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Distribuciones de probabilidad (página 2)



Partes: 1, 2

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución Binomial es un caso particular
de probabilidad de variable aleatoria discreta, y por sus
aplicaciones, es posiblemente la más
importante.

Esta distribución corresponde a la
realización de un experimento aleatorio que cumple con las
siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos
resultados: el suceso A, llamado éxito,
o su contrario A’, llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es
independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.

* La probabilidad del
suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba
del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A,
p(A) = P, entonces p(A’) = 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas
idénticas.

Todo experimento que tenga estas características
se dice que sigue el modelo de la
distribución Binomial o distribución de
Bernoulli
.

En general, si se tienen n ensayos
Bernoulli con
probabilidad de éxito p y de fracaso q,
entonces la distribución de probabilidad que la modela es
la distribución de probabilidad binomial y su regla
de correspondencia es:

Como el cálculo de
estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han
construido tablas para algunos valores
de  n  y  p  que facilitan
el
trabajo.

Calculo de la distribución de probabilidad
binomial por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas
binomiales

Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener
exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces
?

Donde:

  • P(X) es la probabilidad de ocurrencia del
    evento
  • p es la probabilidad de éxito del evento (en
    un intento) (0.5)
  • q es la probabilidad de fracaso del evento (en un
    intento) y se define como

q = 1 – p (0.50)

  • X = ocurrencia del evento o éxitos deseados =
    2 (para efectos de la tabla binomial tómese como
    r)
  • n = número de intentos = 6

a) Cálculo de la distribución de
probabilidad binomial utilizando el Minitab 15.

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1
columna 1 se coloca el número 2 (el cual representa el
número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la
probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (Referirse a
la figura 1)

Seleccionar: Calc / Probability
Distributions / Binomial

En seguida aparecerá la ventana "Binomial
Distribution" ("Distribucion Binomial").

  • Seleccionar Probability
  • En el campo de "Number of trials" (Número de
    intentos) colocar 6 (n)
  • En el campo de "Event probability" colocar
    0.50 (probabilidad de éxito)

  • En el campo de "Input column" colocar el puntero del
    mouse y
    automáticamente aparecerá en el recuadro de la
    izquierda C1 X el cual se selecciona con el puntero del mouse y
    luego presionar "Select"

  • Una vez alimentado los datos presionar
    "OK" .

  • Para obtener así el resultado.

La probabilidad de que caigan 2 caras en el
lanzamiento de una moneda 6 veces es 0.234375.

Por lo tanto:

b) Cálculo de la distribución de
probabilidad binomial utilizando la fórmula

Al sustituir los valores en
la fórmula se obtiene:

Resolviendo:

c) Cálculo de la distribución de
probabilidad binomial utilizando las tablas
binomiales.

  • Para una combinación de n y p, la entrada
    indica una probabilidad de obtener un valor
    específico de r (ocurrencia del evento).
    • Para localizar la entrada, cuando p≤0.50,
      localizar el valor de p a lo largo del encabezado de la
      tabla, y en la columna correspondiente localizar n y r en
      el margen izquierdo.
    • Para localizar la entrada, cuando p≥0.50,
      localizar el valor de p en la parte inferior de la tabla, y
      n y r arriba, en el margen derecho.

Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las tablas
binomiales se tiene que:

p = 0.50, n = 6 y r = 2

Obteniendo resultado directo de tablas

NOTA: Para este caso en particular donde p = 0.50 se
puede obtener el resultado de las tablas trabajando como si
p≤0.50 (encerrado en azul) o como si p≥0.50 (encerrado en
rojo)

DISTRIBUCIÓN DE
POISSON

La distribución de POISSON es también un
caso particular de probabilidad de variable aleatoria
discreta, el cual debe su nombre a Siméon Denis
Poisson (1781-1840), un francés que la desarrolló a
partir de los estudios que realizó durante la
última etapa de su vida.

Esta distribución se utiliza para describir
ciertos procesos.

Características:

En este tipo de experimentos los
éxitos buscados son expresados por unidad de área,
tiempo, pieza,
etc:

– # de defectos de una tela por m2

– # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por
día, hora, minuto, etc.

– # de bacterias por
c m2 de cultivo

– # de llamadas telefónicas a un conmutador por
hora, minuto, etc, etc.

– # de llegadas de embarcaciones a un puerto por
día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x
éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la
fórmula a utilizar es:

donde:

p(X) = probabilidad de que ocurran x
éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de
ellos es l.

l = media o promedio de éxitos por unidad de
tiempo, área o producto

e = 2.718 (base de logaritmo neperiano o
natural)

X = variable que nos denota el número de
éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el
número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo,
área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo
de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así
como cada área es independiente de otra área dada y
cada producto es independiente de otro producto dado.

Cálculo de la distribución de
probabilidad de Poisson por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas de
Poisson

Por ejemplo:

Si un banco recibe en
promedio (l=) 6 cheques sin
fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba:

a) cuatro cheques sin fondo en un día dado
(x),

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos
días consecutivos?

(e= 2.718281828)

 a) Cálculo de la distribución de
probabilidad de Poisson utilizando el Minitab 15.

Resolviendo para:

a) x = 4; l = 6 cheques sin fondo por
día

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1
columna 1 se coloca el número 4 (el cual representa el
número de ocurrencia del evento, ya que se desea saber la
probabilidad de que el banco reciba 4 cheques sin fondos en un
día dado). (Referirse a la figura 2)

Seleccionar: Calc / Probability
Distributions / Poisson

En seguida aparecerá una ventana "Poisson
Distribution" ("Distribución de Poisson").

  • Seleccionar Probability
  • En el campo de "Mean" (media = l ) colocar 6
    (promedio de cheques diarios recibidos sin fondos)

  • En el campo de "Input column" colocar el puntero del
    mouse y automáticamente aparecerá en el recuadro
    de la izquierda C1 X. Seleccionarlo con el puntero del mouse y
    presionar "Select"

  • Una vez alimentado los datos presionar "OK"
    .

  • Para obtener así el resultado.
  1. Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba
    cuatro cheques sin fondo en un día dado es:

Resolviendo de igual manera para:

  1. X=10; l= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que
    llegan al banco en dos días consecutivos.

  • Para obtener así el resultado.
  1. Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba
    diez cheques sin fondo en dos días consecutivos
    es:

  1. Cálculo de la distribución de
    probabilidad de Poisson utilizando la
    fórmula

Resolviendo para:

a) x = 4; l = 6 cheques sin fondo por día y
sustituyendo en la fórmula

Resolviendo:

Resolviendo de igual manera para:

b) X=10; l= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que
llegan al banco en dos días consecutivos.

Resolviendo:

c) Cálculo de la distribución de
probabilidad de Poisson utilizando las tablas de
Poisson

  • Valores directos para determinar probabilidades de
    Poisson.
  • Para un valor dado de
    λ, la entrada indica la probabilidad
    de obtener un valor específico de X

Para el mismo ejemplo, resolviendo para:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el
banco reciba cuatro cheques sin fondo en un día
dado?

Se tiene  x = 4; l = 6 cheques sin fondo por
día; obteniendo resultado directo de tablas :

Para el mismo ejemplo, resolviendo para:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el
banco reciba diez cheques sin fondo en dos días
consecutivos?

Se tiene X=10; l= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en
promedio que llegan al banco en dos días consecutivos,
obteniendo resultado directo de tablas :

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es también un caso
particular de probabilidad de variable aleatoria
contínua
, fue reconocida por primera vez por el
francés Abraham de Moivre (1667-1754). 
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró
desarrollos más profundos y formuló la
ecuación de la curva; de ahí que también se
le conozca, más comúnmente, como la "campana de
Gauss"
.  La distribución de una variable normal
está completamente determinada por dos parámetros,
su media (µ) y su desviación estándar
(σ). Con esta notación, la
densidad de la
normal viene dada por la ecuación:

que determina la curva en forma de campana que tan bien
conocemos

Existen dos razones básicas por las cuales la
distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la
estadística:

  • Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a
    un gran número de situaciones en la que es necesario
    hacer inferencias mediante la toma de muestras.
  • La distribución normal casi se ajusta a las
    distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos
    fenómenos, incluyendo características humanas,
    resultados de procesos físicos y muchas otras medidas
    de interés para los administradores, tanto
    en el sector
    público como en el privado.

Propiedad:

No importa cuáles sean los valores de µ y
σ para una distribución de probabilidad normal, el
área total bajo la curva siempre es 1, de manera que
podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran
probabilidades. Matemáticamente es verdad que:

  1. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una
    población normalmente distribuida se
    encuentra dentro de ± 1 desviación
    estándar de la media.
  2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una
    población normalmente distribuida se encuentra dentro de
    ± 2 desviaciones estándar de la
    media.
  3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una
    población normalmente distribuida se encuentra dentro de
    ± 3 desviaciones estándar de la
    media.

Relación entre el área bajo la curva de
distribución normal de probabilidad y la distancia a la
media medida en desviaciones estándar.

Estas gráficas muestran tres formas diferentes de
medir el área bajo la curva normal. Sin embargo, muy pocas
de las aplicaciones de la distribución normal de
probabilidad implican intervalos de exactamente (más o
menos) 1, 2 ó 3 desviaciones estándar a partir de
la media. Para estos casos existen tablas estadísticas que indican porciones del
área bajo la curva normal que están contenidas
dentro de cualquier número de desviaciones estándar
(más o menos) a partir de la media.

Afortunadamente también se puede utilizar una
distribución de probabilidad normal estándar
para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta
tabla se determina el área o la probabilidad de que la
variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de
ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias
están definidas en términos de desviaciones
estándar.

Para cualquier distribución normal de
probabilidad, todos los intervalos que contienen el mismo
número de desviaciones estándar a partir de la
media contendrán la misma fracción del área
total bajo la curva para cualquier distribución de
probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente una
tabla de la distribución de probabilidad normal
estándar.

El valor de z está derivado de la
fórmula:

En la que:

  • x = valor de la variable aleatoria de
    interés.
  • µ = media de la distribución de la
    variable aleatoria.
  • σ = desviaciσn
    estándar de la distribución.
  • z = número de desviaciones estándar que
    hay desde x a la media de la distribución. (El uso de z
    es solamente un cambio de
    escala de
    medición del eje horizontal)

Distribución normal que ilustra la
comparación de los valores de z y las desviaciones
estándar.

Calculo de la distribución de probabilidad
Normal por los métodos:

a) Utilización de las tablas de la
distribución Normal.

b) Utilización del Minitab 15.

a) Cálculo de la distribución de
probabilidad Normal utilizando las tablas de distribución
de probabilidad normal estándar

Ejemplo:

Hay un programa de
entrenamiento
diseñado para mejorar la calidad de las
habilidades de supervisión de los supervisores de la
línea de producción. Debido a que el programa es
autoadministrado, los supervisores requieren un número
diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los
participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva
completar el programa es de 500 horas, y que esta variable
aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación
estándar de 100 horas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un
candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para
completar el programa de entrenamiento?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un
candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en
completar el programa de entrenamiento?

Resolviendo para:

a) Dibujando una gráfica de distribución
Normal (campana de Gauss) se puede observar que la mitad del
área bajo la curva está localizada a ambos lados de
la media de 500 horas. Por tanto, se deduce que la
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor mayor a
500 es el área sombreada, es decir, 0.5

Resolviendo ahora para:

  1. Se tiene que: µ = 500 y
    σ = 100 y sustituyendo valores para la
    obtención de Z

Buscar Z = 1.50 en la tabla distribución de
probabilidad normal estándar.

Encontrando una probabilidad de 0.4332.

Por lo tanto, la probabilidad de que un candidato
escogido al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el
programa de entrenamiento es de 0.4332 es decir un
43.32%.

b) Cálculo de la distribución de
probabilidad Normal utilizando Minitab 15.

Resolviendo para:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un
candidato elegido al azar requiera más de 500 horas para
completar el programa de entrenamiento?

Para obtener la gráfica de la distribución
de probabilidad Normal en minitab 15 se selecciona:

Graph / Probability Distribution
Plot…

En seguida aparecerá una ventana "Probability
Distribution Plot" ("Gráfica de Distribución de
Probabilidad") con el puntero seleccionar "View Probability"
(Vista de Probabilidad) y una vez seleccionado presionar
OK.

En seguida aparecerá otra una ventana
"Probability Distribution Plot – View Probability"
("Gráfica de Distribución de Probabilidad –
Vista de Probabilidad").

  • En la pestaña de Distribution:
  • En el campo de "Distribution:" seleccionar
    "Normal"
  • En el campo de "Mean" (media = l ) colocar
    500 (promedio de horas que se lleva completar el
    programa)
  • En el campo de "Standar deviation" colocar
    100 (desviación estándar de la
    variable)
  • En la pestaña de Shaded Area:
  • Con el puntero seleccionar
    "Probability"
  • Con el punetro seleccionar el "Right
    Tail"
  • En el campo de Probability: colocar 0.5 (ya
    que para este caso la media ocupa exactamente el punto
    más alto de la curva por tanto la probabilidad es de
    0.5)
  • Una vez alimentado los datos presionar "OK"
    .

El programa MIinitab arrojará la gráfica
mostrada

Estos pasos descritos fue simplemente para mostrar la
manera de graficarlo.

Resolviendo para:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un
candidato elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas en
completar el programa de entrenamiento?

Para obtener la gráfica en minitab
seleccionar:

Graph / Probability Distribution
Plot…

En seguida aparecerá una ventana "Probability
Distribution Plot" ("Gráfica de Distribución de
Probabilidad") con el puntero seleccionar "View Probability"
(Vista de Probabilidad) y una vez seleccionado presionar
OK.

En seguida aparecerá otra una ventana
"Probability Distribution Plot – View Probability"
("Gráfica de Distribución de Probabilidad –
Vista de Probabilidad").

  • En la pestaña de Distribution:
  • En el campo de "Distribution:" seleccionar
    "Normal"
  • En el campo de "Mean" (media = l ) colocar
    500 (promedio de horas que se lleva completar el
    programa)
  • En el campo de "Standar deviation" colocamos
    100 (desviación estándar de la
    variable)
  • En la pestaña de Shaded Area:
  • Con el puntero seleccionar "X
    Value"
  • Con el puntero seleccionar el "Middle"
  • En el campo de X value 1: colocar 500 (valor
    medio)
  • En el campo de X value 2: colocar 650 (valor
    de la probabilidad que toma la vareable en ese
    punto)
  • Una vez alimentado los datos presionar "OK"
    .
  • El programa MIinitab arrojará la
    gráfica mostrada y el valor obtenido

Es decir, la probabilidad de que un candidato escogido
al azar requiera entre 500 y 650 horas para terminar el programa
de entrenamiento es de 0.433. (43.30%)

CONCLUSIONES

El reto de la materia
Estadística Aplicada a los Negocios,
impartida por el Ing. Juan Alejandro Garza Rodríguez, nos
comprometió a aprender y a utilizar el Minitab como una
herramienta más.

Con los grandes avances
tecnológicos hemos ahorrado tiempo para el análisis estadístico, sin embargo la
comprensión de la lógica
que se utiliza para llegar a la resolución del mismo es
algo que nos ha llevado a este estudio, el cual ha sido muy bien
conducido por el Ing. Garza, quien nos imparte la
asignatura.

Con el desarrollo de
este proyecto y
gracias a la comprensión de conceptos y el manejo del
programa Minitab entendimos que es una poderosa herramienta
estadística que bien aplicada nos podrá ayudar a
facilitar los cálculos para la solución de problemas. Lo
cual continúa con el propósito esencial: Ahorro de
costos y mejora
continúa en cualquier ámbito en que nos
desarrollemos. Aprendimos que no es limitativa el área en
que nos desempeñemos en nuestro trabajo ya que
tanto en Ingeniería como Materiales, en
Recursos Humanos
como en un Negocio Propio, en Comercio o en
Industria, o
bien por puro pasatiempo en el panorama de la probabilidad
estadística, estas herramientas
serán siempre de gran utilidad.

Para esta presentación aprendimos la
aplicación y manejo de las Distribuciones de
Probabilidades más comunes, la Binomial, la de Poisson y
finalmente la distribución Normal.

Se investigó además de la
utilización y funcionamiento del Minitab 15 el
razonamiento, cálculo manual y por
tablas como el método
original como se realizaba, antes de que el Minitab existiera
como tal.

Deseamos compartir esta compilación de información con alguien más que al
igual que nosotros tuvimos la necesidad de investigar y realizar
un trabajo de este tipo. Análisis y estudios que nos han
abierto la mente así como nuestras habilidades para
desempeñarnos con mayor eficiencia en
nuestras funciones
laborales y personales.

Gracias por tomarse el tiempo de revisar nuestras
aportaciones.

BIBLIOGRAFÍA

Estadística para Administradores. Sexta Edición. Richard I. Levin & David S.
Rubin. Editorial Prentice Hall. Capítulo 5 Probabilidad
II: Distribuciones, pp.232 – 264

GE Lighting – AEA. Curso para Green Belts, Iniciativa
Sies Sigma Semana #1. Abril 1997.

Minitab 15 (versión de prueba obtenida de
www.minitab.com).

MeetMinitabEs.pdf (obtenido de )

Distribución de Probabilidades
(información tomada de www.monografias.com,
http://www.monografias.com/trabajos29/distribucion-probabilidades/distribucion-probabilidades.shtml)

Distribución Binomial (información tomada
de www.wikipedia.com,
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial)

Distribución Normal (información tomada
de www.wikipedia.com,
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

Distribución de Poisson (http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm)

 

ALUMNOS DE POSTGRADO:

Lic. Norma Irene Solís Reyna

Lic. Jesús Daniel Márquez
Meléndez

Lic. Eric Cárdenas Cervantes

Ing. Jesús Gerardo Armijo Wong

MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN Y
LIDERAZGO

CATEDRÁTICO: ING. JUAN ALEJANDRO GARZA
RODRÍGUEZ

MATERIA: ESTADÍSTICA APLICADA A LOS
NEGOCIOS

Cd. Acuña, Coah.; México a
27 de Febrero del 2008

Partes: 1, 2
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