- Una introducción
necesaria - Un poco de
historia - Reglas
generales de la combinatoria - Variaciones y
permutaciones - Combinaciones
- Soluciones y
respuestas
Prólogo
El desarrollo del pensamiento combinatorio es un trabajo
arduo y de mucha paciencia; en este sentido juega un gran papel
el sistema de impulsos que se tenga como resorte para
enseñar la combinatoria. En no pocas ocasiones; al
terminar de recibir un tema sobre combinatoria, los estudiantes
no poseen las armas suficientes para enfrentarse por sí
solos a la resolución de problemas, porque el sistema de
impulsos en la apropiación de estos conceptos ha sido
insuficiente.
La labor del profesor es importante en este sentido
porque al destacar las características que tienen los
conceptos definidos o propiciar una adecuada descripción o
caracterización de estos, está garantizando el
éxito en el proceso de enseñanza.
Este texto ha tenido la intención de destacar el
tratamiento dado a los conceptos combinatorios con la finalidad
de fijarlos convenientemente dando especial atención al
proceso de identificación de estos, sobre todo, cuando
estamos en presencia de problemas.
Existen, desde luego, algunas tendencias a tratar de
algoritmizar el trabajo con problemas combinatorios proponiendo
sucesiones de indicaciones para su solución, pero; cuando
estas indicaciones tienen un marcado carácter
heurístico, activan aún más el proceso de
aprendizaje. El éxito en la enseñanza de la
combinatoria radica esencialmente en el sistema impulsor que se
utilice para fijar estos conceptos. Este, sin dudas, ha sido el
carácter que se ha intentado imprimir al presente texto.
De haberlo logrado; el objetivo se habrá
cumplido.
El autor.
Una introducción
necesaria
La combinatoria es una sección de las
Matemáticas que resulta útil para diversos
representantes de variadas especialidades. Con los problemas
combinatorios deben enfrentarse los biólogos,
físicos, químicos, los matemáticos,
lingüistas, ingenieros y muchos otros usuarios.
El estudio de la combinatoria constituye la base que
sostiene el análisis y solución de muchos problemas
relacionados con la teoría de las probabilidades y sus
aplicaciones prácticas.
En este trabajo se expone con un lenguaje simple la
combinatoria y los métodos para resolver los problemas que
sobre este tema se proponen. La exposición se ha hecho de
forma que pueda ser comprendida por individuos que tengan una
instrucción media.
Puede resultar útil a los estudiantes y
profesores de institutos de segunda enseñanza, los
estudiantes de las facultades de pedagogía en las
especialidades de Matemática, Física,
Química, Biología y Educación Primaria de
los institutos superiores pedagógicos de Cuba sobre todo
en los primeros cursos de sus especialidades respectivas donde
deben enfrentarse en el trabajo práctico con variados
problemas combinatorios.
Aquí se exponen las Reglas Generales de la
combinatoria, los Principios Aditivo y Multiplicativo, las
variaciones, permutaciones y combinaciones con y sin
repetición. se definen estos conceptos y se describen,
enfatizando en las características que permiten
identificarlos en el trabajo práctico, se deducen las
fórmulas para el cálculo combinatorio y se enuncian
en forma de teoremas con sus respectivas demostraciones. Se hace
especial énfasis en el tratamiento que debe
dárseles a los conceptos combinatorios definidos y en su
aplicación a la solución de problemas. Se incluyen
además ejemplos y ejercicios variados que ayudarán
a fijarlos y sistematizarlos.
Aunque en este texto se ha respetado el rigor
matemático en el tratamiento de los conceptos; el objetivo
principal de este es el de analizar bajo ciertos puntos de vista
la naturaleza de los elementos combinatorios presentes en los
problemas y mostrar algunas formas para resolverlos.
Un poco de
historia
La parte de las matemáticas que estudia los
problemas sobre cuántas o cuáles combinaciones
(bajo ciertas condiciones) pueden realizarse con determinados
objetos se denomina combinatoria.
Los historiadores sitúan el surgimiento de la
combinatoria en los albores del siglo XVI; y se acunó casi
exclusivamente en la aristocracia de la época; pues esta
sociedad, generalmente ocupaba su tiempo en juegos de azar en los
cuales ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Jugando a
los dados o las cartas se ganaban o perdían cuantiosas
fortunas. Jugando a los dados o las cartas se ganaban o
perdían brillantes, prendas valiosas, caballos de pura
raza, etc. En este tiempo se encontraban difundidos diversos
tipos de loterías en las cuales ocupaban sus días
los caballeros y damas de la época.
Es comprensible pues, que en sus inicios, los problemas
tratasen fundamentalmente sobre juegos de azar; tratando de
averiguar de cuántas formas podrían obtenerse
sucesos favorables en un determinado número de pruebas.
Así por ejemplo se trató de averiguar de
cuántas maneras se podía extraer un número
específico al arrojar varios dados o de cuántas
maneras se podía extraer dos reyes de una baraja de 52
cartas.
Estos y otros juegos fueron el motor impulsor de la
combinatoria y las probabilidades; teoría que se
desarrolla paralelamente a esta.
La historia recoge el nombre de Tartaglia como uno de
los pioneros en la combinatoria. Este célebre italiano
confeccionó una tabla que mostraba todas las formas en que
pueden caer "n" dados; pero no previó que una misma
suma de puntos podía obtenerse de diferentes formas ( por
ejemplo 4+1+3= 4+2+2).
El estudio teórico de la combinatoria se
considera un hecho a partir del año 1600 (siglo XVII)
cuando los franceses Blas Pascal y Fermat comenzaron a recoger
muestras de experimentos que realizaban en las mesas de juegos y
a registrarlos estadísticamente para estudiar las leyes y
regularidades bajo las cuales se regían.
Un papel particularmente importante lo jugó
aquí el problema sobre la división de una apuesta;
propuesta a Pascal por un amigo suyo llamado Meré; jugador
apasionado por demás.
El problema consistía en la siguiente: si se
lanzaba una moneda; el campeonato continuaría hasta que un
jugador ganase 6 partidos; pero se interrumpiría cuando
uno ganase 5 y el otro 4. ¿Cómo dividir entonces la
apuesta? Era evidente que la razón 5:4 no era justa.
Pascal resolvió el problema aplicando algunos
métodos combinatorios y además propuso un
método de solución para el caso general, cuando a
un jugador le quedaran "r "partidos hasta ganar y al otro jugador
le quedaran "s "partidos. Una solución similar a este
problema fue dada por Fermat.
El desarrollo posterior de la combinatoria se encuentra
ligada a los nombres de matemáticos famosos como Jacobo
Bernoullí, Leibniz y Euler.
Sin embargo; para estos, también el rol
fundamental lo constituyeron las aplicaciones a los distintos
tipos de juegos.
Ya en los últimos años, la combinatoria
entró en un período de intenso desarrollo
relacionado con el crecimiento general del interés hacia
los problemas de la matemática discreta.
Los métodos combinatorios son usados para
resolver problemas de transporte, problemas sobre
confección de horarios, planes de producción y la
mecanización de estas así como para determinar las
características genéticas en la obtención de
razas de animales en laboratorios.
La combinatoria es utilizada para confeccionar y
descifrar claves, así como para resolver problemas de la
teoría de la información. Y también;
¿por qué no? Para decidir en un futuro no muy
lejano la forma más eficaz de conservar la vida en nuestro
planeta.
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