Leyes y principios de la física (página 2)

Enviado por Juan Andrés Pedroza Martinez

Partes: 1, 2

Usamos F = m.a primero debemos calcular la
aceleración a. Suponemos que el movimiento es
a lo largo del eje +x. La velocidad
inicial es v0 = 100 Km. /h = 28m/s, la velocidad final
v0 = 0, y la distancia recorrida x = 55 m.

De la ecuación cinemática v2 =
v02 + 2ax, despejamos a:

a = (v2 – v02)/2x = [0
– (28m/s)2]/ (2x55m) = – 7.1
m/s2.

Luego, la fuerza neta
necesaria es entonces

F = ma = (1500 Kg.) (-7.1m/s2) – 1.1×104 N, que
obra en sentido -x

3. Tercera ley de Newton o
principio de acción-reacción

La tercera ley, también conocida como
Principio de acción y reacción nos dice que
si un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B,
éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido
contrario.

Esto es algo que podemos comprobar a diario en numerosas
ocasiones. Por ejemplo, cuando queremos dar un salto hacia
arriba, empujamos el suelo para
impulsarnos. La reacción del suelo es la que nos hace
saltar hacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien,
nosotros también nos movemos en sentido contrario. Esto se
debe a la reacción que la otra persona hace
sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos a
nosotros.

Hay que destacar que, aunque los pares de acción
y reacción tenga el mismo valor y
sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que
actúan sobre cuerpos distintos.

Ejemplos:

Cuando se dispara un arma de fuego, la fuerza del
gas
producido debido a la quema de la pólvora, hace que la
bala salga. De acuerdo a la ley de Newton, el arma en sí
retrocede.
La punta de una gran manguera contra incendios
tiene asa, la cual los bomberos deben sostener con firmeza,
debido a que al salir el chorro de agua, la
manguera es enviada en sentido contrario de manera
visiblemente.
Los rociadores rotativos de un jardín trabajan
con el mismo principio. De manera similar, el movimiento hacia
adelante de un cohete viene de la reacción del
rápido chorro de gases
calientes que salen de su parte trasera.

4. Ley del trabajo:

En mecánica, el trabajo efectuado por
una fuerza aplicada sobre una partícula durante un cierto
desplazamiento se define como la integral del producto
escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento. El trabajo es
una magnitud física escalar, y se
representa con la letra (del inglés
Work) para distinguirlo de la magnitud temperatura,
normalmente representada con la letra .

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar
del vector fuerza por el vector desplazamiento.

Ejemplos:

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N,
cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el
ángulo entre las direcciones de la fuerza y del
desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º,
180º.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo
sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos
contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el
trabajo es nulo

5. Ley cero de la
termodinámica

El equilibrio
termodinámico de un sistema se define
como la condición del mismo en el cual las variables
empíricas usadas para definir un estado del
sistema (presión,
volumen,
campo
eléctrico, polarización, magnetización,
tensión lineal, tensión superficial, entre otras)
no son dependientes del tiempo. A
dichas variables empíricas (experimentales) de un sistema
se les conoce como coordenadas termodinámicas del
sistema.

A este principio se le llama del equilibrio
termodinámico.

Ejemplo:

Si dos sistemas A y B
están en equilibrio termodinámico, y B está
en equilibrio termodinámico con un tercer sistema C,
entonces A y C están a su vez en equilibrio
termodinámico. Este principio es fundamental, aun siendo
ampliamente aceptado, no fue formulado formalmente hasta
después de haberse enunciado las otras tres leyes. De
ahí que recibe la posición 0.

También conocido como principio de la
conservación de la energía, establece que si se
realiza trabajo sobre un sistema, la energía interna
del sistema variará. La diferencia entre la
energía interna del sistema y la cantidad de
energía es denominada calor. Fue
propuesto por Antoine Lavoisier.
La ecuación general de la conservación
de la energía es la siguiente:
Eentra −
Esale =
ΔEsistema
En otras palabras: La energía no se crea ni
se destruye sólo se transforma. (Conservación
de la energía). Asimismo, cabe destacar que el primer
principio, el de conservación de la energía, es
la más sólida y universal de las leyes de la
naturaleza
descubiertas hasta ahora por la
ciencia.
Ejemplo:
Un ejemplo conceptual que ayuda ala entendimiento de
esta ley es un gas encerrado en un cilindro, una de cuyas
tapas es un émbolo móvil y que mediante un
mechero podemos agregarle calor. El cambio en
la energía interna del gas estará dado por la
diferencia entre el calor agregado y el trabajo que el gas
hace al levantar el émbolo contra la presión
atmosférica.
6. Primera ley de la
termodinámica
Esta ley indica la dirección en que se llevan a cabo las
transformaciones energéticas. En un sistema aislado,
es decir, que no intercambia materia ni
energía con su entorno, la entropía (fracción de
energía de un sistema que no es posible convertir en
trabajo) siempre aumenta con el tiempo.
En otras palabras: El flujo espontáneo de
calor siempre es unidireccional, desde los cuerpos a
temperatura más alta a aquellos de temperatura
más baja.
Ejemplo:
Gráficamente se puede expresar imaginando una
caldera de un barco de vapor. Ésta no podría
producir trabajo si no fuese porque el vapor se encuentra a
temperaturas y presión elevadas comparadas con el
medio que la rodea.
Matemáticamente, se expresa
así:
Donde S es la entropía y el
símbolo de igualdad
sólo existe cuando la entropía se encuentra en
su valor máximo (en equilibrio).
Una malinterpretación común es que la
segunda ley indica que la entropía de un sistema
jamás decrementa. Realmente, indica sólo una
tendencia, esto es, sólo indica que es extremadamente
improbable que la entropía de un sistema cerrado
decrezca en un instante dado.
7. Segunda ley de la
termodinámica
8. Tercera ley de la
termodinámica

La Tercera de las leyes de la termodinámica, propuesto por Walther
Nernst, afirma que es imposible alcanzar una temperatura igual al
cero absoluto mediante un número finito de procesos
físicos. Puede formularse también como que a medida
que un sistema dado se aproxima al cero absoluto, su
entropía tiende a un valor constante específico. La
entropía de los sólidos cristalinos puros puede
considerarse cero bajo temperaturas iguales al cero absoluto. No
es una noción exigida por la Termodinámica
clásica, así que es probablemente inapropiado
tratarlo de "ley".

Ejemplo:

La entropía de los sólidos cristalinos
puros puede considerarse cero bajo temperaturas iguales al cero
absoluto. No es una noción exigida por la
Termodinámica clásica, así que es
probablemente inapropiado tratarlo de "ley".

9. Ley de Coulomb

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas
con que interactúan dos cargas puntuales es directamente
proporcional al producto de las cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa.

Esta ley es válida sólo en condiciones
estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas
o, como aproximación, el movimiento se realiza a
velocidades bajas y trayectorias rectilíneas uniformes. Se
le llama a esta Fuerza Electrostática. La parte Electro
proviene de qué se trata de fuerzas eléctricas y
estática debido a la ausencia de movimiento de las
cargas.

En términos matemáticos, la magnitud
de la fuerza que
cada una de las dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas por una distancia
se expresa
como:

(Ley de Coulomb)

Ejemplo:

Ley de Coulomb, Ejemplo de su
Aplicación

Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas
en los vértices de un triángulo recto, como se
muestra en la
figura, donde q1 = -80 C, q2 = 50 C y q3 = 70 C, distancia AC = 30 cm,
distancia AB = 40 cm. Calcular la fuerza sobre la carga
q3 debida a las cargas q1 y
q2.

Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las
líneas que unen a cada par de cargas puntuales. La fuerza
que q1 ejerce sobre q3, F31, es
de atracción. La fuerza que q2 ejerce sobre
q3, F32, es de repulsión.
Así, las fuerzas F31 y F32 tienen
las direcciones que se indican. La separación entre
q3 y q1 se obtiene de (CB)2 =
(AC)2 + (AB)2 = (0.3 m)2 + (0.4
m)2, de donde CB = 0.5 m.

Las magnitudes de tales fuerzas son:

F31 = [(9×109 Nm2 /C2)
(80×10-6 C) (70×10-6 C)]/ (0.5
m)2 = 201.6 N

F32 = [(9×109 Nm2 /C2)
(5 0x10-6 C) (70×10-6 C)]/ (0.3
m)2 = 350 N

Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica
en la figura, con el origen en la carga donde deseamos calcular
la fuerza resultante, en este caso en q3.

Llamando F3 a la fuerza resultante sobre
q3, entonces F3= F31 +
F32. Luego, en términos de componentes x e y
:

F3x = F31x + F32x
F3y = F31y + F32y
F31x = F31cos = (201.6 N)x(40/50) = 161.3 N ;
F31y
= – F31sen = -201.6×30/50 = -121 N
F32x = 0 ; F32y = F32 = 350
N
F3x = 161.3 N + 0 = 161.3 N ; F3y = -121 N
+ 350 N = 229 N

La magnitud de la fuerza neta F3 se obtiene
de (F3)2= (F3x)2 +
(F3y>)2, resultando F3 = 280
N. El ángulo de esta fuerza se obtiene de tg = F3y/
F3x= 229/161.3= 1.42 ==> = 54.8º.

10. Ley de Gauss

La ley de Gauss afirma que el flujo del campo
eléctrico a través de una superficie cerrada es
igual al cociente entre la carga que hay en el interior de dicha
superficie dividido entre 0.

Ejemplo:

Por ejemplo, si queremos encontrar el campo
eléctrico de una esfera cargada, de carga Q, tendremos que
considerar una cuerpo imaginario que tenga la misma superficie
que el cuerpo original, en este caso de una esfera de radio r,
arbitrario.

Vemos que:
Donde QT es la carga total
contenida dentro de la superficie Gaussiana, es decir, la de
la esfera cargada. Por lo que tenemos la
expresión:
Vemos que es conveniente manejar el elemento
diferencial de superficie en coordenadas esféricas.
Tomemos el elemento de superficie:
Con lo que:
Como el campo es radial, por lo que E puede
salir de la integral:
Recordemos que:
Entonces tendremos:
Finalmente despejando el campo tendremos:
1. La fuerza total ejercida sobre una carga
  eléctrica q por un conjunto de cargas será igual
  a la suma vectorial de cada una de las fuerzas ejercidas
  por cada carga sobre la carga ."
  Ejemplo:
  (Grafica del principio de
  superposición)
  12. Cantidad de
  movimiento
  La cantidad de movimiento, momento lineal o
  ímpetu o momentum es una magnitud vectorial,
  unidad SI: (kg m/s) que, en mecánica clásica, se define
  como el producto de la masa del cuerpo multiplicada por
  su velocidad en un instante determinado. En cuanto al
  nombre Galileo Galilei en su Discursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano
  impeto, mientras que Isaac
  Newton usa en Principia Mathematica el
  término latino motus y
  vis.
  (Cantidad de
  movimiento)
  Ejemplo:
  1.- Una bala de 8 gr se dispara horizontalmente
  sobre un bloque de madera
  de 9 kg. Sabiendo que la velocidad del bloque y de la
  bala después del choque es de 0,4 m/sg, calcular
  la velocidad inicial de la bala. (450,4 m/s)
  13. Principio de inducción electromagnética
  de Faraday (o simplemente Ley de
  Faraday)
  Se basa en los experimentos que Michael Faraday
  realizó en 1831 y establece que el voltaje
  inducido en un circuito cerrado es directamente
  proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el
  flujo magnético que atraviesa una superficie
  cualquiera con el circuito como borde:
  donde es el campo eléctrico, es el elemento
  infinitesimal del contorno C, es la densidad de campo
  magnético y S es una superficie
  arbitraria, cuyo borde es C. Las direcciones del
  contorno C y de están dadas por la regla de la
  mano derecha.
  La permutación de la integral de
  superficie y la derivada temporal se puede hacer siempre
  y cuando la superficie de integración no cambie con el
  tiempo.
  Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse
  una forma diferencial de esta ley:
  Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales
  conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday,
  junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue
  incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando
  así al electromagnetismo.
  En el caso de un inductor con N vueltas
  de alambre, la fórmula anterior se transforma
  en:
  Donde e es la fuerza electromotriz
  inducida y dΦ/dt es
  la tasa de variación temporal del flujo
  magnético Φ.
  La dirección de la fuerza electromotriz (el signo
  negativo en la fórmula) se debe a la ley de
  Lenz.
  Ejemplo:
  Con una bobina, un amperímetro y un
  imán tenemos:
  Un imán podemos considerarlo como un
  sistema de dos cargas magnéticas iguales y
  opuestas separadas una distancia L.
  El campo magnético en las proximidades de
  un polo magnético tiene una expresión
  similar a la del campo eléctrico de una carga
  puntual.
  Donde K=m 0q/4p. m
  0 es la permitividad magnética en
  el vacío, y q es la carga
  magnética de un polo del imán. El campo es
  radial y su módulo disminuye con la inversa del
  cuadrado de la distancia a la carga
  magnética
  El flujo del campo magnético de dicho
  campo a través de una espira situada a una
  distancia x del polo magnético q
  es
  El flujo total es la suma de los flujos debidos
  a los campos creados por las dos polos
  magnéticos
  Ahora calculamos el flujo total a través
  de todas las espiras del solenoide. Se supone que el
  solenoide tiene muchas espiras apretadas de modo que el
  número de espiras entre las posiciones x y
  x+dx vale
  
  Donde N es el número total de espiras,
  y H es la longitud del solenoide
  Para calcular la fem derivamos el flujo respecto
  del tiempo y lo cambiamos de signo
  Donde la derivada de la posición z
  del imán respecto del tiempo t es la
  velocidad v del
  imán.
  14. Principio de la Fuerza
  Lorentz
  Para una partícula sometida a un campo
  eléctrico combinado con un campo magnético,
  la fuerza electromagnética total o fuerza de
  Lorentz sobre esa partícula viene dada
  por:
  Donde es
  la velocidad de la carga, es la intensidad del campo
  eléctrico y la intensidad del campo magnético. La
  expresión anterior está relacionada con la
  fuerza de Laplace o fuerza sobre un hilo conductor
  por el que circula corriente:
  Donde es
  la longitud del conductor, es la intensidad de corriente y
  la
  intensidad de campo magnético. Curiosamente esta
  última expresión históricamente se
  encontró antes que la anterior, a pesar de ser una
  consecuencia directa de la anterior.
  Trayectoria bajo la fuerza de Lorentz de una
  partícula cargada en un campo magnético
  constante según el signo de la carga
  eléctrica
  Ejemplo:
2. 11. Principio de
  superposición
3. Fuerza sobre un conductor
  rectilíneo.
Analizando la expresión:

En la figura, se muestra la dirección y
sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético
B sobre un portador de carga positivo q,
que se mueve hacia la izquierda con velocidad
v.

En un elemento de longitud dl la fuerza
será:

Si el conductor es rectilíneo F = i
ut x B L

15. Principio de
Arquímedes

Principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido
en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual
al peso de fluido desalojado.

La explicación del principio de Arquímedes
consta de dos partes como se indica en la figura:

El estudio de las fuerzas sobre una porción
de fluido en equilibrio con el resto del
fluido.
La sustitución de dicha porción de
fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y
dimensiones.

Empuje=peso=ρf·gV

Ejemplo:

Supongamos un cuerpo sumergido de densidad
ρ rodeado por un fluido de
densidad
ρf. El
área de la base del cuerpo es A y su altura
h.

La presión debida al fluido sobre la base
superior es p1=
ρfgx,
y la presión debida al fluido en la base inferior es
p2=
ρfg(x+h).
La presión sobre la superficie lateral es variable y
depende de la altura, está comprendida entre
p1 y p2.

Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre
la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el
cuerpo son las siguientes:

Peso del cuerpo, mg
Fuerza debida a la presión sobre la base
superior, p1·A
Fuerza debida a la presión sobre la base
inferior, p2·A

En el equilibrio tendremos que

mg+p1·A=
p2·A
mg+ρfgx·A=
ρfg(x+h)·A

O bien,

mg=ρfh·Ag

16. Principio de Bernoulli o
ley de la hidrodinámica

También denominado ecuación de
Bernoulli, describe el comportamiento
de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de
corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un
fluido perfecto (sin viscosidad ni
rozamiento) en régimen de circulación por un
conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece
constante a lo largo de su recorrido. La energía de un
fluido en cualquier momento consta de tres
componentes:

Retama: Es la energía debida a la velocidad
que posea el fluido.
Potencial gravitacional: Es la energía
debido a la altitud que un fluido posea.
Potencial Presión: Es la energía que
un fluido contiene debido a la presión que
posee.

Esquema del principio de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli describe el
comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la
forma siguiente:

Ejemplo:

Consideremos un depósito ancho con un tubo de
desagote angosto como el de la figura. Si destapamos el
caño, el agua
circula. ¿Con qué velocidad? ¿Cuál
será el caudal? En A y en B la presión es la
atmosférica PA=PB=Patm. Como el diámetro
del depósito es muy grande respecto del diámetro
del caño, la velocidad con que desciende la superficie
libre del agua del depósito es muy lenta comparada con la
velocidad de salida, por lo tanto podemos considerarla igual a
cero, VA = 0

La ecuación de Bernoulli queda
entonces:

D. g. hA + pA= 1/2. D.
hB + pB

Entonces es:

g . hA = 1/2. vB² + g.
hB de donde VB²= 2. .g.
(hA-hB)

De donde se deduce que:

VB² = 2. g(hA –
hB)

17. La ley de Graham (ley de la
difusión)

La difusión es el proceso por el
cual una substancia se distribuye uniformemente en el espacio que
la encierra o en el medio en que se encuentra. Por ejemplo: si se
conectan dos tanques conteniendo el mismo gas a diferentes
presiones, en corto tiempo la presión es igual en ambos
tanques. También si se introduce una pequeña
cantidad de gas A en un extremo de un tanque cerrado que contiene
otro gas B, rápidamente el gas A se distribuirá
uniformemente por todo el tanque. La difusión es una
consecuencia del movimiento continuo y elástico de las
moléculas gaseosas. Gases diferentes tienen distintas
velocidades de difusión. Para obtener información cuantitativa sobre las
velocidades de difusión se han hecho muchas
determinaciones. En una técnica el gas se deja pasar por
orificios pequeños a un espacio totalmente vacío;
la distribución en estas condiciones se llama
efusión y la velocidad de las moléculas es igual
que en la difusión. Los resultados son expresados por la
ley de Graham. "La velocidad de
difusión de un gas es
inversamente proporcional a la
raíz cuadrada de su
densidad."

En donde v1 y v2 son las velocidades de difusión
de los gases que se comparan y d1 y d2 son las densidades. Las
densidades se pueden relacionar con la masa y el volumen porque d
= m/v; cuando M sea igual a la masa (peso) molecular y V al
volumen molecular, podemos establecer la siguiente
relación entre las velocidades de difusión de dos
gases y su peso molecular:

Y como los volúmenes moleculares de los gases en
condiciones iguales de temperatura y presión son
idénticos, es decir V1 = V2, en la ecuación
anterior sus raíces cuadradas se cancelan,
quedando:

Es decir: la velocidad de
difusión de un gas es
inversamente proporcional a la
raíz cuadrada de su
peso molecular.

Ejemplo:

¿Qué gas tiene mayor velocidad de
difusión, el neón o el nitrógeno?

Primero se necesita conocer las densidades de los gases
que intervienen. Como una mol de gas ocupa 22.4 litros a T.P.E.,
sus densidades serán (peso molecular/volumen).

Neón = 20/22.4 = 0.88 g/lt

Nitrógeno = 28/22.4 = 1.25 g/lt

Sea v1 = velocidad de difusión del
nitrógeno y v2 = velocidad de difusión del
neón.

Es decir, el nitrógeno tiene una velocidad de
difusión 0.84 veces menor que la del
neón.

18. Ley de nodos de Kirchoff

"La suma de las corrientes que llegan a un nodo (o
unión) es igual a la suma de las corrientes que salen del
nudo". Si se le asigna signos (+ y -)
a las corriente del circuito (positivo las corrientes que entran
y negativo las corrientes que salen), entonces, "El sumatorio de
las corrientes que convergen en un nodo es igual a cero".
Matemáticamente:

19. Ley de mallas de Kirchoff

"La suma algebraica de las caídas y elevaciones
de voltaje en una malla es igual a la suma de las caídas
de potencial a lo largo de ella". Esta es una expansión de
la Ley de Ohm. Si se
toma en consideración que cualquier elemento resistivo
posee una caída (perdida) de tensión, entonces
podemos decir que "El sumatorio de las tensiones en un lazo
cerrado es igual a cero". Matemáticamente:

Ejemplo de las leyes de Kirchoff:

Las flechas representan la dirección del flujo de la
corriente en el nudo. I1 entra a la unión,
considerando que I2 e I3 salen. Si
I1 fuera 20 A e I3 fuera 5 A, I2
tendría 15 A, según la ley de voltaje de
I1=I2 + I3. La ley de Kirchoff
para los voltajes es, la suma de voltajes alrededor de un
circuito cerrado es igual a cero.

20. Ley de Ohm

George Simón Ohm, descubrió en 1827 que la
corriente en un circuito de corriente continua varía
directamente proporcional con la diferencia de potencial, e
inversamente proporcional con la resistencia del
circuito. La ley de Ohm, establece que la corriente
eléctrica (I) en un conductor o circuito, es igual a
la diferencia de potencial (V) sobre el conductor (o circuito),
dividido por la resistencia (R) que opone al paso, él
mismo. La ley de Ohm se aplica a la totalidad de un circuito o a
una parte o conductor del mismo.

I = V / R;

V = I x R

Ejemplo:

Se tiene una fuente de voltaje de 24 voltios corriente
directa (24 V DC) conectada a los terminales de una resistencia.
Mediante un amperímetro conectado en serie en el circuito
se mide la corriente y se obtiene una lectura de 2
Amperios. ¿Cuál es la resistencia que existe en el
circuito?

Aplicando la ley de Ohm tenemos que:

T / I = R

Entonces reemplazamos:

24 / 2 = 12 R (ohmios)

21. Ley de elasticidad de
Hooke

Originalmente formulada para casos de estiramiento
longitudinal, establece que la deformación ε de un
material elástico es directamente proporcional a la fuerza
aplicada F:

Donde ΔL:
alargamiento longitudinal, L: Longitud original, E:
módulo de Young o módulo de elasticidad, A
sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica
a materiales
elásticos hasta un límite denominado límite
de elasticidad.

Esquema de la ley de
Hooke

22. Ley de la inversa del cuadrado o ley
cuadrática inversa

Refiere a algunos fenómenos físicos cuya
intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia al centro
donde se originan. En particular, se refiere a fenómenos
ondulatorios (sonido y luz) y campos
centrales.

Ilustración de la ley de la inversa del
cuadrado. Las líneas representan el flujo que emana
de una fuente puntual. La densidad de líneas de flujo
disminuye a medida que aumenta la distancia.

Ejemplo:

La ley de la inversa del cuadrado para la
intensidad de una onda sonora lumínica o de otro
tipo puede ser deducida rigurosamente a partir de la
ecuación de onda (1) y la definición de
intensidad (2), tal como sigue. Se parte de las siguientes
ecuaciones:
Para una onda esférica emitida por una fuente
puntual, Ψ sσlo depende
de la distancia r al centro de emisión y por
tanto escribiendo el operador laplaciano que aparece en la
ecuación de onda (1) en coordenadas esféricas
para Ψ =
Ψ(r,t) se
tiene:
La solución de la ecuación de onda
anterior, con c =
ω/k, es:
Se puede aplicar la ecuación (1) para la intensidad
o promedio cuadrático temporal
<Ψ2>t es igual
a:
Es decir, este último resultado muestra que la
intensidad decrece con el cuadrado de la distancia al
centro emisor, que es lo que se pretendía
probar.
Deducción de la ley inversa para ondas
La onda reflejada (y también la refractada)
está formada por la envolvente de las ondas
elementales producidas al mismo tiempo en puntos distintos
de la superficie. El rayo reflejado es perpendicular a la
onda reflejada, como el rayo incidente respecto a la onda
incidente.
23. Principio de
Huygens-Fresnel
24. Principio de Fermat

El rayo incidente se divide en dos partes, de manera que
satisface las condiciones para las cuales el recorrido entre dos
puntos a través de la superficie de separación, se
realiza en un tiempo mínimo.

25. Principio de equivalencia

Es el principio físico fundamental de la
relatividad general y, en general, de cualquier teoría
métrica de la gravedad.

Afirma que puntualmente es indistinguible un sistema
campo gravitatorio de un sistema de referencia no inercial
acelerado. Así fijado un determinado acontecimiento
instantáneo de naturaleza puntual p (un
evento o suceso) en el seno de un campo
gravitatorio puede ser descrito por un observador acelerado
situado en ese punto, como moviéndose libremente. Es
decir, existe cierto observador acelerado que no tiene forma de
distinguir si las partículas se mueven o no dentro de un
campo gravitario.

26. Principio de Maxwell

Consiste en asignar al circuito eléctrico en
estudio unas corrientes circulares ficticias que sirven
únicamente para el planteo de las ecuaciones
fundamentales. Cada corriente circular determina una malla, y las
ecuaciones de malla son planteadas según la segunda ley de
Kirchhoff:

Es decir que la suma de las fuerzas electromotrices es
igual a la suma de las caídas de potencial.

27. Principio de Pascal

Es una ley enunciada por el físico y
matemático francés Blaise Pascal
(1623-1662) que se resume en la frase: «el incremento de
presión aplicado a una superficie de un fluido
incompresible, contenido en un recipiente indeformable, se
transmite con el mismo valor a cada una de las partes del
mismo».

El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una
esfera hueca, perforada en diferentes lugares y provista de un
émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer
presión sobre ella mediante el embolo, se observa que el
agua sale por todos los agujeros con la misma
presión.

Donde:
: presión
total a la profundidad .
: Presión
sobre la superficie libre del fluido.

Si se aumenta la presión sobre la superficie
libre, por ejemplo, la presión total en el fondo ha de
aumentar en la misma medida, ya que el término
ρgh no varía al no hacerlo la presión
total (obviamente si el fluido fuera compresible, la densidad del
fluido respondería a los cambios de presión y el
principio de Pascal no podría cumplirse).

Ejemplo:

(La Presa
Hidráulica)

El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de
las genéricamente llamadas máquinas
hidráulicas: la prensa, el gato,
el freno, el ascensor y la grúa, entre otras.

Este dispositivo, llamado prensa hidráulica, nos
permite prensar, levantar pesos o estampar metales
ejerciendo fuerzas muy pequeñas. Veamos cómo lo
hace.

28. Principio de Cavalieri

Es una ley geométrica que enuncia que la
similitud de volumen en dos cuerpos. El enunciado podría
ser: "Si dos cuerpos poseen la misma altura y además
tienen la misma área en sus secciones planas realizadas a
una misma altura, poseen entonces: igual volumen". Hoy en
día en la moderna teoría de geometría
analítica el principio de Cavalieri es tomado como un
caso especial del Principio de Fubini. Cavalieri no hizo un uso
extensivo del principio, empleándolo sólo en su
Método de las indivisibles que expone en el
año 1635 con la publicación de su obra
Geometría indivisibilibus y también aparece
en 1647 en su Exercitationes Geometricae. Antes del
principio siglo XVII sólo se podría calcular el
volumen de algunos cuerpos especiales ya tratados
geométricamente por los resultados obtenidos por el griego
Arquímedes y Kepler. La idea del cálculo de
volúmenes mediante la comparación de secciones
dió paso al desarrollo de
los primeros pasos del cálculo infinitesimal así
como de las integrales.

Ejemplo:

La sección de un cilindro proporciona un
círculo si éste se hace perpendicular al eje de
rotación principal del mismo, el área de dicha
sección es
πr2, cuando
r es el radio de la superficie (o de la parte interior el
cilindro). Por el principio de Cavalieri el volumen del cilindro
es igual al de un paralepípedo cuando éste posee la
misma altura h, siempre que la sección del
paralepípedo tenga el mismo área y por lo tanto
ambos poseen un volumes de .

(Semiesfera)

Sección vertical (superior) y horizontal
(inferior) a través de una semiesfera

La sección a lo largo de una semi-esfera de radio
r muestra una superficie circular que si se realiza a una
altura h paralela al horizonte, mediante el teorema de
Pitágoras se obtiene un círculo de radio

Donde la superficie de la sección es por lo
tanto

29. Principio de acoplamiento
mínimo

Es una prescripción que indica cómo hacer
que una ley o fórmula física sea invariante frente
a alguna transformación (transformación general de
coordenadas, transformación gauge).

30. Principio de
correspondencia

Es la única herramienta que los físicos
poseen para seleccionar teorías
cuánticas correspondientes a la relatividad. Los principios de la
mecánica
cuántica son completamente abiertos – por ejemplo,
estos establecen que los estados de un sistema físico
ocupa un espacio de Hilbert, pero no aclara que tipo de espacio
de Hilbert. El principio de correspondencia limita las opciones a
esas que reproducen a la mecánica clásica en el
límite de correspondencia. Por esta razón, Bohm ha
discutido que la física clásica no emerge de la
física cuántica del mismo modo en que la
mecánica clásica emerge de la aproximación
de la relatividad especial en velocidades pequeñas; pero,
física clásica existe independientemente de la
teoría cuántica y no puede ser derivada de
ella.

31. Principio de mínima o menor
acción o principio de Hamilton

Es un presupuesto
básico de la mecánica clásica y la
mecánica relativista para describir la evolución a lo largo del tiempo del estado
de movimiento de una partícula como de un campo
físico. (También en mecánica cuántica
Feynman y Kac intentaron formulaciones inspiradas en el
principio).

32. Ley de Planck

La intensidad de la radiación
emitida por un cuerpo negro con una temperatura T viene dada por
la ley de Planck:

Donde:

es
la cantidad de energía por unidad de área,
unidad de tiempo y unidad de ángulo sólido
emitida en el rango de frecuencias entre y .
h es una constante que se conoce como constante de
Planck
c es la velocidad de la luz
k es la constante de Boltzmann.

La longitud de onda en la que se produce el
máximo de emisión viene dada por la ley de Wien y
la potencia total
emitida por unidad de área viene dada por la ley de
Stefan-Boltzmann. Por lo tanto, a medida que la temperatura
aumenta el brillo de un cuerpo cambia del rojo al amarillo y al
azul.

33. ley de las presiones
parciales

Fue formulada por el físico, químico y
matemático británico John Dalton. Establece que la
presión de una mezcla de gases, que no reaccionan
químicamente, es igual a la suma de las presiones
parciales que ejercería cada uno de ello si él solo
ocupase todo el volumen de la mezcla, sin cambiar la temperatura.
Cuando Dalton formuló por primera vez su teoría
atómica poco había elaborado la teoría
acerca de la vaporización del agua y del comportamiento de
las mezclas
gaseosas. A partir de sus mediciones dedujo que dos gases son una
mezcla y que actuaban de una manera mutuamente
independiente.

34. ley de Stefan-Boltzman.

Establece que toda materia que no se encuentra a una
temperatura infinita emite dos radiaciones
térmicas. Estas radiaciones se originan a partir de la
energía térmica de la materia ilimitada por la
superficie mas baja por la que fluyen, la velocidad a la que
libera energía por unidad de área (W/m2) se
denomina la potencia emisiva superficial E. Hay un
límite superior para la potencia emisiva, que es
establecida por esta ley:

Donde Te es la temperatura efectiva o
sea la temperatura absoluta de la superficie y sigma es la
constante de Stefan Boltzmann:

Dicha superficie se llama radiador ideal o cuerpo
negro.

Ejemplos:

Primera determinación de la temperatura
del Sol

Utilizando su ley Stefan determinó la temperatura
de la superficie del Sol. Tomó los datos de Charles
Soret (1854–1904) que determinó que la densidad del
flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad
del flujo de energía de una fina placa de metal caliente.
Puso la placa de metal a una distancia del dispositivo de la
medición que permitía verla con el
mismo ángulo que se vería el Sol desde la Tierra.
Soret estimó la temperatura del placa era aproximadamente
1900 °C a 2000 °C. Stefan pensó que el flujo de
energía del Sol es absorbido en parte por la atmósfera terrestre,
y tomó para el flujo de energía del Sol un valor
3/2 veces mayor, a saber .

Las medidas precisas de la absorción
atmosférica no se realizaron hasta 1888 y 1904. La
temperatura que Stefan obtuvo era un valor intermedio de los
anteriores, 1950 °C (2223 K). Como 2,57 4 = 43,5,
la ley de Stephan nos dice que la temperatura del Sol es 2,57
veces mayor que la temperatura de un placa de metal, así
que Stefan consiguió un valor para la temperatura de la
superficie del Sol de 5713 K (el valor moderno es 5780 K).
Éste fue el primer valor sensato por la temperatura del
Sol. Antes de esto, se obtuvieron valores tan
pequeños como 1800 °C o tan altos como 13.000.000
°C. El valor de 1800 °C fue hallado por Claude Servais
Mathias Pouillet (1790-1868) en 1838. Si nosotros concentramos la
luz del Sol con una lente, podemos calentar un sólido
hasta los 1800 °C.

Las temperaturas y radios de las
estrellas

La temperatura de las estrellas puede obtenerse
suponiendo que emiten radiación como un cuerpo negro de
manera similar que nuestro Sol.

La Luminosidad L de la estrella
vale:

Donde σ es la
constante de Stefan-Boltzmann , R es el radio estelar y
T es la temperatura de la estrella.

Esta misma fórmula puede usarse para computar el
radio aproximado de una estrella de la secuencia principal y por
tanto similar al Sol:

Donde ,
es el radio solar.

Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos
puede inferir los radios de las estrellas fácilmente. La
ley también se usa en la termodinámica de un
agujero negro en la llamada radiación de
Hawking.

34. ley de Wien

Es una ley de la física. Específica que
hay una relación inversa entre la longitud de onda en la
que se produce el pico de emisión de un cuerpo negro y su
temperatura.

Donde T es la temperatura del cuerpo negro en
Kelvin (K) y
λmax es la
longitud de onda del pico de emisión en metros.

Ejemplo:

El volframio es el metal que tiene a la vez la
temperatura más alta de fusión
3680 K y el menor grado de evaporación. El carbono
soporta temperaturas más elevadas antes de fundirse pero
se evapora rápidamente.

En la práctica, la temperatura más alta
que soporta una lámpara incandescente ordinaria fabricada
con filamento de volframio es de 2900 K. A estas temperaturas
solamente, una pequeña fracción de de la
energía emitida está en la región visible,
menos del 11%, la mayor parte es radiación
infrarroja. Por lo que las lámparas incandescentes son
poco eficientes en la emisión de luz visible.

35. Principio De Objetividad
Material

Afirma que para un medio continuo cualquiera el estado
tensional es independiente del sistema de coordenadas elegido
para medirlo. Un material para el cual se cumple la última
igualdad de invariancia se llama material
objetivo.

El principio puede expresare matemáticamente para
cualquier sólido deformable: si llamamos
t(x,n) a la tensión en un punto
x, medida según la normal n al
plano π, entonces si R es
cualquier matriz de una
rotación alrededor del punto x debe cumplirse
que:

Todos los materiales físicamente realistas deben cumplir
el principio de objetividad material. Esta
condición de objetividad material interviene como una de
las premisas del teorema de Rivlin-Ericksen sobre ecuaciones
constitutivas de materiales isótropos.

36. Principio de superposición o teorema de
superposición

Es una proposición que afirma que cuando las
ecuaciones de comportamiento que rigen un problema físico
son lineales entonces el resultado de una medida o la
solución de un problema práctico relacionado con
una magnitud extensiva asociada al fenómeno, cuando
están presentes los conjuntos de
factores causantes A y B puede obtenerse como la suma de los
efectos de A más los efectos de B.

37. ley de Fick

Es una ley cuantitativa en forma de ecuación
diferencial que describe diversos casos de difusión de
materia o energía en un medio en el que inicialmente no
existe equilibrio químico o térmico. Recibe su
nombre Adolf Fick, que las derivó en 1855.

En situaciones en las que existen gradientes de
concentración de una sustancia, o de temperatura, se
produce un flujo de partículas o de calor que tiende a
homogeneizar la disolución y uniformizar la
concentración o la temperatura. El flujo homogeneizador es
una consecuencia estadística del movimiento azaroso de las
partículas que da lugar al segundo principio de la
termodinámica, conocido también como movimiento
térmico casual de las partículas. Así los
procesos físicos de difusión pueden ser vistos como
procesos físicos o termodinámicos
irreversibles.

La ley de Fick afirma que la densidad de corriente de
partículas es proporcional al gradiente de
concentración

Ejemplo:

El siguiente ejemplo, explica las características
esenciales de la mezcla en un estuario, del agua salada
procedente del mar con el agua de un río. El agua
del río menos densa fluye sobre el agua de mar. Hay por
tanto, una discontinuidad en la densidad con la profundidad,
debido a las diferencias de salinidad.

Consideremos la siguiente distribución
unidimensional de la concentración

c=c0 para x<0
c=0, para x>0

En el instante t=0.

La solución de la ecuación de la
difusión es

La función
error se define

D=1.484·10-9 m2/s es
el coeficiente de difusión de la sal en agua
pura.

38. Ley de Lenz

La Ley de Lenz nos dice que las fuerzas
electromotrices o las corrientes inducidas serán de un
sentido tal que se opongan a la variación del flujo
magnético que las produjeron. Esta ley es una consecuencia
del principio de conservación de la
energía.

La polaridad de una FEM inducida es tal, que tiende a
producir una corriente, cuyo campo magnético se opone
siempre a las variaciones del campo existente producido por la
corriente original.

El flujo de un campo magnético uniforme a
través de un circuito plano viene dado por:

donde:

Φ = Flujo magnético. La
unidad en el S.I. es el weber
(Wb).
B = Inducción magnética. La unidad en el
S.I. es el tesla (T).
S = Superficie del
conductor.
α =
Ángulo que forman el conductor y la dirección del
campo.

Si el conductor está en movimiento el valor del
flujo será:

En este caso la Ley de Faraday afirma que la FEM
inducida en cada instante tiene por valor:

El signo (-) de la expresión anterior indica que
la FEM inducida se opone a la variación del flujo que la
produce. Este signo corresponde a la ley de Lenz.

Esta ley se llama así en honor del físico
germano-báltico Heinrich Lenz, quien la formuló en
el año 1834.

La formulación débil se puede
enunciar de la siguiente manera: "El movimiento de
cualquier partícula de prueba en caída
libre es independiente de su composición y
estructura". Este principio se remonta al libro de
Galileo
Galilei Diálogos Sobre las Dos Nuevas
Ciencias, en el cual Galileo narra que después
de realizar varios experimentos con diferentes tipos de
materiales, llega a la conclusión de que en un medio
sin resistencia todos los cuerpos caen con la misma
aceleración.
39. Principio de equivalencia
débil
La formulación de Einstein se obtiene al
incorporar la Relatividad Especial al Principio de
Equivalencia de Galileo. Formalmente puede enunciarse de la
manera siguiente:
El resultado de cualquier experimento no
gravitacional en un laboratorio desplazándose en un
sistema de referencia inercial es indepediente de la
velocidad del laboratorio o de su localización en el
espacio-tiempo.
Esta es la forma más usual del principio de
equivalencia. Otra forma de formular el principio de
equivalencia fuerte es que en una vecindad lo
suficientemente pequeña del espacio-tiempo, las
leyes de la física no gravitacionales obedecen las
leyes de la relatividad especial en un marco de referencia
en caída libre o marco geodésico, es decir un
marco de referencia cuyo origen de coordenadas se mueve a
lo largo de una línea geodésica.
40. Principio de equivalencia de Einstein
41. Principio de equivalencia
fuerte

El principio de equivalencia fuerte se formula de la
siguiente manera:

El movimiento gravitacional de un cuerpo test depende
únicamente de su posición inicial en el espacio
tiempo y no de su constitución y el resultado de cualquier
experimento local, gravitacional o no, en un laboratorio
moviéndose en un sistema de referencia inercial es
independiente de la velocidad del laboratorio y de su
localización en el espacio-tiempo.

Es decir, en un marco de referencia en caída
libre, y en una vecindad lo suficientemente pequeña del
espacio-tiempo, todas las leyes de la física obedecen las
leyes de Relatividad Especial.

El principio de equivalencia fuerte sugiere que la
gravedad es de naturaleza puramente geométrica (esto es,
la métrica determina los efectos de la gravedad) y no
contiene ningún campo adicional asociado con
ella.

42. Ley del efecto joule

Este efecto fue definido de la siguiente manera: "La
cantidad de energía calorífica producida por una
corriente eléctrica, depende directamente del cuadrado de
la intensidad de la corriente, del tiempo que ésta circula
por el conductor y de la resistencia que opone el mismo al paso
de la corriente". Matemáticamente se expresa
como

Donde:

Q = Energía calorífica producida
por la corriente

I = Intensidad de la corriente que
circula

R = Resistencia eléctrica del
conductor

t = Tiempo

Así, la potencia disipada por efecto Joule
será:

Donde V es la diferencia de potencial entre los
extremos del conductor.

Microscópicamente el efecto Joule se calcula a
través de la integral de volumen del campo
eléctrico por la densidad de corriente :

43. Principio de
refracción

Cuando la velocidad de propagación v1
en el primer medio es superior la v2 del segundo, el
ángulo r que la onda refractada forma con la normal a la
superficie es menor respecto al de incidencia i, según la
ley:

Cuando el primer medio es vacío se dice que el
índice es absoluto.

En la siguiente tabla, se proporcionan datos acerca
de los índices de refracción de diversas
sustancias

Sustancia	Índice de refracción (línea sodio D)
Azúcar	1.56
Diamante	2.417
Mica	1.56-1.60
Benceno	1.504
Glicerina	1.47
Agua	1.333
Alcohol etílico	1.362
Aceite de oliva	1.46

Ejemplos:

44. Principio de
reflexión

Ocurre cuando una onda luminosa incide sobre una
superficie lisa que separa dos medios y es
reemitida hacia la fuente. Pero si la velocidad de
propagación luminosa es distinta en cada medio, el rayo es
desviado y se produce la refracción.

La relación entre la energía de la luz
reflejada y la incidente se llama factor de
reflexión.

Ejemplos:

45. Ley del péndulo

Consideremos un péndulo cuyo brazo mide l,
en el campo gravitacional de intensidad g (usualmente:
9,81 m.s-2), y sujeto a pequeñas
oscilaciones.
El período T de oscilación del
péndulo es dado por la fórmula:

Ejemplo:

A manera de ejemplo colocamos la
demostración:

Sea θ el αngulo en radianes que
hace el brazo con la vertical y m la masa del
péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve
con la velocidad: v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es:
Ec = m·v2/2 =
ml2θ'2/2.Se
puede tomar su energía potencial igual a:
Ep = –
m·g·l·cos θ

Este sistema no pierde energía, por lo tanto
Ec + Ep es constante (1).

Al derivar (1) se obtiene:
m·l2·θ'·θ"
+ m·g·l·θ'·sen θ = 0
(2).

Se puede simplificar (2) por m·l (no nulos) y por
θ' (no idιnticamente nulo), lo que
da:

l·θ" + g·sen θ = 0
(3).

Como se supone que θ es siempre pequeρo, se
puede remplazar sen θ por θ cometiendo un error del
orden de θ3 (porque
sin θ = θ + O
(θ3)).

Entonces (3) equivale a:

l·θ" + g·θ = 0 o sea
θ" = -(g/l)·θ (4)

Un movimiento oscilatorio sigue la ley
θ =
θM·sen
(ω·t + φ) lo que implica
que:

θ" = –
ω2·θ. (5)
(ω es la velociad angular de la ley y
θM el ángulo
máximo)

Identificando (4) y (5) se obtiene
ω2 = g/l, es decir
ω= √ (g/l).

Concluimos recordando que T =
2π/ω.

46. Primera Ley de Kepler

Todos los planetas se
desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas
elípticas, estando el Sol situado
en uno de los focos.

47. Segunda ley de Kepler

El radio vector que une el planeta y el Sol barre
áreas iguales en tiempos iguales.

El vector posición de cualquier planeta respecto
del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos
iguales.

La ley de las áreas es equivalente a la
constancia del momento angular, es decir, cuando el planeta
está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es
menor que cuando está más cercano al Sol
(perihelio). En el afelio y en el perihelio, el momento angular L
es el producto de la masa del planeta, por su velocidad y por su
distancia al centro del Sol.

48. tercera ley de Kepler

Para cualquier planeta, el cuadrado de su período
orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es
directamente proporcional al cubo de la distancia media con el
Sol.

Donde, P es el periodo orbital, r la
distancia media del planeta con el Sol y K la constante de
proporcionalidad.

Estas leyes se aplican a otros cuerpos
astronómicos que se encuentran en mutua influencia
gravitatoria como el sistema formado por la Tierra y la
Luna.

49. Ley de Bragg

La interferencia es constructiva cuando la diferencia de
fase entre la radiación emitida por diferentes
átomos es proporcional a 2π. Esta condición se
expresa en la ley de Bragg:

Donde

n es un número entero,
λ es la longitud de onda de los
rayos
X,
d es la distancia entre los planos de la
red cristalina
y,
θ es el αngulo entre los
rayos incidentes y los planos de dispersión.

50. Ley de la gravitación universal de
Newton

La Ley de la Gravitación Universal de Newton
establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual
con masa m1 sobre otra con masa
m2 es directamente proporcional al producto de
las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa:

donde es
el vector unitario que va de la partícula 1 a la 2, y
donde es la
constante de gravitación universal, siendo su valor 6,67
× 10–11
Nm2/kg2.

A pesar de los siglos, hoy día sigue
utilizándose cotidianamente esta ley en el ámbito
del movimiento de cuerpos incluso a la escala del
sistema solar,
aunque esté desfasada teóricamente. Para estudiar
el fenómeno en su completitud hay que recurrir a la
Relatividad general.

Ejemplo:

Newton comparó la aceleración
centrípeta de la Luna con la aceleración de la
gravedad g=9.8 m/s2. La aceleración
centrípeta de la Luna es
ac=v2/r=4p
2r/P2, con
r=3.84·108 m y P=28
días=2.36·106 s, se obtiene
ac=2.72·10-3 m/s2.
Por consiguiente,

Como el radio de la Tierra es 6.37·106
m, y el radio de la órbita de la Luna es
3.84·108 m, tenemos que

Por tanto,

Las aceleraciones de ambos cuerpos están en
razón inversa del cuadrado de las distancias medidas desde
el centro de la Tierra.

CONCLUSIONES

El presente trabajo nos condujo por los principales
fundamentos de la física así como las principales
leyes que estructuran y definen la física como una
ciencia,
además pudimos constatar como cada principio de la
física guarda una profunda relación con el entorno
que la rodea como las subramas de la misma se configuran como un
todo un sistema.

BIBLIOGRAFÍA

HALLIDAY, David y RESNICK, Robert. Física.
Parte 2. CECSA.
México, 1974.
EISBERG, Robert M. y LAWRENCE S. Lerner.
Física: Fundamentos y Aplicaciones.
Volumen II. México, 1990.
SERWAY. Física. Tomo II. Editorial McGraw
Hill. Tercera
Edición. México,
1993.
FIGUEROA, Douglas. Física. Sistema de
Partículas. Unidad 3. Editorial Italgráfica.
Caracas, 1995.
RABBAT, José Alberto. Física.
Introducción a la
Mecánica. Fondo Editorial
Interfundaciones. Caracas, 1990