Objetivo: Resolver problemas utilizando el método dinámico y aplicando las leyes estudiadas para la traslación en sistemas de referencia inerciales.

Recordemos el algoritmo de trabajo para dar solución a un problema utilizando el método dinámico:

1.-Análisis de la información que aporta el texto del problema, extrayendo los datos numéricos que se dan en el mismo, así como estudiar el esquema que en el se brinde o construirlo a partir de la información con que se cuente.

2.-Construir el o los diagramas de fuerza de los cuerpos que formen el sistema y representar mediante vectores las fuerzas externas que sobre él actúan, recordemos que la fuerza normal sólo se representa si el cuerpo está en contacto con alguna superficie.

3.-Elección del sistema de referencia y establecimiento del convenio de signos, sugerimos se considere como positivo el sentido en que se mueva o tienda a moverse el cuerpo o sistema. Un sistema de referencia inercial (SRI) es aquel que se encuentra en reposo o animado de MRU, es decir que cumpla con la primera Ley de Newton, y un sistema de referencia no inercial (SRNI) es aquel que no satisface la primera ley de Newton, es decir aquellos que están acelerados.

4.-Dar cumplimiento a las leyes del Movimiento Mecánico, a fin de obtener las ecuaciones del movimiento para cada cuerpo o partícula, para la traslación la segunda ley se expresará como:S F = m a y para la rotación Mo = Io a y la tercera ley F_AB =- F_AB, teniendo en cuenta que estas ecuaciones son vectoriales y para representar las ecuaciones en su forma escalar, el signo indicará el sentido de la fuerza, según el convenio escogido y la letra que represente su módulo o intensidad.

5.- Plantear las ecuaciones de ligadura, que son aquellas que permiten establecer relaciones matemáticas entre los movimientos que presenten los cuerpos del sistema.

6.-Solución del sistema de ecuaciones obtenidas, para lo cual haremos las operaciones literalmente, solo sustituyendo por los valores numéricos en la ecuación final lograda.

7.- Análisis del resultado obtenido y expresión del mismo atendiendo a la unidad que corresponda con la magnitud calculada en el Sistema Internacional de Unidades.

El cuerpo de masa m representado en la figura describe un movimiento circular de radio R. Si en el momento en que su aceleración normal es a_N el cuerpo se desprende de la cuerda que lo mantiene girando y realiza el movimiento representado, recorriendo primero la distancia x₁

sobre la superficie de la mesa, donde el coeficiente de fricción dinámico es m _d y posteriormente el movimiento parabólico, siendo "y" la altura de la mesa ¿A qué distancia medida sobre la horizontal caerá de la mesa?

Datos: m, R, a_N, x1, y, g, m _d Incógnita: x2

Para poder calcular la distancia x₂ necesitamos conocer con que velocidad sale el cuerpo de la mesa y para poder hallar esta antes debemos calcular la velocidad lineal que el mismo presenta en el momento en que se libera de la cuerda, la que podemos hallar

planteando que: a_N = V² = a_N R. Donde V = a_N R (velocidad del

cuerpo cuando se libera).

El dato siguiente que necesitamos es la velocidad con que sale de la mesa, pero para ello debemos calcular la aceleración retardatriz que el cuerpo tiene al recorrer la distancia x₁ bajo los efectos de la fuerza de rozamiento, que calcularemos mediante análisis dinámico para un SRI.

Como la f_rd =m _d N, podemos plantear que – m _d N = F_max y como N= mg , entonces

–m _dmg = ma_x lo que implica que a_x= -m _d g. Conociendo el valor de a_x podemos calcular la velocidad mediante la expresión V²=Vo² + 2a_x D x , y como

Para poder calcular x₂, debemos antes conocer el tiempo que emplea el cuerpo para llegar al suelo, el que hallaremos mediante la expresión y = yo + ½ g t²; si planteamos el origen de nuestro sistema de referencia en el suelo y positivo hacia arriba, entonces g será negativa, y = 0, yo = y, lo que implica que 0 = y-½ g t², por lo que t = 2y / g , sustituyendo en la expresión del MRU tendremos que

x₂ = (a_N R- m d gx₁) (2y / g), que es lo nos solicitaban calcular.

1. Dada la gráfica V vs.t representada del movimiento de una partícula, responda:

Condición de movimiento que presenta para los intervalos de tiempo 0-2, 2-4,

4-6, 6-7 y 7-8 segundos.

a) ¿Qué nos indica el gráfico que sucede

a partir del cuarto segundo y hasta el octavo?

b) ¿Cómo calculamos la distancia recorrida (trayectoria) y el desplazamiento?

c) Explique cómo calcular la aceleración a partir del gráfico dado.

2. El cuerpo de masa m representado describe un MCU, donde el valor modular de la velocidad es constante.

1. Si se libera cuando está en el punto superior describe el movimiento representado con trazos discontinuos. ¿Podría explicar por qué se mueve así, a partir del principio de independencia del movimiento de Galileo?

1. El hombre de la figura se encuentra en un ascensor que se mueve aceleradamente. a)¿Cuándo y por qué sentirá más pesado el paquete que lleva en su mano, en subida o bajada?

l.- Identificar los términos de impulso y cantidad de movimiento angular a partir de la expresión de la segunda ley del movimiento mecánico para la rotación y aplicar la ley fundamental de la dinámica de la rotación a situaciones prácticas de la vida cotidiana.

2.-Identificar el movimiento plano, como un movimiento combinado de rotación y traslación sin deslizamiento y caracterizarlo dinámicamente, dando solución a problemas numéricos mediante la aplicación del método dinámico.

• La segunda ley del Movimiento Mecánico para la rotación se expresa como para casos en que el momento de inercia (I₀) es constante, siendo o , donde al término dt se le denomina impulso angular infinitesimal (dG) y al término ( o

• La expresión más general de la segunda ley de Newton para la dinámica de la rotación nos plantea que el , siendo equivalente a la expresión , la cual expresa la segunda ley del movimiento mecánico, enunciada por Newton para la traslación. También podríamos plantear la ecuación anterior para la rotación como

• El momento resultante externo es igual al momento de inercia (I₀) por la aceleración angular (a ). Esta expresión constituye la ecuación básica de la dinámica de la rotación o segunda ley de Newton para la rotación, para el caso en que el momento de inercia sea constante y es equivalente a la expresión , la cual expresa la segunda ley del movimiento mecánico, enunciada por Newton, para el caso particular de la traslación cuando la masa es constante. En la ecuación del momento resultante externo es el momento de inercia del cuerpo, magnitud que nos da la medida de la inercialidad del cuerpo en rotación y la aceleración angular, o sea, la rapidez de cambio de la velocidad angular respecto al tiempo. Como se observa podemos plantear que la aceleración angular es directamente proporcional al momento resultante de la fuerza externa e inversamente proporcional al momento de inercia. (kgm²/s²) o (Nm), (kgm²) y

• El momento resultante externo es también igual al producto vectorial (producto externo de dos vectores) de la fuerza externa aplicada, por el vector de posición de la fuerza respecto al eje de rotación, lo que escalarmente se expresa como el producto de la fuerza por la distancia perpendicular del punto de aplicación de la misma al eje de rotación del cuerpo por el seno del ángulo que se forma entre estos dos vectores () Su dirección y sentido se determina aplicando la regla de la mano derecha, siendo siempre la dirección del vector momento resultante externo perpendicular al plano en que se encuentran los vectores

• La cantidad de movimiento angular es un vector, el cual se obtiene a partir del producto vectorial del radio vector y la cantidad de movimiento lineal. Su dirección y sentido se puede determinar aplicando la regla de la mano derecha y su dirección siempre será perpendicular al plano formado por el radio vector y el vector cantidad de movimiento lineal (el dedo índice nos indicara la dirección y el sentido de el radio vector, el dedo del medio la dirección y el sentido de la velocidad lineal y el dedo pulgar la dirección y el sentido del vector cantidad de movimiento angular). L [kg m²/s], r [m] y p[kg m/s]

• ---

  G = ò dt El impulso angular es una magnitud vectorial, cuya dirección y sentido será la misma del momento resultante externo. G [Nms] o [kg m²/s], [Nm] y t [s]
• Recordemos que el o que

• El movimiento plano es el movimiento que ejecuta un cuerpo combinando los movimientos de rotación y traslación, sin deslizar, por lo que se cumple que:

Datos:

r = 0,1 m

R = 0,2 m

Como primer paso después de analizar el texto del problema y la información que se nos brinda, pase a construir los diagramas de fuerzas de la polea y los cuerpos, así como a definir el convenio de signos del sistema de referencia, para lo cual recomendamos asumir como positivo el del sentido del movimiento o tendencia de este.

A continuación damos cumplimiento a la segunda ley de Newton para la traslación y la rotación.

Traslación: S F =ma Rotación: = I_o a

Cuerpo A Cuerpo B

T_A – m_Ag = m_Aa (1) m_Bg – T_B = m_Ba (2) T_BR – T_Ar –= I_oa (3)

A continuación planteamos las ecuaciones de ligadura, es decir: a_A = a r (4) y a_B = a R (5).

Recuerde que a es la misma para los dos casos por ser una característica cinemática del cuerpo en rotación.

De las ecuaciones anteriores vemos que tenemos como incógnitas a la T_A, T_B, a , a_B y el que es lo que nos solicitan, por lo que debemos reducir el problema a esta única incógnita.

Para eliminar T_A y T_B multiplicamos la ecuación 1 por r y la 2 por R y las sumamos algebraicamente con la ecuación 3, dando como resultado:

–m_Agr + m_BgR – = m_Aa_Ar ₊ m_Ba_BR + I₀ a

a partir de esta ecuación y utilizando las ecuaciones 4 y 5 dejamos sólo como incógnita una aceleración, despejamos el momento de la fricción y lo calculamos, el que nos da 1,4 Nm.

3) Un hombre cuya masa es de 80 Kg está de pie en el borde de una plataforma de radio 3m y momento de inercia 284 kg m², montada sobre un árbol vertical y sin rozamiento que pasa por su centro. Todo el sistema está inicialmente en reposo. El hombre camina a lo largo del borde exterior de la plataforma con una velocidad de 0,6 m/s respecto a la tierra. ¿ Con qué velocidad angular y en que sentido girará la plataforma?

Como al inicio el sistema esta en reposo, podemos afirmar que la cantidad de movimiento angular inicial es nula, es decir L₁ = 0 y al final L₂ =I_p w p + I_h w _h pero como el hombre se mueve respecto a la tierra sobre una circunferencia con una velocidad de 0,6 m/s, su velocidad angular será w _n = V/R y su momento de inercia I_n = m_n R², por lo que L₂ = m_p w _p + m_n R V/R y como L₁ = 0 podemos plantear que m_p w_p + m_n RV = 0, donde m_p w_p = - m_n RV Þ w _p = -m_hRV/m_p. Sustituyendo valores tendremos que w p = - 0,5 rad/s. El signo negativo indica que la plataforma girará en sentido contrario al movimiento del hombre.

4) Un cilindro sólido uniforme de radio R y masa m, tiene una velocidad angular inicial w _o y se deja caer sobre una superficie horizontal plana. El coeficiente de fricción entre la superficie y el cilindro es μ_s. Después de cierto tiempo el cilindro rueda sin deslizar por la superficie. Calcule :

1. Velocidad del centro de masa del cilindro en el instante en que comienza a rodar sin deslizar.
2. Valor de la fuerza de fricción.

Después de extraer los datos e identificar las incógnitas construimos el diagrama de fuerzas, donde observamos que todas las fuerzas que actúan sobre el cilindro son constantes, por lo que la aceleración de su centro de masa también será constante.

Para la traslación podemos plantear que F= ma = m pero Vo =0 y

V = V_CM, que es la velocidad en el instante t en que comienza a rodar sin deslizar y por otro lado la fuerza resultante F =f_rs y la f_rs = μ_s N = μ_s mg, por lo que:

Ejercicios propuestos.

1. Dos esferas de igual masa, pero una de mayores dimensiones que la otra, se encuentran sobre un plano inclinado situados a la misma distancia del suelo. ¿Si se liberan llegarán juntos al suelo o no? ¿De no ser así, cual de ellos llega primero y porqué?



Dos cuerpos de masas diferentes están unidos entre sí por un hilo que pasa por una polea. El momento de inercia de la polea es de 50 kgm² y su radio de 20 cm. La polea se mueve con rozamiento y el momento de la fuerza de fricción es de 98,1 Nm. Halle la diferencia que hay entre las tensiones T1-T2 en el hilo por ambos lados de la polea, conociendo que esta gira con una aceleración angular constante de 2,36 rad/s².

3. Un disco uniforme de radio R y masa M está montado en un eje apoyado en chumaceras sin fricción. Una cuerda ligera está enrollada al borde de la rueda y eleva suspendida en un extremo un cuerpo de masa m. Halle la aceleración angular del borde y la tensión en la cuerda.



4. Calcule la aceleración angular de la rueda de la figura y la de la traslación de los bloques conociendo que m1 = 1 kg , m2 = 2 kg , M = 4 kg , R = 0,1m , r = 5 cm y el coeficiente de fricción entre la superficie y el bloque de masa m1 es m = 0,1.

Desprecie el rozamiento del eje de la rueda y considere a esta como un cilindro de radio R, donde Io =½ MR².



5. El cilindro representado de masa 2 kg rueda sin deslizar por una superficie horizontal bajo los efectos de la fuerza F=36 N, aplicada a una distancia x = 0,4 m el centro del cilindro. El radio del cilindro es R = 0,6 m y el coeficiente de fricción estático entre la superficie del cilindro y la superficie horizontal es de 0,5 (asuma el momento de inercia como Io=½mR²).

a)¿ Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento?

b)¿ Diga si el cilindro está próximo o no a deslizar?



6. Una esfera maciza y homogénea de radio R rueda sin deslizar por un plano inclinado que forma un ángulo q con la horizontal.

1. Calcule la aceleración del centro de masa de la esfera y compare este valor con el que tuviera un cuerpo de igual masa que bajara deslizándose sin rodar.
2. ¿Cuál es valor mínimo que puede tener el coeficiente de rozamiento estático para que no exista deslizamiento?

7)

Conceptos Palabras enlace

• Segunda ley del movimiento mecánico para la rotación - Si I₀ es constante
• ( = dL/ dt o

• Impulso angular (G = ò dt) - caso particular
• Variación de la cantidad de movimiento angular (∆L) - donde
• Cantidad de movimiento angular (L = I_0w )
• Momento de Inercia (I₀ = kmr²)
• Aceleración angular (a = dw /dt)

Tarjeta de estudio No. 5. Tema: Análisis Dinámico y Cinemático del Movimiento Mecánico para la Rotación.

Objetivo: Resolver problemas utilizando el método dinámico y aplicando las leyes estudiadas para la traslación y la rotación en sistemas de referencia inerciales.

Recordemos el algoritmo de trabajo para dar solución a un problema utilizando el método dinámico:

1.-Análisis de la información que aporta el texto del problema, extrayendo los datos numéricos que se dan en el mismo, así como estudiar el esquema que en el se brinde o construirlo a partir de la información con que se cuente.

2.-Construir el o los diagramas de fuerza de los cuerpos que formen el sistema y representar mediante vectores las fuerzas externas que sobre él actúan, recuerde que la fuerza normal sólo se representa si el cuerpo está en contacto con alguna superficie.

3.-Elección del sistema de referencia y establecimiento del convenio de signos, sugerimos se considere como positivo el sentido en que se mueva o tienda a moverse el cuerpo o sistema. Un sistema de referencia inercial (SRI) es aquel que se encuentra en reposo o animado de MRU, es decir que cumpla con la primera Ley de Newton, y un sistema de referencia no inercial (SRNI) es aquel que no satisface la primera ley de Newton, es decir aquellos que están acelerados.

4.-Dar cumplimiento a las leyes de la Dinámica del Movimiento Mecánico, a fin de obtener las ecuaciones del movimiento para cada cuerpo o partícula, para la traslación la segunda ley se expresará como:S F = m a y para la rotación M_o = I_o a y la tercera ley F_AB =- F_BA, teniendo en cuenta que estas ecuaciones son vectoriales y cuando se represen las ecuaciones en su forma escalar, el signo indica el sentido de la fuerza, según el convenio escogido y la letra lo que representa es su módulo o intensidad.

5.- Plantear las ecuaciones de ligadura, que son aquellas que permiten establecer las relaciones matemáticas entre los movimientos de traslación y rotación que presenten los cuerpos del sistema.

6.-Solución del sistema de ecuaciones obtenidas, para lo cual le proponemos hacer todas las operaciones literalmente y solo sustituir por los valores numéricos en la ecuación final lograda.

7.- Análisis del resultado obtenido y expresión del mismo atendiendo a la unidad que corresponda con la magnitud calculada en el Sistema Internacional de Unidades.

Determine:

1. Tensión en la cuerda.
2. Aceleración lineal con que baja el cilindro si la masa de la polea es de 0.5 kg. Y su radio de 4 cm. Desprecie la fricción en su eje.

1. Dos esferas de igual volumen, una de ellas hueca y la otra maciza, están situadas en el borde superior de un plano inclinado e inician simultáneamente el movimiento rodando sin deslizar por su superficie, suponiendo el igual para ambas esferas.

a) ¿Llegarán juntos a la base? ¿Cuál llegará primero y porqué?

b) ¿Qué expresiones deben cumplirse en el movimiento plano?

c) ¿Cómo calcularías la aceleración con que las mismas bajan por el plano inclinado?

2. El vagón de la figura avanza aceleradamente sobre una superficie horizontal a razón de 2

Si el mismo parte del reposo y lo hace durante 4 s, determine:

1. Distancia que recorrerá la esfera maciza de radio 0,2 m y masa 15 kg que se encuentra en el suelo del vagón, si la fricción que actúa sobre la misma para que no deslice sea máxima.

2. Valor del coeficiente de fricción estática.

1. Un hombre de masa 60 kg está parado en el borde de una plataforma de radio 5 m y masa 120 kg, sosteniendo sobre su cabeza un cuerpo de masa 20 kg.

Consideremos despreciable la fricción en el eje vertical que pasa por el centro de la plataforma, y cuando esta gira con una velocidad angular de 4 rad/s el hombre suelta el cuerpo y este cae fuera de la plataforma.

1. ¿Qué sucederá con la velocidad de la plataforma después que el hombre suelta el cuerpo? Calcúlela.
2. ¿A qué distancia de la plataforma caerá el cuerpo, medido sobre la horizontal, si se encontraba a una altura de 1,5 m del suelo?

La figura representa un cuerpo de masa que se encuentra en el borde de una plataforma circular de masa M y radio R, la cual gira con una velocidad angular w a favor de las manecillas del reloj y un cuerpo de masa m₂ que cuelga al mismo nivel de la plataforma y muy próximo a ella.

En un instante dado el cuerpo de masa sale de la plataforma y se proyecta frontalmente sobre el cuerpo de masa m2 realizando un choque plástico.

1. ¿Qué sucede con la velocidad de la plataforma al separarse el cuerpo de masa de ella? De muestre su respuesta.
2. ¿Cómo podríamos hallar la velocidad de los cuerpos de masa y m2 después del choque?

Tarjeta de Estudio No 6. Tema: Energía Mecánica en la Traslación.

Temática: Trabajo mecánico. Potencia. Energía Cinética. Teorema del trabajo y la energía cinética. Energía potencial (gravitatoria y elástica). Energía mecánica. Sistemas conservativos y no conservativos. Teorema del trabajo y la energía mecánica para una partícula y un sistema.

Objetivo: Resolver problemas aplicando el concepto de trabajo mecánico y el teorema del trabajo y la energía mecánica en sistemas conservativos y no conservativos para la traslación.

Información teórica básica:

• Se realiza trabajo mecánico cuando bajo los efectos de una fuerza aplicada sobre un cuerpo o sistema este experimenta cierto desplazamiento, por lo que para la traslación W =, expresándose en su forma escalar como W =q , siendo q el ángulo que se forma entre la fuerza y el desplazamiento.
• La energía cinética se expresa como Ec= ½m V² para la traslación, estando asociada al movimiento y la energía potencial está asociada a la posición, pudiendo ser gravitatoria, cuando nos referimos a la posición del cuerpo respecto a la tierra (Epg = m g y) o elástica, cuando nos referimos a la posición relativa entre las partes del cuerpo (Epe = ½k x²), la suma de estas energías nos da la energía mecánica total, que para un instante dado, que posee un cuerpo o sistema que se traslada (Emec = Ec + Ep), A= D Ec y A = - D Ep (el signo menos indica que la energía potencial es una función de la posición)
• Las fuerzas que cumplen con la condición de que §F dr = 0 se denominan fuerzas conservativas, por lo que el trabajo que estas realizan para una trayectoria cerrada es nulo, conservándose íntegramente la energía mecánica, en caso contrario las fuerzas que actúan son no conservativas o no potenciales.
• El teorema del trabajo y la energía mecánica nos plantea que W^e +Wⁱ_{no pot.}=D Ec + D Ep si el sistema es conservativo la D Emec=0 y si es no conservativo la D Emec ¹ 0.

El resorte de la figura de constante elástica k=100 N/m está comprimido una distancia de 2m. Al liberarse impulsa al bloque, el cual desliza por la superficie rugosa la distancia L=4m, donde el coeficiente de fricción dinámico m d = 0,112, para después subir por el plano inclinado, en el cual se desprecia la fricción. ¿Hasta que altura logra subir por el mismo?

Datos: Incógnita:

X = 2m

m _d = 0,112

k = 100 N/m

m = 16 kg

Después de analizar el texto del problema y extraer los datos que se nos brindan, así como identificar la incógnita, debemos trazarnos la estrategia de trabajo. En este caso el problema consta de dos partes, la primera referente al sistema no conservativo, debiéndose calcular la velocidad del cuerpo después de recorrer la distancia L y la segunda parte la correspondiente al sistema conservativo, para calcular hasta que altura llega el cuerpo.

Aplicamos el teorema del trabajo y la energía mecánica para un sistema no conservativo.

W^e + Wⁱ_{no pot} = D Ec + D Ep

Conocemos que W^e= Fx cosq , por lo que el trabajo producido por las fuerzas N y mg es nulo, ya que el ángulo que ellas forman con el desplazamiento es ½P o 3/2P , es decir A=0. También

conocemos que la fricción es una fuerza no potencial por lo que el teorema quedaría:

W_fr = D Ec +D Epe. El W_fr = fr L cos q siendo q =P cosP , = -1 y la fr =m N, siendo N= mg, por lo

que el W_fr = - m m g L.

La D Ec= ½m (V² – Vo²), siendo Vo=0 por estar el cuerpo en reposo inicialmente y V la velocidad que presenta una vez recorrida la distancia L.

La D Epe = ½ k (x² – xo²), siendo xo = 2m, es decir la distancia que estaba comprimido inicialmente y x= 0 ya que después de liberado el retorna a su posición de equilibrio.

Por lo que: - m m g L = ½ m V² - ½ k xo², despejando V queda:

Una vez calculada la velocidad que alcanza el cuerpo después de recorrida la distancia L, aplicamos el teorema del trabajo y la energía mecánica para un sistema conservativo, en el que D Ec + D Ep = 0

La D Ec = ½m (V²-V_o²), donde V₀=4m/s, la velocidad con que inicia el cuerpo el ascenso por el plano inclinado y V=0, pues esta corresponde con la máxima altura lograda por el cuerpo.

La D Ep en este caso será gravitatoria, por lo que D Epg =m g (h – h_o), siendo h_o=0 y h la altura que debemos calcular:

Por lo que: 0= -½ m V₀² + m g h, despejando h y resolviendo queda: h = y h=0,8m.

1.- Un bloque de hielo de 445 N resbala por un plano inclinado de 1,52 m de largo y 0,91m de altura. Un hombre sostiene el hielo paralelamente al plano con la fuerza F, para que deslice con velocidad constante por la superficie del plano, donde el coeficiente de fricción dinámico es de 0,1. Calcule

1. La fuerza ejercida por el hombre.
2. El trabajo realizado por el hombre sobre el hielo.
3. El trabajo hecho por la fuerza normal a la superficie sobre el hielo.
4. El trabajo hecho por la fuerza de gravedad sobre el hielo.

2.-Una fuerza constante de 5 N que forma un ángulo de 60° con el desplazamiento está aplicada a un cuerpo, desplazándolo desde la posición Xo = 0 a X= 0,5m.

1. ¿Qué trabajo realiza esta fuerza?
2. Si la fuerza varía con el desplazamiento, según la relación F=5Xi y origina el cambio de posición anterior. ¿Qué trabajo realizará esta fuerza?

3.-Un cuerpo de masa 2 kg se ha lanzado sobre una superficie horizontal rugosa, donde después de recorrer una distancia de 0,5 m se detiene.

1. Explique energéticamente. ¿Por qué el bloque se detiene?
2. Si el coeficiente de fricción dinámico entre el cuerpo y la superficie es de 0,1 ¿Con qué velocidad fue lanzado el cuerpo?
3. ¿Cuál es la aceleración retardatriz del cuerpo y cual es su causa?

4.- El bloque representado se encuentra sobre una pista circular lisa de radio R, deslizándose por ella a partir del reposo, la superficie horizontal es rugosa, de coeficiente de fricción dinámico m d, recorriendo sobre ella la distancia x hasta chocar con el resorte de constante elástica k ¿Cuánto se comprimirá el resorte?

Datos:

m= 3 kg m d= 0.1

k= 400 N/m x= 4 m

R= 1 m

5.- Un pequeño bloque de masa m resbala por una vía sin fricción en forma de lazo, como se muestra en la figura, si parte del reposo del punto P.

a) ¿Cuál será la fuerza resultante que obra sobre el bloque cuando este en Q?

b) ¿Desde que altura habría que soltarlo para que la fuerza que ejerza sobre la vía en la parte superior (punto L) sea igual a mg?

Datos: h = 5R, Fr=0, Vo=0

6. Construya el mapa conceptual del contenido tratado, teniendo en cuenta la siguiente relación de conceptos y palabras o frases enlace.

Energía mecánica

Energía cinética

Energía potencial

Energía potencial elástica

Energía potencial gravitatoria

Epe = ½ k x²

Ec =½ m V²

Sistema conservativo

Sistema no conservativo

D E_mec = 0

D E_{mec ¹} 0

§ F dr =0

A = D E _mec

Se compone por

Se expresa por

Puede ser

Su variación puede ser nula si

Su variación puede ser diferente a 0 si

Implica que

Donde el

Objetivo: Interpretar y aplicar el teorema del trabajo y la energía mecánica para la rotación y el movimiento plano.

• La energía cinética para la rotación se expresa como E _CR =½ I_o w ², siendo I_o el momento de inercia del cuerpo en rotación y w la velocidad angular del mismo I_o = k m R², siendo k una constante que depende de la geometría del cuerpo en cuestión.

• En un sistema de cuerpos donde unos rotan y otros se trasladan la energía mecánica total del sistema es la suma de las energías cinéticas de traslación y rotación más las energías potenciales de interacción entre los cuerpos del sistema, que permanezcan en reposo; es decir:

E_{mec sist} = ∑½ m V ² + ∑ ½ I_ow ² + ½ k X ² + m g y

• El trabajo para la rotación será igual a , o sea

• En el movimiento plano se ejecutan de forma simultánea los movimientos

de traslación y rotación, sin deslizar el cuerpo, por lo que para el mismo la

E_MEC = E_p + E_cTRAS. + E_{cROT ,} donde la energía potencial puede ser

gravitatoria (mgy) o elástica (½k x² ), la cinética traslacional (½mV²) y la

cinética rotacional (½I_ow ²).

• En el movimiento combinado de traslación y rotación sin deslizamiento, o sea, en condición de rodadura pura el punto de contacto entre el cuerpo y la superficie sobre la cual este se apoya está instantáneamente en reposo y la fuerza de fricción a considerar es de tipo estático y la misma no

realiza trabajo mecánico. Para el mismo se puede plantear:

• Para el análisis dinámico debemos dar los siguientes pasos

1. Construir el diagrama de fuerzas
2. Plantear el convenio de signos y dar cumplimiento a la segunda ley de Newton para la traslación y rotación.
3. Establecer la ecuación de ligadura que corresponde.
4. Trabajar el sistema de ecuaciones y hallar la incógnita expresándola en la unidad correspondiente.

También debemos tener presente que: I_o =²/5 M R² (5)

Sustituyendo las ecuaciones 4 y 5 en la 3 queda: f_re = 2/5MR² (a _CM / R²) f_re = ²/5 M a_cm (6)

Sustituyendo 6 en la ecuación 1 para eliminar la fre queda:

Mg senq =Ma_cm + 2/5Macm acm = 5/7 g senq .

Una vez obtenida la a_cm podemos por vía cinemática hallar la V_cm, a partir de la expresión

V²_CM =V²_oCM + 2 a_CM L, donde V _oCM= 0 por partir del reposo y

L = h / sen q (distancia recorrida por la esfera sobre el plano al descender la altura h).

Por ello V²_CM = 2 (5/7 g senq ) h / sen q siendo la ecuación final:

V _CM =

Para el análisis energético debemos plantear que:

W _{no cons} = D Emec, pero como la fricción es estática y esta no realiza trabajo entonces la D Emec =0 , D Ep + D Ec = 0.

Como el cuerpo a la vez que se traslada esta rotando, presentará energía cinética para ambos movimientos, por lo que:

D E_pg + D E_ct + D E_cR = m g (h-h _o) + ½M (V² _CM –V² _{o CM} )+ ½I _o (w ² – w ₀²) = 0.

Sabemos que V _{o CM} y que w ₀ = 0, por partir la esfera del reposo y h = 0 pues supondremos que el cuerpo llega a la base del plano, por lo que:

-m g ho + ½m V² _CM + ½ Io w ² = 0.

Planteamos como ecuación de ligadura w = V _CM/R y además I_o = 2/5 M R² sustituyendo obtenemos: -M g h_o + ½ M V² _cM + ½(2/5 M R²)(V_CM/R)², cancelando R² y agrupando términos semejantes queda ½ M V²_CM +2/10 M V²_CM = M g h_o, cancelando M y despejando obtenemos que:

1. Un volante de masa 20 kg y radio 0,5 m gira con velocidad angular de 20 rad/s, si al cabo de 5 segundos se detiene. Calcule:

1. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
2. Aceleración lineal de los puntos extremos del volante.

Un cilindro macizo de radio 0,01 m y masa 20 kg rota con respecto a un eje fijo que pasa por su centro, como se muestra en la figura.

Una cuerda ligera e inextensible enrollada sobre su periferia soporta un cuerpo de masa 10 kg.

Despreciando el rozamiento en el eje de rotación y considerando que el sistema parte del reposo, determine la velocidad del cuerpo cuando este descendió 10 m.

1. Un disco de masa 1kg y diámetro 0,6 m gira alrededor de un eje, que pasa por su centro perpendicular al plano del disco y da 20 RPS. ¿Qué trabajo hay que hacer para detener el disco en 5 segundos?
2. Al borde de un disco de masa 5kg hay aplicada una fuerza tangencial constante de 20N ¿Qué energía cinética tendrá el disco al cabo de un tiempo de 5 segundos de haber comenzado a actuar la fuerza si su radio es de 0,4 m.
3. ¿Qué condiciones deben cumplirse para poder plantear que un cuerpo presenta un movimiento plano? Explique.
4. Un bloque de 100kg de masa está suspendido de un cable inextensible que está enrollado a un tambor de 0.4m de radio, el cual se encuentra rígidamente unido a un volante. El conjunto del tambor y el volante tiene un momento de inercia de 2kgm². En el momento en que se inicia la observación la velocidad del bloque es de 2m/s dirigido hacia abajo. Si el momento de la fuerza de rozamiento es de 10nm. Calcule la velocidad que adquiere el bloque al descender 1.5 m.



5. Del sistema representado, calcule la velocidad de ambos cuerpos al llegar la esfera a la base del plano, si suponemos fricción en toda la superficie, la esfera rueda sin deslizar, la polea no tiene masa y la cuerda es inextensible y de masa despreciable.

M₁ = 1 kg

M₂ = 5 kg

R = 0,5 m

m = 0,2

yo = 2 m

L = 4m

Io = 2/5 m2 R²

Sen 60 = 0.86

Cos 60 = 0.5

Datos: m, R, v, I_o =½mR².

9)

Datos: H, K, L, M, m, r, v₀, m _d, I₀=1/2 mr²

Plantee como calcular cuanto se comprimirá el resorte de la figura, si el cuerpo de masa m baja por el plano inclinado con rotación sin deslizamiento y choca plásticamente con el bloque de masa M, deslizandose por la superficie horizontal la distancia L, donde el coeficiente de fricción dinámico es m _d hasta chocar con el resorte.

10)

El cuerpo de masa m₁ parte del reposo de la posición indicada, chocando con el cuerpo de masa m₂ de forma tal que cede toda su energía al segundo, quedando en reposo, después del choque. Si el cuerpo de masa m₂ después del choque rueda sin deslizar

1. ¿Hasta que altura subirá?
2. ¿Qué parte de su energía cinética corresponde a la rotación y cual a la traslación después del choque?

Temática: Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica aplicado a fluidos. Ecuación de Bernoullí. Conceptos generales sobre fluidos. Ecuación de continuidad.

1. Interpretar los conceptos básicos generales que caracterizan a un fluido ideal y estar en condiciones de aplicarla a fluidos reales.
2. Interpretar las ecuaciones de Bernoullí y continuidad a partir de las leyes generales de conservación de la energía y la masa y aplicarlas en la solución de problemas.

• Fluido (líquidos y gases) es aquella sustancia que se caracteriza por adoptar la forma del recipiente en el cual está contenida.

• El flujo de un fluido puede ser a régimen:

1. Estable o variable. Es estable cuando la velocidad del fluido para cualquier punto dado es constante en el tiempo, esta velocidad puede tener valores diferentes para distintos puntos, pero se mantendrá constante en el tiempo para cada uno de ellos. Si no cumple con esta condición el fluido fluye a régimen variable.
2. Rotacional o irrotacional. Es irrotacional cuando ningún elemento del fluido posee velocidad angular para algún punto, en caso contrario será rotacional.
3. Compresible o incompresible. Es incompresible cuando bajo los efectos de cualquier presión externa no se puede variar el volumen del fluido; en caso contrario es compresible.
4. Viscoso o no viscoso. Es viscoso cuando se introducen fuerzas tangenciales que se oponen al movimiento relativo entre las capas de fluido, lo cual da lugar a la disipación de la energía mecánica, en caso contrario es no viscoso.

• Consideraremos el fluido como perfecto a aquel que fluye a régimen estable, irrotacional, sin acción de fuerzas viscosas y que sea incompresible, en estos se conserva la energía mecánica cuya expresión se da a partir de la ecuación de Bernoullí, donde P +r gy +1/2 mV²= cte.
• Otra ley de conservación que se cumple en este tipo de fluidos es la de la conservación de la masa, que se expresa mediante la ecuación de continuidad, donde r SV = cte., siendo el producto SV = Q (gasto) el que también se calcula a partir del volumen respecto al tiempo, es decir Q =Vol/t (m /s).

Por el tubo representado fluye agua, la sección transversal en su parte N ancha es de 36 cm² y en la parte estrecha de 9 cm^2. Si cada 5 s. salen del tubo 27 . 10^-3 m³ de agua.

Calcule:

a)Las velocidades en las partes anchas y estrechas del tubo.

b) La variación de presión entre ambas partes

1. La diferencia de altura entre las columnas de mercurio y explique el por qué de esa diferencia de altura.

r _agua=l000 kg/m³

r _Hg =l3600 kg/m³

S₁ =36 cm²= 36 . l0^-4 m²

S₂ = 9 cm²= 9 . l1^-4 m²

v₁= ?

v₂= ?

P₁ – P₂= ?

h= ?

1. En este inciso nos piden las velocidades del agua en las partes anchas y estrechas, por lo que suponiendo este fluido como perfecto podemos plantear que S₁v₁=S₂v₂ (ecuación de continuidad). Conocemos las secciones transversales de ambas partes, pero debemos calcular ambas velocidades, por lo que primero debemos calcular el gasto, es decir el volumen de líquido que atraviesa la sección transversal del tubo para cualquier punto de este en la unidad de tiempo, es decir:

Q=V/t=SvÞ Q= 27.10^-3m³/5 s= 5,4 l0^-3 m³/s

Como Q= S₁v₁=S₂v₂ Þ v₁=Q/S₁ o v₂=Q/S₂

V₁=54 l0^-3m³/s/36 l0^-4m² Þ V₁= 1,5 m/s V₂=54 l0^-3m³/s/9 l0^-4m^2Þ v₂=6m/s

2. Para calcular la diferencia de presiones D P= P₁ - P_2, planteamos la ecuación de Bernoullí, es decir: P₁ + r gy₁ +1/2r v₁² =P₂ + r gy₂ + 1/2r v₂², como en nuestro caso los puntos 1 y 2 están situados al mismo nivel tendremos que r g(y₂-y₁)=0, por lo que P₁-P₂ = 1/2r (v₂²-v₁²) P₁-P₂= ½ 10^-3kg/m^3[ (6 m/s)² – (l,5 m/s)^{2] Þ} P₁-P₂= l6875 Pa.
3. La diferencia de altura en el tubo en U esta dado por la diferencia de presiones (P₁-P₂) razón por la cual el Hg. en la rama izquierda esta mas bajo que en la derecha, a fin de compensar las presiones, ya que P1> P2. En el cálculo de h esto queda demostrado.
4. Apliquemos la expresión de Bernoullí.

P₁ + r gy₁ + 1/2r v₁² = P₂ + r gy₂ + 1/2r v₂², como en el tubo en U no hay movimiento del fluido así como y₂ – y₁ = y, la expresión anterior queda como: y = P₁-P₂/r g Þ y = 0,13 m.

l.- Una tubería para agua cuyo diámetro interior es de 16 cm, transporta un caudal de agua de 0,5 m³/s. Al final de una porción recta de la tubería que está situada en tierra hay un codo de 90⁰, con un reducido de 6 cm de diámetro. Hállese hasta que altura puede llegar el agua por este tubo.

Datos: P₁= 5292800 Pa. P₂= 103660 Pa r = 1000 kg/m³.

2.- - Una turbina imprime al agua una presión de 620160 Pa, impulsándola por una tubería de 706,5 10^-4 m² de sección transversal, situado sobre el suelo hasta llevarla a un grupo de 10 aspersores que están situados para regadío a una altura de 0,8 m del suelo, siendo la sección transversal de salida del agua por cada uno de ellos de 2 10^-4 m^2. Calcule la velocidad de salida del agua por los aspersores.

Datos: r _agua= 1000 kg/m³. P_atm=103360 Pa.

3.- Un tubo por el que fluye agua tiene una elevación de 30⁰ en una de sus secciones que tiene un radio de 10 cm, bajo la presión de un Pa. Y en la otra sección situada a 20 m por encima a lo largo del tubo, la presión es de 1,5 Pa y su radio de 20 cm. Halle la velocidad del agua en cada sección.

4.- Un tanque abierto está lleno de un líquido no viscoso y tiene en su parte inferior un pequeño orificio de área a. Si el nivel del líquido en el tanque tiene una altura h por encima del orificio. Calcule la velocidad de salida del agua por el orificio si el área del tanque es A. Considere la densidad del líquido como r .

5.- Demuestre por qué saltan los techos de las casas en caso de huracanes aplicando las ecuaciones de continuidad y Bernoullí.

6.- La velocidad de flujo del aire respecto al ala de un avión es de 100 m/s por su parte inferior y de 110 m/s por la superior si cada ala tiene un área de 20 m² Calcule el peso del avión si este se mantiene en vuelo horizontal.

Tome como densidad del aire a la altura de vuelo 1 kg/m³.

7.-

S1 = 0,04 m

S2 = 0,005 m

Y1 = 0,8 m

V1 = 0,5 m/s

El sistema muestra un conjunto de tubos por los que fluye un líquido que supondremos perfecto. Teniendo en cuenta los datos brindados calcule:

1. Velocidad del líquido en el tubo de menor área.
2. Altura que alcanza el líquido en la columna 2.
3. Volumen del líquido que se recogerá en el tanque.

NOTA: Observe que ambas columnas líquidas están abiertas a la atmósfera.