Una propuesta de cómo proceder (incluye ejemplos resueltos relacionados con el cálculo de Integrales Indefinidas) (página 2)

Enviado por Alejandro Mart�nez Castellini

Partes: 1, 2

Resumen de algunas
reglas de integración

II)
()

III) Fórmula de Integración por partes!!!

IV)
Siendo F primitiva de f en el correspondiente
intervalo.

Ejemplo:

Resolver la integral

No reconozco esta integral como una integral del
grupo de
integrales
inmediatas mas el integrando es la suma de tres funciones. Pienso
entonces en aplicar la regla I) lo cual permite calcular por
separado las 3 respectivas integrales.

Calculando pues hago uso a su vez de I) para reducirla a
inmediatas.

¿Qué transformaciones algebraicas y
qué reglas se usaron?

Calculando

La integral no es inmediata ni se me ocurre
transformación algebraica ni sustitución alguna al
menos en principio. El integrando es trascendente y tiene forma
de producto por
lo que quizá nos sea útil la fórmula
III).

La elección que supongo conveniente
es:

Halando

El integrando no está en mi tabla de
inmediatas pero es una fracción racional impropia por lo
que se ocurre dividir y se obtiene a partir de reconocer el
cociente y el resto:

¿Cuál será el resultado de la
integral ?

Nota: Se pudo haber calculado la integral teniendo en
cuenta que el integrando es una fracción racional propia
la cual no es simple por lo que se descompone en fracciones
simples.

Se tiene entonces que .

Termine usted el ejercicio por esta vía y
compare los resultados.

En modo alguno este material pretende dar indicaciones
de carácter algorítmico para resolver
una integral indefinida (ya que es imposible) sino ilustrar
cómo mediante razonamientos heurísticos podemos
descubrir la clave del éxito.

Solo con estudio y práctica sistemáticos
podrás llegar a tener éxito por lo que te
proponemos una selección
de ejercicios.

Primero te recordaremos una alternativa de integrar las
fracciones simples.

En los casos puede procederse a realizar la sustitución
.

Ejercicios.

Resolvamos las integrales indefinidas
siguientes.

En este caso podemos aplicar la propiedad
de homogeneidad de la integral indefinida y nos queda
entonces una integral inmediata.
Integración de una fracción simple
tipo I
En este caso tenemos luego de una simple
transformación del integrando una integral
inmediata.
Integración de una fracción simple
tipo II
En este caso el integrando lo identificamos como una
fracción simple de tipo III ya que el discriminante
del polinomio denominador es negativo (calcúlelo!) por
lo que podemos realizar la sustitución u=x+p/2 o mejor
aún podemos proceder como a
continuación
En este ejercicio pudiéramos proceder
análogamente al caso anterior pero no vamos a hacerlo.
Procedamos a realizar la sustitución
u=x+p/2
El integrando es una función racional propia y no simple por
lo que se expresa en forma única como una
combinación lineal de fracciones simples mas para ello
necesitamos factorizar el denominador. Si se factoriza con
coeficientes racionales se obtiene pero no podemos
lograr una factorización con coeficientes racionales
para el factor cúbico. De hecho, en Derive se
obtiene
la cual como ves no es un feliz factorización
por lo que renunciamos a la descomposición en
fracciones simples.
En este caso es más efectivo la
sustitución u=x^4-4x-5 ya que la derivada de este
polinomio es un múltiplo escalar del numerador del
integrando por lo que recurrimos a un completamiento de
diferencial.
Te
invito a factorizar manualmente el denominador!
Intenta resolverlo por al menos por dos
vías!
En este caso es inevitable renunciar a la
división indicada ya que la fracción racional
es impropia!
Si se hace resulta:
Recuerde que toda fracción racional impropia
de expresa como suna de un polinomio y una fracción
racional propia. Para integrar después nos conviene
notar que es una fracción racional propia de denominador
compuesto por lo que se expresa como suma finita de
fracciones simples
con A=3 y B=-9 de donde se obtiene que Nota como una
primitiva de una función racional no tiene por
qué ser una función también
racional!!!
En este caso el integrando es racional propio y no
simple por lo que lo expresamos como combinación
lineal de fracciones simples.
Cuidado!!!
En este caso el denominador es una potencia
natural de un trinomio cuadrático con discriminante
negativo pero la fracción no es simple
descomponiéndose entonces en fracciones
simples!!!
En este caso procedemos a realizar un completamiento
cuadrático motivado por el hecho de que el integrando
se parece al de la integral

11)
En este caso realizamos las siguientes
transformaciones
12)
En este caso te invitamos a aplicar el método de integración por partes
ya que el integrando es
el producto de un polinomio de grado 1 y una
exponencial de argumento de grado también igual a
1!
13)
En este caso pudiéramos escribir el
integrando en cualquiera de las formas siguientes
14)
Este lo dejamos al
lector!!!
15)
Cuidado! El argumento del coseno es lnx. Estamos
en presencia de una función compuesta. No estamos
frente al producto de las funciones coseno y logaritmo
neperiano. Apliquemos nuevamente integración por
partes.
16)
Este lo dejamos al
lector!!!
Este lo dejamos al
lector!!!
Esta integral puede ser calculada mediante
integración por partes pero es más racional
prodeder haciendo uso de identidades trigonométricas y
luego algebraicas!
En este tipo de integral trigonométrica en la
que el integrando es una potencia con exponente natural de
una función seno o coseno si el exponente es impar
desdoblamos en producto de una potencia de exponente par por
otra de exponente impar. De modo que: