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Lo esencial en Combinatoria




Partes: 1, 2

  1. Una introducción necesaria
  2. Un poco de historia
  3. Reglas generales de la combinatoria
  4. Variaciones y permutaciones
  5. Combinaciones
  6. Soluciones y respuestas

Prólogo

El desarrollo del pensamiento combinatorio es un trabajo arduo y de mucha paciencia; en este sentido juega un gran papel el sistema de impulsos que se tenga como resorte para enseñar la combinatoria. En no pocas ocasiones; al terminar de recibir un tema sobre combinatoria, los estudiantes no poseen las armas suficientes para enfrentarse por sí solos a la resolución de problemas, porque el sistema de impulsos en la apropiación de estos conceptos ha sido insuficiente.

La labor del profesor es importante en este sentido porque al destacar las características que tienen los conceptos definidos o propiciar una adecuada descripción o caracterización de estos, está garantizando el éxito en el proceso de enseñanza.

Este texto ha tenido la intención de destacar el tratamiento dado a los conceptos combinatorios con la finalidad de fijarlos convenientemente dando especial atención al proceso de identificación de estos, sobre todo, cuando estamos en presencia de problemas.

Existen, desde luego, algunas tendencias a tratar de algoritmizar el trabajo con problemas combinatorios proponiendo sucesiones de indicaciones para su solución, pero; cuando estas indicaciones tienen un marcado carácter heurístico, activan aún más el proceso de aprendizaje. El éxito en la enseñanza de la combinatoria radica esencialmente en el sistema impulsor que se utilice para fijar estos conceptos. Este, sin dudas, ha sido el carácter que se ha intentado imprimir al presente texto. De haberlo logrado; el objetivo se habrá cumplido.

El autor.

Una introducción necesaria

La combinatoria es una sección de las Matemáticas que resulta útil para diversos representantes de variadas especialidades. Con los problemas combinatorios deben enfrentarse los biólogos, físicos, químicos, los matemáticos, lingüistas, ingenieros y muchos otros usuarios.

El estudio de la combinatoria constituye la base que sostiene el análisis y solución de muchos problemas relacionados con la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones prácticas.

En este trabajo se expone con un lenguaje simple la combinatoria y los métodos para resolver los problemas que sobre este tema se proponen. La exposición se ha hecho de forma que pueda ser comprendida por individuos que tengan una instrucción media.

Puede resultar útil a los estudiantes y profesores de institutos de segunda enseñanza, los estudiantes de las facultades de pedagogía en las especialidades de Matemática, Física, Química, Biología y Educación Primaria de los institutos superiores pedagógicos de Cuba sobre todo en los primeros cursos de sus especialidades respectivas donde deben enfrentarse en el trabajo práctico con variados problemas combinatorios.

Aquí se exponen las Reglas Generales de la combinatoria, los Principios Aditivo y Multiplicativo, las variaciones, permutaciones y combinaciones con y sin repetición. se definen estos conceptos y se describen, enfatizando en las características que permiten identificarlos en el trabajo práctico, se deducen las fórmulas para el cálculo combinatorio y se enuncian en forma de teoremas con sus respectivas demostraciones. Se hace especial énfasis en el tratamiento que debe dárseles a los conceptos combinatorios definidos y en su aplicación a la solución de problemas. Se incluyen además ejemplos y ejercicios variados que ayudarán a fijarlos y sistematizarlos.

Aunque en este texto se ha respetado el rigor matemático en el tratamiento de los conceptos; el objetivo principal de este es el de analizar bajo ciertos puntos de vista la naturaleza de los elementos combinatorios presentes en los problemas y mostrar algunas formas para resolverlos.

Un poco de historia

La parte de las matemáticas que estudia los problemas sobre cuántas o cuáles combinaciones (bajo ciertas condiciones) pueden realizarse con determinados objetos se denomina combinatoria.

Los historiadores sitúan el surgimiento de la combinatoria en los albores del siglo XVI; y se acunó casi exclusivamente en la aristocracia de la época; pues esta sociedad, generalmente ocupaba su tiempo en juegos de azar en los cuales ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Jugando a los dados o las cartas se ganaban o perdían cuantiosas fortunas. Jugando a los dados o las cartas se ganaban o perdían brillantes, prendas valiosas, caballos de pura raza, etc. En este tiempo se encontraban difundidos diversos tipos de loterías en las cuales ocupaban sus días los caballeros y damas de la época.

Es comprensible pues, que en sus inicios, los problemas tratasen fundamentalmente sobre juegos de azar; tratando de averiguar de cuántas formas podrían obtenerse sucesos favorables en un determinado número de pruebas. Así por ejemplo se trató de averiguar de cuántas maneras se podía extraer un número específico al arrojar varios dados o de cuántas maneras se podía extraer dos reyes de una baraja de 52 cartas.

Estos y otros juegos fueron el motor impulsor de la combinatoria y las probabilidades; teoría que se desarrolla paralelamente a esta.

La historia recoge el nombre de Tartaglia como uno de los pioneros en la combinatoria. Este célebre italiano confeccionó una tabla que mostraba todas las formas en que pueden caer "n" dados; pero no previó que una misma suma de puntos podía obtenerse de diferentes formas ( por ejemplo 4+1+3= 4+2+2).

El estudio teórico de la combinatoria se considera un hecho a partir del año 1600 (siglo XVII) cuando los franceses Blas Pascal y Fermat comenzaron a recoger muestras de experimentos que realizaban en las mesas de juegos y a registrarlos estadísticamente para estudiar las leyes y regularidades bajo las cuales se regían.

Un papel particularmente importante lo jugó aquí el problema sobre la división de una apuesta; propuesta a Pascal por un amigo suyo llamado Meré; jugador apasionado por demás.

El problema consistía en la siguiente: si se lanzaba una moneda; el campeonato continuaría hasta que un jugador ganase 6 partidos; pero se interrumpiría cuando uno ganase 5 y el otro 4. ¿Cómo dividir entonces la apuesta? Era evidente que la razón 5:4 no era justa. Pascal resolvió el problema aplicando algunos métodos combinatorios y además propuso un método de solución para el caso general, cuando a un jugador le quedaran "r "partidos hasta ganar y al otro jugador le quedaran "s "partidos. Una solución similar a este problema fue dada por Fermat.

El desarrollo posterior de la combinatoria se encuentra ligada a los nombres de matemáticos famosos como Jacobo Bernoullí, Leibniz y Euler.

Sin embargo; para estos, también el rol fundamental lo constituyeron las aplicaciones a los distintos tipos de juegos.

Ya en los últimos años, la combinatoria entró en un período de intenso desarrollo relacionado con el crecimiento general del interés hacia los problemas de la matemática discreta.

Los métodos combinatorios son usados para resolver problemas de transporte, problemas sobre confección de horarios, planes de producción y la mecanización de estas así como para determinar las características genéticas en la obtención de razas de animales en laboratorios.

La combinatoria es utilizada para confeccionar y descifrar claves, así como para resolver problemas de la teoría de la información. Y también; ¿por qué no? Para decidir en un futuro no muy lejano la forma más eficaz de conservar la vida en nuestro planeta.


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