Tarjeta
de Estudio No. 3. Tema: Análisis dinámico y
cinemático del movimiento
mecánico para la traslación.
Temática: Problemas
generalizadores del tema.
Objetivo: Resolver problemas
utilizando el método
dinámico y aplicando las leyes estudiadas
para la traslación en sistemas de
referencia inerciales.
Información teórica
básica:
Recordemos el algoritmo de
trabajo para
dar solución a un problema utilizando el método
dinámico:
1.-Análisis de la información que aporta el texto del
problema, extrayendo los datos
numéricos que se dan en el mismo, así como estudiar
el esquema que en el se brinde o construirlo a partir de la
información con que se cuente.
2.-Construir el o los diagramas de
fuerza de los
cuerpos que formen el sistema y
representar mediante vectores las
fuerzas externas que sobre él actúan, recordemos
que la fuerza normal sólo se representa si el cuerpo
está en contacto con alguna superficie.
3.-Elección del sistema de referencia y
establecimiento del convenio de signos,
sugerimos se considere como positivo el sentido en que se mueva o
tienda a moverse el cuerpo o sistema. Un sistema de referencia
inercial (SRI) es aquel que se encuentra en reposo o animado de
MRU, es decir que cumpla con la primera Ley de Newton, y un
sistema de referencia no inercial (SRNI) es aquel que no
satisface la primera ley de Newton, es decir aquellos que
están acelerados.
4.-Dar cumplimiento a las leyes del Movimiento
Mecánico, a fin de obtener las ecuaciones del
movimiento para cada cuerpo o partícula, para la
traslación la segunda ley se expresará
como:S F = m a y para la
rotación Mo = Io a y la tercera
ley FAB =- FAB, teniendo en cuenta
que estas ecuaciones son vectoriales y para representar las
ecuaciones en su forma escalar, el signo indicará el
sentido de la fuerza, según el convenio escogido y la
letra que represente su módulo o intensidad.
5.- Plantear las ecuaciones de ligadura, que son
aquellas que permiten establecer relaciones matemáticas entre los movimientos que
presenten los cuerpos del sistema.
6.-Solución del sistema de ecuaciones obtenidas,
para lo cual haremos las operaciones
literalmente, solo sustituyendo por los valores
numéricos en la ecuación final lograda.
7.- Análisis del resultado obtenido y
expresión del mismo atendiendo a la unidad que corresponda
con la magnitud calculada en el Sistema Internacional de
Unidades.
Problema tipo resuelto.
El cuerpo de masa m representado en la figura describe
un movimiento circular de radio R. Si en el
momento en que su aceleración normal es aN el
cuerpo se desprende de la cuerda que lo mantiene girando y
realiza el movimiento representado, recorriendo primero la
distancia x1
sobre la superficie de la mesa, donde el coeficiente de
fricción dinámico es m
d y posteriormente el movimiento parabólico,
siendo "y" la altura de la mesa ¿A qué distancia
medida sobre la horizontal caerá de la mesa?
Datos: m, R, aN, x1, y, g, m d Incógnita:
x2
Análisis del mismo:
Para poder calcular
la distancia x2 necesitamos conocer con que velocidad sale
el cuerpo de la mesa y para poder hallar esta antes debemos
calcular la velocidad lineal que el mismo presenta en el momento
en que se libera de la cuerda, la que podemos hallar
planteando que: aN = V² = aN
R. Donde V = aN R (velocidad del
cuerpo cuando se libera).
El dato siguiente que necesitamos es la velocidad con
que sale de la mesa, pero para ello debemos calcular la
aceleración retardatriz que el cuerpo tiene al recorrer la
distancia x1 bajo los efectos de la fuerza de
rozamiento, que calcularemos mediante análisis
dinámico para un SRI.
Como la frd =m
d N, podemos plantear que – m d N = Fmax y como N= mg ,
entonces
–m dmg =
max lo que implica que ax= -m d g. Conociendo el valor de
ax podemos calcular la velocidad mediante la
expresión V²=Vo² + 2ax D x , y como
Para poder calcular x2, debemos antes conocer
el tiempo que
emplea el cuerpo para llegar al suelo, el que
hallaremos mediante la expresión y = yo + ½ g
t²; si planteamos el origen de nuestro sistema de referencia
en el suelo y positivo hacia arriba, entonces g será
negativa, y = 0, yo = y, lo que implica que 0 = y-½ g
t², por lo que t = 2y / g , sustituyendo en la
expresión del MRU tendremos que
x2 = (aN R- m d gx1) (2y / g), que es lo nos
solicitaban calcular.
Problemas propuestos.
- Dada la gráfica V vs.t representada del
movimiento de una partícula, responda: Condición de movimiento que presenta para los
intervalos de tiempo 0-2, 2-4,4-6, 6-7 y 7-8 segundos.
a) ¿Qué nos indica el gráfico
que sucedea partir del cuarto segundo y hasta el
octavo?b) ¿Cómo calculamos la distancia
recorrida (trayectoria) y el desplazamiento?c) Explique cómo calcular la
aceleración a partir del gráfico
dado.- El cuerpo de masa m representado describe un MCU,
donde el valor modular de la velocidad es
constante.
a) ¿Cuál es el valor de su
aceleración angular? Explique.
b) ¿Cómo podemos calcular su velocidad
angular?
c)¿Presenta algún tipo de
aceleración lineal?,
Explique. De presentarla ¿cómo la
calcularía?
- Si se libera cuando está en el punto superior
describe el movimiento representado con trazos discontinuos.
¿Podría explicar por qué se mueve
así, a partir del principio de independencia del movimiento de
Galileo?
- El hombre de la
figura se encuentra en un ascensor que se mueve aceleradamente.
a)¿Cuándo y por qué sentirá
más pesado el paquete que lleva en su mano, en subida o
bajada?
b) Si tomamos como sistema de referencia el ascensor
¿Se cumplirán las leyes de
Newton del movimiento mecánico? Explique.
Tarjeta de estudio No. 4. Tema: Análisis
Dinámico y Cinemático del Movimiento
Mecánico para la Rotación.
Temática: Caso particular y
general de la segunda ley del movimiento mecánico para la
rotación. Impulso y cantidad de movimiento angular.
Movimiento Plano.
Objetivos:
l.- Identificar los términos de impulso y
cantidad de movimiento angular a partir de la expresión de
la segunda ley del movimiento mecánico para la
rotación y aplicar la ley fundamental de la dinámica de la rotación a
situaciones prácticas de la vida cotidiana.
2.-Identificar el movimiento plano, como un movimiento
combinado de rotación y traslación sin
deslizamiento y caracterizarlo dinámicamente, dando
solución a problemas numéricos mediante la
aplicación del método dinámico.
Información teórica
básica.
- La segunda ley del Movimiento Mecánico para la
rotación se expresa como
para casos en que el momento de inercia
(I0) es constante, siendo
o 
, donde al término 
dt se le denomina
impulso angular infinitesimal (dG) y al término
(
o 
para casos en que el momento de inercia
o 
, donde al término 
dt se le denomina
o 
) variación infinitesimal de la cantidad de
movimiento angular (dL).
- La expresión más general de la segunda
ley de Newton para la dinámica de la rotación nos
plantea que el
, siendo equivalente a la expresión 
, la cual expresa la
segunda ley del movimiento mecánico, enunciada por
Newton para la traslación. También
podríamos plantear la ecuación anterior para la
rotación como
, la cual expresa la
, es decir el impulso angular es igual a la
variación de la cantidad de movimiento angular
- El
momento resultante externo es igual al momento de inercia
(I0) por la aceleración angular (a ). Esta expresión constituye la
ecuación básica de la dinámica de la
rotación o segunda ley de Newton para la
rotación, para el caso en que el momento de inercia sea
constante y es equivalente a la expresión
, la cual expresa la
segunda ley del movimiento mecánico, enunciada por
Newton, para el caso particular de la traslación cuando
la masa es constante. En la ecuación del momento
resultante externo
es el momento de inercia del cuerpo, magnitud que nos da
la medida de la inercialidad del cuerpo en rotación y
la
aceleración angular, o sea, la rapidez de cambio de la
velocidad angular respecto al tiempo. Como se observa podemos
plantear que la aceleración angular es directamente
proporcional al momento resultante de la fuerza externa e
inversamente proporcional al momento de inercia.
(kgm2/s2) o (Nm), 
(kgm2) y
, la cual expresa la
es el momento de inercia del cuerpo, magnitud que nos da
la
(kgm2/s2) o (Nm), 
(kgm2) y
(rad/s2).
El momento resultante externo es también igual
al producto
vectorial (producto externo de dos vectores) de la fuerza
externa aplicada, por el vector de posición de la fuerza
respecto al eje de rotación, lo que escalarmente se
expresa como el producto de la fuerza por la distancia
perpendicular del punto de aplicación de la misma al eje
de rotación del cuerpo por el seno del ángulo que
se forma entre estos dos vectores (
) Su dirección y sentido se determina
aplicando la regla de la mano derecha, siendo siempre la
dirección del vector momento resultante externo
perpendicular al plano en que se encuentran los vectores
El momento resultante externo es también igual
) Su 
- La
cantidad de movimiento angular es un vector, el cual se obtiene
a partir del producto vectorial del radio vector y la cantidad
de movimiento lineal. Su dirección y sentido se puede
determinar aplicando la regla de la mano derecha y su
dirección siempre será perpendicular al plano
formado por el radio vector y el vector cantidad de movimiento
lineal (el dedo índice nos indicara la dirección
y el sentido de el radio vector, el dedo del medio la
dirección y el sentido de la velocidad lineal y el dedo
pulgar la dirección y el sentido del vector cantidad de
movimiento angular). L [kg m²/s], r [m] y p[kg
m/s] G = ò
dt El impulso
angular es una magnitud vectorial, cuya dirección y
sentido será la misma del momento resultante externo.
G [Nms] o [kg m2/s], [Nm] y t [s] - Recordemos que el
o que 
La
[Nm] y t [s] 
- El movimiento plano es el movimiento que ejecuta un
cuerpo combinando los movimientos de rotación y
traslación, sin deslizar, por lo que se cumple
que:
D SCM
=RD q ,
VCM = Rw y ACM
= R·α. Para la
rotaciσn 
ó 
y para la traslación F= ma
ó F=D P/D t. En este movimiento el punto de contacto
entre el cuerpo y la superficie sobre la que rota y se traslada
está instantáneamente en reposo y la fuerza de
fricción en este movimiento es de origen estático
por lo que la misma no realiza trabajo mecánico sobre el
cuerpo o sistema.
Ejercicios resueltos y algoritmos de
trabajo.
Considere conocidas la masa M y el radio R del
cilindro.
Una vez leído el problema e interpretados
los datos, construimos el diagrama
de fuerzas, planteando el convenio de signos para la
rotación y la traslación. A
continuación damos cumplimiento a la segunda ley del
movimiento mecánico:Para la traslación Para la
rotación
=max 
F-fs = Macm (1)
=I0
= 0 N-Mg = 0 (2)
fsR=½MR2α
(3)Observe que para el caso de la rotación
sólo produce torque la fuerza de fricción
estática, las restantes carecen de
brazo y por lo tanto no producen torque.Por condición de rodadura pura sabemos que
acm = αR (4), sustituyendo en
3 tendremos que
fsR=½MR2acm/R
fs =½Macm y sustituyendo
esta expresión en 1 tenemos que:F – ½Macm= Macm
Acm=⅔F/MPara calcular la máxima aceleración
posible sin perder la rodadura pura notemos en la
ecuación fs =½Macm, que
mientras mayor sea la aceleración con que intentamos
desplazar el cilindro mayor será la fuerza de
fricción estática en el contacto necesario
para mantener la condición de rodadura pura.
Evidentemente el máximo valor de de acm
estará determinado por el máximo valor
posible de la fricción estática
(fs). Ahora bien conocemos que:
fs=
μsN, donde
μs es el
coeficiente de fricción estático,
también conocemos que la 0
fs
μsN, siendo
al fsmáx =
μsN y la N = Mg,
por lo que podemos plantear que:μsMg =
½Macmacm= 2
μsgEste será el máximo valor posible de
la acm sin perder la condición de
rodadura pura. Note que a mayor μs (a mayor
agarre del cilindro) mayor será la
aceleración alcanzable sin resbalar.- 1 Un cilindro es halado por una fuerza F sobre una
superficie horizontal como se observa en la figura,
moviéndose con rodadura sin deslizamiento a partir del
reposo. Calcule: a) La aceleración del centro de masa
del cilindro. b) La máxima aceleración posible
sin que haya deslizamiento. - Calcule el valor del momento que ejerce la
fricción en el eje de la polea, si se conoce que el
bloque A se mueve con una aceleración hacia arriba de
=max 
F-fs = Macm (1)
=I0
= 0 
N-Mg = 0 (2)
fs =½Macm y sustituyendo
Acm=⅔F/M
fs 
acm= 2
Datos: 
r = 0,1 m
R = 0,2 m
Como primer paso después de analizar el texto del
problema y la información que se nos brinda, pase a
construir los diagramas de fuerzas de la polea y los cuerpos,
así como a definir el convenio de signos del sistema de
referencia, para lo cual recomendamos asumir como positivo el del
sentido del movimiento o tendencia de este.
A continuación damos cumplimiento a la segunda
ley de Newton para la traslación y la
rotación.
Traslación: S F
=ma Rotación: 
= Io a
Cuerpo A Cuerpo B
TA – mAg = mAa
(1) mBg – TB = mBa (2)
TBR – TAr –
= Ioa (3)
A continuación planteamos las ecuaciones de
ligadura, es decir: aA = a
r (4) y aB = a R
(5).
Recuerde que a es la misma
para los dos casos por ser una característica cinemática del cuerpo en
rotación.
De las ecuaciones anteriores vemos que tenemos como
incógnitas a la TA, TB, a , aB y el 
que es lo que nos solicitan, por lo que
debemos reducir el problema a esta única
incógnita.
Para eliminar TA y TB
multiplicamos la ecuación 1 por r y la 2 por R y las
sumamos algebraicamente con la ecuación 3, dando como
resultado:
–mAgr +
mBgR – 
= mAaAr + mBaBR +
I0 a
a partir de esta ecuación y utilizando las
ecuaciones 4 y 5 dejamos sólo como incógnita una
aceleración, despejamos el momento de la fricción y
lo calculamos, el que nos da 1,4 Nm.
3) Un hombre cuya masa es de 80 Kg está de pie en
el borde de una plataforma de radio 3m y momento de inercia 284
kg m², montada sobre un árbol vertical y sin
rozamiento que pasa por su centro. Todo el sistema está
inicialmente en reposo. El hombre
camina a lo largo del borde exterior de la plataforma con una
velocidad de 0,6 m/s respecto a la tierra.
¿ Con qué velocidad angular y en que sentido
girará la plataforma?
Solución: Si analizamos el sistema
hombre plataforma, vemos que sobre el actúan fuerzas
externas contenidas en el plano del movimiento, por la que
podemos decir que la cantidad de movimiento angular se
conserva, es decir Δ L = 0 σ
L1 = L2.
Como al inicio el sistema esta en reposo, podemos
afirmar que la cantidad de movimiento angular inicial es nula, es
decir L1 = 0 y al final L2 =Ip
w p + Ih w h pero como el hombre se mueve
respecto a la tierra sobre
una circunferencia con una velocidad de 0,6 m/s, su velocidad
angular será w n =
V/R y su momento de inercia In = mn
R², por lo que L2 = mp w p + mn R V/R y como
L1 = 0 podemos plantear que mp
wp + mn RV = 0, donde mp
wp = – mn RV Þ w p
= -mhRV/mp. Sustituyendo valores
tendremos que w p = – 0,5 rad/s. El
signo negativo indica que la plataforma girará en sentido
contrario al movimiento del hombre.
4) Un cilindro sólido uniforme de radio R y masa
m, tiene una velocidad angular inicial w o y se deja caer sobre una
superficie horizontal plana. El coeficiente de fricción
entre la superficie y el cilindro es μs.
Después de cierto tiempo el cilindro rueda sin deslizar
por la superficie. Calcule :
- Velocidad del centro de masa del cilindro en el
instante en que comienza a rodar sin deslizar. - Valor de la fuerza de fricción.
Datos: Incógnitas:
R μs VCM
=?
m t fr =?
w o g
Después de extraer los datos e identificar las
incógnitas construimos el diagrama de fuerzas, donde
observamos que todas las fuerzas que actúan sobre el
cilindro son constantes, por lo que la aceleración de su
centro de masa también será constante.
Para la traslación podemos plantear que F= ma = m
pero Vo =0
y
V = VCM, que es la velocidad en el instante t
en que comienza a rodar sin deslizar y por otro lado la
fuerza resultante F =frs y la frs =
μs N =
μs mg, por lo
que:
μsmg = m Vo / t
(1).
Para el movimiento de rotación también
podemos plantear que la aceleración angular
(α) es constante, por ser una
característica cinemática
del cuerpo en rotación, pudiéndose plantear para
este movimiento que:
Observe que la Vcm no depende de m, g
, μs. ¿ Pero qué
sucedería si alguna de estas magnitudes fuera igual a
cero?
Ejercicios propuestos.
- Dos esferas de igual masa, pero una de mayores
dimensiones que la otra, se encuentran sobre un plano
inclinado situados a la misma distancia del suelo. ¿Si
se liberan llegarán juntos al suelo o no? ¿De
no ser así, cual de ellos llega primero y
porqué?
Dos cuerpos de masas diferentes están unidos
entre sí por un hilo que pasa por una polea. El
momento de inercia de la polea es de 50 kgm² y su radio
de 20 cm. La polea se mueve con rozamiento y el momento de la
fuerza de fricción es de 98,1 Nm. Halle la diferencia
que hay entre las tensiones T1-T2 en el hilo por ambos lados
de la polea, conociendo que esta gira con una
aceleración angular constante de 2,36
rad/s². 
- Un disco uniforme de radio R y masa M está
montado en un eje apoyado en chumaceras sin fricción.
Una cuerda ligera está enrollada al borde de la rueda
y eleva suspendida en un extremo un cuerpo de masa m. Halle
la aceleración angular del borde y la tensión
en la cuerda.Desprecie el rozamiento del eje de la rueda y
considere a esta como un cilindro de radio R, donde Io
=½ MR².
- Calcule la aceleración angular de la rueda de la
figura y la de la traslación de los bloques conociendo
que m1 = 1 kg , m2 = 2 kg , M = 4 kg , R = 0,1m , r = 5 cm y
el coeficiente de fricción entre la superficie y el
bloque de masa m1 es m =
0,1.a)¿ Cuál es el valor de la fuerza de
rozamiento?b)¿ Diga si el cilindro está
próximo o no a deslizar?
- El cilindro representado de masa 2 kg rueda sin
deslizar por una superficie horizontal bajo los efectos de la
fuerza F=36 N, aplicada a una distancia x = 0,4 m el centro del
cilindro. El radio del cilindro es R = 0,6 m y el coeficiente
de fricción estático entre la superficie del
cilindro y la superficie horizontal es de 0,5 (asuma el momento
de inercia como Io=½mR²). - Una esfera maciza y homogénea de radio R rueda
sin deslizar por un plano inclinado que forma un ángulo
q con la horizontal.
- Calcule la aceleración del centro de masa de
la esfera y compare este valor con el que tuviera un cuerpo de
igual masa que bajara deslizándose sin
rodar. - ¿Cuál es valor mínimo que puede
tener el coeficiente de rozamiento estático para que no
exista deslizamiento?
7)
Si tiene inseguridad
del sentido en que actúa la fricción
estática, represéntela en cualquiera de los dos
sentidos posibles, y al plantear las ecuaciones de fuerzas y
torques, sea consecuente con el sentido que propuso; al final
de sus cálculos la fricción fs
resultará con signo negativo si usted consideró
el sentido contrario al que realmente tenía y positivo
si consideró el sentido correcto.
8) Un hombre que está de pie en una plataforma
rotatoria sin fricción la cual está girando a
razón de 1RPS tiene los brazos estirados y lleva una
pesa en cada mano. Con sus manos en esa posición el
momento de inercia total del hombre y de la plataforma es de 6
kgm². Si al encoger los brazos con las pesas y pegarlos al
lado del cuerpo, el momento de inercia disminuye a 2 kgm²
¿Cuál es la velocidad angular resultante de la
plataforma?
9) Una plataforma horizontal de 100 kg de masa gira
alrededor de un eje vertical que pasa por su centro y da 10
RPM. Un hombre de masa 60 kg se encuentra en estas condiciones
en el borde de la plataforma. ¿Con qué velocidad
comenzará a girar la plataforma si el hombre se traslada
desde el borde hacia el centro de la misma? Considera la
plataforma como un disco circular homogéneo y que el
hombre es una partícula
10) Construya el mapa conceptual
correspondiente al contenido que aborda esta tarjeta, para lo
cual utilice el listado de conceptos y palabras enlace que le
facilitamos a continuación.
Conceptos Palabras enlace
- Segunda ley del movimiento mecánico para la
rotación – Si I0 es constante - (
=
dL/ dt o
==Io·α) – caso
general
- Impulso angular (G = ò dt) – caso particular
- Variación de la cantidad de movimiento angular
(∆L) – donde - Cantidad de movimiento angular (L =
I0w ) - Momento de Inercia (I0 =
kmr2) - Aceleración angular (a = dw
/dt)
Tarjeta de estudio No. 5. Tema: Análisis
Dinámico y Cinemático del Movimiento
Mecánico para la Rotación.
Temática: Problemas
generalizadores del tema.
Objetivo: Resolver problemas utilizando el
método dinámico y aplicando las leyes estudiadas
para la traslación y la rotación en sistemas de
referencia inerciales.
Información teórica
básica:
Recordemos el algoritmo de trabajo para dar
solución a un problema utilizando el método
dinámico:
1.-Análisis de la información que aporta
el texto del problema, extrayendo los datos numéricos que
se dan en el mismo, así como estudiar el esquema que en el
se brinde o construirlo a partir de la información con que
se cuente.
2.-Construir el o los diagramas de fuerza de los cuerpos
que formen el sistema y representar mediante vectores las fuerzas
externas que sobre él actúan, recuerde que la
fuerza normal sólo se representa si el cuerpo está
en contacto con alguna superficie.
3.-Elección del sistema de referencia y
establecimiento del convenio de signos, sugerimos se considere
como positivo el sentido en que se mueva o tienda a moverse el
cuerpo o sistema. Un sistema de referencia inercial (SRI) es
aquel que se encuentra en reposo o animado de MRU, es decir que
cumpla con la primera Ley de Newton, y un sistema de referencia
no inercial (SRNI) es aquel que no satisface la primera ley de
Newton, es decir aquellos que están acelerados.
4.-Dar cumplimiento a las leyes de la Dinámica
del Movimiento Mecánico, a fin de obtener las ecuaciones
del movimiento para cada cuerpo o partícula, para la
traslación la segunda ley se expresará
como:S F = m a y para la
rotación Mo = Io a y la tercera ley FAB =-
FBA, teniendo en cuenta que estas ecuaciones son
vectoriales y cuando se represen las ecuaciones en su forma
escalar, el signo indica el sentido de la fuerza, según el
convenio escogido y la letra lo que representa es su
módulo o intensidad.
5.- Plantear las ecuaciones de ligadura, que son
aquellas que permiten establecer las relaciones
matemáticas entre los movimientos de traslación y
rotación que presenten los cuerpos del sistema.
6.-Solución del sistema de ecuaciones obtenidas,
para lo cual le proponemos hacer todas las operaciones
literalmente y solo sustituir por los valores numéricos en
la ecuación final lograda.
7.- Análisis del resultado obtenido y
expresión del mismo atendiendo a la unidad que corresponda
con la magnitud calculada en el Sistema Internacional de
Unidades.
Problemas propuestos.
a) Aceleración con que se mueven los
bloques.b) Velocidad que alcanza el bloque B al llegar al
suelo si parte del reposo.c) Tiempo que emplea este bloque en recorrer la
distancia y.
Datos:
mA=10
kgmB = 14,5
kgmp= 1 kg
m d=0, 25
q =
30° fr= 0,75 NmR= 0,05 m
y= 2m
Io = ½ mp
R²Vo=0
- Atendiendo a la figura y a los datos brindados
calcule: - Un cilindro de masa 25 kg y radio 10 cm. tiene
enrollada una cuerda delgada inextensible y de masa
despreciable que pasa por una polea también de masa
despreciable, unida a un cuerpo de masa 4,5 kg que cuelga
verticalmente. Si el Plano por el que rueda el cilindro, sin
deslizar, tiene una inclinación de 300
respecto a la horizontal.
Determine:
a) Aceleración lineal con que baja el
cilindro.
- Tensión en la cuerda.
- Aceleración lineal con que baja el cilindro
si la masa de la polea es de 0.5 kg. Y su radio de 4 cm.
Desprecie la fricción en su eje.
a) ¿Llegarán juntos a la base?
¿Cuál llegará primero y
porqué?b) ¿Qué expresiones deben cumplirse en
el movimiento plano?c) ¿Cómo calcularías la
aceleración con que las mismas bajan por el plano
inclinado?- Dos esferas de igual volumen, una de
ellas hueca y la otra maciza, están situadas en el borde
superior de un plano inclinado e inician simultáneamente
el movimiento rodando sin deslizar por su superficie,
suponiendo el
igual para ambas esferas. - El vagón de la figura avanza aceleradamente
sobre una superficie horizontal a razón de 2
.
Si el mismo parte del reposo y lo hace durante 4 s,
determine:
- Distancia que recorrerá la esfera maciza de
radio 0,2 m y masa 15 kg que se encuentra en el suelo del
vagón, si la fricción que actúa sobre la
misma para que no deslice sea máxima. - Valor del coeficiente de fricción
estática.
Dato: I0 = mR2
- Un hombre de masa 60 kg está parado en el
borde de una plataforma de radio 5 m y masa 120 kg, sosteniendo
sobre su cabeza un cuerpo de masa 20 kg.
Consideremos despreciable la fricción en el eje
vertical que pasa por el centro de la plataforma, y cuando esta
gira con una velocidad angular de 4 rad/s el hombre suelta el
cuerpo y este cae fuera de la plataforma.
- ¿Qué sucederá con la velocidad
de la plataforma después que el hombre suelta el cuerpo?
Calcúlela. - ¿A qué distancia de la plataforma
caerá el cuerpo, medido sobre la horizontal, si se
encontraba a una altura de 1,5 m del suelo?
La figura representa un cuerpo de masa 
que se encuentra en el
borde de una plataforma circular de masa M y radio R, la cual
gira con una velocidad angular w a
favor de las manecillas del reloj y un cuerpo de masa
m2 que cuelga al mismo nivel de la plataforma y
muy próximo a ella.
En un instante dado el cuerpo de masa sale de la plataforma y
se proyecta frontalmente sobre el cuerpo de masa m2
realizando un choque plástico.
- ¿Qué sucede con la velocidad de la
plataforma al separarse el cuerpo de masa
de ella? De muestre su
respuesta. - ¿Cómo podríamos hallar la
velocidad de los cuerpos de masa y m2 después del
choque?
Nota: Considere la FRe =0 en
ambos casos.
Mapa conceptual del tema de
Análisis Cinemático y Dinámico del
Movimiento Mecánico.
Tarjeta
de Estudio No 6. Tema: Energía Mecánica en la
Traslación.
Temática: Trabajo mecánico.
Potencia.
Energía Cinética. Teorema del trabajo y la
energía cinética. Energía potencial
(gravitatoria y elástica). Energía mecánica. Sistemas conservativos y no
conservativos. Teorema del trabajo y la energía
mecánica para una partícula y un
sistema.
Objetivo: Resolver problemas aplicando el
concepto de
trabajo mecánico y el teorema del trabajo y la
energía mecánica en sistemas conservativos y no
conservativos para la traslación.
Información teórica
básica:
- Se realiza trabajo mecánico cuando bajo los
efectos de una fuerza aplicada sobre un cuerpo o sistema este
experimenta cierto desplazamiento, por lo que para la
traslación W =
, expresándose en su forma escalar como W
=
q , siendo q el
ángulo que se forma entre la fuerza y el
desplazamiento. - La energía cinética se expresa como Ec=
½m V² para la traslación, estando asociada
al movimiento y la energía potencial está
asociada a la posición, pudiendo ser gravitatoria,
cuando nos referimos a la posición del cuerpo respecto a
la tierra (Epg = m g y) o elástica, cuando nos referimos
a la posición relativa entre las partes del cuerpo (Epe
= ½k x²), la suma de estas energías nos da
la energía mecánica total, que para un instante
dado, que posee un cuerpo o sistema que se traslada (Emec = Ec
+ Ep), A= D Ec y A = – D Ep (el signo menos indica que la
energía potencial es una función
de la posición) - Las fuerzas que cumplen con la condición de
que §F dr = 0 se denominan fuerzas conservativas,
por lo que el trabajo
que estas realizan para una trayectoria cerrada es nulo,
conservándose íntegramente la energía
mecánica, en caso contrario las fuerzas que
actúan son no conservativas o no
potenciales. - El teorema del trabajo y la energía
mecánica nos plantea que We
+Wino pot.=D
Ec + D Ep si el sistema es
conservativo la D Emec=0 y si es no
conservativo la D Emec ¹ 0.
, expresándose en su forma escalar como W
q , siendo q elProblema resuelto y algoritmos de
trabajo.
El resorte de la figura de constante elástica
k=100 N/m está comprimido una distancia de 2m. Al
liberarse impulsa al bloque, el cual desliza por la superficie
rugosa la distancia L=4m, donde el coeficiente de fricción
dinámico m d = 0,112, para
después subir por el plano inclinado, en el cual se
desprecia la fricción. ¿Hasta que altura logra
subir por el mismo?
Datos: Incógnita:
L = 4m h:?
X = 2m
m d =
0,112
k = 100 N/m
m = 16 kg
g = 10 m/s²
Después de analizar el texto del problema y
extraer los datos que se nos brindan, así como identificar
la incógnita, debemos trazarnos la estrategia de
trabajo. En este caso el problema consta de dos partes, la
primera referente al sistema no conservativo, debiéndose
calcular la velocidad del cuerpo después de recorrer la
distancia L y la segunda parte la correspondiente al sistema
conservativo, para calcular hasta que altura llega el
cuerpo.
Aplicamos el teorema del trabajo y la energía
mecánica para un sistema no conservativo.
We + Wino pot =
D Ec + D
Ep
Conocemos que We= Fx cosq , por lo que el trabajo producido por las
fuerzas N y mg es nulo, ya que el ángulo que ellas forman
con el desplazamiento es ½P o
3/2P , es decir A=0.
También
conocemos que la fricción es una fuerza no
potencial por lo que el teorema quedaría:
Wfr = D Ec
+D Epe. El Wfr = fr L cos
q siendo q =P cosP , = -1 y la fr =m N,
siendo N= mg, por lo
que el Wfr = – m m
g L.
La D Ec= ½m (V²
– Vo²), siendo Vo=0 por estar el cuerpo en reposo
inicialmente y V la velocidad que presenta una vez recorrida la
distancia L.
La D Epe = ½ k
(x² – xo²), siendo xo = 2m, es decir la distancia
que estaba comprimido inicialmente y x= 0 ya que después
de liberado el retorna a su posición de equilibrio.
Por lo que: – m m g L =
½ m V² – ½ k xo², despejando V
queda:
Una vez calculada la velocidad que alcanza el cuerpo
después de recorrida la distancia L, aplicamos el teorema
del trabajo y la energía mecánica para un sistema
conservativo, en el que D Ec +
D Ep = 0
La D Ec = ½m
(V²-Vo²), donde V0=4m/s, la
velocidad con que inicia el cuerpo el ascenso por el plano
inclinado y V=0, pues esta corresponde con la máxima
altura lograda por el cuerpo.
La D Ep en este caso
será gravitatoria, por lo que D
Epg =m g (h – ho), siendo ho=0 y
h la altura que debemos calcular:
Por lo que: 0= -½ m V0² + m g h,
despejando h y resolviendo queda: h = y
h=0,8m.
Ejercicios propuestos.
1.- Un bloque de hielo de 445 N resbala por un plano
inclinado de 1,52 m de largo y 0,91m de altura. Un hombre
sostiene el hielo paralelamente al plano con la fuerza F, para
que deslice con velocidad constante por la superficie del plano,
donde el coeficiente de fricción dinámico es de
0,1. Calcule
- La fuerza ejercida por el hombre.
- El trabajo realizado por el hombre sobre el
hielo. - El trabajo hecho por la fuerza normal a la superficie
sobre el hielo. - El trabajo hecho por la fuerza de gravedad sobre el
hielo.
2.-Una fuerza constante de 5 N que forma un
ángulo de 60° con el desplazamiento está
aplicada a un cuerpo, desplazándolo desde la
posición Xo = 0 a X= 0,5m.
- ¿Qué trabajo realiza esta
fuerza? - Si la fuerza varía con el desplazamiento,
según la relación F=5Xi y origina el cambio de
posición anterior. ¿Qué trabajo
realizará esta fuerza?
3.-Un cuerpo de masa 2 kg se ha lanzado sobre una
superficie horizontal rugosa, donde después de recorrer
una distancia de 0,5 m se detiene.
- Explique energéticamente. ¿Por
qué el bloque se detiene? - Si el coeficiente de fricción dinámico
entre el cuerpo y la superficie es de 0,1 ¿Con
qué velocidad fue lanzado el cuerpo? - ¿Cuál es la aceleración
retardatriz del cuerpo y cual es su causa?
4.- El bloque representado se encuentra sobre una pista
circular lisa de radio R, deslizándose por ella a partir
del reposo, la superficie horizontal es rugosa, de coeficiente de
fricción dinámico m d,
recorriendo sobre ella la distancia x hasta chocar con el resorte
de constante elástica k ¿Cuánto se
comprimirá el resorte?
Datos:
m= 3 kg m d=
0.1
k= 400 N/m x= 4 m
R= 1 m
5.- Un pequeño bloque de masa m resbala por una
vía sin fricción en forma de lazo, como se muestra en la
figura, si parte del reposo del punto P.
a) ¿Cuál será la fuerza resultante
que obra sobre el bloque cuando este en Q?
b) ¿Desde que altura habría que soltarlo
para que la fuerza que ejerza sobre la vía en la parte
superior (punto L) sea igual a mg?
Datos: h = 5R, Fr=0, Vo=0
- Construya el mapa conceptual del contenido tratado,
teniendo en cuenta la siguiente relación de conceptos y
palabras o frases enlace.
Conceptos:
Energía mecánica
Energía cinética
Energía potencial
Energía potencial elástica
Energía potencial gravitatoria
Epe = ½ k x²
Ec =½ m V²
Epg = m g y
Sistema conservativo
Sistema no conservativo
D Emec =
0
D Emec ¹ 0
§ F dr =0
A = D E
mec
A=ò F dr
Palabras enlace:
Se compone por
Se expresa por
Puede ser
Su variación puede ser nula si
Su variación puede ser diferente a 0
si
Implica que
Donde el
Tarjeta de estudio No.7. Tema: Trabajo y
Energía del Movimiento Mecánico para la
Rotación y el Movimiento Plano.
Temática: Energía
cinética para la rotación. Teorema del trabajo y la
energía mecánica para la rotación y el
movimiento plano.
Objetivo: Interpretar y aplicar el teorema del
trabajo y la energía mecánica para la
rotación y el movimiento plano.
Información teórica
básica:
- La energía cinética para la
rotación se expresa como E CR =½
Io w ², siendo
Io el momento de inercia del cuerpo en
rotación y w la velocidad
angular del mismo Io = k m R², siendo k una
constante que depende de la geometría del cuerpo en
cuestión.
- En un sistema de cuerpos donde unos rotan y otros se
trasladan la energía mecánica total del sistema
es la suma de las energías cinéticas de
traslación y rotación más las
energías potenciales de interacción entre los cuerpos del
sistema, que permanezcan en reposo; es decir:
Emec sist = ∑½ m V ² + ∑
½ Iow ² +
½ k X ² + m g y
- El trabajo para la rotación será igual
a
, o sea
, o sea
y
Wneto = D Ec =
Io (w ² –
w 0²).
- En el movimiento plano se ejecutan de forma
simultánea los movimientos
de traslación y rotación, sin deslizar el
cuerpo, por lo que para el mismo la
EMEC = Ep + EcTRAS. +
EcROT , donde la energía potencial puede
ser
gravitatoria (mgy) o elástica (½k
x2 ), la cinética traslacional
(½mV2) y la
cinética rotacional (½Iow 2).
- En el movimiento combinado de traslación y
rotación sin deslizamiento, o sea, en condición
de rodadura pura el punto de contacto entre el cuerpo y la
superficie sobre la cual este se apoya está
instantáneamente en reposo y la fuerza de
fricción a considerar es de tipo estático y la
misma no
realiza trabajo mecánico. Para el mismo se puede
plantear: 
siendo ω la velocidad angular
alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y R es la
distancia del centro de masa al punto de contacto.
Problema resuelto y algoritmos de
trabajo.
La energía cinética del bloque
será: Ecb = ½ m V² y la del
disco es Ecd = ½ Io w ², dondeIo = ½ MR², por lo que
Ecd = ¼ MR² w ².Tenemos que calcular V y w cuando el bloque haya descendido la altura
h, sabiendo que w o= 0
yVo = 0 pues parten del reposo para lo cual aplicamos
el método dinámico.De acuerdo a los diagramas de fuerza de ambos
cuerpos podemos plantear:
Además tenemos como ecuación de
ligadura que a = a R (3). De
aquí
.Si sustituimos en (2) y obtenemos, TR =
Io
, despejando T obtenemosT =
a y sumando con la (1) tenemos que: m g = (m +
½M) a y de aquí:
y
de la (3):
Una vez hallados los valores de a y a , calculamos por vía
cinemática los valores de v y w .
Tenga en cuenta que el sistema es conservativo, ya
que se desprecia el rozamiento, por lo que se conserva la
energía mecánica del mismo.- Un disco homogéneo de radio R y masa M
está montado en un eje sin fricción, una cuerda
ligera e inextensible está enrollada en el borde del
disco y de ella cuelga un bloque de masa m, como se representa
en la figura. Demuestre que cuando el bloque haya descendido
una altura h, a partir del reposo, la suma de la energía
cinética del bloque más la del disco es igual a
la pérdida de energía potencial gravitatoria del
bloque. - Una esfera maciza y homogénea de masa M y
radio R se deja en reposo sobre un plano inclinado Calcule que
velocidad de traslación tendrá cuando haya
descendido una altura h con rodadura pura. Calcule su resultado
por vía dinámica y energética
.
, despejando T obtenemos
a y sumando con la (1) tenemos que: m g = (m +
y
- Para el análisis dinámico debemos
dar los siguientes pasos
- Construir el diagrama de fuerzas
- Plantear el convenio de signos y dar cumplimiento a
la segunda ley de Newton para la traslación y
rotación. - Establecer la ecuación de ligadura que
corresponde. - Trabajar el sistema de ecuaciones y hallar la
incógnita expresándola en la unidad
correspondiente.
También debemos tener presente que: Io
=²/5 M R2 (5)
Sustituyendo las ecuaciones 4 y 5 en la 3
queda: fre = 2/5MR² (a CM /
R2) fre = ²/5 M acm
(6)
Sustituyendo 6 en la ecuación 1 para eliminar la
fre queda:
Mg senq =Macm +
2/5Macm acm = 5/7 g senq .
Una vez obtenida la acm podemos por
vía cinemática hallar la Vcm, a partir
de la expresión
V²CM =V²oCM + 2
aCM L, donde V oCM= 0 por partir del reposo
y
L = h / sen q (distancia
recorrida por la esfera sobre el plano al descender la altura
h).
Por ello V²CM = 2 (5/7 g senq ) h / sen q siendo
la ecuación final:
V CM = 
Para el análisis energético debemos
plantear que:
W no cons = D
Emec, pero como la fricción es estática y esta no
realiza trabajo entonces la D Emec =0
, D Ep + D
Ec = 0.
Como el cuerpo a la vez que se traslada esta rotando,
presentará energía cinética para ambos
movimientos, por lo que:
D Epg +
D Ect + D EcR = m g (h-h o) +
½M (V² CM –V2 o
CM )+ ½I o (w
² – w 0²) =
0.
Sabemos que V o CM y que w 0 = 0, por partir la esfera del
reposo y h = 0 pues supondremos que el cuerpo llega a la base del
plano, por lo que:
-m g ho + ½m V² CM + ½ Io
w ² = 0.
Planteamos como ecuación de ligadura w = V CM/R y además
Io = 2/5 M R² sustituyendo obtenemos: -M g
ho + ½ M V² cM + ½(2/5 M
R²)(VCM/R)2, cancelando R2
y agrupando términos semejantes queda ½ M
V²CM +2/10 M V²CM = M g
ho, cancelando M y despejando obtenemos
que:
Ejercicios propuestos.
- Un volante de masa 20 kg y radio 0,5 m gira con
velocidad angular de 20 rad/s, si al cabo de 5 segundos se
detiene. Calcule:
- El trabajo realizado por la fuerza de
rozamiento. - Aceleración lineal de los puntos extremos del
volante.
Dato: Io= ½ m R²
Un cilindro macizo de radio 0,01 m y masa 20 kg rota con
respecto a un eje fijo que pasa por su centro, como se muestra en
la figura.
Una cuerda ligera e inextensible enrollada sobre su
periferia soporta un cuerpo de masa 10 kg.
Despreciando el rozamiento en el eje de rotación
y considerando que el sistema parte del reposo, determine la
velocidad del cuerpo cuando este descendió 10
m.
- Un disco de masa 1kg y diámetro 0,6 m gira
alrededor de un eje, que pasa por su centro perpendicular al
plano del disco y da 20 RPS. ¿Qué trabajo hay que
hacer para detener el disco en 5 segundos? - Al borde de un disco de masa 5kg hay aplicada una
fuerza tangencial constante de 20N ¿Qué
energía cinética tendrá el disco al cabo
de un tiempo de 5 segundos de haber comenzado a actuar la
fuerza si su radio es de 0,4 m. - ¿Qué condiciones deben cumplirse para
poder plantear que un cuerpo presenta un movimiento plano?
Explique.
- Un bloque de 100kg de masa está suspendido de
un cable inextensible que está enrollado a un tambor de
0.4m de radio, el cual se encuentra rígidamente unido a
un volante. El conjunto del tambor y el volante tiene un
momento de inercia de 2kgm². En el momento en que se
inicia la observación la velocidad del bloque es de
2m/s dirigido hacia abajo. Si el momento de la fuerza de
rozamiento es de 10nm. Calcule la velocidad que adquiere el
bloque al descender 1.5 m. - Del sistema representado, calcule la velocidad de
ambos cuerpos al llegar la esfera a la base del plano, si
suponemos fricción en toda la superficie, la esfera
rueda sin deslizar, la polea no tiene masa y la cuerda es
inextensible y de masa despreciable.
Datos:
M1 = 1 kg
M2 = 5 kg
R = 0,5 m
m = 0,2
yo = 2 m
L = 4m
Io = 2/5 m2 R²
Sen 60 = 0.86
Cos 60 = 0.5
8) Un cilindro macizo y homogéneo rueda sin
deslizar con velocidad V. ¿Qué altura
logrará subir, con rodadura pura, cuando se mueva sobre
la parte inclinada del plano?
Datos: m, R, v, Io
=½mR².
9)
Datos: H, K, L, M, m, r, v0,
m d, I0=1/2
mr2
Plantee como calcular cuanto se comprimirá el
resorte de la figura, si el cuerpo de masa m baja por el plano
inclinado con rotación sin deslizamiento y choca
plásticamente con el bloque de masa M, deslizandose por la
superficie horizontal la distancia L, donde el coeficiente de
fricción dinámico es m
d hasta chocar con el resorte.
10)
El cuerpo de masa m1 parte del reposo de la
posición indicada, chocando con el cuerpo de masa
m2 de forma tal que cede toda su energía al
segundo, quedando en reposo, después del choque. Si el
cuerpo de masa m2 después del choque rueda sin
deslizar
- ¿Hasta que altura subirá?
- ¿Qué parte de su energía
cinética corresponde a la rotación y cual a la
traslación después del choque?
Tarjeta
de estudio No 8. Tema. Mecánica de los
Fluidos
TarjetaTemática: Teorema del Trabajo y la
Energía Mecánica aplicado a fluidos.
Ecuación de Bernoullí. Conceptos generales sobre
fluidos. Ecuación de continuidad.
Objetivos:
- Interpretar los conceptos básicos generales
que caracterizan a un fluido ideal y estar en condiciones de
aplicarla a fluidos reales. - Interpretar las ecuaciones de Bernoullí y
continuidad a partir de las leyes generales de
conservación de la energía y la masa y aplicarlas
en la solución de problemas.
Información teórica
básica.
- Fluido (líquidos y gases) es
aquella sustancia que se caracteriza por adoptar la forma del
recipiente en el cual está contenida.
- El flujo de un fluido puede ser a
régimen:
- Estable o variable. Es estable cuando la velocidad
del fluido para cualquier punto dado es constante en el tiempo,
esta velocidad puede tener valores diferentes para distintos
puntos, pero se mantendrá constante en el tiempo para
cada uno de ellos. Si no cumple con esta condición el
fluido fluye a régimen variable. - Rotacional o irrotacional. Es irrotacional cuando
ningún elemento del fluido posee velocidad angular para
algún punto, en caso contrario será
rotacional. - Compresible o incompresible. Es incompresible cuando
bajo los efectos de cualquier presión
externa no se puede variar el volumen del fluido; en caso
contrario es compresible. - Viscoso o no viscoso. Es viscoso cuando se introducen
fuerzas tangenciales que se oponen al movimiento relativo entre
las capas de fluido, lo cual da lugar a la disipación de
la energía mecánica, en caso contrario es no
viscoso.
- Consideraremos el fluido como perfecto a aquel que
fluye a régimen estable, irrotacional, sin acción de fuerzas viscosas y que sea
incompresible, en estos se conserva la energía
mecánica cuya expresión se da a partir de la
ecuación de Bernoullí, donde P +r gy +1/2 mV2= cte. - Otra ley de conservación que se cumple en este
tipo de fluidos es la de la conservación de la masa, que
se expresa mediante la ecuación de continuidad, donde
r SV = cte., siendo el producto SV =
Q (gasto) el que también se calcula a partir del volumen
respecto al tiempo, es decir Q =Vol/t (m /s).
Problema resuelto.
Por el tubo representado fluye agua, la
sección transversal en su parte N ancha es de 36
cm2 y en la parte estrecha de 9 cm2. Si
cada 5 s. salen del tubo 27 . 10-3 m3 de
agua.
Calcule:
a)Las velocidades en las partes anchas y estrechas del
tubo.
b) La variación de presión entre ambas
partes
- La diferencia de altura entre las columnas de
mercurio y explique el por qué de esa diferencia de
altura.
Datos:
r agua=l000
kg/m3
r Hg =l3600
kg/m3
S1 =36 cm2= 36 . l0-4
m2
S2 = 9 cm2= 9 . l1-4
m2
t = 5 s
V = 27 . 10-3 m3
Incógnitas:
v1= ?
v2= ?
P1 – P2= ?
h= ?
Después de extraer los datos que nos brinda el
problema expresándolos todos en el sistema internacional
de unidades e identificando las incógnitas, debemos
trazarnos la estrategia de trabajo.
Q=V/t=SvÞ Q=
27.10-3m3/5 s= 5,4 l0-3
m3/sComo Q=
S1v1=S2v2
Þ
v1=Q/S1 o
v2=Q/S2V1=54 l0-3m3/s/36
l0-4m2 Þ V1= 1,5 m/s
V2=54 l0-3m3/s/9
l0-4m2Þ
v2=6m/s- En este inciso nos piden las velocidades del agua en
las partes anchas y estrechas, por lo que suponiendo este
fluido como perfecto podemos plantear que
S1v1=S2v2
(ecuación de continuidad). Conocemos las secciones
transversales de ambas partes, pero debemos calcular ambas
velocidades, por lo que primero debemos calcular el gasto, es
decir el volumen de líquido que atraviesa la
sección transversal del tubo para cualquier punto de
este en la unidad de tiempo, es decir: - Para calcular la diferencia de presiones D P= P1 – P2, planteamos
la ecuación de Bernoullí, es decir: P1
+ r gy1 +1/2r v12 =P2 +
r gy2 + 1/2r v22, como en nuestro
caso los puntos 1 y 2 están situados al mismo nivel
tendremos que r
g(y2-y1)=0, por lo que
P1-P2 = 1/2r
(v22-v12)
P1-P2= ½
10-3kg/m3[ (6
m/s)2 – (l,5 m/s)2] Þ
P1-P2= l6875 Pa. - La diferencia de altura en el tubo en U esta dado por
la diferencia de presiones (P1-P2)
razón por la cual el Hg. en la rama izquierda esta mas
bajo que en la derecha, a fin de compensar las presiones, ya
que P1> P2. En el cálculo
de h esto queda demostrado. - Apliquemos la expresión de
Bernoullí.
P1 + r
gy1 + 1/2r
v12 = P2 + r gy2 + 1/2r v22, como en el tubo en U
no hay movimiento del fluido así como y2
– y1 = y, la expresión anterior queda
como: y = P1-P2/r g Þ y =
0,13 m.
Problemas propuestos
l.- Una tubería para agua cuyo diámetro
interior es de 16 cm, transporta un caudal de agua de 0,5
m3/s. Al final de una porción recta de la
tubería que está situada en tierra hay un codo de
900, con un reducido de 6 cm de diámetro.
Hállese hasta que altura puede llegar el agua por
este tubo.
Datos: P1= 5292800 Pa. P2=
103660 Pa r = 1000
kg/m3.
2.- – Una turbina imprime al agua una presión de
620160 Pa, impulsándola por una tubería de 706,5
10-4 m2 de sección transversal,
situado sobre el suelo hasta llevarla a un grupo de 10
aspersores que están situados para regadío a una
altura de 0,8 m del suelo, siendo la sección transversal
de salida del agua por cada uno de ellos de 2 10-4
m2. Calcule la velocidad de salida del agua por los
aspersores.
Datos: r agua=
1000 kg/m3. Patm=103360 Pa.
3.- Un tubo por el que fluye agua tiene una
elevación de 300 en una de sus secciones que
tiene un radio de 10 cm, bajo la presión de un Pa. Y en la
otra sección situada a 20 m por encima a lo largo del
tubo, la presión es de 1,5 Pa y su radio de 20 cm. Halle
la velocidad del agua en cada sección.
4.- Un tanque abierto está lleno de un
líquido no viscoso y tiene en su parte inferior un
pequeño orificio de área a. Si el nivel del
líquido en el tanque tiene una altura h por encima del
orificio. Calcule la velocidad de salida del agua por el orificio
si el área del tanque es A. Considere la densidad del
líquido como r .
5.- Demuestre por qué saltan los techos de las
casas en caso de huracanes aplicando las ecuaciones de
continuidad y Bernoullí.
6.- La velocidad de flujo del aire respecto al
ala de un avión es de 100 m/s por su parte inferior y de
110 m/s por la superior si cada ala tiene un área de 20
m2 Calcule el peso del avión si este se
mantiene en vuelo horizontal.
Tome como densidad del aire a la altura de vuelo 1
kg/m3.
7.-
Datos
S1 = 0,04 m
S2 = 0,005 m
Y1 = 0,8 m
V1 = 0,5 m/s
El sistema muestra un conjunto de tubos por los que
fluye un líquido que supondremos perfecto. Teniendo en
cuenta los datos brindados calcule:
- Velocidad del líquido en el tubo de menor
área. - Altura que alcanza el líquido en la columna
2. - Volumen del líquido que se recogerá en
el tanque.
NOTA: Observe que ambas columnas líquidas
están abiertas a la atmósfera.
Bibliografía
- Ausubel, David P. Psicología Educativa. Un punto de vista
cognoscitivo. Editorial Trillas Méjico Décima
edición Mayo de 1997. - Galperin, P. Ya. Desarrollo
de la investigación de la formación de
las acciones
mentales. En la colección Ciencias
Pedagógicas de la URSS. Academia de Ciencias
Pedagógicas de la RSFSR.1959. - García Martínez, Andrés.
"Física
General Aplicada. Novedosa Concepción para la enseñanza de la Física en Ciencias
Técnicas" Tesis en
opción al grado científico de Dr. en Ciencias
pedagógicas Ciudad de la Habana 1997. - Halliday D., Resnick R. y Kenneth S. K.
Física. Volumen I tomos I y II. Cuarta edición.
Editorial Felix Varela. Ciudad de la Habana. Cuba.
2003 - Leontiev, A. N. Actividad, conciencia y
personalidad. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1981. - Moreira, Marco Antonio. Mapas
Conceptuales. Instituto de Física Universidad
Federal de Río Grande del Sur Puerto Alegre.
1990. - Novak, Joseph y Gowin D. Bob. Aprendiendo a aprender.
Ediciones Martínez Roca SA. España.
1988. - Novak, Joseph D. Concept Maps and Vee Diagrams two
metacognitive tools to facilitate meaningful learning.
Instructional Science. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht
Printed in the Netherlands. Pag. 29-52 1990 - Ontoria Peña, Antonio. Mapas
Conceptuales. Una técnica para aprender. Ediciones
Narcea SA. Madrid.
l992. - Pérez de Prado Santa Maria, Antonio. Nueva
propuesta de perfeccionamiento de la Física I para
estudiantes de Ingeniería Agronómica. Tesis de
Maestría. Matanzas. 1999 - Pérez de Prado Santa Maria, Antonio. Tarjetas de
Estudio de Física I para estudiantes de
Ingeniería Agronómica. Universidad de Matanzas
"Camilo Cienfuegos". Cuba.1995. - Pérez de Prado Santa Maria, Antonio. Tarjetas de
Estudio de Física I para estudiantes de Ciencias
Técnicas. Universidad de Matanzas "Camilo Cienfuegos".
Cuba. 1999.- Síntesis Curricular
1.1 Nombre y Apellidos: Antonio O. Pérez de
Prado Santa María.1.2 Lugar y fecha de nacimiento: Cárdenas, l4
de diciembre de 1947. Cuba.1.3 Categoría Docente: Profesor
Auxiliar1.4 Categoría Científica: Master en
Ciencias de la Educación Superior,
mencióndocencia universitaria e investigación educativa.
1.5 Dirección Particular: Calle 129
Edificio 13 plantas 2
piso 9 Apto.4 entre 200y 202 Peñas Altas, Playa, Matanzas,
Cuba.Teléfono 0053 45 261132.
Email:
Graduado de la carrera profesoral, sección
básica, en Física y Química, en el Instituto
Pedagógico Enrique José Varona de la
Universidad de la Habana, en 1967 y de la carrera profesoral,
de nivel superior, en la especialidad de Física, en el
Instituto Superior Pedagógico de Matanzas en 1977.
Desde 1978 hasta la fecha ha recibido diferentes cursos y
estudios de post grado, de la especialidad y vinculados a la
esfera educacional, dentro y fuera del país,
titulándose en 1999 como Master en Ciencias de la
Educación Superior, ha estado
vinculado y ha dirigido diferentes tareas y temas de
investigación, obteniendo un logro científico
en 1995, ha publicado diferentes artículos en revistas
de carácter nacional y fue miembro del
colectivo de autores de dos textos de Pedagogía y de varias
monografías didácticas, ha impartido diferentes
cursos y entrenamientos de post grado y es profesor de
Tendencias Pedagógicas Contemporáneas en la
maestría en Ciencias de la
Educación Superior, impartiendo la asignatura en
diferentes versiones de nuestra Universidad, en la
Universidad de Ciego de Ávila y en países como
Brasil,
Colombia y
Venezuela,
ha sido tutor de tres tesis.Comenzó su vida laboral en
1967 como funcionario de las oficinas centrales del
Ministerio de Educación, en 1969 pasa a la
Dirección Provincial de Educación de Matanzas,
como inspector provincial de Física, en 1973 comienza
a trabajar en el Instituto Superior Pedagógico de
Matanzas, donde fue profesor, asesor y jefe del Dpto. de
Física y en 1976 pasa a la Sede Universitaria, actual
Universidad de Matanzas, donde se ha mantenido durante todos
estos años como profesor, impartiendo Física en
las diferentes especialidades de Ciencias Técnicas y
en Agronomía, así como ha ocupado diferentes
responsabilidades de carácter metodológico y de
dirección. En el curso 2003 -2004 fue jefe de
Colectivo de Física en la Universidad de las Ciencias
Informáticas de Ciudad de la Habana y desde julio del
2006 se encuentra impartiendo diferentes asignaturas de
Física General y Didáctica de la Física en la
Escuela
Superior Pedagógica de Lunda Norte, de la Universidad
Agostinho Neto de Angola.Fecha de confección: diciembre
del 2007Antonio Pérez de Prado Santa
María - Pérez de Prado Santa Maria, Antonio. Tarjetas
de Estudio de Física I para estudiantes de
Ingeniería Informática. Universidad de Ciencias
Informáticas. Ciudad de la Habana. Cuba.
2004.
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