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Estudio de funciones

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1. Hallar el Dominio
2. Recta Tangente
3. Metodo de substitucion o cambio de variables
4. Metodo de integración por partes
5. Cíclicas
6. Calculo de areas
7. Tabla De Derivadas
8. Regla de la cadena

1. Hallar el Dominio

Dominio

Lineal

DOM= REALES

 

Cuadrática

Polinómica

Exponencial

Raiz impar

Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0

g(x)

Logaritmo:

y= lnf(x) f(x)>0

Raiz PAR:

y= Ö f(x) f(x)³ 0

Calcular los Puntos Criticos

  1. Se halla f´(x)
  2. Se iguala f´(x)=0

    Crecimiento Y Decrecimiento
    (Bolzano)

  3. Se despeja x = PC
  4. Se toma el Dominio de f´(x)
  5. Se corta con los PC
  6. Se le asigna un valor a cada intervalo que se reemplaza en f´(x)

Extremos (máximos y mínimos)

Criterio de f´(x)
Si en Bolzano:
crece/decrece= P Máximo
decrece/crece= P Mínimo

2. Recta Tangente

f´(x)= pendiente de la recta tg
y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b

Integral Inmediata

a)ò [f(x)+g(x)-z(x)] dx =

b)ò f(x)dx + ò g(x) dx - ò z(x) dx

a)Integro (+C)

3. Metodo de substitucion o cambio de variables

Si en tu ejercicio hay: (LEPRD)

a) Un Logaritmo u= al logaritmo

  1. Una Exponencial u= al exponente
  2. Una Potencia u= a la base
  3. Una Raiz u= a lo de adentro
  4. Una División u= al denominador

Ejemplo:

ò 3x2 – 1
Ö x3 - x

  1. U= x3 –x

  2. Identifico U (LEPRD)

    Du= 3x2 –1 dx

  3. Calculo el DU (derivo u) por dx

    du = dx
    3x2 –1

  4. Igualo a 0

    ò 3x2 – 1 du = ò 1 du
    Ö u 3x2 – 1 Ö u

  5. Sustituyo en la fórmula original:

    ò 1 du = (tabla) 2Ö u +C
    Ö u

  6. Integro
  7. Sustituyo

2Ö u +C = 2 Ö x3 –x + C

4. Metodo de integración por partes

ò u.dv = uv - ò v.du

(ejercicio) (solución)

El problema es saber a qué llamar u y dv en el ejercicio (ALPET)

Arcos

Logaritmo

Potencia

Exponencial

Trigonometrica

PARA U

Si tenés 2 potencias, u a la que tenga exponente entero +

Ejemplo:

ò x2 ex dx

  1. Defino U(en este caso, la potencia)
  2. U= x2
    (derivo)
    Du= 2x dx

  3. Y dv

Dv= ex dx
(integro)
V= ex

uv - ò v du

x2 ex -ò ex 2x dx

(por propiedad, k sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx

No esta en tablas, vuelvo a integrar por partes

  1. Identifico u y dv

u= x (derivo) dv= ex dx (integro)

du= dx v= ex

x ex -ò ex dx

(en el resultado anterior)

x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)

x2 ex -2 [ x ex - ex ] + C

El numero de la potencia me indica cuantas veces debo integrar por partes!!

5. Cíclicas

Se forma con una exponencial o logarítmica y una trigonométrica

Ej: ò e2x cos 3x dx

Se resuelve por sustitución

U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx

du= 2 e2x v= sen 3x

sustituyo dos veces

ò e2x cos 3x dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C

Integrales de funciones compuestas con raices

Ejemplo:

ò cos Ö 2x+3 dx

  1. Z= Ö 2x+3 dx

  2. Sustituyo

    Z2 –3= x2

  3. Despejo x
  4. Derivo

Z dz = dx

d) Resultado: ò cos z. z dz
(Partes)

u= Z dv= cosz dz
du= dz v= sen z
uv-ò v du
z sen z -ò senz dz
(Integro
z sen z+ cos z +C
Ö 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C

Integral definida. Regla De Barrow

ò a f (x) dx = ½ F(b x) ½ a = f (b) – F(a) Û b>a
b b
ò a f(x) dx = - ò a f (x) dx
b b
Ejemplo ò 1 ex dx
0 5+7 ex
(Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx
7 ex
ò 1 ex du Þ 1 ò 1 1 dx Þ 1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln 12½ 1
0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0

6. Calculo de areas

Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x)
b b

Si en algún lugar cambian el techo o el piso divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1 + A2

  • Areas trigonométricas, por cada Õ cuento 1 area!!
  • Si no se cual es el techo y cual el piso,

a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites por integración

Tips

Una funcion es derivable si:

a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una única tangente)

En los puntos de inflexión la F´(x):

a) f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.

c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si la funcion (no F´(x)pero si F(x))

Mínimos/Máximos:

a) Absolutos b) Relativos

  • Si el dominio de la derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.
  • Si la derivada es positivaÞ recta tg +Þ pendiente+= se grafica creciente
  • Si me falta el dato "y", resuelvo la f(x).
  • Si se puede simplificar, entonces se podia hacer factor común
  • Ln 0 no existe la exponencial es siempre +
  • Derivada segunda para saber máximos
  • Exponenciales: Nunca vale ceroÞ Es siempre crecienteÞ Nunca se anula. Su asíntota siempre está en x=o
  • Uso el método de sustitución cuando hay composición (una adentro de la otra)
  • Barrow= primitiva a – primitiva b
  • El gráfico de una raiz x es ½ parábola acostada
  • Cuando busco el techo y el piso (cual es mayor), los límites de integración no importan los extremos (los infinitos), hago bolzano solo en los valores que de.
  • Con problemas de velocidad:

Los gráficos de la pendiente negativa no tienen sentido fisicamente

Si piden la aceleracion en el instante en que la velocidad se anula es F´(0) y reemplazo en la F´´(x) (va a ser el valor +, el – no tiene sentido)

El máximo es la segunda derivada

Que la velocidad=0 no significa que no haya aceleracion

7. Tabla De Derivadas

1)Suma de funciones:
y=f(x)+g(x)-z(x)Þ y’= f’(x)+g’(x)-z’(x)

2)Producto y Cociente:
y= f(x).g(x) Þ y’= f’(x) g(x) + g’(x)f(x)
y= f(x)Þ u = u’v –uv’
g(x) v v2

3)Potencias y Raices:

y=xn

y’=nxn+1

 

y=nÖ xm = xm/n

y’=m/n xm/n-1

y=Ö x

y’= 1 2Ö x

y=a xn

y’= -a.n xn+1

4)Exponenciales

y= ex

y’=ex

 

y=eax

y’=a eax

 

y=a x

y’= lnx

y= - ex

y’=-ex

y=ef(x)

y’= f(x) ef(x)

y= af(x)

y’= ln afxf’x

5)Logaritmos

y= ln f(x)

y’= 1 f’(x) f(x)

 

y= lnx

y’=1 x

6)Funciones Básicas

y=x

y’=1

y=k

y’=0

y= k.f(x)

y’=k.f’(x)

7) Trigonométricas

y= senx

y’= cosx

 

y=tgx

y’=sec2x

 

y=cosecx

y’= -cosecx cotgx

y= cosx

y’=-senx

y=secx

y’= secx.cotgx

y= cotgx

y’= -cosec2x

8) Inversas trigonométricas

Derivadas mas usadas:

y=arcsenx

y’=1

y=arcosx

y’=0

y= arctgx

y’=k.f’(x)

F(X)

F´(X)

K

0

X

1

X n

X n-1

1 x

-1 x2

senx

Cosx

cosx

-senx

tgx

1 cos2 x

ex

ex

ax

axlna

lnx

1 x

8. Regla de la cadena

Cuando hay composicion:
Derivo lo de afuera y lo multiplico por la derivada de lo de adentro

[F(g(x))]´= (f(g(x)))´. g´(x)

Integral O Primitiva

Y= f(x)Þ Y’= F’(x)Þ ò F’(x ) dx = f(x)

Ejemplo

Y´=3 x2
Y= x3 Y= x3
Y´=3 x2 DY=3 x2 dx dy= f’(x) dx

Tabla De Integración

ò f(x) dx

RESULTADO

ò DX (solo)

X + C

ò k f(x) dx

K ò f(x) dx

ò xn dx

Xn+1 + C n+1

ò nÖ x m dx = ò x m/n dx

Xm/n+1 + C m/n+1

ò 1 dx = ò x-n dx xn

X-n+1 + C -n+1

ò 1 dx = x

Lnx + C

ò 1 dx = x± a

Ln(x± a) + C

ò 1 dx Ö x

2Ö x +C

ò 1 dx = ò x-m/n dx Ö xm

X-m/n+1 + C -m/n+1

ò ex dx

ex + C

ò - ex dx

-e-x + C

ò eax dx

eax + C a

ò ax dx

ax + C lna

ò senx dx

-cos x + C

ò sen ax dx

-cos ax + C a

ò cos x dx

sen x + C

ò cos ax dx

sen ax + C a

ò cosec2 x dx

tgx + C

ò cosec2 ax dx

tgax + C a

ò cosec2x dx

- cotg x + C

ò cosec2ax dx

cotg ax + C a

+ò 1 dx Ö 1-x2

arcsenx + C

-ò 1 dx Ö 1-x2

arcosx + C

ò 1 dx 1-x2

arctgx + C

ò [f(x)+g(x)-z(x)]

ò f(x) + ò g(x) - ò z(x)

 

 

Autor:


Sonia Matarazzi



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