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Tarjetas de estudio de Teoría Cinético Molecular y Termodinámica (página 2)




Partes: 1, 2


A manera de ilustración presentamos el mapa Conceptual para representar el concepto de Mapa Conceptual dado al inicio de esta cuartilla.

Mapa conceptual del concepto dado de mapa conceptual

Tarjetas de estudio de Teoría Cinético Molecular y Termodinámica

Temas: Teoría Cinético Molecular y Termodinámica

 

 

Autor:

Profesor Auxiliar

Departamento de Física

Universidad de Matanzas "Camilo Cienfuegos"

Matanzas, Cuba.

Tarjeta de estudio No. 1. Tema: Teoría Cinético Molecular.

Tema: Teoría Cinético Molecular (TCM). Líquidos y gases.

Temática: Fundamentos de la TCM. Compresibilidad de los gases. Elasticidad de los sólidos. Movimiento Browniano. Calor y temperatura. Estructura de los líquidos. Difusión. Viscosidad. Ley de Stokes. Presión interna en los líquidos. Tensión superficial y energía libre de la superficie de un líquido. Fórmula de Laplace. Fenómenos capilares: Fórmula de Jurín. Descripción mecánica, estadística y termodinámica de un sistema de partículas. Coordenadas termodinámicas. Postulados de la teoría cinético – molecular. Modelo del gas ideal. Ecuación fundamental de la teoría cinético molecular del gas ideal. Correcciones a la TCM. Energía cinética media de traslación de una molécula. Constante de Boltzmann. Teorema de Boltzmann sobre la equipartición de la energía. Energía interna. Calor específico molar de un gas.

Objetivos.

  1. Interpretar físicamente las leyes que abordan el tema y aplicarlas en el análisis de diferentes fenómenos, así como en la solución de problemas numéricos.
  2. Interpretar diferentes fenómenos vinculados a la especialidad a partir de los postulados de la TCM.
  3. Aplicar la ecuación fundamental de la teoría cinética del gas ideal y la ecuación de estado en la solución de problemas.
  4. Describir los puntos de vistas macroscópicos y microscópicos para el análisis de los fenómenos en sistemas con muchas partículas.
  5. Interpretar la temperatura del gas ideal en función de la energía cinética promedio de las moléculas respecto al centro de masa

Información teórica básica.

  • En este tema considerará un enfoque de promedios llamado teoría cinética molecular (TCM) en el que seguimos el movimiento de las partículas representativas de un gas y luego promediamos este comportamiento para todas las partículas.
  • Los postulados de la TCM plantean que todas las sustancias están compuestas por moléculas las cuales se encuentran animadas de un movimiento continuo y desordenado llamado movimiento térmico o Browniano, entre las moléculas existen espacios intermoleculares y fuerzas de atracción y repulsión que son de naturaleza eléctrica y su influencia es de varios diámetros moleculares.
  • Podemos afirmar que la temperatura es una medida cuantitativa del estado térmico de los cuerpos, por estar íntimamente vinculada a la energía interna y por tanto con la intensidad de su movimiento molecular.
  • La cantidad de calor trasmitida de un cuerpo a otro depende de la naturaleza de la sustancia, de la masa del cuerpo y de la variación de su temperatura, por lo que Q = m c D t, donde C es el calor específico (cantidad de calor necesaria para variar la temperatura de un kilogramo masa de sustancia en un grado Celsius).
  • Existen diferentes escalas termométricas pero trabajaremos fundamentalmente con la Fahrenheit, la Kelvin y la Celsius, siendo las expresiones que las relacionan:

y C = k - 273

  • La difusión es el proceso de penetración de las moléculas de una sustancia en los espacios intermoleculares de otra y se explica por la ley de Fick, la que plantea que: D m = - D D r /D x D SD t, donde D m es la masa del fluido difundido o transportada en el intervalo de tiempo D t, D s es el área de contacto entre las superficies de fluido, la cual es perpendicular a la dirección en que se transporta el fluido, D r /D x es el gradiente de densidad (densidad de masa por unidad de longitud) donde r = siendo evidente que a densidad es menor en la zona más avanzada de la difusión, pues la concentración de moléculas es menor en la medida en que estas avanzan, D es el coeficiente de difusión es decir la masa de fluido transportado a través de una superficie de 1m2 en un segundo, siendo El signo negativo indica que el transporte de masa se produce en el sentido en que disminuye la densidad.
  • La viscosidad es el rozamiento interno entre capas de fluido y es debido a la cohesión entre moléculas, la ley de Newton plantea que f= -h D V/D t D S, siendo h el coeficiente de viscosidad del fluido, D V/D x el gradiente de velocidad y D S el área de contacto entre capas de fluido, significando el signo menos que la fuerza viscosa es de sentido contrario al movimiento.
  • El volumen de líquido que fluye por un tubo es proporcional a la cuarta potencia del radio del tubo, al tiempo y al gradiente de presión e inversamente proporcional al coeficiente de viscosidad, por lo que V= -p r4/8h D P/D x D t, significando el signo menos que el incremento de volumen es menor en la medida en que aumenta el gradiente de presión.
  • La ley de Poiseuille plantea que la velocidad media del flujo laminar (V) de un líquido por un tubo es proporcional al gradiente de presión del líquido y al cuadrado del radio del tubo e inversamente proporcional al coeficiente de viscosidad del líquido, por lo que V=-D P/D x r2/8h , significando el signo negativo que la velocidad de la corriente es de sentido contrario al gradiente de presión.
  • Debido a la viscosidad un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido arrastra consigo las capas de fluido con las que está en contacto, por lo que experimenta cierta resistencia en su movimiento, por parte del fluido. La fuerza de resistencia dependerá de la de la velocidad con que se mueva el cuerpo, de sus dimensiones y forma.
  • La ley de Stokes para cuerpos de forma esférica, que se mueven con velocidades no muy grandes plantea que la fuerza de resistencia del fluido será directamente proporcional a la velocidad del cuerpo esférico, a su radio y al coeficiente de viscosidad del fluido, por lo que su expresión es f = 6p h rv.
  • Tensión superficial se denomina al estado de tensión a que está sometida la capa superficial de un líquido, la que tiene su origen por la cohesión de las moléculas de la capa, siendo la fuerza de tensión superficial proporcional a la longitud de la capa superficial (al número de moléculas) por lo que F = a l, siendo a el coeficiente de tensión superficial a [ N/m] .
  • El coeficiente de tensión superficial (a ) se puede disminuir con el aumento de la temperatura, ya que al aumentar esta, aumenta la distancia media entre las moléculas y con la adición de las sustancias detergentes, pues estas provocan que se reduzca el valor de la fuerza de tensión superficial.
  • La energía libre de la superficie de un líquido es proporcional al área de la superficie, por lo que
  • E = a S.
  • La expresión de Laplace nos plantea que D P =± 2a (1/R1+1/R2) es decir que la presión adicional dependerá del valor del coeficiente de tensión superficial y del grado de curvatura de la capa superficial. Tomará valor positivo (+) si la superficie es convexa y negativa (-) si es cóncava. Si la superficie tiene una curvatura esférica R1= R2, por lo que D P =± 2a /R y si es plana D P = 0, ya que R1= R2 = a y 1/a = 0.
  • Si la fuerzas de cohesión entre las moléculas del líquido es mayor que la que existe entre las moléculas del líquido con las del sólido en que está contenido, el líquido tiende a disminuir el área de contacto con el sólido, separándose de el lo más posible, siendo el ángulo interfacial q >, planteándose que el líquido no moja al sólido, por lo que se denomina líquido no humectante, en caso contrario si q < el líquido moja al sólido y se denomina líquido humectante. Si q = 00 el líquido se extiende por toda la superficie y se plantea que hay un mojado total y si q =p se plantea un no mojado total.
  • El concepto de mojar o no es relativo pues hay líquidos que mojan a un sólido y no mojan a otros, por ejemplo el agua moja al vidrio y no moja a la parafina y el mercurio no moja al vidrio y sí moja al cobre.
  • Para tubos capilares (de muy pequeño diámetro) la curvatura superficial o menisco es esférico, planteándose por Borelli y Jurín que h =, es decir que la altura a que se eleva la columna líquida por el tubo capilar es proporcional en razón inversa con el radio del tubo (r), siendo el término denominado constante capilar y q el ángulo interfacial. Si denominamos por R al radio de curvatura del menisco, tendremos que cos q =
, por lo que h =2a /r gR.
  • La ley de Avogadro nos plantea que el volumen ocupado por un gas a determinadas presiones y temperaturas es independiente del tipo de gas o del tamaño o masa de sus moléculas, este depende únicamente del número de moléculas (V a N). La ley de Boyle nos dice que la presión es inversamente proporcional al volumen (P a ) y la ley de Charles o de Gay-Lussac nos dice que el volumen es directamente proporcional a la temperatura (V a T). Todas estas leyes son válidas para gases cuyo comportamiento es ideal y nos llevan al planteamiento de la expresión k = , siendo k = 1,38066. 10-23 J/K (Constante de Boltzmann). Si queremos expresarla en función del número de moles (n) hallamos la relación entre el número de moléculas (N) y la constante de Avogadro (NA = 6,023. 1023 moléculas/mol), lo que nos queda como: =k NA = R, siendo R la constante universal de los gases ideales. (R = 8,31 J/molK). Esta última expresión se puede formular como PV = nRT y se denomina ecuación de estado para los gases cuyo comportamiento es ideal.
  • Los postulados de la TCM del gas cuyo comportamiento es ideal plantean que todas las sustancias están compuestas por moléculas las cuales se encuentran animadas de un movimiento continuo y desordenado llamado movimiento térmico o Browniano, que entre las moléculas existen espacios intermoleculares, que el volumen de las moléculas es una fracción despreciablemente pequeña comparada con el volumen ocupado por el gas y que entre las moléculas no existen fuerzas de interacción excepto durante los "choques", los que se plantean como perfectamente elásticos.
  • La raíz cuadrada de V2 se llama velocidad media cuadrática (rms, root-mean-square) y es una clase de velocidad molecular promedio. Vrms= V2 = siendo P la presión y ρ la densidad. Dicha magnitud también se relaciona con la temperatura a través de la expresión: Vrms= 3kT/m
  • Podemos afirmar que la temperatura es una medida cuantitativa del estado térmico de los cuerpos, por estar íntimamente vinculada a la energía interna y por tanto con la intensidad de su movimiento molecular, siendo K = kT.
  • La cantidad de calor trasmitida de un cuerpo a otro depende de la naturaleza de la sustancia, de la masa del cuerpo expresada en moles y de la variación de su temperatura, por lo que Q = n C D T, donde C es el calor específico molar (cantidad de calor necesaria para variar la temperatura de un mol de sustancia en un Kelvin).

Ejercicios Resueltos:

1.- Sobre la superficie del agua se deposita una aguja de acero grasienta (que el agua no moja en lo absoluto) ¿ Qué diámetro máximo podrá tener esta aguja para mantenerse a flote?

Para que la aguja pueda mantenerse flotando sobre la superficie del agua es necesario que la presión que ejerce su peso sobre el área de apoyo no sea mayor que la presión producida por la curvatura de la superficie del líquido (D P) en el hueco que se forma debajo de la aguja, la cual estará dirigida hacia arriba.

Como la superficie de apoyo de la aguja en el líquido es cilíndrica planteamos R1=a y R2 = r, siendo r el radio de la aguja, por lo que D P = a /r Þ D P =2a /d.

Como es necesario que D P ³ P para que la aguja flote, debemos plantear que:

2.-

En un recipiente que contiene Hg se introduce un tubo capilar abierto cuyo diámetro (d) es de 3mm. La diferencia entre los niveles de Hg entre el recipiente y en el tubo capilar es de 3,7mm. ¿Qué radio de curvatura tendrá el menisco del Hg que hay en el tubo capilar ?

Según la expresión de Laplace D P= ± 2a /R y como q > el líquido es no humectante siendo el menisco convexo por lo que , pero según Borelli – Jurín r = por lo que cos r ghr//2a y sustituyendo por los valores cos l3,6. 103kg/m3 9,8 m/s23,7. 10-3m 1,5. 10-3m/2 0,5 N/m, por lo que cos 0,74 pero como > q > , entonces el coseno es negativo, por lo que cos y como r = -R cos ó R = 2mm.

Evidentemente como el líquido es no humectante la superficie de la columna líquida en el capilar estará por debajo de la superficie del Hg contenida en la vasija.

3.- Un recipiente que tiene una capacidad de 50 l contiene oxígeno a la presión manométrica de 6 atm a una temperatura de 47C. Posteriormente se observa que a causa de una fuga la presión manométrica descendió a 5 atm y la temperatura bajó a 27C. Calcula:

  1. La masa de oxígeno que había inicialmente en el recipiente.
  2. La masa de oxígeno que se escapó.

Como el valor de presión que tenemos es manométrico debemos expresarlo en presión absoluta, donde: PABS== PMAN +1 atm y PABS = 6 atm.

También debemos expresar la temperatura en la escala absoluta, es decir en Kelvin, donde K = C+273 Þ T0= 320K y T = 300K

El valor de la constante universal de los gases cuyo comportamiento es ideal será

R = 0,082 atm-l/mol K, atendiendo a las unidades en que se expresan la presión y el volumen. Para poder calcular la masa de oxígeno que había inicialmente debemos hallar el número de moles, por lo que: N=P0V0/RT0 donde

Conocemos que m = m N, donde m es la masa molar y m la masa de oxígeno expresada en kilogramo (kg). También conocemos que la masa atómica del oxígeno es de 16g y que una molécula de oxígeno tiene dos átomos por tanto m = 32 g / mol Þ m = 0,032 Kg/mol, por lo que m = 0,032 kg/ mol . 13,34 mol m= 0,043 kg.

Para calcular la masa de oxígeno que escapó (D m) debemos primero hallar el número de moles (n) de Oxígeno que quedó en el recipiente, por lo que: n =PV/RT donde n= 12,2 mol.

m=m n donde m= 0,39 kg y para calcular la masa de oxígeno que escapó planteamos que:

D m=0,04 kg.

4.- La energía cinética media de una molécula de N2 es de 3,1 10-21 J. a) ¿Qué presión ejercerán 2 moles que en estas condiciones ocupan un volumen de 2,4 10-3 m3?

b) ¿ Cuál será la energía cinética media de una molécula de H2 a la misma temperatura?

a) Para calcular la presión utilizamos la ecuación de estado para los gases cuyo comportamiento es ideal, es decir PV = nRT, donde P=nRT/V, pero antes debemos hallar la temperatura, por lo que debemos utilizar la expresión EC=3/2KT, donde T= 2Ec/3K, es decir T=2. 3,1. 10-21 J/3. 1,38. 10-23 J/K , donde T= 150 K.

b) Conocemos que la EC=3/2 KT por lo que la energía cinética sólo depende de la temperatura, por lo que la energía cinética de una molécula de H2 a la misma temperatura que una molécula de N2 será la misma, es decir 3,1. 10-21 J.

Ejercicios propuestos

1.- En un recipiente con agua se introduce un tubo capilar abierto cuyo diámetro interior es de 1mm. La diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y del líquido en el tubo capilar es de 2,8 mm. A) ¿ Cuál será el valor del radio de curvatura del menisco en el tubo? B) ¿ Cuál será la diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y el tubo capilar si este líquido moja perfectamente.

Represente gráficamente y explique si la superficie del líquido en el tubo capilar está a un nivel mayor o menor que la del líquido en el recipiente.

2.- En un suelo monolítico a costa de su porosidad (capilaridad) el agua ha subido una altura de 40 cm. Teniendo en cuenta que los poros tienen forma cilíndrica y el agua moja perfectamente al suelo, determina el diámetro de los capilares.

3.- Entre dos láminas verticales y paralelas que se encuentran entre sí a una distancia de 0,25mm hay un líquido. Hallar la densidad del mismo sí sabemos que se eleva entre las láminas 3,1cm, mojando al sólido perfectamente si

4.- ¿ A qué equivale el coeficiente de tensión superficial de la gasolina si la altura a que se eleva en un tubo vertical, cuyo diámetro interior es de 0,4 mm es de 3cm. El mojado es total y r gasolina = 700 kg/m3.

5.- Hasta que altura se elevará el Benzol en un tubo capilar cuyo diámetro interior es de 1mm, si consideramos que el benzol moja perfectamente.

. r benzol = 880 kg/m3

6.- Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la mecha de una hornilla de petróleo para que este último suba desde el fondo del depósito hasta la mecha de la hornilla (h=10cm). Considere que los poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja perfectamente.

a petróleo = 0,03 N/m. petróleo = 780 kg/m3

7.- Calcule la energía cinética media de las moléculas de un gas cualquiera a 50C de temperatura. ¿ Se puede decir de un gas cualquiera? ¿Por qué? ¿ Cuál es la energía cinética total de 2 moles de gas a esa misma temperatura?.

8.- En un recipiente de 10 l de capacidad hay 10 g de oxígeno a la presión de 680 mm de Hg. Halle la cantidad de moléculas que hay en el recipiente.

9.- ¿ Qué temperatura tienen 2 .10-3 kg de N2 que ocupan un volumen de 320 . 10-3 m3 a la presión

de 2. 105 Pa.

10- Un recipiente contiene 40 l de gas ideal a la presión de 1,52. 105 Pa y a la temperatura de 50C. ¿ Cuál será la presión si el volumen aumenta hasta 400 l y la temperatura se eleva a 225 C ?.

11- En la teoría cinética molecular suponemos que hay un gran número de moléculas en un gas. Los gases reales a bajas temperaturas se comportan como un gas ideal. ¿Son contradictorios estos enunciados? Si no lo son ¿Qué conclusión puede sacar de ellos?

12- Explique con palabras por qué el calor específico a presión constante es mayor que el calor específico a volumen constante.

13- Analicemos el siguiente mapa conceptual.

A partir del mismo explique: 1) ¿Por qué i = 3 para una molécula monoatómica?

2) Cuándo i = 5 y cuándo i = 7 para una molécula de dos ó más átomos?

Tarjeta de estudio No. 2. Tema: Teoría Cinético Molecular

Actividad: Seminario del Tema: Teoría Cinético Molecular (TCM). Líquidos y gases.

Objetivo: Aplicar los postulados de la TCM y las leyes estudiadas en la solución de diferentes problemas.

Actividades a ejecutar.

  1. Analicemos el siguiente mapa conceptual sobre la teoría cinética – molecular y completa el mismo planteando las leyes que explican cada fenómeno y relaciónelo con el postulado al cual le dan cumplimiento.
  2. En la teoría cinética molecular suponemos que hay un gran número de moléculas en un gas. Los gases reales a bajas temperaturas se comportan como un gas ideal. ¿Son contradictorios estos enunciados? Si no lo son ¿ Qué conclusión puede sacar de ellos?.
  3. Explique a partir de los postulados de la teoría cinética – molecular él por qué se roturan los terrenos antes de ser sembrados.
  4. Explique con palabras por qué el calor específico a presión constante es mayor que el calor específico a volumen constante.
  5. En un tubo de vidrio de paredes limpias vemos que al verter agua el menisco que se forma es cóncavo, mientras que si las paredes del tubo están cubiertas de parafina el menisco será convexo. Explica a que se debe esto.

Tarjeta de estudio No. 3. Tema: Termodinámica

Tema: Termodinámica

Temática: Objetivos de la termodinámica. Sistema termodinámico. Equilibrio termodinámico. Coordenadas termodinámicas (Presión, Volumen y Temperatura). Procesos reversibles e irreversibles. Primer principio de la termodinámica. Trabajo realizado al cambiar de volumen un gas. Proceso adiabático. Calor intercambiado en algunos procesos termodinámicos. Variación de energía interna. Segundo principio de la Termodinámica. Eficiencia. Enunciado según Clausius y según Kelvin. Desigualdad de Clausius. Ciclo de Carnot. Motor y refrigerador de Carnot. Entropía. Cálculo de la variación de la entropía. Principio de aumento de la entropía.

Objetivos

  1. Realizar cálculos de Q, W y intercambiados en procesos termodinámicos (isocóricos, isobáricos, isotérmicos y adiabáticos) aplicando al primer principio de la termodinámica y las expresiones correspondientes a cada magnitud.
  2. Interpretar y aplicar el primero y el segundo principio de la Termodinámica en el análisis de ciclos y de procesos termodinámicos, así como establecer relaciones entre ellos.
  3. Calcular Qneto , Wneto y eficiencia en ciclos termodinámicos, estableciendo diferencias entre los ciclos motor y refrigerador, así como la variación de entropía para diferentes procesos, reversibles e irreversibles.

Información teórica básica

  • Un proceso termodinámico tiene lugar cuando por variación de las coordenadas termodinámicas macroscópicas (P, V y T) el sistema pasa de un estado de equilibrio termodinámico a otro en un intervalo de tiempo dado. Un sistema se encuentra en estado de equilibrio termodinámico cuando el valor de las coordenadas termodinámicas (P, V y T) son las mismas para toda la masa del sistema.
  • Cuando un sistema termodinámico va de un estado de equilibrio termodinámico inicial a otro final, de forma lenta, pasando por estados intermedios consecutivos de equilibrio termodinámico, lo cual puede ser representado en un plano termodinámico como una línea continua y puede regresar a su estado de equilibrio termodinámico inicial, siguiendo el mismo trayecto que recorrió inicialmente, es decir pasando por los mismos estados intermedios de equilibrio termodinámico, de forma tal que al llegar al estado inicial, las condiciones del sistema y de los alrededores sean las mismas que existían antes de ocurrir el proceso se dice que el proceso es reversible. Si alguna de estas condiciones no se cumplen, entonces el proceso será irreversible.
  • Grados de libertad (i) son las posibilidades de movimiento independiente que tiene una partícula en el espacio a las cuales se halla asociado una determinada forma de energía. El valor promedio que le corresponde a cada uno de esos términos independientes es igual a ½kT, es decir depende únicamente de la temperatura y está distribuida en partes iguales y se conoce como Principio de Equipartición de la Energía. En el caso de un gas ideal monoatómico a las moléculas sólo está asociada energía cinética traslacional, ya que las dimensiones de estas son despreciables (KROT = 0) y no existen fuerzas de interacción entre ellas (U = 0); por lo tanto K = 3/2 k T lo que implica que la U = 3/2 kT. Esto se corresponde con el hecho de que i = 3.
  • Conocemos que CP = CV + R y que la ΔEINT = n CV ΔT o tambiιn ΔU =i/2nRΔT, por lo que,
  • CV = i/2 R y CP = i+2/2 R.
  • Recordemos las expresiones correspondientes a cada proceso, para el cálculo de el calor intercambiado (Q), la variación de energía interna (
) y el trabajo realizado (W).

NOTA: Los valores de Q y W son absolutos en todas las expresiones..

Proceso

Ley

Q

W

Isocórico V= cte.

nCVD T

0

nCV D T

Isobárico P = cte.

nCPD T

PD V n R D t

nCV D T

Isotérmico T =cte.

PV = cte.

Q = W

nRT ln

0

Adiabático

Q = 0

PVg = cte.

TVg -1= cte.

Tg P1 -g = cte.

 

0

-nCVD t

= A

nCvD t

Primera ley de la termodinámica Q = + W

g = CP/CV CP = CV + R

  • La cantidad de calor intercambiada entre el sistema y los alrededores se considerará positiva si el sistema absorbe calor y negativa si cede, la variación de energía interna será positiva si aumenta la temperatura del sistema al pasar de un estado de equilibrio termodinámico a otro y negativa si disminuye la temperatura (recuerde que la energía interna es una función de estado únicamente dependiente de la temperatura) y el trabajo se considerará como positivo si es el sistema quien lo realiza sobre los alrededores, lo que implica un aumento de volumen y negativo en caso contrario.
  • Un ciclo termodinámico está integrado por una serie de procesos consecutivos, de forma tal que el estado de equilibrio termodinámico final del sistema coincide con el inicial, por lo cual
= 0 (la temperatura final y la inicial es la misma) y para el ciclo el Qneto = Wneto.
  • La eficiencia para un motor térmico (h ) siempre será menor que la unidad y se calcula como:

h =

  • La eficiencia para un refrigerador (K) se calcula como: K=
  • El ciclo motor es recorrido en el mismo sentido en que se mueven las agujas del reloj, siendo el WNETO > 0, mientras que el ciclo refrigerador es recorrido en sentido contrario al que se mueven las agujas del reloj y el WNETO < 0. Tenga en cuenta que el WNETO es numéricamente igual al área dentro del ciclo.
  • El ciclo de Carnot consta de dos procesos adiabáticos y dos isotérmicos, todos reversibles, por lo que sólo hay intercambio de calor entre el sistema y los alrededores en los procesos isotérmicos, y el sistema opera entre dos temperaturas solamente. La eficiencia de este ciclo se puede calcular mediante la siguiente expresión.

Para un motor de Carnot h = = 1 –TCED/ TABS

Para un refrigerador de Carnot K =

  • El teorema de Carnot plantea que la eficiencia de cualquier máquina térmica que opere entre dos temperaturas específicas, nunca podrá superar la eficiencia de una máquina térmica de Carnot que funcione entre las mismas dos temperaturas.
  • Para cualquier ciclo reversible § dQ/T = 0, lo que quiere decir que se evalúa el ciclo para una trayectoria cerrada, terminando en el mismo punto en que se inició la observación. La expresión anterior nos indica que la variable dQ/T es una función de estado, ya que no depende de la trayectoria, sino de valor de las coordenadas para los puntos de inicio y fin de la observación. Esta variable la denominamos entropía (S) siendo ∆S = , la que se expresa en el SI en J/K y en el sistema inglés en atm-l/K.
  • El cálculo de ∆S para los diferentes procesos reversibles estudiados es:

Proceso isobárico ∆S = Sf – Si = = = n CPln Tf / Ti

Proceso Isocórico ∆S = n CV lnTf /Ti

Proceso isotérmico ∆S = nRln Vf /Vi

Proceso adiabático ∆S = 0

Proceso irreversible. Se calcula a través de procesos reversibles.

  • La desigualdad de Clausius se expresa como § dQ/T ³ 0 siendo igual a cero para procesos reversibles y mayor que cero para los irreversibles. En un proceso reversible cualquiera en todo momento la temperatura del sistema es igual a la de los alrededores, con el que intercambia calor y el dQ absorbido por el sistema es igual al cedido por los alrededores, de ahí que se cumpla que: ∆SSIST = - ∆SAlRED es decir que la ∆S del sistema cuando realiza un proceso reversible puede tener cualquier valor y cualquier signo pero la de los alrededores tendrá el mismo valor y signo contrario.
  • Cuando el proceso que se realiza es irreversible, ∆SSIST + ∆SAlRED › 0, es decir

que ∆SSIST puede ser positivo, negativo e incluso valer cero pero el ∆SAlRED

tendrá un valor tal que la suma será mayor que cero.

Ejercicios Resueltos

El gráfico de P vs. V representa tres procesos

experimentados por un gas cuyo comportamiento es ideal. La temperatura en el punto A es de 600 K, la

presión de 16 atm y el volumen de 1 litro y en el punto b el volumen es de 4 l. Uno de los procesos ab o

ca es isotérmico y el otro adiabático y la relación entre los calores específicos a presión y volumen es de 1.5.

Determine:

a)¿Cuál de los procesos es el isotérmico y cual es el adiabático? Explique.

b) La presión y la temperatura en los puntos b y c.

c) El volumen en c.

d) El calor intercambiado en cada proceso.

e) El trabajo realizado en cada proceso.

f) La variación de energía en cada proceso.

 

P (atm)

V (l)

T (K)

A

16

1

600

B

 

4

 

C

     

R = 0,082 atm l/mol K

g =1,5

  1. El proceso CA es isotérmico y el AB es adiabático pues este último tiene mayor pendiente que el isotérmico, por lo que la temperatura en C será la misma que en A.
  2. Como el proceso ab es adiabático podemos plantear que

PaVag =PbVbg Þ 16 (1)1,5= Pb(4)1,5Þ 16 = (4/1)1,5 Þ 16 = Pb(8) Þ Pb = 2 atm.

Para calcular la temperatura en b planteamos lo cual es válido entre dos estados de equilibrio termodinámico cualquiera.

c) Para hallar Vc, como el proceso bc es isobárico, la Pb = Pc, por lo que: o como el proceso es isotérmico Ta = Tc, por lo que: PaVa = Pc Vc y sustituyendo valores obtenemos por una u otra expresión que

Vc =8 l

d) Cálculo del calor intercambiado en cada proceso.

- Proceso ab (adiabático) Qab = 0

- Proceso bc (isobárico) Qbc = n CPD T, debemos entonces hallar el valor de n y de CP.

El valor de n (# de moles) se calcula aplicando la ecuación de estado para cualquiera de los puntos (a, b ó c).

Para calcular CP simultaneamos las expresiones Cp=Cv+R y g = donde g =CP/CP -R

1,5 = CP/CP –0,08 por lo que 1,5 (CP –0,08) = CP donde CP = 0,24 atm l/mol K

Y sustituyendo en cualquiera de las dos expresiones obtenemos que Cv=0,16 atm l/mol K.

Qbc = n CPD T =1/3 mol 0,24 atm l/mol K(600K- 300K) donde QBC= 24 atm l

Proceso CA (isotérmico) Q = W = nRT lnVa/Vc donde Qca =1/3 mol 0,08 atm l/mol K 600 K ln(1/8)

Qca =16 atm l (ln 1–ln 8) donde Qca= - 33,28 atm l

El signo menos indica que el sistema cede calor a los alrededores.

e) El trabajo realizado en cada proceso

- Proceso ab (adiabático) W=nCVD t ó W=PbVb –PaVa/g - 1 donde Wab= - 16 atm

  • Proceso bc (isobárico) W=PD V =nRD t donde Wbc= - 8 atm l
  • Proceso ca (isotérmico) Wca= - Qca= 33,28 atm l

f) La variación de energía interna en cada uno de los procesos.

  • Proceso ab (adiabático)
= W = -16 atm l
  • Proceso bc (isobárico)
= nCvD T o aplicando la primera ley de la termodinámica

bc = Qbc – Wbc Þ bc = 24 atm l – 8 atm l donde BC =16 atm l

  • Proceso ca (isotérmico)
= 0 (ya que la temperatura es constante).

2-

Halle el trabajo neto en el ciclo abcda mostrado en la figura, conociendo que la eficiencia de un

refrigerador que funciona siguiendo este ciclo es K = 1,5. El proceso CD es adiabático y el

área bajo el proceso BC es igual a 3739,5 J.

Otros datos:

V (m3) TA = 300K g = 1,5

TB = 200K n = 1 mol

Nos piden calcular el trabajo neto, el cual podemos hallar mediante la expresión K = por lo que debemos señalar en que procesos se absorbe calor.

  • Proceso ab (Isocórico) disminuye la energía interna ya que TB < TA, siendo < 0 y como W=0, se cede calor por el sistema (Q=)
  • Proceso BC (Isobárico) aumenta la energía interna, ya que Tc> Tb, siendo > 0 y el trabajo es realizado por el sistema, siendo W ‹ 0, por lo que el sistema absorbe calor (Q = + W)
  • Proceso CD (adiabático) Q = 0 (no intercambia calor el sistema con los alrededores)
  • Proceso DA (isobárico) disminuye la energía interna, ya que Ta < Td y se realiza trabajo sobre el sistema (W › 0), por lo que el sistema cede calor.
  • De acuerdo con el análisis realizado sólo se absorbe calor en el proceso BC, siendo Qbc= nCp (Tc – Tb) y como no conocemos Tc y Cp debemos primero calcularlos.

Para calcular CP simultaneamos las expresiones:

Ahora estamos en posibilidades de calcular el Qabs, donde

3- Un motor que trabaja entre dos fuentes a 600 K y 300 K y que recibe 600 J de la fuente a 600 K, entregando 300 J a la fuente a 300 K. El trabajo obtenido de este motor se le entrega a un refrigerador que trabaja entre dos fuentes a 900 K y 400 K y absorbe 480 J de energía.

  1. ¿Qué calor entregará este refrigerador?
  2. ¿Cuál es la eficiencia del motor?
  3. ¿Cuál es la eficiencia del refrigerador?

Conocemos que Qneto=Wneto, pues para un ciclo =0 y como

Qneto=Qab + Qcedpor lo que: Wneto = 600 J – 300 J Þ

Observe que el calor cedido es negativo.

Es decir que el refrigerador recibe un trabajo equivalente a 300 J para funcionar y como para éste también se cumple que el Wneto =Qabs + Qced Þ -Qced = Qabs, - Wneto pero como en este caso el trabajo es realizado sobre el sistema tendremos que:

-Qced = 480 J + 300 J Þ (El signo menos indica que el sistema cede calor a los alrededores)

Calculemos ahora la eficiencia del motor h = ó

Y la eficiencia del refrigerador será K = -

P (Pa)

4-

Un mol de gas ideal experimenta el ciclo representado, siendo el área bajo el proceso 2-3 igual a 2098,5 J, g = 1,4 y T3 = 300 K.

Halle: a) La eficiencia del ciclo

b) La variación de entropía en cada proceso.

Nota: El proceso 2-3 es adiabático y el 3-1 es isotérmico.

Atendiendo al ciclo representado reconocemos que corresponde con un motor, ya que es recorrido en el sentido en que se mueven las manecillas del reloj, por lo que:

W neto = Qneto = Qabs - Qced, por lo que . Debemos definir en qué procesos se absorbe y en cuales se cede calor teniendo en cuenta que en el proceso 2-3 no hay intercambio de calor entre el sistema y los alrededores pues es adiabático (Q2–3 = 0).

En el proceso 1-2 se absorbe calor pues aumenta la temperatura lo que implica que aumente la energía interna y además el sistema realiza trabajo sobre los alrededores y como Q =`+ W, si W es negativo y es positiva, Q será positiva; mientras que en el proceso 3-1 se cede calor, pues la energía interna disminuye ( es negativa) ya que disminuye la temperatura y el trabajo es realizado sobre el sistema pues disminuye el volumen (W es positivo).

Q1-2 = n cp (T2 – T1) y Q3–1= nRT ln De estas expresiones se deduce que es necesario conocer los valores de Cp, Cv, T2 y T1.

Para calcular Cp, y Cv, planteamos que Cp = CV+R simultaneando ambas expresiones tendremos que: sustituyendo valores 1,4 Cv - Cv =

8,31 J/molKÞ Cp= Cv + R Þ

Para calcular T2 y T1

T1= T3 = 300 K, por ser el proceso 3-1 isotérmico, también tenemos que el área bajo el proceso 2-3 es de 2098,5 J, lo que será numéricamente igual al trabajo.

W2-3 = -n Cv (T3 – T2) Þ T2 = T3 +

Calculemos ahora la eficiencia h = Q12 + Q31/Q12 siendo

h = n CP(T2- T1) – nRT lnV1/V3 ∕ nCP(T2-T1) y sustituyendo valores obtenemos que: o

El signo negativo para Q3-1 nos indica que este calor es cedido.

  1. calculemos ahora la variación de entropía (D S) para cada proceso

D S1-2 = n cp lnT2/T1Þ D S1-2 = l mol 29 J/mol K ln 400,9K/300K Þ

ya que D S = y d Q2-3 = 0 por ser el proceso adiabático

D S3-1 = nR ln

  1. ¿Qué variación de entropía sufre el universo cuando se le añade un cubito de hielo a un vaso de agua a temperatura ambiente? Considere que el vaso de agua no intercambia calor con el exterior. El vaso contiene 300g de agua y el cubito de hielo tiene aproximadamente 80g. Considere además que el calor específico del vidrio es despreciable y la temperatura ambiente es de 30
C

Datos

CH2O = 1 cal / gC

LH2O= 80 cal/g D SUNIV = D SSIST + D SALRED

m H2O= 300g

m H2O= 80 g D Salred. = 0 (por estar al sistema térmicamente

Tamb =30C =303K aislado)

D SUNIV =? D SUNIV = D SSIST = D SH2O + D SHIELO

Pero D S = y como el sistema está térmicamente aislado

QABS - QCED = 0 Þ QABS = QCED

El hielo por encontrarse a una menor temperatura será el que absorbe el calor y el agua cede, siendo la temperatura final la de equilibrio térmico, la que será mayor de 0° C, por lo que el hielo se fundirá y después los 80g de agua elevarán su temperatura hasta lograr el equilibrio térmico. MHIEKO L + m c D t = - mH »O cD t

MHIELO L + m c (t - 0° C) = - mH »O C (t - 30° C)

80g. 80 cal/g + 80g 1 cal/g° C (t - 0° C) = - [ 300g. 1 cal /g° C (t- 30° C)]

6400 cal + 80 t cal/g = - 300 t cal/g + 9000 cal.

380t = 2600 Þ o

D SH2O = Toò TdQ/T Þ D SH2O = Toò TmCdt/T Þ D SH2O = mClnT/TAMB Þ D SH2O = mc (lnT – lnTAMB)

D SH2O = 300 g 1 cal/gK (ln 279,84 – ln 303) Þ D SH2O =300cal/k (5,63 –5,71) donde

Preguntas y problemas propuestos.

1-

Dos moles de un gas cuyo comportamiento es Ideal para el cual Cv = 12, 46J/molK efectúan los procesos descritos en el plano P-V.

El proceso bc es una compresión isotérmica. Calcule para cada proceso Q, y W.

2- Un mol de gas perfecto se introduce en una vasija cerrada mediante un émbolo que mantiene la presión atmosférica sobre el gas. Este se calienta hasta que su temperatura se eleva a 127C, duplicando su volumen.

  1. Trace un diagrama PV para este proceso.
  2. Calcule Q, y W.
  3. Especifique si es el sistema o los alrededores quien hace trabajo.
  4. ¿Qué trabajo se habrá realizado si la presión externa es de 0,5 atm en lugar de la atmosférica normal?

3-

P Un mol de gas ideal efectúa el ciclo mostrado en la figura. Si el área bajo el proceso 3 - 1 es igual

Isoterma a 1662 J, g = y la eficiencia 0,5. Halle:

1 3 a) El sentido en que se recorre el ciclo.

b) Cp y CV.

c) D t entre 1 y 3

0 V d) Q 1-2

e) W 2-3

f) Q 2-3

4- P(Pa) Dos moles de un gas ideal para el cual CV=12,97 J/mol K

b efectúan los procesos señalados en la gráfica. El proceso bc

es una expansión isotérmica. Calcule:

a) Q, y W para cada proceso.

b) Eficiencia del ciclo.

103250 a c

0 8 16 V (10-3) m3

5.- Complete el siguiente mapa conceptual.

6.- Un motor que funciona entre dos focos a 800 K y 300 K absorbe 4800 J del foco caliente, con una eficiencia del 62,5 %. Si el trabajo que entrega este motor se le suministra a refrigeradores reversibles que entregan 900 J a un foco a 600 K.

  1. ¿Cuántos refrigeradores de K = 2 podrán funcionar?
  2. Construya el gráfico ilustrativo de este problema.

7.- Una máquina de Carnot tiene una eficiencia del 22 % y opera entre dos depósitos de calor cuya temperatura difiere en 75 0C. Halle las temperaturas de los depósitos.

8.- P (atm) Medio mol de gas cuyo comportamiento es ideal realiza el ciclo irreversible mostrado,

siendo Cv = 2 R. Dicho ciclo tiene una eficiencia del 10 %. Si en el proceso irreversible cede calor solamente:

  1. Calcule las temperaturas en 1, 2 y 3.
  2. Halle el calor absorbido en el ciclo.
  3. Halle el calor neto y el trabajo neto.
  4. Halle el calor cedido en el proceso irreversible.

e) Calcule la variación de entropía del sistema en el proceso 3-1 y en el proceso 1-3 . Compare en cada caso como debe ser D S en los alrededores y analizar el principio de aumento de la entropía.

9.- Complete el siguiente mapa conceptual.

10 - Un kilogramo de agua a una temperatura de 7 0C es mezclado con 2 kg de agua a 37C de temperatura en un recipiente térmicamente aislado. Encuentre la variación de entropía del Universo. C= l kcal/mol K

11-Se tiene un mol de un gas ocupando 6 l a la presión de 2 atm. Si se realiza una transformación isocora adquiriendo una presión de 3,5 atm. Determine la variación de entropía si CV= 0,128 atm l/mol K

12-

P (Pa) En el ciclo de la figura halle la variación de 1 2 entropía de 3 a 4 y la eficiencia, suponiendo 520,12 que el gas que realiza el ciclo es ideal y que el proceso 3 4 es isotérmico.

R = 8,31 J/mol K

405,39 3

0 1 3 V(m3)

13.-

El grafico PV dado representa un proceso 1 reversible de un motor térmico. El cambio de entropía del sistema al pasar del estado

a al b a lo largo de la trayectoria 1 es de 2 0,60 J/K . ¿ Cuál es el cambio de entropía al pasar :

a) del estado a al b según la trayectoria 2 ?

b) del estado b al a según la trayectoria 2 ?

14-Construya un mapa conceptual atendiendo al siguiente listado de proposiciones conceptuales, frases y/o palabras enlace.

15- Explique por qué disminuye la temperatura de un gas en una expansión adiabática.

16- Si el aire caliente se eleva ¿Por qué esta mas frío el aire en la cumbre de una montaña que cerca del nivel del mar?

17- Dos muestras de un gas que inicialmente están a la misma temperatura y presión se comprimen desde un volumen V hasta V/2, una isotérmicamente y la otra adiabáticamente. ¿En qué muestra es mayor la presión final? ¿Cambia la entropía del gas en alguno de los procesos? Explique ambas respuestas.

18- Explique a partir de la primera ley de la termodinámica qué pasa con el calor intercambiado en un proceso isotérmico entre el sistema y los alrededores.

19- ¿Qué requisitos debe cumplir un sistema para que esté en equilibrio termodinámico?

20- ¿Puede ser la eficiencia de un motor mayor que la unidad? Explique.

21- ¿Cómo puede explicar que al realizarse un proceso irreversible, un sistema estando aislado, aumente la entropía?

22- ¿Cuál será el valor de la para un proceso isotérmico reversible? ¿Cuál para un proceso irreversible donde la temperatura inicial sea igual que la final?

Bibliografía

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  12. Pérez de Prado Santa Maria, Antonio. Tarjetas de Estudio de Fí
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