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Límite y Continuidad de Funciones




Enviado por Eleazar José García



Partes: 1, 2

    1. Resumen
    2. Límite de una
      función
    3. Definición de
      límite de una función
    4. Infinitésimo
    5. Ejercicios
      propuestos 2
    6. Funciones
      que crecen sin límite
    7. Límites
      indeterminados
    8. Ejercicios
      propuestos 3
    9. Continuidad
      de una función
    10. Bibliografía

    Resumen

    Estudio del límite de funciones en un
    punto; comenzaremos dicho estudio analizando la gráfica de
    una función.
    Trataremos los teoremas referentes a los límites de
    funciones y los límites indeterminados Estudio de la
    continuidad de funciones.

    Límite de
    una función

    La noción de límite de una función
    en un número (un punto de la recta real) se
    presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que
    se nos pide dibujar la gráfica de la
    función

    Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la
    gráfica por los métodos
    conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento
    de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos
    conjuntos de
    valores
    x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la
    derecha. La siguiente tabla muestra los
    correspondientes valores de f (x).

    x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al
    1 por la derecha

    x

    0,9

    0,99

    0,999

    1

    1,001

    1,01

    1,1

    f ( x
    )

    2,71

    2,9701

    2,997001

    ¿?

    3,003001

    3,0301

    3,31

    f (x) se acerca al 3 f (x) se
    acerca al 3

    La figura 1 es la gráfica de la
    función
    y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en
    el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no
    está definida en el número 1. Es de notar que
    ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3).
    La función g se obtiene a partir de la
    función f, factorizando el numerador y
    simplificando. La discusión anterior conduce a la
    siguiente descripción informal: Si f(x)
    se aproxima arbitrariamente a un número L cuando
    x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el
    límite f(x) cuando x tiende a
    a es L, y escribimos

    Definición
    de límite de una función

    Sea f una función definida en todo
    número de algún intervalo abierto I que
    contiene a a excepto posiblemente en el número
    a mismo. El límite de f(x) cuando
    x se aproxima a a es L, lo cual se escribe
    como , si para cualquier
    , no importa que
    tan pequeña sea, existe una tal que

    si entonces

    Esta definición indica que los valores de
    f(x) se aproximan al límite L
    conforme x se aproxima al número a, si el
    valor absoluto
    de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando
    x suficientemente cerca de a pero no igual a
    a.

    En la definición no se menciona nada acerca del
    valor de f(x) cuando x = a;
    recordemos que la función no necesita estar definida en
    a para que exista.

    Ejemplos 1.

    1) Utilicemos la definición para demostrar que

    Como la función está definida en todo
    intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la
    definición para hacer la demostración.

    Se debe demostrar que para cualquier existe una tal que

    si entonces (A)

    si
    entonces

    si
    entonces

    si
    entonces

    Entonces, si tomamos se cumple la proposición (A). Esto
    demuestra que

    Partes: 1, 2

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