La matemática de la Mecánica Cuántica (página 2)

El Principio de Incertidumbre no sólo se cumple
para la coordenada y el impulso. Sino también para otras
magnitudes como es el caso de la energía E y el tiempo t.
Así se cumple que:

(ΔE)
(Δt) » h.

También es un par complementario de incertidumbre
el constituído por la amplitud de campo
electromagnético u y su velocidad de
variación ∂u/∂t, por lo que se
cumple:

(Δ∂u/∂t)(Δu) » h

La
Ecuación de Schrodinger

Así
como en la mecánica clásica la ecuación
fundamental es la conocida F=ma, en Mecánica
Cuántica lo es la Ecuación de Schrodinger la
cual para el caso más elemental de un solo grado de
libertad e
independencia
del tiempo tiene la forma:

d2ψ/
dx2 +
(8π2m/
h2 ) (E-V) ψ = 0
(Ecuación Diferencial Estacionaria de
Schrodinger)

donde ψ recibe el nombre de
funciσn de onda la cual es la incógnita
de la ecuación. La función de
onda expresa el comportamiento
del sistema que se
estudia. La ecuación diferencial de Schroodinger se
asemeja por su forma a la ecuación de onda en mecánica clásica y es así que
a la Mecánica Cuántica se le llama también
Mecánica Ondulatoria. En la ecuación de Schrodinger
sólo hay que sustituir V por la energía potencial
del sistema que se estudia y la E, energía total,
permanece constante. La probabilidad
de encontrar la posición de una partícula en este
caso de un solo grado de libertad, vendrá dada
según Bohm, por el cuadrado de ψ que
sσlo dependerá de x. Para el caso mas
general de tres grados de libertad dependerá de x,y,z..
Cuando el sistema estudiado depende también del tiempo, se
requerirá de la ecuación de Schrodinger adaptada a
esta situación y entonces la función de onda ψ
dependerá de x, y, z, t y por ende también su
cuadrado para determinar la probabilidad.

Veamos como se aplica la antes vista Ecuación
Estacionaria de Schrodinger para el caso del movimiento
libre (V=0) de una partícula entre dos paredes
rígidas situada una en x=0 y la otra en x=L.

Haciendo V=0 en la ecuación se
tendrá:

d2ψ/dx
2 +(
8π2m/h2 )E =
0

cuya solución puede comprobarse por integración o sustitución en la
ecuación, que es:

ψ = Asen √
(8π2m/h2E)
x

y como nada mas llega la partícula hasta x=L,
para este valor ψ=0
se tendrá que cumplir que el seno debe ser 0 y por tanto
.

√
(8π2m/h2
E)L = nπ

y por tanto:

En =
n2h2/8mL2 n= 1, 2,
3,……….

Para cada valor del número entero n al cual se le
llama número cuántico principal, la energía
toma un valor al que se le llama valor del estado
estacionario n.

En el caso de los átomos mientras un
electrón se mueve en un nivel estacionario de
energía ni emite ni absorbe energía según el
Postulado de Bohr. Si el electrón pasa de un nivel de
energía E2 a otro de menor energía
E1 se emite un fotón cuya frecuencia se calcula
mediante la ya vista E=hf donde E es la diferencia entre las de
los dos niveles involucrados. Caso de que el paso del
electrón sea de un nivel de menor energía a uno de
mayor, se absorbe un fotón.

Antes de continuar este breve recorrido por lo mas
elemental de la Mecánica Cuántica, nos referiremos
a la llamada onda de De Broglie que se asocia a toda
partícula cuya longitud de onda viene dada
por λ= h/mv donde m es la masa de la
partνcula y v su velocidad. Dada la
pequeñez de h es evidente que sólo la onda de De
Broglie se manifestará en partículas del micromudo,
el mundo de la Mecánica Cuántica.

La teoría
de la longitud de onda de Louis de Broglie, es de pensar que
motivó a Schrodinger para su desarrollo del
tramiento ondulatorio de la Mecánica Cuántica
centrada en su ecuación. Volvamos a ésta para
mostrar como aparece implícita la expresión de
l =h/mv al aplicar la la
ecuación ´Hy
=Ey a la partícula
libre:

h 2/8p
2m d2y
/dx2 = Ey y en esta
ocasión hallaremos la solución por el método de
operadores:

D2 + 8p
2mE/h2 = 0 con lo cual D= ± i(8p
2mE/h2)1/2 y por
tanto:

y = A exp
–i(8p
2mE/h2)1/2 x lo cual podemos
escribir poniendo k en lugar del coeficiente de x,y = A exp (–ikx).

Y como k es el úmero de onda igualamos el
coeficiente de x a 2p /l tmbién hacemos E=p2/2m y
despejando nos encontramos con la longitud de onda de Louis de
Broglie l =h/mv ya que
p=mv.

Pondremos un ejemplo más de aplicación de
la Ecuación de Schrodinger, esta vez al oscilador
armónico. En la ecuación de Scrhodinger se
sustituye la energía potencial de nuestro caso V=
mw 2×2/2. La x
tomará el valor de la amplitud en el momento en que E=V.
La ecuación tomará la forma:

d2y
/dx2 + 8p
2mEy /h2 –
(2p mv
/h)2x2y = 0..
Así la función de onda será:

y = N exp (- x2/2
a2) donde a es la amplitud y N un coeficiente de
normalización.

La longitud de onda de De Broglie se vincula al momento
angular del electrón en su órbita del siguiente
modo. Según la teoría de De Broglie, la longitud de
la órbita debe ser igual a un número entero de
longitudes de onda l =h/mv, así
que llamando r al radio de la
órbita se cumplirá que 2p r=nh/mv donde n número entero. Por tanto
se cumplirá que mvr=nh/2p . En
el primer miembro tenemos la expresión del momento angular
y la expresión completa muestra la
cuantificación de dicha magnitud. Así como a los
niveles de energía se le asigna como vimos, el
número principal n, al momento angular se le hace
corresponder un segundo número cuántico l. Como un
electrón es una carga eléctrica que se mueve
alrededor del núcleo según el modelo
atómico de Rutherford –Bohr, constituye una corriente
eléctrica y por ende crea un campo
magnético por lo cual un tercer número
cuántico m caracteriza al electrón. Por
último, el electrón se comporta como si tuviera un
movimiento de rotación similar al de una peonza, aportando
un momento magnético adicional de espín al cual le
corresponde un cuarto número cuántico
s.Según el Principio de Exclusión de Pauli, en un
mismo nivel de energía no puede haber mas de un
electrón con el mismo juego de
números cuánticos n, l, m, s.

Operadores

La
Ecuación de Schrodinger la podemos escribir
así.

( -h2
/8π2m
d2/dx2 + V ) ψ =
Eψ

Notamos en la expresión anterior que el
paréntesis y su contenido indican una operación
sobre ψ que da como resultado la multiplicación de esa
función por el valor E. A expresiones como ese
paréntesis que indican que se efectúe una
operación sobre una función, se les llama
operador, concepto
éste que cumple un papel muy importante en Mecánica
Cuántica y que en general designaremos por Ä y toda
expresión como esa última de la Ecuación de
Schrodinger, utilizando operadores, la escribiremos así en
general:

Ä ψ = a ψ

Una ecuación de ese tipo se denomina de
funciones propias, en este caso las soluciones
para ψ, y de valores
propios, los que vaya tomando para cada
solución, lo representado por a

Un ejemplo de ecuación de funciones y
valores
propios es la de Schrodinger. En el ejemplo que vimos la
aplicación al movimiento de las partículas libres,
los valores
propios fueron los de la energía en cada uno de los
niveles.

En el caso visto de la Ecuación de Schrodinger,
al operador correspondiente al paréntesis se le llama
hamiltoniano el cual se representa por ¨¨H.
Así, dicha ecuación puede escribirse:

¨H ψ = E ψ

Otro operador muy utilizado en Mecánica
Cuántica es el operador momento lineal
¨P= -ih/2π d/dx. En una ecuaciσn
de funciones y valores propios con este operador:

-ih/2π d/dx ψ = pψ
(p=mv)

Se tiene que la solución es

ψ = C exp i
2πp/h x

la cual comparada con la clásica onda
plana:

u = c exp ikx (k=2π/λ)

nos lleva a la expresión de la longitud de la
onda de De Broglie de la cual ya habíamos
hablado:

λ = h/p

Para los casos en que se trate de tres variables, en
los operadores habrá que utilizar el símbolo de
derivada parcial, esto es, en vez de d, aparecerá ∂
para cada variable.

Los operadores para las variables son ellas mismas y
para la energía potencial potencial también
será ella misma. Esto es V.

Utilizando operadores se puede pasar de las conocidas
expresiones de la Mecánica Clásica a las de la
Mecánica Cuántica, sustituyendo la magnitud
clásica por operadores cuánticos como los antes
descritos, pero esto no quiere dedir que el formalismo todo de la
Mecánica Cúantica se puede obtener sencillamente
con realizar las citadas sustituciones de magnitudes por
operadores. Sin embargo en muchos casos podrá hacerse,
como obtener (que no deducir) la Ecuación de Schrodindiger
a partir del empleo de la
expresión clásica de la conservación de la
energía:

p2 /2m + V = E

Donde en el primer término se reconoce a la
energía cinética T. a la cual se suma la potencial
V y se iguala a la energía total E.

Sustituyendo p por el operador cuántico
correspondiente antes visto, se obtendrá la
Ecuación de Schrodinger.

Conmutación de
Operadores

Veamos el caso de
conmutación del operador momentum con la coordenada. Si el
operador es respecto a una coordenada distinta a aquella con la
cual se investiga la conmutación, conduce a igualdad:. En
la explicación en aras de la facilidad, designaremos al
operador momentum respecto a x con el símbolo p,
así tendremos para lo que acabamos de exponer que se
cumplirá que: py – yp = 0.

Analicemos el caso en el cual el momentum es respecto a
la misma coordenada con la cual se quiere analizar la
conmutación o no.

Veamos. (px – xp)y =
-h/2p ¶ /¶
x(xy ) + ih/2p x¶ y /¶ x =
-ih/2p y ,
o sea que no comutan. De modo que se dará la
conmutación del tipo py pero no la del tipo px. De
aquí se infiere que no puede determinarse al mismo tiempo
la posición y el momentum de una partícula a lo
largo de la misma coordenada, lo cual está contenido en el
Principio de Indeterminación o de Incertidumbre de
Heisenberg que ya vimos anteriormente. Este principio como ya
hemos dicho, se cumple también para el par energía
(E)-tiempo que toma precisar esa energía (t): D E D t» h.

El Principio de Indeterminavión de Heisenberg,
como todos los conceptos y relaciones de la Mecánica
Cuántica sólo se hacen evidentes a escala
submicrocópica. Específicamente en la variante del
Principio para el caso que acabamos de citar en el par
energía-tiempo, éste se manifiesta con
características notables para distancias inferiores a la
longitud de Planck, la cual es de 1.616 x 10-33 cm. En
el ámbito de estas dimensiones, la peculiar
variación de la indeterminación del tiempo que toma
la precisión de la energía, da lugar a que la
fluctuación de ésta provoquela creación de
pares partícula-antipartícula,en virtud de la
ecuación relativística: E=mc2. Esta
frenética producción de
partículas-antipertículas, debida a las
fluctuaciones cuánticas, produce deformaciones en el
tejido del espacio-tiempo, a muy pequeña escala
constituyendo lo que pudiéramos llamar rugosidades del
espacio- tiempo. Esas deformaciones que contrastan por su
pequeñez a la vez que gran curvatura con las suaves
ondulacioes que prevee la Teoría General de la
Relatividad, son causa de la hasta ahora insalvable
incompatibilidasd de la Mecánica Cuántica y la
Teoría General de la Relatividad. La presencia de las
fluctuaciones cuánticas y consecuente aparición de
materia en
forma de pares partícula-antipartícula, se prodecen
a nivel sub-planckiano hasta en lo que se considera como
vacío absoluto. Tal hecho hecho motiva reflexiones y
especuaciones de índole inclusive
filosóficas.

Analicemos la justificación de la posibilidad de
aparición de materia aún en lo que se denomina
vacío absoluto. Al cumplirse la expresión
D ED
t» h y al variar continuamente
el tiempo, habrá variación de energía, y
como E= mc2 habrá creación de materia en
forma de pares partícula-antipartícula.

De modo que el vacío absoluto no es tal
vacío pero así aparece por la compensación
continua entre creación de partículas y
aniquilación por contacto materia-antimateria..

A partir de lo expuesto, habría que valorar la
aseveración de la Teoría del Big Bang de
que todo surgió de la nada.

Actualmente se trabaja por llevar adelante la
Teoría de las Cuerdas y aunque no se ha podido llevar a la
comprobación experimental, los teóricos de la misma
plantean que como las cuerdas (sustitutas de las
partículas elementales) no pueden tener dimensiones
subplanckeanas no detectan las rugosidades del espacio-tiempo
antes tratadas cuyas dimensiones son mas pequeñas que la
longitud de Planck. Razonando de esa manera y apelando a un
radical positivismo,
los teóricos de las cuerdas piensan salvar la
incmpatibilidad entre Mecánica Cuántica y
Teorría General de la Relatividad. Así esperan
fundamentar el buscado gravitón eludiando los molestos
infinitos que la teoría de las partículas
encuentra.

Mediante razonamientos semejantaes a los vistos los
teóricos de las cuerdas proponen la tesis de la no
reducción a un punto geométrico del universo si se
produce el supuesto Big Crunch que algunos auguran al universo
como final del proceso
iniciado en el Big Bang. Alegan que algunas de las
extradimensiones que necesitan para sus fundamentaciones, se
encuentran enrrolladas y sus energías son de dos tipos: de
vibraciión y de enrrollado, la primera depende del radio y
la segunda del inverso de éste. Dichas energías
sumadas dan la total. Llegando el Big Crunch, tendiendo a
dimensiones subplanckianas, la energía que depende
directamente del radio decrece pero el colapso no se produce
porqur la energía que depende del inverso del radio, en
compensación aumenta. En vez de un colapso se produce un
rebote. En definitiva la Teoría de las Cuerdas no se
enfrenta a singularidades que pongan en litigio la Teoría
General de la Relatividad con la Mecánica Cuántica.

Valores
medios

Como ya hemos dicho, la
Mecánica Cuántica es una ciencia
probabilística por lo cual muchos conceptos de la
Teoría de las Probabilidades tendrán que estar
presentes en su tratamiento.

Uno de esos conceptos es el de densidad de
probabilidad, la cual representaremos por φ se
calcularα mediante la
fórmula:

φ = dW/dx

donde W probabilidad de ocurrencia en el intervalo
dx.

Se tendrá por tanto, que: que existe
conmutación del tipo

dW = φ dx.

El valor medio de una variable x viene dado
por:

<x> = ∫ xφdx

En Mecánica Cuántica para el concepto
análogo de φ se utiliza
(ψ)2, pero para ψ
compleja que es el caso comϊn, se representa ψ*ψ,
que en la integral anterior se utiliza intercalando la variable
entre la conjugada de la funciσn de onda (la
que aparece con asterisco) y la función de onda
misma:

<x> = ò
y *xy
dx

Cuando se trate de otra magnitud que no sea la
coordenada, se colocará en vez de ésta la magnitud
en cuestión. Si los límites
son menos y más infinito, la integral será igual a
uno.

Conclusiones

Hemos daado una
visión panorámica de manera más bien
elemental de los procedimientos
matemáticos que se siguen para el estudio
de la Mecánica Cuántica manteniendo constante
relación con la base conceptual de dicha disciplina.

Bibliografía

Alonso, M.
Física
Atómica.Universidad de la
Habana.

Byron, F. W. Mathematics of Classical and Quantum
Physics.

Addison and Wesley Publishing Company,
Mass.1970{

Greene, B.. The Elegant Universe. Vintage Books. New
York.

Landau, L. y E. Lifshitz. Mecánica
Cuántica. Reverté. Barcelona.

Page, L. y M. Alonso. Física Teórica.
Cultural S.A. La Habana.

Treiman, S. The Odd Quantum. Princeton University Press.
New Jersey.1999.

Autor:

Joaquín González
Álvarez.

Graduado de la Carrera Profesoral de Física y de
Optometrista por la Universidad de la Habana.

Profesor Universitario de Física
(Jubilado).

Autor de múltiples libros y
artículos publicados en Cuba, España,
México,
Nicaragua y Venezuela, de
texto

y divulgación.

Miembro de Mérito de la Sociedad
Cubana de Física.