1.
Introducción
2. Los cinco postulados de
euclides
3. Geometría no
euclideanas
4. Compatibilidad
5.
Bibliografía
Trabajo presentado como una contribución para
mejorar la calidad de la
Enseñanza de la Matemática, problema fundamental en
la
Educación Venezolana. La Geometría
se toma como ejemplo para muchas ramas de la Matemática,
que este trabajo indique el camino a seguir, en la
preparación de las futuras generaciones de estudiantes que
quieran profundizar en el estudio de la Geometría. Se
contempla un resumen de los postulados de Euclides, proposiciones
equivalentes al V postulado de Euclides, así como los
aspectos mas importantes de los creadores universales antes y
después de Euclides.
Finalmente se presenta la bibliografía para aquellos
estudiantes que quieran enriquecer con mas conocimientos con los
tópicos que han significado el avance de la
matemática cuando se creía que el hombre
nunca superaría culturas de otras
civilizaciones.
2. Los cinco
postulados de euclides
Se puede trazar una línea recta que pase por dos
puntos.
Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a
partir de una recta finita.
Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Si una línea recta que corta a otras dos rectas forma de
un mismo lado con ellas ángulos interiores cuya suma es
menor que dos rectos, las dos últimas rectas prolongada
indefinidamente se cortan del lado en que la suma de los
ángulos es menor que dos rectos.
Cinco Proposiciones Equivalentes Al Quinto Postulado De
Euclides
Autor | Postulado |
Legendre | Existe un Triángulo en el cual la suma de |
Laplace Saccheri | Existen dos Triángulos no congruentes, |
Gauss | Si k un entero cualquiera, existe siempre un |
Bolyai | Por tres puntos no alineados pasa siempre una |
Proclo | Dos rectas paralelas entre si están a |
(Aspectos Generales)
Representante: GAUSS, K. F. (1777 –
1855)
Nació en Alemania,
Gotinga. Formuló una Geometría que llamó NO
EUCLIDEANA. Se dio cuenta de la naturaleza
intrínseca de las dificultades de demostrar el quinto
postulado. La hipótesis que formuló es que "La
suma de los ángulos (de un Triángulo) es menor que
180° conduce a una Geometría muy curiosa". Esta
Geometría es completamente consistente. En su época
consideró en una carta a un amigo
(Taurinus, F. A.) que los teoremas eran paradójicos y,
para los no iniciados, absurdo, aunque con un poco de
reflexión no tienen nada de imposible.
Representante: BOLYAI, W.
Nació en Hungría, compañero de
Gauss en la Universidad de
Gotinga. Realizó una demostración del quinto
postulado de Euclides que luego, Gauss invalidara al darse cuenta
de un error en dicha demostración. Publicó dos
volúmenes de un tratado de Geometría en 1832
– 1833, pero su mayor contribución fue su hijo
JOHANN BOLYAI.
Representante: Johann Bolyai
Hijo del Geómetra Húngaro Wolfgang Bolyai,
estudió las consecuencias que se derivan de negar el
Postulado quinto, suponiendo que no existe ninguna Paralela.
Utilizó la formulación de PLAYFAIR del quinto
Postulado, es decir, que existen mas de una. Usó la
Hipótesis del
Ángulo Agudo de SACCHERI, aunque diferían en sus
planteamientos, ya que, BOLYAI sabía que estaba
desarrollando una nueva Geometría. Este joven
Matemático escribió un Apéndice de 26
páginas al tratado de su padre, donde plasmaba las
investigaciones de 10 años. Destaco que
GAUSS al recibir este Apéndice abandonó sus
investigaciones de escribir sus propios resultados producto de 30
años, cuestión que decepcionó al joven, sin
embargo, en una carta escrita por GAUSS a su amigo G. I. GERLING,
dice: "Considero al joven Geómetra BOLYAI un genio de
primera fila", porque todos estos resultados coinciden con los
que obtuve hace mucho tiempo.
Representante: N. I. Lobachevsky
Nació el 20 de Noviembre
(1de Diciembre según el estilo nuevo) de 1792 en Rusia.
Profesor en la Universidad de Kasán. Publicó sus
resultados en el año de 1829 y junto a BOLYAI y GAUSS se
encuentra la creación de la llamada GEOMETRÍA
HIPERBÓLICA nombre dado por FELIX KLEIN.
Destaco que los representantes anteriores están
presentes en una primera etapa en el desarrollo de
la Geometría no Euclideana, exponiendo los aspectos mas
importantes de cuatro grandes Geómetras de la humanidad
como lo son: Los BOLYAI, GAUSS y LOBACHEVSKI, sin embargo en los
siguientes representantes reflejo lo mas resaltante de las obras
de tres Matemáticos que considero fundamentales en el
desarrollo universal de la Geometría, uno de la
época de BOLYAI, GAUSS y LOBACHEVSKI y los otros dos de la
segunda parte en el desarrollo de la Geometría no
Euclideana.
Representante: G. Saccheri
Nación en Italia, profesor
de Matemáticas en la Universidad de Pavia. Fue
quien dio un resultado mas elaborado en la demostración
del Quinto Postulado y que ha tenido mayor alcance en sus
consecuencias.
Su gran obra, un tratado de Geometría Euclideana
que publicó en 1733, de la cual no hay indicio de que
BOLYAI, GAUSS ni LOBACHEVSKI la hallan leído, ya que,
tenía la formulación de tres Hipótesis dos
de las cuales demostró y una que escudriñó
para encontrar una contradicción que nunca llegó.
Estas Hipótesis las señalas en su
"demostración" del Quinto Postulado.
"Los Ángulos del Vértice son
Ángulos Rectos", la cual es una consecuencia del Quinto
Postulado.
"Son Ángulos Obtusos": que resultó ser
contradictoria.
"Son Ángulos Agudos" nunca llegó a demostrarla a
pesar de haber obtenido mucho resultados
extraños.
Aunque no está muy claro una conclusión
que se encuentra en su obra, ya que, su intento es claro y
lógico por demostrar el Postulado V en encontrar una
contradicción en la hipótesis de la Ángulo
Agudo. Mas que todo su conclusión era en contra de la
propia naturaleza de la Línea Recta, desarrollando,
así lo que llama el autor en el capítulo "un nuevo
mundo". Investigaciones que realizó sin darse cuenta. En
otro orden de idease desempeñaba como Sacerdote Jesuita,
pues en tiempo no se podía decir las cosas a la ligera, si
los resultados eran contradictorios con los que tenían el
poder, esto se
pagaba con la vida.
Representante: Felix Klein (1849 –
1925)
Nació en Alemania, dio el nombre a las
geometrías no euclideanas como se conocen en la
actualidad. La geometría original de Saccheri, Gauss,
Bolyai Y Lobachevski las llamó geometría
hiperbólica; la geometría sin paralelas
(hipótesis del ángulo obtuso) se llamó
geometría elíptica. A la geometría euclidea,
la llamó parabólica.
Representante: A. Cayley (1821 – 1895)
Nació en Inglaterra.
Usó las mismas terminologías conjuntamente con
KLEIN, en el tratamiento Proyectista en la Geometría no
Euclideana motivado por el hecho de que el número de
puntos del Infinito en una Recta es dos, uno o ninguno, es decir;
sea la Hipótesis 1. ), 2. ) o 3. )
respectivamente.
Finalmente llamo la atención, el hecho de que EUCLIDES fue
liberado de haber cometido errores en la creación de la
Geometría que aún hoy la utilizamos como punto de
referencia en la interpretación de manera aproximada de
nuestra realidad, ¡Claro!, siempre y cuando se utilice con
fines pedagógicos en la Enseñanza en la Educación de nuestros
Alumnos.
En realidad hoy día contamos con trabajos
realizados por eminentes Físicos como el alemán
ALBERT
EINSTEIN, con su trabajo de la Relatividad Especial presenta
un tratado sobre los Invariantes del Grupo de
LORENTZ por lo que se le puede catalogar una Geometría al
estilo de FELIX KLEIN. El espacio donde se desarrolla esta
Geometría es el Espacio – Tiempo de Cuatro
Dimensiones, introducido por el científico alemán
HERMANN MINKOWSKI en una conferencia que
se efectuó el 21/07/1908 ante la asamblea de Naturalistas
y Médicos alemanes en Colonia.
El Físico STEPHEN HAWKING del Reino Unido, con su
teoría
consiguió una síntesis
genial de la Relatividad General de EINSTEIN y la Mecánica Cuántica que eran teorías
irreconciliables. Dijo HAWKING: "La Mecánica
Cuántica admite que una partícula escape de un
Agujero Negro, algo que no admitía en cambio la
Teoría General de la Relatividad de EINSTEIN". Como vemos
explicaron "el origen de universo" al
proponer las mismas Geometrías, que nos acercan mucho a
que comprendamos la "propia realidad".
Sin embargo, a pesar de la s variedades y formas es
posible demostrar que existe compatibilidad entre las diferentes
Geometrías, así lo hace saber el Geómetra
Italiano EUGENIO BELTRAMI en un artículo, donde
señala: "que la Geometrías no Euclideanas. como
Geometría sobre ciertas clases de superficies en el
Espacio Euclideo Tridimensional. Por tanto, las propiedades
paradójicas de la nueva Geometría se dan de hecho
en esas superficies y, así una incompatibilidad en la
nueva Geometría representa también una
incompatibilidad en la Geometría Euclideana".
Platón, Kant, Mach Y
Einstein
La Matemática considerada desde dos puntos de
vista. Uno de ellos, que arranca de PLATÓN,
estima que los resultados Matemáticos representan verdades
eternas. El Filósofo alemán KANT usó de la
doctrina de PLATÓN a modo de vara para fustigar a los
materialistas contemporáneos suyos. KANT creyó que
las verdades de la Geometría eran eternas y enteramente
independientes de nuestros órganos sensitivos. Pero KANT
escribía con anterioridad a que los Biólogos
descubriesen que uno de los órganos sensitivos, que forma
parte del conjunto llamado oído
interno, es sensible a la atracción de la gravedad.
Posteriormente a este descubrimiento, cuya significación
reconoció plenamente, y primero que nadie, el
físico alemán MACH, la Geometría del tiempo
de KANT se derrumbó por obra de EINSTEIN. No reside ya en
el firmamento, donde la relegó PLATÓN. Sabemos que
los enunciados Geométricos son solamente verdades
aproximadas cuando se aplican a la realidad de nuestro mundo. La
Teoría de la Relatividad de EINSTEIN ha sido
verdaderamente transformadora para los Matemáticos, y
ahora de moda decir que
los Matemáticas son sólo un pasatiempo. Por
supuesto que esta afirmación, no afecta en nada a los
Matemáticas, y únicamente nos informa de las
limitaciones culturales de algunos
Matemáticos…
Este fragmento fue tomado del Libro de L.
HOGBEN titulado "La Matemática en la Vida del Hombre" y nos
ayuda un poco a comprender la evolución de la Geometría entre el
pasado y el futuro (Páginas 32 y 33), de igual forma
señalo la importancia de la axiomática de la
Geometría que sirve como ejemplo para las hoy consagradas
ramas de la Matemática, como son EL ÁLGEBRA y
ANÁLISIS, debido a los grades progresos
después de EUCLIDES, en manos de BERTRAMI, SACCHERI,
BOLYAI, GAUSS, LOBACHEVSKI, KLEIN, CAYLEY y otros que se me
escapan de la
memoria.
Finalmente para profundizar en el tema remito a los
siguientes libros:
Blumenthal, L. M. "Geometría Axiomática".
Hogben, L. "La Matemática en la Vida del Hombre".
Smogorzhevski, A. S. "Acerca de la Geometría de
Lobachevski".
Smogorzhevski, A. S. "La Regla en Construcciones
Geométricas".
Boltianski, V. G. "Figuras Equivalentes y Equicompuestas".
Kostovski, A. N. "Construcciones Geométricas Mediante un
Compás".
Revistas: "N° 100 Muy Interesante y N° 134 Conocer".
H. Vázquez B. "Cinemática
de la Relatividad Especial, Manual UTEHA
N° 318. México
1895".
Stephen Hawking y su Historia del tiempo. El ser
Humano, su Teoría y su Crítica. Comentarios del
autor. Revista On /
Off. Globus Comunicacion, S. A. 1993. Madrid. España.
Autor:
Julio Alberto Pacheco Gerdel