A manera de ilustración presentamos el mapa Conceptual para representar el concepto de Mapa Conceptual dado al inicio de esta cuartilla.

Temática: Segunda ley del movimiento mecánico (Ley de la fuerza). Caso particular y general para la traslación. Impulso y cantidad de movimiento lineal de una partícula. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Primera ley del movimiento mecánico (Ley de la Inercia) Sistemas de referencia inerciales y no inerciales. Tercera ley del movimiento mecánico (Ley de acción y reacción). Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal.

1. Interpretar físicamente las leyes del movimiento mecánico formuladas por Newton, aplicándolas a situaciones prácticas de la vida cotidiana.
2. Diferenciar los sistemas de referencia inerciales de los no inerciales y resolver problemas aplicando el método dinámico, dando cumplimiento a la Segunda Ley de Newton para la traslación en sistemas de referencia inerciales.
3. Interpretar desde el punto de vista físico los contenidos básicos de la Cinemática discriminando entre el carácter vectorial de unas magnitudes y el escalar de otras, siendo capaz de interpretar el movimiento unidimensional a velocidad constante y sus gráficos.
4. Interpretar físicamente la ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal y aplicarla a actividades prácticas y de la vida cotidiana y estar en posibilidades de justificarla a partir del concepto del impulso y de la expresión general de la segunda ley del movimiento mecánico

• La segunda ley de Newton plantea que para casos en que la masa es constante, donde , donde al término se le denomina impulso lineal infinitesimal () y al término () variación infinitesimal de la cantidad de movimiento lineal (), por lo que , integrando

• ---

  Si el impulso lineal (J) es nulo o la fuerza externa resultante es nula, entonces

• Podemos expresar la segunda ley de Newton en su forma más general, como y comopodemos plantear que , donde si la masa es constante, queda que , es decir que .
• Definimos como sistema de referencia al cuerpo o conjunto de cuerpos que nos permite definir si otros cuerpos están en reposo o en movimiento, atendiendo al cambio de posición o no que experimenten en el transcurso del tiempo, respecto a ellos.

• El desplazamiento es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de posición experimentado por una partícula, mientras que el camino recorrido es una magnitud escalar, que nos indica la longitud de la trayectoria seguida por la partícula.
• La velocidad es la rapidez con que cambia la posición al transcurrir el tiempo y es una magnitud vectorial.
• La aceleración es la rapidez de cambio del vector velocidad al transcurrir el tiempo.
• En el Sistema Internacional de Medidas (SI) .
• El movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU) es aquel que se ejecuta sobre una recta y con velocidad constante, siendo su ecuación característica .
• En el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) el gráfico x vs. t es una recta (pendiente constante), con cierta inclinación respecto al eje de los tiempos, siendo

• Primera Ley de Newton ó Ley de la Inercia: Todo cuerpo sobre el cual no actúan fuerzas externas o donde la fuerza resultante sea nula, se encuentra en reposo o animado de movimiento rectilíneo a velocidad constante (MRU). Esta ley constituye la base para definir los sistemas de referencia inerciales.
• Inercialidad: Oposición que hace un cuerpo a cambiar su condición o estado de movimiento.

• Masa inercial: Medida de la inercialidad de los cuerpos.

• Un sistema de referencia inercial (SRI) es aquel que se encuentra en reposo o animado de movimiento rectilíneo uniforme, cumpliendo con la primera ley del movimiento mecánico, en el caso de que el sistema esté acelerado corresponderá con un sistema de referencia no inercial (SRNI). La Segunda Ley de Newton o Ley de la fuerza solamente se cumple en SRI y no se cumple en los SRNI.
• Ley de Acción y Reacción: Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el que recibe la fuerza también ejerce una fuerza sobre el primero de igual intensidad, dirección y de sentido contrario. Esta pareja de fuerzas actúa sobre cuerpos diferentes, por lo que nunca constituyen un sistema de fuerzas en equilibrio

1.- Dos bloques están en contacto sobre una mesa carente de fricción. Se aplica una fuerza horizontal a un bloque, como se muestra en la figura. a) Si m₁= 2,4 kg, m₂= l,2 kg y F= 3,2 N, halle la fuerza de contacto entre los dos bloques. b) Demuestre que si se aplica la misma fuerza F a m₂ en lugar de a m₁, la fuerza de contacto entre los bloques es 2,1 N, el cual no es el mismo valor obtenido en (a).

Explique.

Luego de realizar una cuidadosa lectura del problema

pasamos a extraer los datos:

m₁= 2,4 kg, m₂= l,2 kg, F= 3,2 N

A continuación confeccionamos los diagramas de fuerza de los bloques que integran el sistema, representando las fuerzas que actúan sobre ellos.

Después de construidos los diagramas de fuerza de los bloques, pasamos a expresar las ecuaciones

que dan cumplimiento a la segunda ley del movimiento mecánico.

∑ F_x= m₁a ∑F_y = 0 ∑ F_x= m₂a ∑F_y = 0

F-F₂₁=m₁a (1) N₁-m₁g = 0 F₁₂= m₂a (2) N₂- m₂g = 0

Teniendo en cuenta que las fuerzas F₁₂ y F₂₁ son fuerzas de acción y reacción y por tanto iguales en módulo, al sumar las ecuaciones 1 y 2 se anulan, obteniéndose que: F= (m₁ + m₂) a, lo que implica que a =F/(m₁ + m₂)

Calculando la aceleración ya puedo hallar la fuerza de interacción, utilizando cualquiera de las dos ecuaciones (1 ó 2), ya que:

F₂₁= F-m₁a, según 1 y F₁₂= m₂a, según 2, por lo que:

F₁₂= m₂F/(m₁ + m₂) F₁₂= F(m₂/m1 + m₂)

F₂₁= F-m₁ F/(m₁ + m₂) F₂₁=F(1- m₁/ m₁ + m₂) F₁₂= F(m₂/m1 + m₂)

Como se observa en este caso F₁₂ = F₂₁

b) Replanteemos el problema para este segundo caso, donde la fuerza F se aplica sobre m_2.

Diagramas de fuerzas de ambos cuerpos

2.- Calcule la aceleración del sistema de cuerpos de la figura y la tensión del hilo, suponiendo que este es inextensible y de masa despreciable. Suponga que el rozamiento puede despreciarse.

Ante todo debemos interpretar el enunciado del problema, extrayendo los datos e identificándonos con las incógnitas.

Datos: m_1, m2_, F, hilo inextensible, m_hilo=0 y fricción=0

Incógnitas: a₁ y a₂ (aceleración de cada cuerpo), T₁ y T₂ (tensión del hilo en cada extremo)

Como el hilo carece de masa entonces para el ∑F = 0, lo que quiere decir que las tensiones en sus extremos serán iguales, por lo que T₁ =T₂ =T y atendiendo a esto podemos plantear para los bloques que: T =m₁a y F-T = m₂a, asumiendo que el sentido positivo es el del movimiento de los cuerpos.

Si sumamos estas ecuaciones se cancelan las T y obtenemos que F = (m₁+ m₂)a, por lo que

a = F/ (m₁+ m₂)

Ahora tomando el valor hallado de la aceleración podemos calcular la tensión en el hilo, por lo cual

T = m₁aT = F(m₁/ m₁ + m₂)

1 -

Un bloque de masa m esta suspendido del techo por un cordel C y un

2 - ¿Puede ser considerada la primera ley de Newton simplemente como un caso especial cuando

a = 0 de la segunda ley? ¿De ser así es necesaria la primera ley? Explique.

3 – Comente si los siguientes pares de fuerzas son fuerzas de acción y reacción. a) La tierra atrae a un cuerpo y este atrae a la tierra. b) Un aeroplano a hélice empuja el aire hacia la cola y el aire empuja a el aeroplano hacia delante. c) La tierra atrae a un cuerpo hacia abajo y el suelo empuja el cuerpo hacia arriba con una fuerza igual y opuesta.

4 – Un elevador que pesa 1250 N se eleva mediante un cable con una aceleración de 3,8 m/s².

a) ¿Cuál es la tensión en el cable? b) ¿Cuál es la tensión cuando el elevador esta acelerado hacia abajo a razón de 3,8 m/s² pero se mueve todavía hacia arriba?

5 –

6 –

Un bloque de m_{1 =} 3,70 kg esta sobre un plano inclinado de

7 -

c) Con el valor de la tensión calculado en el inciso anterior ¿Cuál será la aceleración del cuerpo 1?

8 -

Una cadena que tiene cinco eslabones, cada uno de los cuales tiene una masa de 100 g, se levanta verticalmente con una aceleración constante de 2,5 m/s² como se muestra en la figura. Halle:

a) Las fuerzas que actúan entre los eslabones adyacentes.

b) La fuerza F ejercida en el eslabón superior por el agente que eleva la cadena.

c) La fuerza neta en cada eslabón.

9 -

Segunda ley del Movimiento Mecánico (F_r^e = ma) o (F_r^e = dP/dt). Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Ecuación. Reposo. Ley de la inercia. Sistema de referencia inercial. Sistema de referencia no inercial. Impulso lineal (J). Variación de la cantidad de movimiento lineal (D P). Cantidad de movimiento lineal (P=mV)

1. Interpretar el movimiento unidimensional con aceleración constante mediante el análisis y construcción de sus gráficos, así como mediante la aplicación de sus ecuaciones en la solución de problemas.
2. Aplicar el principio de independencia de los movimientos de Galileo al movimiento parabólico, formulando las ecuaciones que caracterizan dicho movimiento en cada eje, interpretar por analogía con la traslación, las magnitudes básicas de la cinemática del movimiento de rotación y establecer relaciones entre ellas y las correspondientes magnitudes lineales.
3. Aplicar las leyes de la fricción seca entre dos superficies para la determinación de este tipo de fuerza y distinguir entre fricción estática y dinámica.
4. Aplicar las leyes de la fricción viscosa en el caso del movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido. Derivar la ecuación de movimiento y hallar la velocidad terminal del cuerpo.
5. Encontrar la ecuación de movimiento para el caso en que sobre el cuerpo en cuestión actúan fuerzas dependientes del tiempo, la velocidad y la posición.
6. Identificar la necesidad de una fuerza resultante actuando en la dirección radial hacia el centro del círculo para que se produzca el movimiento circular (fuerza centrípeta).

• El movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) es aquel que se ejecuta en línea recta y con aceleración constante, siendo las ecuaciones que caracterizan este movimiento las siguientes:

• En el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) el gráfico de a vs. t es una recta paralela al eje de los tiempos, siendo el área bajo la misma en un intervalo de tiempo dado, numéricamente igual a la variación que experimenta la velocidad ; el gráfico v vs t será una recta inclinada respecto al eje de los tiempos (pendiente constante), donde y el área bajo la misma en un intervalo de tiempo dado será numéricamente igual al desplazamiento y el gráfico x vs t será una parábola cuya concavidad puede ser hacia arriba o hacia abajo en dependencia del signo de la aceleración respecto al sistema de referencia y su pendiente positiva o negativa en dependencia del signo de la velocidad respecto al sistema de referencia para un instante dado.
• Como casos típicos de MRUV tenemos el movimiento de caída libre y el lanzamiento vertical donde .
• La fuerza de fricción se opone al deslizamiento de una superficie sobre otra o a la tendencia de deslizamiento entre ellas. La fuerza de fricción estática f_s es aquella que surge cuando las superficies no deslizan entre sí, están en reposo una respecto a la otra, pero hay tendencia al deslizamiento y la fuerza de fricción dinámica f_d está asociada al movimiento de deslizamiento entre dos superficies. La fuerza de fricción es directamente proporcional a la fuerza perpendicular o normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo que está apoyado y al coeficiente de fricción, el cual depende de la naturaleza de las superficies en contacto. El valor máximo que toma la fricción para el reposo o estática es de m _sN, por lo que: m _sN ≥ f_s ≥ 0 y la fricción asociada al deslizamiento entre superficies siempre será igual a: f_d = m _d N. Por otra parte siempre el coeficiente de fricción estático será mayor que el coeficiente de fricción dinámico, es decir: m _{s > m d}

• El principio de independencia de los movimientos de Galileo plantea que todo movimiento por muy complejo que sea puede estudiarse como un movimiento que resulta de la combinación de movimientos rectilíneos asociados a cada eje. En el caso del movimiento parabólico en el eje x se analizará como un MRU y en el eje y como un MRUV.

• En el movimiento circular el vector velocidad lineal puede variar o no en intensidad, cuando este varía tiene lugar la aceleración tangencial, la cual si es constante da lugar al MCUV. La dirección de la velocidad en el movimiento circular varía de forma constante, por lo que este siempre estará acelerado, cuya aceleración es la radial o normal que tiene la dirección del radio y el sentido es hacia el centro de giro.

• El MCU es aquel donde el valor modular de la velocidad lineal es constante o donde la velocidad angular es constante, siendo , si la velocidad angular varía con el tiempo tiene lugar la aceleración angular

• Las relaciones que se establecen entre los valores lineales y angulares de la posición, velocidad y aceleración son: , y .
• La fuerza de fricción que surge como resultado del movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido se llama fricción viscosa (fuerza de arrastre) y depende de la velocidad del cuerpo en dicho fluido. En un grupo de situaciones es proporcional a la velocidad (F=bv).
• Para que se produzca un movimiento circular es premisa que exista una fuerza resultante actuando sobre la partícula hacia el centro del círculo. Esta es la llamada fuerza centrípeta. Es por ello que incluso en el caso del MCU éste es acelerado. La magnitud de la aceleración centrípeta viene dada por a_c = v²/r.

1. A partir de la gráfica x vs. t representada, de una partícula que se mueve sobre una línea recta.

1. Determine el camino recorrido y el desplazamiento.
2. Construya la gráfica v vs. t.

1. Para dar respuesta al primer inciso sólo basta con observar el gráfico dado, ya que el camino recorrido será el recorrido total experimentado por la partícula, es decir, la suma total de todos los cambios de posición realizados :, (de 0 a 3 s), (de 3 a 5 s) y (de 5 a 10 s), por lo que .
2. El desplazamiento es una magnitud vectorial y nos indica el cambio de posición total experimentado por la partícula desde t=0 s hasta t=10 s por lo que , como trabajaremos estas magnitudes vectoriales de forma numérica debemos indicar por los signos (+) ó (-) el sentido en relación con el sistema de referencia utilizado : y , entonces (significando el signo negativo que la partícula se desplazó 4 m a partir del origen, en sentido contrario al tomado como positivo en el sistema de referencia.
3. Para poder hacer la representación del gráfico v vs. t, debemos antes calcular los valores de la velocidad para los diferentes intervalos de tiempo, lo que podemos hacer a través de la evaluación de la pendiente de las rectas en gráfico x vs. t o mediante la expresión de la velocidad, teniendo en cuenta que los cambios de posición son a velocidad constante en cada intervalo.

Los cuerpos representados en la figura están unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea cuya masa tampoco consideraremos. El cuerpo B desliza sobre la superficie del plano inclinado, cuyo coeficiente de fricción dinámica es de 0,4. Calcule:

1. Aceleración con que se mueven los cuerpos.
2. Tiempo que demora el cuerpo A en llegar al suelo si cae desde una altura de 0,5m.

Datos:

• Después de dar lectura al texto del problema y de interpretar adecuadamente lo que se solicita calcular, se procede a la construcción del diagrama de fuerzas de ambos cuerpos, asignando un convenio de signos que proponemos se adopte como positivo el sentido de movimiento del conjunto o tendencia de este.

• A continuación planteamos para cada cuerpo las ecuaciones que dan cumplimiento a la Segunda Ley de Newton en su forma escalar y la ecuación que nos expresa el valor de la fuerza de fricción dinámica.

• Cuerpo A Cuerpo B

• Simultaneando las anteriores ecuaciones o trabajando con ellas, calculamos los valores de las incógnitas solicitadas. Mediante las ecuaciones (1) y (2) debemos calcular la aceleración, pero en ellas aparece como incógnita la tensión T y la fuerza de fricción f, por lo que debemos utilizar las otras ecuaciones y aplicar métodos (sustitución, adición - sustracción, determinantes, etc.) para eliminar alguna de ellas.
• Sumamos algebraicamente la ecuación (1) con la (2) para eliminar la tensión.

__________________________________________

• Sustituyendo en la ecuación (5) la expresión de la fricción, dada en la ecuación (4), tenemos:

Sustituyendo en la ecuación (6) la expresión de la Normal N según la ecuación (3), llegamos a:

• Despejando y sustituyendo valores:

• Para calcular el tiempo que emplea el cuerpo A en llegar al suelo, utilizamos las expresiones cinemáticas correspondientes a un MRUV. Como el cuerpo A parte del reposo y tenemos como dato la altura desde donde se suelta y la aceleración, aplicamos la expresión:

1. la aceleración angular.
2. la velocidad lineal al cabo de 5 segundos.
3. el valor de la aceleración tangencial.

Datos: R=15cm=0,15m, , ,.

Atendiendo al texto del problema podemos conocer que el movimiento del volante es un MCUV, con aceleración angular constante y de valor negativo ya que la velocidad disminuye. Conocemos que , pero nos dan como dato la velocidad angular en rev/s para calcularla en rad/s recordaremos que esas magnitudes están relacionadas por la expresión , por lo que sustituyendo valores obtenemos que y sustituyendo estos valores en la expresión de la aceleración angular, obtenemos que .

Para calcular la velocidad lineal cuando aplicamos la relación que existe entre ambas, es decir , donde sustituyendo obtenemos que v = 5,65m/s y para calcular el valor de la aceleración tangencial aplicamos la relación , donde sustituyendo valores hallamos que . El valor de la aceleración tangencial también lo podíamos haber calculado por la expresión .

1. Explique cuál de las siguientes situaciones es imposible, argumentando sus razones e identifique las posibles con una P.

1. Un cuerpo tiene velocidad hacia el este y aceleración hacia el este.
2. Un cuerpo tiene velocidad hacia el este y aceleración hacia el oeste.
3. Un cuerpo tiene velocidad cero y aceleración diferente de cero.
4. Un cuerpo tiene aceleración constante y velocidad variable.
5. Un cuerpo tiene velocidad constante y aceleración variable.

1. Diga cuál de los gráficos v vs. t representados se aproxima más al de la velocidad en función del tiempo, de una piedra que es lanzada verticalmente hacia arriba en el instante t=0 s y vuelve a tierra para t= t’. Justifique su respuesta.



2. Sobre un plano inclinado de 30º se tiene un cuerpo de masa 100kg. ¿Cuál será el valor de la fuerza F que se debe aplicar para que el cuerpo no baje por el plano, si el coeficiente de fricción estático es de 0,25?
3. En el salto de longitud influye para algo la altura que se logra con el salto. Explique su respuesta.
4. Diga si puede existir algún movimiento circular donde la aceleración sea nula. Explique su respuesta.
5. Dado el gráfico v vs. t del movimiento de una partícula :

1. Clasifique los movimientos que ha presentado en cada tramo.
2. Halle la aceleración de 2 a 4 s.
3. Calcule el desplazamiento y el camino recorrido de 4 a 7 s.
4. Señale en que momento se invierte el sentido del movimiento. Explique.
5. A partir del gráfico dado construya el de a vs. t para todo el movimiento de la partícula.

7- Un tractor al ser acelerado adquiere un movimiento rectilíneo uniformemente variado, aumentando su velocidad en un minuto de 28 km/h a 40 km/h. Halle:

1. El valor de su aceleración.
2. La distancia recorrida durante el tiempo que fue acelerado.

8 - La relación existente entre el desplazamiento experimentado por un cuerpo y el tiempo viene expresado por la ecuación, donde A=6m, B=3m/s y C=2m/s². Calcule los valores medios de la velocidad y la aceleración en el intervalo comprendido entre 1 y 4 segundos.

9 - Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba, volvió a la tierra al cabo de 3s. Desprecie la resistencia del aire y calcule:

1. La velocidad con que fue lanzado.
2. La altura a que se elevó.

10- En el momento en que enciende la luz verde un semáforo de tránsito, arranca un automóvil con una aceleración constante de 6m/s². En el mismo instante un camión que se mueve a una velocidad constante de 15m/s alcanza y rebasa al automóvil.

1. Diga a qué distancia del punto de partida alcanzará el automóvil al camión.
2. Diga a qué velocidad irá el automóvil en dicho instante.
3. Trace la gráfica x vs. t para cada vehículo.

11- De la boquilla de una ducha gotea el agua hasta el suelo que se encuentra a 2m de la misma; las gotas caen a intervalos de tiempo regulares, llegando la primera gota al suelo en el instante en que comienza a caer la cuarta. Encuentre la posición de las gotas individuales cuando una de ellas llega al suelo.

12- Los bloques de masa se encuentran unidos entre sí mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable, que pasa por una polea cuyas dimensiones y masa no consideraremos. Si el coeficiente de fricción entre la superficie del plano y el bloque es de 0,4. Calcule:

a) Aceleración con que se moverán los bloques.

b) Tiempo que emplea el bloque 2 en recorrer los primeros 0,5 m.

c) Valor de la tensión en la cuerda.

13- Un cañón está colocado a 150m de la base de una montaña en posición para que sus proyectiles pasen rasantes por su cima, cuya altura es de 50m, con un ángulo de tiro de 45º. Calcule la velocidad inicial de sus proyectiles.

14- Desde un punto situado a 45m sobre el agua se lanza una piedra con una velocidad inicial de 30m/s y dirección de 30º por encima de la horizontal. Halle:

a) Tiempo que emplea la piedra en llegar al agua.

b) Altura máxima que alcanza.

c) Distancia horizontal, medida a partir del puente, cuando la piedra toca el agua.

15- Para que gire un tractor, el tractorista frena una de las orugas, de modo que el eje de la rueda motriz comienza a avanzar con una velocidad de 4m/s, con un movimiento próximo a un MCU. Si la distancia entre las orugas es de 1,5m. Calcule:

a) Velocidad angular con que se desliza el tractor.

b) Ángulo barrido, si para el giro empleó 10 s.

c) Distancia recorrida por la rueda motriz en los 10 s.

16- Una piedra de amolar tiene una aceleración angular constante de 3 rad/s², a partir del reposo, durante 2s, para después mantener una velocidad angular constante. Si el radio de la piedra es de 0,25m. Calcule:

a) Velocidad del MCU.

b) Aceleración tangencial en el intervalo de 0 a 2 s.

c) Valor de la aceleración normal o radial para t = 2 s.

d) Aceleración lineal total de la piedra para t = 2 s.

17- Un volante de 1500 mm de diámetro dio 60 revoluciones en los primeros 45 s después de arrancar. Suponiendo que el movimiento del mismo sea uniformemente ⁰acelerado, halle:

1. la aceleración tangencial de un punto situado en el borde.
2. la aceleración angular del volante.
3. c) la velocidad angular y la periférica al cabo de 60 s.

18- Un estudiante desea determinar los coeficientes de fricción estática y cinética entre una caja y un tablón. Coloca la caja sobre el tablón y gradualmente eleva un extremo del tablón. Cuando el ángulo de inclinación respecto a la horizontal alcanza un valor de 28⁰ la caja comienza a deslizarse y desciende 2,53 m por la superficie del tablón en 3,92 s. Halle los coeficientes de fricción.

Los dos bloques m=16 kg y M=88 kg, mostrados en la figura, pueden moverse libremente. El coeficiente de fricción estático entre los bloques es m =0,38, pero la superficie bajo M carece de fricción. ¿Cuál es la fuerza

horizontal mínima F necesaria para mantener unidos los bloques?

Un bloque de 4,4 kg esta colocado sobre otro de 5,5 kg. con el objeto de que el bloque de arriba se deslice sobre el de abajo, que se mantiene en reposo, debe aplicarse sobre el bloque de arriba una fuerza de 12 N.

22- Una curva peraltada de una carretera circular esta diseñada para que el tráfico se mueva a razón de 95 km/h. El radio de la curva es de 210 m. El tráfico se mueve a lo largo de la carretera a de 52 km/h en un día tormentoso. a) ¿Cuál debe ser el coeficiente de fricción mínimo entre las llantas y la carretera para que los automóviles tomen la curva sin patinar? b) ¿Cuál debe ser la velocidad mayor con la que puede ser tomada la curva sin que haya un patinaje, tomando el valor anterior de coeficiente de fricción?