus B. Es decir:

A\setminus B= \{x\in A:x\notin B\}.

O dicho de otra manera:

x\in(A\setminus B)\iff (x\in A) \wedge (x\notin B)

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de A~y B~como A-B~.

Una propiedad interesante de la diferencia es que

A\cap B=A\setminus(A\setminus B)

Eso es porque

\begin{array}{rcl} x\in A\cap B & \iff & (x\in A) \wedge (x\in B)\\ &\iff& (x\in A) \wedge (x\notin A\setminus B)\\ &\iff& x\in A\setminus (A\setminus B) \end{array}

Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple

A\setminus\emptyset = A

\emptyset\setminus A = \emptyset

\{0,1,2,3\}\setminus\{3,2\}=\{0,1\}

 

Complemento

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por A^\complement . Es decir

A^\complement=U\setminus A

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que A\subseteq Uy B\subseteq U, entonces

x\in \left (A\setminus B\right) \iff x\in \left(A\cap B^\complement\right),

A\setminus B=A\cap B^\complementDe manera que

 

 

 

Pero también

\begin{array}{rcl} x\in \left (A\cap B^\complement\right ) & \iff & x\in A \wedge x\in B^\complement )\\ &\iff& x\in B^\complement \wedge \ x\in A\\ &\iff& x\in B^\complement \wedge x\notin A^\complement\\ &\iff& x \in\left (B^\complement\setminus A^\complement\right) \end{array}

De modo que

~A\setminus B = \left (B^\complement\setminus A^\complement\right)

 

 

II. Métodos para la representación de objetos.

    2.1 Conjunto de pares ordenados y particiones de objetos

            En la teoría de conjuntos pura, donde solamente existen conjuntos, pares ordenados (a, b) se pueden definir como el conjunto:

~(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}

Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski, y es bien básica, porque requiere de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma de separación y el axioma del par).

La afirmación de que x sea el primer elemento de un par ordenado p puede ser entonces formulada como

\forall_{y\in p}\qquad x\in y

Y que x sea el segundo elemento de p como

(\exist_{y\in p}\quad x\in y)\wedge(\forall_{y_1\in p}\forall_{y_2\in p}\quad (x \in y_1 \wedge x\in y_2) \Rightarrow y_1=y_2)

Nótese que esta definición también es válida para el par ordenado p = (x, x) = {{x}, {x, x}} = {{x}, {x}} = {{x}}.

En la formulación usual ZF de la teoría de conjuntos incluyendo el axioma de regularidad, un par ordenado (a,b) puede también ser definido como el conjunto {a,{a,b}}. De todas formas, el axioma de regularidad es necesario, dado que sin él, sería posible considerar conjuntos x y z tales que x = {z},z = {x}, y x\neq z. Entonces se tendría que mientras que se quiere que(x,x)\neq(z,z)

(x,x)=\{x,\{x,x\}\}=\{x,\{x\}\}=\{x,z\}=\{z,x\}=\{z,\{z\}\}=\{z,\{z,z\}\}=(z,z)\,

 

 

2.2 Trayectoria en las relaciones y en los dígrafos

          2.2.1 Relaciones y dígrafos

Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.

Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras.

          2.2.2 Propiedades de las relaciones y dígrafos

·         Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une.

·         Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro.

·         Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto.

·         Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.

          2.2.3 Relaciones de equivalencia

      2.2.4 Manipulación de relaciones

*****************************************

    2.3 Representación en las computadoras de las relaciones y los dígrafos

Una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).

Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias duras y las ciencias sociales.

 

III. Funciones empleadas en la aplicación de las ciencias de la computación.

    3.1 Definición de función

Una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada

f \colon X \to Y \, Que cumple con las siguientes dos condiciones:

 

1.       Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir, \forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.

2.       Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si (x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.

Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento x\in Xcon un (y sólo un) y\in Yse denota f(x)=y\,, en lugar de (x,y)\in f.

 

 3.2 Tipos de funciones especiales

          3.2.1 Función inyectiva

Aquellas en que a cada imagen le corresponde un único origen.

 Formalmente,

\forall x_1,x_2 \in X : f(x_1) = f(x_2) \rarr x_1 = x_2, O lo que es lo mismo,

\forall x_1,x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \rarr f(x_1)\neq f(x_2)

 

          3.2.2 Función supreyectiva

Aquellas en que la aplicación es sobre todo el codominio, es decir, cuando el conjunto imagen Im_f=Y\,. Formalmente,

\forall y\in Y : \exists x\in X,\ f(x) = y

 

          3.2.3 Función invertida

Dada una función f \colon A \to B \,\;, se denomina función inversa de f \;, f^{-1} \colon B \to A \, a la función que cumple la siguiente condición:

\; f^{-1} \circ f = e_A \;

\; f \circ f^{-1} = e_B \;

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación f^{-1} \;, que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de f^{-1} \;es que f \;sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

·         Existe función inversa de f \;y

·         f \;es biyectiva

Son lógicamente equivalentes.

 

    3.3 Funciones idénticas

Dado un conjunto \, A \,, la función \; e_A \colon A \to A \,que asigna a cada x \,de A \,el mismo x \,de A \,se denomina función identidad o función unitaria.

e_A = \left\{(x, x)\mid x \in A \right\}

Dada cualquier función g \colon A \to B \,, es claro que e_B\circ f \colon A \to B \,es igual a f\,y que f\circ e_A \colon A \to B \,es también igual a f\,, puesto que para todo x \;\; f(e_A(x))=f(x) y también \;\; e_B(f(x))=f(x)

\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;

 

    3.4 Composición de funciones

Dadas dos funciones f \colon A \to B \,\;y g \colon B \to C \,\;tales que la imagen de f \,está contenida en el dominio de g\,, se define la función composición \;\;g\circ f \colon A \to C \,como el conjunto de pares (\,x, g(f(x)\,)), para todos los elementos x \,de A \,.

A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C

x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))

Dado x\,conocemos (\, x, f(x) \,), puesto que conocemos la función f\,, y dado cualquier elemento y \,de B \,conocemos también (\,y, g(y)\, ), puesto que conocemos la función g \,. Por tanto, (\, x, g(f(x)) \,)está definido para todo x. Luego \;\;g\circ f \;cumple la condición de existencia que se exige a las funciones. También cumple la condición de unicidad, dado que para cada x \,el valor de f(x) \,es único, y para cada f(x) \,también lo es el de g(f(x)) \,, por ser f \;y g \;funciones. La composición de funciones es asociativa:

h\circ (g \circ f) = (h\circ g) \circ f

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas f \colon A \to B \,y g \colon B \to C \,, f\circ g\,puede no tener ni siquiera sentido, porque g \,“devuelve” elementos de C \,, en tanto que f \,está definida en el dominio A \,. Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas f(x)=x+1 \,\;y \,g(x)=x^2 \,\;, \,f(g(x))=x^2+1 \,\;, en tanto que \;g(f(x))=(x+1)^2 \,

 

    3.5 Función de permutación y análisis combinatorio

 

Partes: 1, 2, 3


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