Monografias.com > Matemáticas
Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Coeficientes indeterminados y variación de parámetros




Enviado por jom81



    Indice
    1.
    Introducción

    2. Variación de
    parámetros

    3. Teoría
    general

    4. Teorema
    5.
    Bibliografía

    1.
    Introducción

    Este es un método
    para resolver ecuaciones
    lineales no homogéneas, éste sólo se aplica
    a una clase restringida de ecuaciones. No
    obstante, la ventaja consiste en que, cuando este método es
    el pertinente, por lo general es más fácil de
    emplear que los otros métodos.

    En primer lugar este método se aplica a
    ecuaciones del tipo:

    donde las son constantes y es una función
    que se puede anular mediante la aplicación de un operador
    con coeficientes constantes. Así que, por ejemplo, no se
    puede emplear este método para resolver una
    ecuación de la forma (1), en el cual Como preparación
    para el método de coeficientes indeterminados,
    reescribimos (1) en notación operacional:

    Ahora estamos listos para establecer el procedimiento
    general. Por evidencia, hemos dividido este procedimiento en
    tres etapas.

    Etapa I Para resolver la ecuación (2), comenzamos
    por encontrar un operador con coeficientes constantes que anule a
    (Si no existe
    dicho operador el método no se aplica). Se aplica el
    operador en ambos miembros de (2), obteniendo una ecuación
    lineal homogénea de orden más alto:

    en la cual, el primer factor del operador es el anulador
    de

    Etapa II Enseguida, se resuelve (3) mediante el
    método de ecuaciones con coeficientes constantes. La
    ecuación auxiliar ya se encuentra parcialmente
    factorizada, lo cual nos ahorra algo de trabajo:

    Obtenemos la solución completa de (3):

    Comparando (4) con la solución de la
    ecuación homogénea relacionada asociada con (2),
    decidiremos, cuáles de los coeficientes son arbitrarios
    para la solución de (2). Los coeficientes restantes
    serán los coeficientes indeterminados.

    Etapa III Los términos de (4) que contienen los
    coeficientes indeterminados constituyen una solución de
    (2). Sustituimos la suma de estos términos en (2) para
    determinar los valores de
    los coeficientes indeterminados. Por último, se introducen
    estos valores en
    (4).

    Ejemplo. La ecuación se resuelve de la siguiente
    forma:

    En notación operacional, (5) se transforma
    en:

    Se procede a anular el miembro derecho:

    Completando la etapa I del proceso. A
    continuación, se resuelve (6) formando la ecuación
    auxiliar:

    Y factorizando tenemos:

    De las raíces y
    obtenemos la
    solución de (6)

    en las que se reconocen los dos últimos
    términos como la solución de la ecuación
    homogénea relacionada asociada con (5). Por tanto C y E
    son constantes arbitrarias para la solución de (5), lo
    cual deja A y B como los coeficientes indeterminados. Ahora, la
    etapa II está completa.

    En la etapa III se establece y diferenciamos dos veces:

    Luego sustituimos estas funciones en
    (5):

    Ordenando términos, este resultado se simplifica
    en:

    lo cual conduce a las dos ecuaciones:

    Estas ecuaciones se satisfacen con los
    valores:

    Por último, se introducen estos valores en (7)
    para formar la solución completa de (5):

    2. Variación de
    parámetros

    Si se fuera a resolver la ecuación lineal no
    homogénea:

    empleando la reducción de orden, se
    tendría que elegir entre dos soluciones:

    o

    que corresponden a dos soluciones de
    la ecuación homogénea relacionada, la cual es una
    ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones
    anteriores debería conducir a una ecuación lineal
    de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin
    embargo, existe una forma más sencilla de resolver la
    ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones
    (2) de la manera siguiente:

    Aquí se reemplaza y por dos funciones
    desconocidas u y v.

    Para la ecuación , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se
    obtiene:

    Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar
    cuatro veces la regla del producto. No
    obstane, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos
    reemplazado una función desconocida por dos: puede haber
    algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que
    satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que
    buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de
    los términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha
    cancelación simplificará el proceso. El
    enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es
    el que consiste en buscar u y v, tales que los términos
    y que aparecen en (4) se
    cancelen unos con otros:

    Entonces podemos calcular directamente de

    El resultado, según la regla del producto,
    es:

    Cuando se sustituye este resultado y(3) en la
    ecuación dada (1), se llega a:

    En el cual se cancela un número de
    términos, y sólo nos queda:

    Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben
    satisfacer (6). Además, se ha supuesto que estas derivadas
    satisfacen la ecuación (5). Así tenemos los dos
    requisitos:

    que son precisamente dos ecuaciones lineales
    (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas
    y . Resolver el sistema de
    ecuaciones para y
    en
    términos de x es relativamente fácil; luego, u y v
    se obtienen por integración.

    Si se multiplica la ecuación (5) por x y se suma
    el resultado a (6), tenemos:

    y entonces:

    Ahora se puede sustituir el resultado anterior en (5) o
    bien en (6) para producir . El resultado es

    y entonces:

    Omitimos las constantes de integración puesto que sólo se
    necesita una solución. Por último, volviendo a (3),
    tenemos:

    Y tenemos así una solución de la
    ecuación (1). La solución completa de la
    ecuación es:

    En cuya expresión se ha sumado la solución
    de la ecuación homogénea relacionada como es usual.
    Sin embargo, es posible alguna simplificación. Se pueden
    combinar dos términos y escribir:

    donde se ha reemplazado por la constante arbitraria A más
    simple.

    3. Teoría
    general

    En general, para resolver una ecuación lineal de
    segundo orden:

    sustituimos:

    Donde y
    son dos
    soluciones linealmente independientes de la ecuación
    homogénea resultante asociada con la ecuación (7).
    (Por lo tanto, éste es un método para resolver una
    ecuación no homogénea cuando se conoce la
    solución completa de la ecuación homogénea
    resultante). Al llevar a cabo la variación de
    parámetros, se debe recordar la siguiente pareja de
    ecuaciones:

    Éstas son las condiciones que deben satisfacer
    y de tal manera que u y v
    satisfagan la ecuación dada (7) cuando se sustituyen,
    según se plantea en (8). (Mientras que las ecuaciones (9)
    y (10) son condiciones suficientes, pudieran no ser condiciones
    necesarias).

    4. Teorema

    Una solución de la ecuación:

    está dada por:

    donde y
    son cualesquiera
    dos soluciones linealmente independientes de la ecuación
    homogénea relacionada, asociada con (11), si las derivadas
    de u y v satisfacen las condiciones:

    Así que, para resolver una ecuación de la
    forma (11), se deben seguir los pasos siguientes:

    1. Encontrar y .
    2. Resolver (13) y (14), obteniendo así y en términos de
      x.
    3. Integrar y para
      obtener u y v (no se necesitan constantes de
      integración).
    4. Introducir u y v en (12) para producir y.

    5.
    Bibliografía

    Marcus, Daniel A.
    Ecuaciones Diferenciales
    Tercera impresión.
    Compañía Editorial Continental, S.A. de
    C.V.

     

     

    Autor:

    Universidad
    Nacional Autónoma de México
    Escuela Nacional
    de Estudios Profesionales
    Campus Aragón
    México
    D.F. a 1 de noviembre del 2000

    Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior.

    Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposición de toda su comunidad. Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información.

    Categorias
    Newsletter