Proponemos un modelo de matrices lógico matemáticas, semejantes a las matrices booleanas, en el que, manteniendo los principios aristotélicos de identidad, de no contradicción y del tercio excluido de la lógica clásica, incorporamos las paradojas que son aparentemente contradictorias o seudocontradictorias, así como probabilidades paradójicas que excluyen el segundo y tercer principios aristotélicos. El modelo sugiere la posibilidad de representar la lógica proposicional de primer nivel como matrices cuadradas de primer orden, y la metalógica y el metalenguaje como matrices cuadradas de orden superior.

La lógica clásica aristotélica está basada en los principios de identidad, de no contradicción y del tercio excluido, que podemos expresar de la siguiente forma:

1. Una proposición es equivalente a sí misma: [1]

2. Una proposición no puede ser verdadera y no serlo a la vez: [2]

3. Una proposición es verdadera o no lo es, no hay una tercera opción: [3]

En el siglo pasado, el matemático brasileño Newton da Costa creó una lógica que incorporaba las contradicciones, conocida como lógica paraconsistente, término acuñado por el filósofo peruano Francisco Miro Quesada Cantuarias y quien fuera el primero en hacer una interpretación filosófica de esta lógica. En el presente trabajo proponemos un modelo matemático que nos permite trabajar con proposiciones autoreferidas o paradojas y no autoreferidas, dentro de principios lógicos consistentes. Consideremos en primer lugar aquellas proposiciones que no se refieren a sí mismas. Por ejemplo, la frase "todos los hombres son mortales" puede ser verdadera o falsa. Podemos representar esta proposición por p y su negación por ~ p. En este caso p « p y ~ p « ~ p, es decir, la proposición implica una tautología. La lógica clásica trabaja con este tipo de proposiciones. Consideremos otra proposición q cualquiera que no se refiere a sí misma. Podemos relacionar ambas proposiciones disyuntivamente, simbolizada por p Ú q y elaborar una tabla con las opciones de verdadero V o falso F, como se muestra a continuación:

 [4]

Tratándose de una relación conjuntiva p Ù q tendremos:

  [5]

En la teoría de probabilidades, la probabilidad de que ocurra un evento p o un evento q, está dada por

  [6]

Las proposiciones p y q pueden ser verdaderas o falsas, por tanto la probabilidad de que p o q sean verdaderas es (1 / 2). En consecuencia

  [7]

y la probabilidad de que p y q sean verdaderas es

  [8]

resultado que concuerda con las tablas [4] y [5], siendo tres opciones de verdad en un total de cuatro para la disyunción, y una opción de verdad en un total de cuatro para la conjunción.

Las categorías de verdadero y falso de una proposición pueden considerarse como probabilidades de ( 1 ) y ( 0 ) respectivamente, de modo que las tablas [4] y [5] pueden expresarse numéricamente como sigue:

 [9]

 [10]

La frase "no es cierto que todos los hombres son mortales" es una negación de la proposición p y se simboliza por ~ p. Si se asume que la proposición p es verdadera, entonces su negación implica que es falsa. Si se asume que p es falsa, su negación implica que es verdadera. Matemáticamente ~ p es equivalente a ( 1 ) - ( 1 ) = ( 0 ), si asumimos que p es verdadero, y a ( 1 ) - ( 0 ) = ( 1 ), si asumimos que p es falso.