Una desventaja de este sistema era no
contar con un símbolo para el cero. Estro podía
traer ciertas confusiones.
El sistema numérico maya fue uno de los primeros
en utilizar al mismo tiempo el
principio posicional y el
cero.
En este sistema 1 kin (sol) representa
un día, 20 kines forman un huinal. Como
20 huinales representan 400 días, lo cual es mucho mayor
que la duración exacta del año (este sistema fue
utilizado para cálculos astronómicos), los mayas
llamaron tun a 18 huinales, o 360 días.
Excepto por este nivel, el resto del sistema es
vigesimal.
Para representar un numero se utilizan tres símbolos: el punto (.), una barra (–) y el
cero, donde cada línea representa 5 puntos. Algunos
números mayas
son:
A partir del numero 20, se usa un principio posicional,
escribiendo los números en forma vertical, de modo que el
numero inferior representan los kines, la siguiente
posición hacia arriba representan los huinales, y
así sucesivamente.
NUMEROS NATURALES:
Los números naturales son aquellos
que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos
números positivos y sin parte decimal.
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6,
7…}
NUMEROS
ENTEROS:
Son todos los números naturales y
sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y
negativos.
Z = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4,
-4…}
NUMEROS RACIONALES:
Son todos aquellos que se pueden escribir
en forma de fracción. Incluyen los naturales,
enteros.
NUMEROS
IRRACIONALES:
Son los números que poseen infinitas
cifras decimales.
NUMEROS REALES:
Incluyen todos los
números anteriormente descritos. Cubren la recta real y
cualquier punto de esta es un número real. Estos
números, por ser los más importantes, son los que
mas veremos. Para verlos más ampliamente,
NUMEROS NATURALES
¿Que son los Números Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la
cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama
cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto
de todos ellos se designa por N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11,
12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los
números naturales.
Además de cardinales (para contar), los
números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar
los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º
(decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen
en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de
ordenar son las más elementales que se pueden realizar en
el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están
definidas las operaciones
adición y multiplicación. Además, el
resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales
es también un número natural, por lo que se dice
que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una
operación interna en N, pues la diferencia de dos
números naturales puede no ser un número natural
(no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso
se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se
puede restar un número de otro, cualesquiera que sean
éstos.
La división tampoco es una operación
interna en N, pues el cociente de dos números naturales
puede no ser un número natural (no lo es cuando el
dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el
conjunto Q de los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La
división entera es un tipo de división peculiar de
los números naturales en la que además de un
cociente se obtiene un resto
PROPIEDADES DE LA ADICION DE
NUMEROS NATURALES
La adición de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se
cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se
verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la
adición se pueden efectuar largas sumas de números
naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el
orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque,
cualquiera que sea el número natural a, se cumple
que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicación de
Números Naturales
La multiplicación de números naturales
cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y
distributivo del producto
respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple que:
(a · b) · c = a · (b ·
c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 =
30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 =
30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 ·
2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se
cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación
porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple
que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se
cumple que:
a · (b + c) = a · b + a ·
c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 ·
8
Propiedades de la Sustracción de
Números Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que
se deriva de la operación de contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas
¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo
sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que
hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el
resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas.
Sabría que 6 – 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las
ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los
lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad
conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)
Propiedades de la División de
Números Naturales
La división es la operación que tenemos
que hacer para repartir un numero de cosas entre un número
de personas.
Los términos de la división se llaman
dividendo (el número de cosas), divisor (el número
de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada
persona) y
resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y
en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No
es lo mismo a/b que b/a.
NUMEROS ENTEROS
Números
Enteros Positivos y Negativos
a) Números Enteros
Positivos:
Se llaman así a todos los números que
representen una cantidad. Los números naturales son los
enteros positivos, con la única diferencia que a la hora
de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo
+.
El número 8 es un entero positivo, puedo
representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo
como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos
(no es necesario anteponer +).
b) Números Enteros
Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra
o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el
signo -.
El número -8 es un entero negativo. El
número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos
y por ello llevaran necesariamente el signo -.
c) Valor Absoluto:
El valor absoluto
será la distancia que haya entre determinado número
al origen de la recta numérica. En la práctica el
valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin
importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33:
|-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15|
= 15
Comparación de Números
Enteros
Para comparar números enteros debemos tener en
cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que
cualquier número negativo.
Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero
positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que
+3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.
b) Entre números positivos será mayor el
que represente mayor cantidad.
Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor
cantidad que 3.
16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.
+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que
12.
c) Entre números negativos será mayor el
que represente menor cantidad.
Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor
cantidad que 5.
-11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que
13
Adición y Sustracción de Números
Enteros
Tendremos dos posibilidades, las cuales son:
a) Si tenemos números de igual
signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual
signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al
resultado anteponerle el mismo signo.
Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11
35 +46 +11 En esta operación tenemos tres
números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los
tres números, nos dará: 92
+92 = 92 El resultado
también será positivo.
Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21
-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres
números negativos: -12, -28 y -21
-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los
tres números, nos dará: 61
-61 El resultado también será negativo,
necesariamente le antepondremos -.
b) Si tenemos números de signos
diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos
el número mayor menos el número menor y el
resultado llevara el signo del número mayor.
Veamos: 35 -46
35 -46 En esta operación tenemos un número
positivo y otro negativo.
35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 – 35 =
11
-11 Como el número mayor es 46, y este es
negativo, el resultado será también
negativo.
Otro ejemplo: -12 +28
-12 +28 En esta operación tenemos un
número negativo y otro positivo.
-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 =
16
+16 = 16 Como el
número mayor es 28, y este es positivo, el resultado
será también positivo
Multiplicación de Números
Enteros
Cuando tengamos que multiplicar dos o más
números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder
a multiplicar los números sin importarnos el signo que
estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado,
recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a
la siguiente Ley de
Signos:
(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos
números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un
número positivo por otro negativo es un número
negativo
(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un
número negativo por otro positivo es un número
negativo
(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos
números negativos es un número positivo
Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5
-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva
signo, es positivo.
-20 x + 5 En
esta operación 20 es un número negativo y 5 es un
número positivo.
20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los
signos y hacemos 20 x 5 = 100
-20 x 5 = -100 Como tenemos un número
negativo y otro positivo, el resultado será número
negativo
Debemos emplear el mismo procedimiento
para cualquier caso de multiplicación de números
enteros o con signo que se nos presente.
Potenciación y radicación
- Un error frecuente que se comete al trabajar con
potencias de números es no tener en cuenta el uso de los
paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo (-3)
2 que -32.
En efecto, en (-3)2, el exponente 2 afecta al
signo y al número; es decir:
(-3)2=(-3)·(-3)=9
En cambio, en
-32, el exponente 2 sólo está afectando
al número 3; es decir:
-32 = -(3·3) = 9
- La potenciación NO es distributiva respecto a
la suma ni a la resta; es decir:
(a+b-c)m = am + bm –
cm
- En los ejercicios donde aparecen combinadas la suma.
la resta. la multiplicación, la división, la
potenciación y la radicación se procede
así:
- Si hay signos de agrupación se desarrollan las
operaciones contenidas en los signos de agrupación
más internos; es decir, trabajando de adentro hacia
afuera. - Si no hay signos de agrupación o estos ya
fueron eliminados, se desarrollan primero las operaciones de
potenciación y radicación, luego los de
multiplicación y división y, finalmente, las de
suma y resta. En cada caso tiene preferencia la
operación situada mas a la izquierda.
Ejemplo:
NUMEROS RACIONALES
Números Racionales:
Llamamos números racionales al conjunto formado
por todos los números enteros y todos los fraccionarios se
los designan por Q y se lo denomina conjunto de los
números racionales
Número racional es el que se puede
expresar como cociente de dos números enteros, es decir,
en forma de fracción. Los números enteros son
racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos
por la unidad: a = a/1.
Los números racionales no enteros se llaman
fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales
se designa por Q.
Así como en el conjunto Z de los
números enteros cada número tiene un siguiente (el
siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo
mismo con los racionales, pues entre cada dos números
racionales existen infinitos números.
Q= {m/n, m Z, n Z, n =0}
Los números racionales pueden sumarse, restarse,
multiplicarse y dividirse y el resultado es un número
racional.
Los números racionales sirven para expresar
medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el
resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un
número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un
número decimal exacto o bien un número decimal
periódico.
Si la fracción es irreducible y en la
descomposición factorial del denominador sólo se
encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es
igual a un número decimal exacto, pero si en el
denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la
expresión decimal es periódica; por
ejemplo:
Comparación:
Toda fracción positiva es mayor que cualquier
fracción negativa. Si las fracciones tienen igual
denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor.
Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones
equivalentes a las dadas con igual denominador.
Suma y Resta de Números
Racionales
La suma de dos números racionales es otro
número racional. Cumple las siguientes
propiedades:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b
+ c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro:
El cero es un número racional que hace de
elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto:
El opuesto de un número racional a, es
otro número racional –a,
a + (-a) = 0
Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy
sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o
resta de los numeradores y el denominador será el mismo.
Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen
por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos
un denominador común). Luego se opera de la misma manera
que en el cálculo
anterior.
PRODUCTO DE NÚMEROS
RACIONALES
El producto de dos números racionales es otro
número racional. Cumple las siguientes
propiedades:
Asociativa:
(a · b) · c =
a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b ·
a
Elemento neutro:
El 1 es un número racional que hace de elemento
neutro del producto,
a · 1 = a
Elemento inverso:
El inverso de un número racional
a ≠ 0 es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
Distributiva respecto a la suma:
a · (b + c) = a
· b + a · c
COCIENTE
El cociente de dos números fraccionarios es igual
al producto entre el dividendo y el inverso del
divisor.
Ejemplo:
-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar una fracción es sustituirla por la
fracción equivalente cuyo denominador es el menor
posible.
Racionalización de
Denominadores
Las expresiones
tienen el denominador irracional. Con frecuencia es
conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que
tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha
racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas
estrategias:
En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un
denominador del tipo 
por otro radical del mismo índice, 
, y tal que el producto de
sus bases am, ap, sea una potencia de
an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el
numerador por la misma expresión.
En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la
identidad
(a + b)(a – b)
= a2 – b2 para hacer desaparecer
las raíces cuadradas del denominador
multiplicándolo por la expresión correspondiente
que, por tanto, también ha multiplicado al
numerador.
Expresión Decimal de los Números
Racionales
Si queremos escribir un número fraccionario en
forma decimal, bastará con dividir el numerador por el
denominador.
Ejemplo:
7/2 = 3.5
Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por
ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal
1,4142135623730950488016…… que como vemos será
infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni
periodo definido. Este tipo de números son conocidos como
Números Irracionales.
Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que
decir todo el número decimal, es más, es más
exacto y preciso decir √2 que decir todo el número
decimal (finalmente este decimal no será más que
una aproximación).
Adición y
Sustracción de Irracionales
Podemos sumar y restar números irracionales
solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los
términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos
mejor mediante ejemplos:
Ejemplo1:
3√2 +5√2 – √2 En este caso se
me pide realizar una operación combinada de suma y
resta
3√2 +5√2 – √2 Podremos sumar
y restar ya que todos los términos tienen
√2
Ejemplo2:
3√3 +5√2 – √5 Acá
también se me pide realizar una operación combinada
de suma y resta
3√3 +5√2 – √5 Sin
embargo no será posible porque los tres radicales son
diferentes.
Pero, ¿cómo puedo realizar estas
operaciones?
Volvamos al Ejemplo 1:
3√2 +5√2 –
√2 Ya sabemos que
podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema.
3√2 +5√2 – 1√2 Debemos
saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un
"1"
3√2 +5√2 – 1√2
Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números
fuera de los radicales.
3√2 +5√2 – 1√2
Tendré que resolver 3 + 5 – 1 = 7 y la parte radical no
cambiara.
3√2 +5√2 – 1√2 = 7√2
Veamos ahora otro ejemplo:
4√7 -2√7 +
√7 Como todos los
términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin
problema
4√7 -2√7 + 1√7 Hemos
añadido un "1" donde no había numero con el
radical.
4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7
Multiplicación de
Irracionales
Existe una propiedad de los números irracionales,
y en general de los radicales, que nos
dice:
n√a.b = n√a
n√b (y viceversa)
Esto significa que si tengo dos números
multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer
la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o
también que si tengo dos raíces de igual grado
multiplicándose puedo multiplicar los números y
obtener la raíz después.
Ejemplo 1:
√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6
=> Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9×4,
entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los
números para finalmente multiplicarlos.
Ejemplo 1:
√12.3 = √12. √3 = √36 = 6
=> En este caso no me convenía hacer lo del
ejemplo anterior, por eso multiplique 12×3 primero y luego saque
la raíz cuadrada a este resultado.
La propiedad nos dice que:
n√a ÷ n√b =
n√a÷b (y
viceversa)
Entonces, si tenemos raíces de grado n que se
estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos
por separado y después las dividimos, que si primero las
dividimos y luego extraemos la raíz.
Ejemplo1:
3√27 ÷ 3√8 = 3 ÷
2 = 1,5
=> Primero hemos extraído las dos raíces
cúbicas para luego dividir los resultados.
Ejemplo 2:
3√64 ÷ 3√8 =
3√64÷8 = 3√8 = 2
=> Ahora hemos resuelto primero la división de
las cantidades subradicales y dejamos al ultimo la raíz
cúbica.
Lo único que debemos hacer es pasar el grado del
radical a dividir al exponente. Veamos algunos
ejemplos:
Ejemplo 1:
3√66 = 66/3
= 62 = 36
=> Como vemos el grado del radical (en este caso 3) paso
a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta
división (para nosotros 6÷3 = 2) será el
nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6).
Finalmente hemos realizado la potenciación
Ejemplo 2:
(√4)6 = 46/2 =
43 = 64
=> En este caso hemos hecho lo mismo que en el
caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un
radical no tiene grado, este es 2.
Operaciones
Combinadas con Radicales
En algunos casos parece que no se puede resolver una
operación de suma y/o resta entre números
irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle
la forma correcta ala ejercicio.
Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 –
√98
Aparentemente no lo podemos resolver, todos los
radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las
propiedades de la multiplicación para darle la forma que
nos ayude a resolverlo.
√50 la podemos escribir como √25.2 porque
25. 2 = 50.
Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es
decir, √25 = 5
La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos
igual: √2
Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25
√2 = 5√2
Lo mismo hacemos para √98:
√98 = √49.2 = √49 √2 =
7√2
Reemplazamos los valores
obtenidos:
3√2 + √50 – √98
3√2 + 5√2 – 7√2
3√2 + 5√2 – 7√2 = 1√2
El número "1" que nos queda podemos colocarlo o
no según nuestra conveniencia.
¿Qué son las
fracciones?
Se llaman así a todos los números que
representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de una
división inexacta. Por ejemplo:
8 ÷ 5 El resultado de esta división
será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8
5 El resultado de esta división inexacta lo podemos
representar como un número fraccionario
Ahora, este número fraccionario, o simplemente
fracción tendrá sus partes definidas:
8 ~> es el
numerador
5 ~> es el
denominador
Además cabe resaltar que la raya o
división central representa el operador matemático
de división.
b) Números Mixtos:
Cuando el numerador sea mayor que el denominador,
tendremos la posibilidad de representar la fracción como
número mixto, es decir, una parte entera y otra parte
fraccionaria. Veamos nuevamente nuestro caso:
8 ÷ 5 El resultado de esta división
será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8
5 El resultado de esta división inexacta lo podemos
representar como un número fraccionario o también
como número mixto.
8 = 1 3
5 5 Para representarlo
como número mixto debemos realizar la división. De
ella el cociente o resultado será la parte entera y el
residuo será el numerador de la parte
fraccionaria
8 = 1 3
5 5 Nótese que
el denominador no cambia. Este número se leerá como
1 entero (parte entera) y tres quintos (parte
fraccionaria).
Claro que también podría darse el caso de
que tengamos un número mixto y lo tengamos que llevar a su
forma fraccionaria. Veamos el siguiente caso:
3 5
9 Tenemos tres enteros (parte entera) y cinco
novenos (parte fraccionaria)
3 5
9 Para empezar, debemos multiplicar la parte
entera por el denominador de la parte decimal, para nuestro caso
haremos: 3 x 9 = 27
3 5
9 Al resultado que teníamos le
añadimos (en otras palabras le sumamos) el numerador, para
nuestro caso será: 27 + 5 = 32
3 5 = 32
9 9 El número
que hemos encontrado, es decir, el 32 será el numerador de
nuestra fracción. Nótese también que el
denominador no cambiara.
c) Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos
fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de
diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar
fracciones equivalentes y son por simplificación y por
ampliación.
En este primer ejemplo veremos una
simplificación:
4
6 En esta fracción podemos observar que tanto el
número 4 como el número 6 son divisibles entre
2.
4 ~> ÷2 ~> 2
6 ~> ÷2 ~> 3 Entonces dividimos a ambos
números entre 2 (siempre debemos dividir a ambos entre
el mismo número) y hallamos su equivalente.
Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones
para tener una mejor presentación.
Pero ahora veamos un ejemplo de
ampliación:
3
4 En esta fracción no se puede simplificar, pero si se
podrá ampliar de acuerdo a lo que nos convenga.
3 ~> x3 ~> 9
4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números
por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una
fracción equivalente.
Comparación de
Números Fraccionarios
En el caso ideal de comparación se tienen
fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador
será la mayor. Por ejemplo:
4 y
5 la mayor de
ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor
numerador.
7
7
7
Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de
diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de
multiplicaciones para determinar cual es mayor, cual es menor, o
si son iguales:
3 y 5
4 6 En este caso
nosotros debemos determinar cual de estas fracciones
representa mayor cantidad.
3 y 5
4 6 Multiplicaremos en
forma cruzada los numeradores con los
denominadores. Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4
= 20
3 y 5
4 6
18 <20 Vemos que he colocado los resultados abajo de las
fracciones y los he comparado. En este caso en particular resulta
que el número 20 es mayor que el número
18
3 < 5
4 6
18 <20 Entonces lo mismo se repetirá en la
fracción y 5 es mayor que 3
6
4
Adición y
Sustracción de Números
Fraccionarios
Utilizando un algoritmo
sencillo podemos aprender a sumar fracciones
mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones
cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente
regla:
a + |
Veamos un ejemplo:
El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad
de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó
una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la
tercera (1/3) parte del trabajo que le
iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿que
parte del trabajo tiene que realizar Cheo?
1 + |
Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12
del trabajo.
Notita para darle pensamiento:
(para darle "coco")
¿A Cheo le tocó más de la mitad del
trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguientes
reglas de las proporciones
a.
Si a =
c entonces ad = cb
b d
b.
Si a <
c entonces ad < cb
b d
c.
Si a >
c entonces ad > cb
b d
Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o
mayor que 1/2 ?
7 ?
1
7(2) > 12(1), por lo
tanto 7 >
1
12
2
12 2
De modo que Cheo realizó más de la mitad
del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la
herencia de su
padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes
adicionales que le tocaban a ella. ¿En total
qué parte de la herencia la tocó a
Maria?
Solución
1 + 2 = 1(5) + 3(2) =
5 + 6 = 11
3
5
15
15 15
A María le tocó 11/ 15 de la
herencia de su padre.
Suma de Fracciones:
Para sumar dos fracciones, hay que tener en
cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
1. Fracciones homogéneas
(1, 3, 5)
4 4 4
2. Fracciones heterogéneas (1, 2,
3)
3 5 7
Las fracciones homogéneas son las
fracciones que tienen el mismo denominador; y las
fracciones heterogéneas son las fracciones que
tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones
homogéneas:
1 + 3 =
4 <Son fracciones homogéneas ya que
5
5
5 tienen el mismo
denominador. Las
fracciones homogéneas, en suma, se
suman los numeradores y el
denominador se queda igual.>
2 + 3 = 5
7
7 7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
1 + 1
4
2
<Aquí es diferente, las fracciones son
heterogéneas; los denominadores son
diferentes.>
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores.
2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
1 + 1
4 2
Paso 1 : 1 + 1
= ___ <Se
multiplicaron los denominadores
4
2 8
4 · 2 } =8>
Paso 2 : 1 + 1
= (2 ·1) + (4 · 1) < Se
multiplicó cruzado>
4
2 8
Paso 3: 2 + 4 =
6 < Se suman los
productos para obtener el
8
8
numerador.>
Paso 4: 6 ÷ 2 =
3 < Se simplifica la
fracción si es posible.>
8 2
4
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se
utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este
caso hay que restar.
Ejemplo 1:
5 – 1 =
4 Resta de
Fracciones Homogéneas
9 9 9
Ejemplo 2:
2 – 1 = ( 2 · 2) – (3
· 1) = 4 – 3 = 1
3
2
6
6 6
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Ultima Edición: julio, 2002
Multiplicación de Números
Fraccionarios
Cuando tengamos que multiplicar dos o más
números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar
todos los numeradores y todos los denominadores.
Si por ejemplo tenemos:
2 x 3 x
5
tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 =
30
5 4
3
5 x 4 x 3 60
Claro que aun podríamos simplificar:
30 =
1
(hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre
30)
60 2
Pero para ahorrarnos la simplificación,
podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que
podemos simplificar cualquier numerador con cualquier
denominador:
2 x 3 x 5 | Esta es la operación original |
2 x 3 x 5 | Puedo simplificar el numerador 2 con el |
1 x 3 x 5 | Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador |
1 x 1 x 5 | Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con |
1 x 1 x 1 = | Resolvemos la multiplicación (multiplicamos |
División de
Números Fraccionarios
Cuando tengamos que dividir números fraccionarios
en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación
cruzada. Por ejemplo:
2 ÷ 3 =
8
(hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
5 4
15
(hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador
15)
También podemos convertir la división a
multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador
÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y
cuando invirtamos la fracción que viene después del
operador. Veamos el ejemplo anterior:
2 ÷ 3 = 2 x 4 =
8
(hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y
además
5 4 5
3
15
hemos invertido la fracción que venia después del
÷)
Lo más recomendable es llevarlo a
multiplicación ya que así la operación la
podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones
que tengamos y además podemos simplificar antes de
multiplicar. Por ejemplo:
4 ÷ 3 ÷ 2 ÷
1
(si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo
tendremos
5 2 5
3
que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar
antes)
4 x 2 x 5 x
3
(ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver
todo
5 3 2
1
directamente y además podemos simplificar
antes)
Solamente podemos simplificar antes de operar en la
multiplicación
Potenciación de Números
Fraccionarios
En la potenciación de números
fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar
una condición y esta es que la fracción debe estar
entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda
ella.
Si por ejemplo tenemos:
(4)3 = 43 = 4 x 4
x 4 = 64
3
33 3 x 3 x 3
27
Pero si lo tenemos sin paréntesis:
43 = 43 = 4 x 4 x
4 = 64
3
3
3 3
En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el
efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la
potenciación de fracciones.
Radicación de
Números Fraccionarios
En este caso el radical afectara tanto al numerador como
al denominador. Por ejemplo:
3√8 =
3√8 =
2 (porque 2 x 2
x 2 = 8)
27
3√27
3 (porque 3 x 3 x 3 =
27
LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
Los Números Complejos:
Cuando se estudió la solución de la
ecuación de segundo grado 
se analizó el signo del discriminante
y su
relación con las soluciones. Si
el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no
tenía raíces reales sino que las raíces eran
imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los
números complejos que nos darán la idea
completa de la solución de la ecuación de segundo
grado y una extensión de los conjuntos
numéricos. Realizaremos lo que se llama la
definición axiomática del conjunto de los
números complejos.
Definición y operaciones en el conjunto de los
números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los
números complejos y lo denotamos con la letra
al conjunto de los
pares de números reales 
en el cual definimos las siguientes
operaciones:
Suma. 
Multiplicación. 
En el número complejo 
llamaremos a 
la parte real y a 
la parte imaginaria.
Note que la suma y producto de pares no está definida en
.
Dos propiedades que cumplen los pares de números
reales y que se mantienen para los complejos son:
Igualdad. 
Multiplicación por un escalar. 
donde 
.
Ejemplo. Dados 
y 
,
hallar:
a) 
b) 
c) 
Como los números complejos son pares de
números reales podemos efectuar una representación
de los mismos mediante el plano 
(Gráfica 1) En esta
representación se le dice eje real (Re) al
eje de las 
y
eje imaginario (Im) al eje de las 
.
Gráfica 1: Representación del
número complejo 
.
Podemos considerar que los números reales
están contenidos en los números complejos puesto
que en el plano 
el
número complejo 
coincide con el número real . De este modo tenemos 
cuando 
. Los números
complejos de la forma 
son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad de la
multiplicación por un escalar 
:
Para eso escribimos el número real 
en la forma 
y aplicamos la
definición de multiplicación:
.
Denotaremos el número complejo 
con la letra 
y lo llamaremos unidad
imaginaria. Es fácil demostrar que 
.
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla
ecuación 
.
Forma binómica de un número
complejo
Sea 
un
número complejo. Entonces podemos escribirlo en la
forma:
Pero como 
y 
, entonces
. En este caso
se llama forma
binómica o binomia del número
complejo.
Suma y multiplicación de números
complejos en la forma binómica
, puesto
que 
son todos
números reales.
porque
.
Ahora observe que los resultados son los mismos que las
definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la
realización de las operaciones de suma y
multiplicación con números complejos se puede
realizar en la forma de pares o en la forma
binómica, con la ventaja a favor de la forma
binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y
no es necesario memorizar nada nuevo.
Ejemplo. Si 
y 
,
halle 
y 
.
Conjugado de un número complejo
Si 
es un
número complejo llamaremos conjugado del número
z, al número 
, es decir, al número complejo que tiene la
misma parte real que 
pero la parte imaginaria de signo opuesto.
Ejemplo. Si 
, entonces 
y si 
,
entonces 
.
Módulo y argumento de un número
complejo
Sea 
un
número complejo cualquiera. Llamaremos
módulo del número complejo , al número real dado
por 
y lo
denotaremos por 
.
El módulo se interpreta como la distancia al origen del
número
(Gráfica 2).
Por otra parte, llamaremos argumento del
número complejo 
, al ángulo comprendido entre el eje y el radio vector que
determina a . El
argumento de se
denota por 
y se
calcula mediante la expresión:
.
Gráfica 2: Módulo y argumento de un
número complejo.
Propiedad: 
Demostración:
División de números
complejos
La división de números complejos se
realiza mediante la multiplicación y división por
el conjugado del denominador:
Ejemplo. Dados 
y 
,
halle: (a) 
y (b)
.
(a) Como 
entonces 
(b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado .
Raíces complejas de la ecuación de
segundo grado
Si el discriminante de la ecuación 
es negativo, debe
sustituirse el signo negativo por 
y de esa forma se obtienen las
raíces complejas de la ecuación.
Ejemplo. Resolver la ecuación 
.
Aplicando la fórmula de la ecuación
cuadrática:
Se puede ver que el discriminante es 
lo cual puede escribirse
como 
. Por lo
tanto:
Así, las raíces complejas de la
ecuación son: 
y 
.
Ejercicios de la Sección 1.
(a)
,
(b)
, (c)
, (d)
, (e)
.- Dados los números complejos
y 
, halle: - Muestre que
es el elemento neutro para la suma de
números complejos. - Muestre que
es el elemento neutro para la multiplicación de
números complejos.(a)
,
(b), (c)
, (d)
, (e)
. - Calcule:
(a)
,
(b)
, (c)
, (d)
. - Calcule:
- Dado el número complejo
halle el par tal que 
. Al par se le llama
inverso multiplicativo de. Concluya que el par es único y que el no tiene inverso
multiplicativo. - Verifique que
. - Verifique que
y 
son conjugados.(a)
,
(b)
. - Calcule:
- Resuelva la ecuación
. - Halle
tal que
.(a)
,
(b). - Calcule y represente en el plano complejo los
números
, tales que:(a)
,
(b)
, (c)
. - Calcule y represente en el plano complejo los
números
tales que: - Resuelva la ecuación cuadrática
. - Resuelva la ecuación cuadrática
. - Resuelva la ecuación cuadrática
. - Resuelva la ecuación
,
, (c)
, (d)
, (e)
.
y 
, halle:
es el elemento neutro para la suma de
es el elemento neutro para la multiplicación de
,
, (c)
, (d)
, (e)
.
,
, (c)
, (d)
.
halle el par 
tal que 
. Al par se le llama
. Concluya que el par 
es único y que el 
.
y 
son conjugados.
,
.
.
.
,
.
, tales que:
,
, (c)
.
.
.
.
Forma
trigonométrica o polar de un número
complejo
La forma trigonométrica de un número
complejo se establece observando el triángulo amarillo de
la Figura 3:
Gráfica 3: Forma trigonométrica de
un número complejo.
En este caso se tiene que 
y que 
.
Luego:
Por lo tanto:
Ésta es la llamada forma trigonométrica
o polar del número complejo, la cual está en
términos del módulo y el argumento. Se denota
comúnmente por 
.
Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de
.
Hallemos 
y 
.
Note que 
está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:
.
Multiplicación de números complejos en
su forma trigonométrica
Sean 
y
, entonces
. En otros
términos:
Demostración:
Por lo tanto, la multiplicación de dos
números complejos en su forma trigonométrica da
como resultado un número complejo cuyo módulo es
igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual
a la suma de los argumentos.
Ejemplo. Sea 
y 
.
Entonces 
Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta
sección, 
,
y tomando 
,
tenemos:
.
Esta expresión es la llamada fórmula de
Moivre.
Forma exponencial de un
número complejo
Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los
números reales, los conceptos de función,
derivadas,
series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de
Euler:
.
Empleemos el desarrollo en
serie de potencias de la función 
, suponiendo que sea válido para
cuando la variable
es un número complejo .
Si tomamos 
, nos queda:
Agrupando tendremos:
Estos son los desarrollos de 
y 
respectivamente. Así que 
.
Sea 
un
número complejo donde 
es su módulo y 
su argumento. Entonces mediante el empleo de la
fórmula de Euler se obtiene:
.
Esta expresión es la llamada forma
exponencial del número complejo. Note que la forma
exponencial es equivalente a la trigonométrica pues
dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del
número complejo . Esta forma es muy cómoda pues podemos
efectuar la multiplicación, división y
potenciación empleando las leyes del
álgebra.
Multiplicación y
división de números complejos en su forma
exponencial
Sean 
y
.
Entonces:
Ejemplo: Sea 
y 
.
Entonces 
y
.
(a) en la forma trigonométrica el
número complejo
.(b) en la forma binómica el número
complejo
.- Represente:
(a) en la forma trigonométrica el
número complejo
.(b) en la forma binómica el número
complejo
. - Represente:
,
, …,
entonces
(a)
(b)
(c)
.Extienda el resultado a las potencias enteras
negativas. - Multiplicando el mismo número complejo n
veces, efectúe y emplee identidades
trigonométricas para comprobar que si(a)
,
(b)
- Calcule:
(a)
,
(b)
. - Dados
y
, emplee la
forma exponencial para hallar:(a)
,
(b). - Dados
y
, emplee la
forma exponencial para hallar: - Halle
. - Halle
.
.
.
.
,
.
,
,
.
y
, emplee la
, emplee la
.
Raíces
n-ésimas de un número
complejo
En la forma binómica de un número complejo
la representación es única, mientras que en la
forma trigonométrica o exponencial un mismo número
complejo tiene infinitas representaciones diferentes, 
con 
. Para cada valor de
habrá una
representación diferente del número complejo
.
Definamos la radicación como la operación
inversa de la potenciación, esto es:
.
Supóngase que 
es un número complejo de módulo
y argumento
y que 
un número complejo
de módulo 
y argumento 
.
Entonces 
equivale
a:
.
De est
a
manera:
(1) 
(2) 
Por lo tanto, 
donde 
y
, con 
.
Estas son las fórmulas para hallar las 
raíces
n-ésimas de cualquier número complejo.
Compruebe que para todo otro valor de , con 
, se obtienen las mismas raíces que para 
.
Ejemplo. Hallar 
.
. Por lo
tanto 
y 
, con 
. Entonces:
Para 
,
tenemos 
.
Para 
,
tenemos 
.
El logaritmo de un
número complejo
Al igual que para los reales, vamos a definir el
logaritmo de un número complejo como la operación
inversa de la exponencial, esto es:
Respuestas
1) a) 
,
b) 
, c) 
, d) 
, e) 
6) 
9) a) 
11) 
13) a) 
,
círculo de radio 5 centrado en 
y su interior.
15) 
17) 
1 a) 
5) a) 2, b)
7) 
3) 
5) 
8) a) 
,
c) 
Autor:
Francisco Augusto Montas Ramírez
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