Análisis y diseño del coeficiente de: Capacidad de producción y factor de escalamiento (página 2)

ANÁLISIS E
INTERPRETACIÓN

En todo fenómeno industrial y social se presenta
la Ley de acción
y reacción, lo cual interpretamos muy fácilmente
mediante la aplicación de una ilustración práctica:

Aplicaciones: Acción y
reacción, efecto causa.

Para estudiar con mayor amplitud el presente proceso de
Capacidad de Producción y Factor de Escalamiento es
necesario que el lector este familiarizado con el presente
mediante el análisis que se presenta a
continuación.

1. Es el límite (superior ó inferior
   dependiendo del caso de aplicación) del coeficiente,
   la variación proporcional del factor influyente
   y el cambio
   proporcional del peso y volumen –. Por lo
   tanto su representación matemática es como sigue:

   		(1)

   

   Dicha ecuación se lee, el factor influyente
   esta en función del tiempo y
   el tiempo esta en función del volumen.

   Con ello representamos una función de defecto
   e incremento del tiempo en un punto cualquiera del proceso
   – sistema
   dinámico –, de esa forma se tiene la
   representación matemática del coeficiente de
   flexibilidad del defecto , como sigue:

   (2)

   Donde se denomina razón promedio de cambio de t
   respecto a W.

   Por lo tanto en el límite – coeficiente
   de flexibilidad de incremento – tiene la siguiente
   expresión:

   (3)

   La figura 1 nos indica que al incrementarse el
   valor del
   tiempo de t0 a t1, la
   cantidad del factor de mayor influencia experimenta un
   decremento disminuyendo de W0 a
   W1.

   Al realizar el experimento se deberá tener en
   cuenta los datos del
   cuadro adjunto.

   Wd	Wd1	Wd2	Wd3
   Wr t V	Wr1 t1 V1	Wr2 t2 V2	Wr3 t3 V3

   Para obtener Wd1 y todos los
   factores se aplica la relación:

   (4)

   Para hallar el coeficiente de flexibilidad de cada
   uno de los proceso – defecto ó incremento, se
   deberá procesar bajo las siguientes relaciones
   obteniéndose los coeficientes para ambos
   factores.

   		(5)
   		(5´)
   		(6)
   		(6´)

   Los valores
   Cfd y CFr no siempre son
   iguales numéricamente, no interviene el signo debido a
   que se utiliza el valor absoluto de dicho factor, ambos
   factores nos dan valores cinéticos del
   proceso.

   

   Figura 1. Incremento y
   decremento

2. Coeficiente de flexibilidad.

   

   Figura 2. Investigación de capacidad de
   producción

   (7)

   Visto el fenómeno y graficando las curvas,
   podemos ver claramente el orden polinomial-fraccional, por lo
   tanto se cumple las funciones de
   los modelos
   matemáticos:

   		(8)
   		(9)

   Además la proporcionalidad se cumple solo
   sí:

   (10)

   De la ecuación (7), deducimos realizando un
   artificio matemático y aplicando la ecuación
   (10), obtenemos:

   (11)

   (12)

   La ecuación (3) nos indica el diferencial del
   factor de mayor influencia,

   (13)

   Del gráfico visualizamos que:

   		(14)
   		(15)

   Reemplazando (15) en (13)

   		(16)
   		(17)

   De la ecuación (12) obtenemos
   Wr

   (18)

   Reemplazando (18) en (17)

   (19)

   De donde obtenemos el Coeficiente de Capacidad de
   Producción.

   (20)

   Siendo

   

3. Capacidad de producción.

   

   Figura 3. Investigación
   factor

   de escalamiento

   Cuando realizamos experimentos
   a nivel laboratorio generalmente se efectúa a
   nivel de vasos, de 2 a 10 litros, en donde se pueden
   optimizar los factores de mayor influencia, generalmente de 2
   a 7 variables,
   que influencian, aplicando diseños experimentales
   estadísticos:

   factoriales, fraccionados, bloques, Plackett-Burmann
   –, donde dichas variables deberán ser examinadas
   al máximo, para que los rangos de trabajo se
   reduzcan y de esa manera se puedan evaluar a nivel planta
   piloto, en donde los rangos de las variables deberán
   ser ratificados con un máximo y mínimo para
   poderlo examinar y evaluarlo posteriormente para su
   aplicación industrial.

   		(21)
   		(22)

   El coeficiente de flexibilidad del escalamiento a
   nivel piloto e industrial, se procesará bajo la
   siguiente relación:

   (23)

   El signo del coeficiente no interviene ya que
   trabaja con el valor absoluto.

   El modelo
   atribuible al proceso será:

   (24)

   De la ecuación (3) transformamos la
   expresión,

   (25)

   Obtenemos la diferencial del factor de mayor
   influencia

   (26)

   La ecuación (22) la reemplazamos en la
   ecuación (26)

   (27)

   La ecuación (21) reemplazando en (27) y (26)
   obtenemos,

   (28)

   De donde obtenemos el Factor de
   Escalamiento:

   (29)

   Siendo

   

   Donde:

   W W0 Wi Wd Wr dW t t0 t1 t2 Kp Vo Cfd Cfr Cfe M

   Peso, ton Peso en equilibrio, ton Peso inicial, ton Peso en decremento, ton Peso en incremento, ton Diferencial de peso Tiempo, años Tiempo en equilibrio, años Tiempo inicial, años Tiempo final, años Capacidad de producción Factor de escalamiento, veces más Coeficiente de flexibilidad decremento Coeficiente de flexibilidad incremento Coeficiente de flexibilidad escalamiento Escalamiento porcentual

    

4. Factor de escalamiento.

   

   Figura 4. Tipos de coeficientes de
   flexibilidad

   De la figura (4), se puede llegar a la siguiente
   conclusión que cuando:

   Cf > 1; es relativamente
   estable

   Cf = 1; es estable

   Cf < 1; es relativamente
   inestable

   1. De la figura (4) se puede deducir que cuando
      Cf > 1, al incrementarse el factor
      de mayor influencia en 10%, la cantidad del defecto va ha
      bajar más que proporcionalmente al 10%. Cuando
      esto ocurre en el análisis de la variación
      relativa del factor influyente, y del defecto, se
      dirá que el proceso presenta un coeficiente
      relativamente estable.

      Aplicaciones: De este coeficiente
      relativamente estable, es ampliamente usado en los
      procesos de cementación,
      recubrimientos metálicos, galvanoplastia, corrosión y refinación
      electrolítica.

      

      Figura 5. Gráfico del
      coeficiente relativamente estable

   2. Coeficiente relativamente estable

      Se dice que un proceso tiene coeficiente
      estable, cuando al incrementarse el factor de mayor
      influencia en 10% hace variar el efecto en la misma
      proporción.

      Aplicaciones: Este tipo de
      coeficientes son de amplia aplicación en procesos
      de lixiviación (cianuración, ácida,
      biológica, sales oxidantes). En procesos de
      extracción por solventes, resinas y alcoholes extractantes.

      

      Figura 6. Gráfico de
      coeficiente

      estable

   3. Coeficiente estable
   4. Coeficiente relativamente
      inestable

   Se considera que un proceso es relativamente
   inestable cuando al incrementarse el factor de mayor
   influencia en 10%, hace variar al tiempo en menor
   proporción al 10%.

   Aplicaciones: Se aplica ampliamente en
   procesos en donde la presión y temperatura se mantienen constantes.
   Autoclaves, lixiviación, preparación de
   productos
   químicos y farmacéuticos, etc.

   

   Figura 7. Gráfico de
   coeficiente relativamente estable

   Ejemplo aplicativo: Se cementa
   cobre de
   una solución lixiviada, adicionando chatarra de
   hierro,
   siendo sus datos operacionales a nivel de planta:

   WCu (Kg)	0,5	5
   WFe (Kg)	9	1
   t (h)	5	30

   El coeficiente de flexibilidad creciente, en este
   caso para la cementación de cobre es:

   (30)

   Coeficiente de flexibilidad decreciente, en el caso
   para la disolución del hierro es:

   (31)

   La capacidad de producción del cemento de
   cobre precipitado en el medio es:

   (32)

   La cantidad de hierro necesario para la para la
   ionización en el medio es:

   (33)

   El peso de cobre precipitado, recuperado, en el
   medio es:

   (34)

   La cantidad de hierro necesario para la
   disolución es:

   (35)

   Desarrollando las ecuaciones
   (34) y (35) obtenemos la tabla siguiente:

   t	WCu	WFe
   15 15,6 15,8 15,9	2,04 2,14 2,18 2,19	2,35 2,24 2,20 2,19
   16 16,5 16,8 17	2,21 2,30 2,35 2,39	2,17 2,09 2,04 2,01

    

   

   Figura 8. Gráfico de
   coeficiente de cementación de cobre mediante la
   adición de hierro

   Datos:

   	2,19 Kg
   	2,04 Kg
   	15,9 h
   	16,8 h
   	15,0 h
   	1,285
   	1,226

   La capacidad de producción de cobre, la
   obtenemos reemplazando los datos en la ecuación (20),
   siendo este:

   Transformando los datos obtenemos:

   

   Ejemplo aplicativo: Factor de
   escalamiento.

   WCu (Kg)	0,5	5
   V (l)	1	10
   t (h)	5	30

   Coeficiente de flexibilidad de
   escalamiento:

   (36)

   Capacidad de escalamiento:

   (37)

   Peso recuperado en escalamiento:

   (38)

   Desarrollando la ecuación (38) obtenemos la
   tabla siguiente:

   V	We
   4,08 4,28 4,36 4,38 4,24	2,04 2,14 2,18 2,19 2,21

   Datos:

   		2,19 Kg
   		2,04 Kg
   		4,38
   		1,0

   El escalamiento porcentual lo obtenemos de la
   ecuación (29):

   

   Figura 9. Cementación de cobre
   por adición de hierro

5. Tipos de coeficiente de flexibilidad.

   El investigador debe conocer más de una
   técnica de escalamiento para culminar con
   satisfacción su estudio, por lo que debe estar
   plenamente identificado con las técnicas matemáticas y estadísticas.

   1. Es de mucha importancia para el investigador
      el
      conocimiento de los factores cualitativos, con
      criterio de realizar un escalamiento acertado, ya que
      ello afecta el futuro del factor de mayor influencia. Por
      esta razón se recomienda al análisis
      considerando los factores cualitativos para efectos de
      reajuste, por que no decir para hacer una
      modificación del escalamiento realizado por
      métodos matemáticos y
      estadísticos.

      Los factores cualitativos tienen que ver
      directamente con el medio y elemento que participan en
      los planes, programas y proyectos, lo cual influye directamente e
      indirectamente en el factor de mayor influencia como
      también en la cantidad de incremento de esta forma
      afecta al desarrollo del escalamiento.

   2. Factores cualitativos

      Se usa para escalar los indicadores (factores y equipos)
      industriales, tales como concentración, peso, ley,
      volumen, tamaño, capacidad, gradiente, etc. Para
      lo cual es necesario conocer la matriz
      del factor de mayor influencia con datos reales, caso
      contrario no será posible realizar un
      escalamiento.

      Por otro lado contamos con la existencia de
      modelos matemáticos y estadísticos, cuya
      representación simbólica de las variables
      son usadas dentro de la ingeniería, siendo de mucha
      importancia para el escalamiento de algún modelo
      industrial, que son usados como instrumentos de
      escalamiento.

      Así tenemos un grupo
      de modelos, que son conocidos como modelos
      matemáticos industriales que son útiles
      para el escalamiento de incremento o defecto al
      escalar el proceso. A continuación se tiene
      algunas muestras de modelos industriales, los cuales nos
      sirven como instrumentos de escalamiento en
      relación con otras variables.

      (39)

      En el modelo presente Wi es
      conocido como factor de mayor influencia, que es
      optimizado con el diseño experimental, siendo el
      resto de sus componentes conocidos como variables
      exógenos.

      El procedimiento de cálculo de escalamiento y el factor
      de Capacidad de Producción, Kp,
      por medio de este modelo requiere el conocimiento del manejo de las ecuaciones
      simultáneas, en cuyo cálculo se llega a
      transformar las variables originales del tipo
      exógenos en variables endógenas.

   3. Modelos matemáticos

      Por último cuando al modelo, ha sido
      incorporado variables cuyo valor no se conoce con
      exactitud por múltiples razones, pero de alguna
      forma se conoce las posibilidades de cada una de sus
      posibles magnitudes, en este caso se trata de variables
      estocásticas. Por lo que se recomienda usar los
      métodos especiales para realizar los escalamientos
      respectivos, siendo los más usuales los
      siguientes:

      1. Método de simulación
         estadística
      2. El ajuste de una distribución normal,
         y
      3. El modelo matemático

      Para mayor información con referencia a los
      puntos 5.3.1; 5.3.2 y 5.3.3 ver el libro
      Estadística Aplicada publicada por el
      Autor.

   4. Variables estocásticas
   5. Aplicaciones del modelo industrial al
      escalamiento
6. Técnicas de escalamiento.

El conocimiento de los distintos modelos industriales
nos van ha permitir en algunos casos a realizar un escalamiento
de las diferentes variables industriales.

Análisis del punto de actividad

Estudia el comportamiento
del factor de mayor influencia ante ciertas influencias, llamadas
variables externas. Este análisis sirve para tomar
decisiones.

Figura 10. Gráfico del punto de
actividad

1. Supuestos del gráfico del punto de
   actividad

1. El tiempo afecta al factor de mayor
   influencia.
2. el volumen afecta al factor de mayor
   influencia.
3. la eficiencia y
   productividad permanece constante.

Estos supuestos tienen limitaciones porque no
consideran: tecnología y precio de
insumos y productos.

1. 		(40ª)
   		(40b)
   		(40c)

   De la ecuación (40ª) obtenemos la
   siguiente relación:

   (41)

   Separando términos:

   (42)

   La variable de capacidad es constante por lo
   tanto:

   (43)

   Sustituyendo dicho arreglo en la ecuación
   (42) obtenemos:

   (44)

   El incremento del peso del proceso es:

   (45)

   El decremento de peso del proceso es:

   (46)

2. Punto de actividad (Modelo Matemático) en
   Kp

   1. 		(47)
      		(48)

      Sumando la ecuación (47) y (48)
      obtenemos:

      		(49)
      		(50)

   2. Punto de actividad de capacidad de
      producción
   3. Punto de actividad en factor de
      escalamiento
3. Punto de actividad relacionando factor de
   escalamiento

Igualando (51) con (50) obtenemos:

Sustituyendo los valores a
la ecuación (55) obtenemos:

Resultando ser el punto de
equilibrio del sistema.

5. Análisis de W1 constante
   para capacidad de producción

El comportamiento de las ecuaciones (8) y (9) en donde
W1 esta en función de la ecuación
(14). Para obtener el valor de dW para un punto
común de W1 en el intervalo
t1 y t2, se obtiene la
relación.

Dicha relación reemplazando en (14)
obtenemos:

Reemplazando (57) en (8) y (9) se obtiene la
relación:

Ejemplo aplicativo: Recuperación de
plata a partir de soluciones
ácidas precipitado con hierro.

Coeficiente de flexibilidad crecimiento
(precipitación de plata)

Coeficiente de flexibilidad decreciente
(disolución de hierro)

Capacidad de producción del precipitado de plata
es:

Capacidad de requerimiento de hierro para
disolución:

Peso de plata creciente en la
precipitación:

Peso de hierro decreciente en la
disolución:

Con los datos obtenidos grafica e interpreta.

Datos:

Obtenga la capacidad de producción de la plata
aplicando la ecuación (20).

PROBLEMAS:

De los valores de la tabla calcule el coeficiente de
flexibilidad creciente y decreciente para la plata y cobre
respectivamente, que están inmersos dentro de la
solución de nitrato de plata. Con dichos datos obtenga la
Kp del precipitado y del cobre requerido para
el proceso.

Se precipita cobre de una solución madre por
procesos electrolíticos, aplicando una densidad de
corriente de 0,5 A/dm². Calcular el coeficiente de
flexibilidad creciente y decreciente para el cobre depositado y
el ánodo inerte de plomo-antimonio. Con los datos
obtenidos, calcule Kp del cobre depositado y el
ánodo corroído durante el proceso.

Autor:

Palacios C. Severo

La presentación y disposición
de

ANÁLISIS Y DISEÑO

DEL COEFICIENTE DE:

CAPACIDAD DE PRODUCCIÓN

Y FACTOR DE ESCALAMIENTO

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