Análisis vectorial y tensorial (página 2)

Enviado por Nasjo Baldwin

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DERIVADA DE FUNCIONES
VECTORIALES.

La derivada de f(t) se define como:

Reglas de Derivación.

Sean funciones vectoriales y
una función
escalar

Escalar

Vector

7) Regla de la cadena

Ejemplo:

; donde a y b son
vectores
constantes, satisfacen la ecuación

Resolviendo:

Reemplazando:

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA.

La derivada de una función vectorial en un punto es, el
vector tangente a la curva en dicho punto.

Si t es el tiempo
f(t) representa una trayectoria f`(t) será
la velocidad
instantánea

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

Las derivadas de
orden superior de una función vectorial, se define en
forma similar a la de un valor escalar
de una sola variable.

Ejemplo:

Hallar: luego calcular

Calculamos:

Por otro lado;

LONGITUD DE CURVA.

Si Una curva en el espacio esta representada por, f(t)
para un intervalo entonces la longitud de la curva
L esta dad por la siguiente expresión:

Multiplicado por

ds es diferencial de arco

Ecuaciones parametricas

La longitud de arco S(t) es una función de la
variable escalar t desde un punto fijo hasta t

Ejemplo:

Encontrar en el intervalo

Vector tangente unitario

CURVATURA.

El vector unitario normal se define como:

Donde K es la curvatura

Radio de curvatura

TORSION.

La torsión
de una curva C se define como:

Y el radio de
torsión

COMPONENTE NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACION.

La rapidez v(t) de una partícula en el instante
t es la magnitud del vector velocidad , si S es
el arco que mide la distancia de la partícula desde su
punto de partida sobre un camino C desde su partida.

TRIEDRO MOVIL.

Formulas de Frenet

CAPITULO
II: FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL

DEFINICION Y NOTACION.

Una función vectorial es una regla que a cada vector
de Rn le asigna como
imagen otro
vector de Rm.

Ejemplo:

Hallar el dominio para la
siguiente función vectorial

- No
debe existir la división por cero

- No se
admite raíces complejas

- No se
admiten logaritmos complejos

CONJUNTO DE NIVEL.

Sea una de Rn en
R se denomina conjunto de nivel c
es constante.

Cuando n = 2 hablamos de una curva de nivel

Cuando n = 3 hablamos de una superficie de nivel

LIacute;MITES Y CONTINUIDAD.

Si se dice que D es un conjunto
abierto si para todo esfera contenida en D

Se dice que un conjunto n si su complemento

Ejemplo:

Dado un punto D se llama punto frontera al
punto para el cual cualquier esfera contiene puntos del
conjunto y puntos que no están en el conjunto.

LIMITE

Condiciones para que exista limite

Propiedades.

Se dice que una función vectorial es continua si

DERIVADAS PARCIALES.

La derivada parcial fu de con
respecto a u se define mediante la siguiente
notación

Propiedades.

y son funciones vectoriales,
es función escalar

Ejemplo:

Hallar

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE.

Sea f una función escalar, una
función definida en el conjunto abierto de
un punto de D se define la
derivada de la función f en , en la dirección del vector unitario
denotado por:

Se puede interpretar la derivada de una función de 2
variables

En un punto x0 y y0 que
pertenece a D ahora (x0,x0)
= (0,0), sea

El vector unitario en la dirección del cual calculamos
la derivada de la función en el origen,
consideremos el plano , este es un plano
perpendicular al plano, z = 0 que contiene al vector
unitario .

La intersección de este plano con la superficie z =
f(x,y) nos determina una curva en el espacio.

La derivada direccional de f(0,0) en la
dirección del vector unitario es la pendiente de la
recta tangente a esa curva en el punto (0,0)

Ejemplo:

Calcular la derivada direccional para:

Gradiente

El gradiente de una función escalar es un vector

“” Operador Nabla

Ejemplo.

Hallar el gradiente de en el punto

TEOREMAS Y PROPIEDADES.

Sea f y g dos funciones esclares y c una
constante

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL GRADIENTE.

Sea f : una interpretación del gradiente cuando la
f(x) = c, f(x,y,z) = c, c es una constante,
entonces el gradiente es normal a la superficie.

Diferencia total de f

Ahora una C en el espacio esta representada por el

Teorema

Si f tiene se cumple que la derivada
direccional va a estar dada por:

Teorema

El valor máximo de la derivada direccional es igual al
modulo del gradiente

Teorema

DIVERGENCIA.

Sea

Donde f1, f2, f3 son
funciones escalares

La divergencia será el producto:

PROPIEDADES DE LA DIVERGENCIA.

Sea y dos funciones vectoriales y
una función escalar

Ejemplo:

Si Calcular la divergencia

Ejemplo:

Hallar la divergencia de

ROTACIONAL.

Si una función vectorial si
es una función escalar con
segundas derivadas parciales.

Donde:

rotacional de

PROPIEDADES.

Demostrar que:

OPERADOR DE LAPLACE.

La divergencia del gradiente se expresa como:

Laplaciano

Se dice que una función escalar es
armónica si es continua tiene segundas derivadas parciales
continuas y satisface la ecuación de Laplace.

es armónico

Demostrar que es armónico:

Operaciones con el y algunas identidades vectoriales.

CAPITULO III: INTEGRACION
VECTORIAL

INTRODUCCION.

Una curva C en el intervalo de se
representa mediante la función vectorial:

Vector posición

Vector desplazamiento

INTEGRALES DE LINEA.

–

función escalar

–
función vectorial

También tenemos:

Ejemplo:

La curva esta dada por. desde t =
0 hasta t = 1

INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA.

La integral de línea es independiente de la
trayectoria de integración desde el punto P hasta
el punto Q si el campo vectorial satisface la
ecuación donde es una función
escalar continua o función potencial.

es un vector unitario tangente en
cualquier dirección.

También se cumplirá que:

Funciones escalares

INTEGRALES DE LINEA RESPECTO AL ARCO.

donde función escalar; ds
diferencial de arco

Ejemplo:

Hallar donde en la curva C:

Reemplazando

Por lo tanto

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
CURVILINEAS.

Sea donde es la densidad lineal
de un punto variable (x,y,z) de la curva
C

Entonces la masa de la curva C es igual a:

Las coordenadas del centro de gravedad están dadas por:
de esta curva y se expresan de la siguiente
manera:

TRABAJO.

El trabajo
realizado para mover una
partícula a lo largo de una curva C desde el punto
1 hasta el punto 2.

Se define mediante la integral de línea:

Ejemplo:

Demostrar para una masa constante m el trabajo
para ir del punto 1 al punto 2 esta dado por:

SUPERFICIE PARAMETRIZADA.

Una superficie puede representarse también mediante
ecuaciones
parametricas

También una superficie se representa por:

Si v = Cte se vuelve una expresión
paramétrica de un solo parámetro que describe una
curva en el espacio a lo largo de la cual solamente varia
u estas curvas se describen con v = Cte.

De modo similar v varía cuando u =
Cte

El lugar geométrico u = Cte y v = Cte, se
denomina superficie:

Ejemplo:

Parametrizada es:

Es una esfera completa:

Si la superficie esta definida en el punto si el
producto vectorial:

El plano tangente de la superficie en es el plano cuya
normal es igual a:

Entonces el plano tangente esta dado por la normal

AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRIZADA.

El elemento diferencial de superficie de un vector esta dado
por

(*) en (1)

El área de una superficie paramentrica será
integrando la ecuación (2)

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES ESCALARES.

Se consideran las siguientes integrales

a) b)

donde es una función escalar

METODO DE INTEGRACION DE COORDENADAS CILINDRICAS EN LAS
SUPERFICIES.

Cuando se trabaja con cilindros, se puede facilitar el
cálculo
de las integrales de superficie mediante la introducción de coordenadas
cilíndricas.

APLICACIONES FISICAS.

Las integrales de superficie se usan para calcular centros de
masa, momentos de inercia y campos electromagnéticos de
placas curvilíneas delgadas.

Centros de Masa.

Donde es la densidad y M es la masa

OTRAS EXPRESIONES DE INTEGRALES DE SUPERFICIE.

Donde es la proyección de S respecto
al plano xy

INTEGRALES DE SUPERFICIE DE FUNCIONES VECTORIALES.

Definiendo las integrales de funciones vectoriales sobre
superficies tenemos: Sea la función vectorial
definida sobre una superficie la cual esta parametrizada mediante
el vector de posición:

Escalar

Vectorial

Ejemplo:

Hallar el flujo a través de la superficie
de la esfera

INTEGRALES DE VOLUMEN.

El dV esta dado por dV = dxdydz las integrales
de volumen que se consideran en este capitulo son:

Escalares

Vectorial

Ejemplo:

Si y R es la región que
representa un volumen V

CAPITULO IV: TEOREMAS DE
INTEGRACION

INTRODUCCION.

En el capitulo anterior se estudio el calculo vectorial, en el
presente capitulo se estudiaran los siguientes teoremas de
integración vectorial.

i)
Teorema de Green

ii)
Teorema de Gauss

iii)
Teorema de Stokes

TEOREMA DE GREEN.

Considerado una función vectorial

Donde

Siempre y cuando P y Q son continuas en una
región R además existen sus 1ª
derivadas parciales.

Mediante la aplicación del teorema de Green se
podrá determinar el área de algunas figuras
planas.

Demostración:

Por otro lado:

Demostramos que:

El Teorema de Green puede expresarse en forma vectorial de la
siguiente manera:

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA EN EL PLANO.

También se conoce como teorema de la divergencia y se
expresa:

Ejemplo:

Por otro lado:

TEOREMA DE STOKES.

El teorema de Stokes establece que si S es una superficie
limitada por una curva cerrada C y es una
función vectorial que tiene 1ª derivadas parciales
continuas sobre una superficie S y la curva C.

Entonces se puede expresar que integral de línea:
Circulación de

Flujo del rotacional a
través de S

Interpretación física:

Establece que la circulación total alrededor de una
curva C es igual al flujo del rotacional

En coordenadas rectangulares el teorema de Stokes esta dado
por:

Por otro lado:

Por lo tanto:

TEOREMA DE GAUSS O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

La definición de divergencia esta dada como:

El teorema de la divergencia o Gauss es una definición
de una generación.

Por lo tanto:

Ejemplo:

Por divergencia:

TRANFORMACION DE INTEGRALES DE VOLUMEN A INTEGRALES DE
SUPERFICIE.

Teorema de Gauss.

El teorema de Gauss representa una transformación de
una integral de volumen a una integral de superficie.

Teorema del Gradiente.

Expresa que la función es una función
escalar continua en una región R limitada por una
superficie S. Se tiene:

Teorema del rotacional.

Expresa que si es una función vectorial
continúa en una región R limitada por una
superficie S.

CAPITULO V:
COORDENADAS CURVILINEAS

INTRODUCCION.

Ejemplo:

Si donde y esta
expresado en coordenadas esféricas

COORDENADAS CURVILINEAS.

Llamamos superficies coordenadas cuando:

La intersección entre estas superficies coordenadas se
conoce como líneas coordenadas

Líneas coordenadas

Vectores unitarios normales

Vectores unitarios tangentes

Las ecuaciones que relacionan los sistemas
coordenados y curvilíneos son:

Vectores unitarios tangenciales

Vectores unitarios normales

BASES.

Sistema coordenado

En el sistema
coordenado cartesiano se considera como base a los vectores
unitarios

En coordenadas cilíndricas se considera vectores base a
vectores unitarios tangenciales y normales

factores de escala

Las ternas de vectores y constituyen un
conjunto reciproco de vectores

COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.

ELEMENTO DIFERENCIAL DE ARCO.

ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN.

GRADIENTE.

DIVERGENCIA.

ROTACIONAL.

LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES.

COORDENADAS CILINDRICAS.

Vectores unitarios
Tangenciales

Vectores Unitarios
Normales

Para

Gradiente

Divergencia

CAPITULO VI: ANALISIS
TENSORIAL

El análisis tensorial se centra en el estudio
de entes abstractos llamados “tensores”, cuyas
propiedades son independientes de los sistemas de referencia
empleados para determinarlos. Un Tensor esta representado por un
sistema de referencia, mediante un conjunto de funciones llamadas
componentes igual que u vector esta determinado mediante sus
componentes dadas. El que un conjunto dado represente un Tensor
depende de la ley de
transformación de estas funciones de un sistema coordenado
a otro.

Cuando nuestro estudio se restringe a transformaciones de un
sistema de coordenadas homogéneas a otro, los tensores que
interviene son denominados tensores cartesianos.

Los tensores se clasifican por su orden según la forma
particular a la ley de transformación que obedecen,
esta misma clasificación se refleja en el número de
componentes que posee un tensor dado en un espacio
n-dimensional.

Así en un espacio euclidiano tridimensional tal como un
espacio físico ordinario el número de componentes
de un tensor es igual a Donde n es el orden del
tensor.

Si n es igual a cero tenemos Escalar

Si n es igual a uno tenemos Vector

Si n es igual a dos tenemos Díada

Si n es igual a tres tenemos Triada

DIADAS Y DIADICAS.

DIADA.

Es el producto indeterminado de dos vectores

El producto indeterminado de vectores `por lo general no es
conmutativo.

Al primer vector de una Díada se denomina antecedente y
al segundo vector se denomina consecuente.

DIADICA.

Una Diádica (D) equivale a un tensor de segundo
orden y siempre se representa por una suma finita de
Díadas.

(1)

Si en cada Díada de D se intercambian los
antecedentes y consecuentes la Diádica resultante se
denomina Diádica conjugada y se denota como
DC

Si cada Díada en (1) se reemplaza por un producto
escalar de vectores, se llama escalar de la diádica y se
denota por DS :

Escalar

Si cada díada en (1) se sustituye por un producto
vectorial de vectores el resultado se denomina vector de la
diádica y se denota de esta manera:

Vector

PROPIEDADES DEL PRODUCTO INDETERMINADO DE VECTORES.

Estas obedecen a las leyes
distributivas que son las siguientes:

MULTIPLICACION DE UNA DIADICA POR UN VECTOR.

Si es un vector cualquiera los productos
escalares y son los vectores
definidos respectivamente.

Vectores

Diádicas

DIADICA UNITARIA.

Se representa por la letra I

Vectores unitarios

Coordenadas rectangulares.

Coordenadas cilíndricas.

Coordenadas esféricas.

Se cumple que:

PROPIEDADES DE DIADAS.

Definiendo las siguientes Díadas y

Escalar

Vectores

Díada

Se dice que una diádica D es auto conjugada o
simétrica si:

Se dice que una diádica es antisimetrica si:

Cada diádica puede ser expresada únicamente como
la suma de una diádica simétrica y otra
antisimetrica

CONVENIO DE SUMA DE INDICES REPETIDOS.

Cuando algunas sumatorias tenemos:

Las sumas anteriores se pueden representar o escribir en
una forma mas abreviada adaptando el convenio de que cuando se
aparece un índice repetido ha de entenderse una suma
respecto del mismo desde el valor 1 hasta el valor N a
esto se conoce como el convenio de Einstein.

Ejemplo:

Sea donde el rango de variación de i,
j es de 1 a 3, j es el índice repetido.

Desarrollar

NOTACION INDICIAL.

En la notación indicial se añaden letras como
subíndices o superíndices que representan la
cantidad tensorial deseada. (Ejemplo: ) el numero y la
posición de los índices libres, directamente el
carácter tensorial exacto de la cantidad
expresada por notación indicial. Los tensores se denotan
por que tienen un índice libre, el vector
se puede representar de dos formas
a continuación los siguientes
términos que tiene solo un índice libre se
consideran como cantidades tensoriales de primer orden.

Ejemplo:

i índice repetido

j índice libre

TENSORES DE SEGUNDO ORDEN.

Los tensores de segundo orden se denotan por símbolos que tienen dos índices
libres, la díada arbitrarios D aparecen en u8na de
las tres formas posibles.

En la forma mixta el punto
() indica que j es el segundo
índice

TENSORES DE TERCER ORDEN.

Los tensores de tercer orden se representan con 3
índices libres un símbolo lamda () que no
acompaña a ningún índice, representa un
escala de orden
cero. Para un rano de tres en ambos índices el
símbolo representa a las componentes del
tensor de segundo orden, denominado diádica y se
representa mediante una matriz.

De la misma manera podemos representar a un vector.

El convenio de las sumas se usa para la representación
de tensores con vectores base afectados de índices
escritos en notación simbólica.

Los tensores de segundo orden también se pueden
representar por la suma de los índices base, según
esto la díada () dada en la forma nonium se puede
escribir de la siguiente forma:

En esta expresión es fundamental que se mantengan
la secuencia de los vectores base de igual manera nonium de la
diádica arbitraria D se puede expresar en forma abreviada
de la siguiente manera

TRANSFORMACION DE COORDENADAS DE TENSORES.

Si representamos el sistema arbitrario de coordenadas,
en un espacio euclidiano
tridimensional, y por cualquier otro sistema
de coordenadas en el mismo espacio
tridimensional. A que los superíndices son números
indicativos y no son exponentes. Las potencias de x se
pueden expresar usando paréntesis Las
ecuaciones de transformación de coordenadas están
dadas por:

(1)

La cual asigna a un punto cualquiera en el
sistema , un nuevo conjunto de coordenadas
en el sistema Se supone
que las funciones que relacionan los dos conjuntos de
variables
coordenadas son funciones de valor único, continuas y
diferenciales, el determinante:

(2)

En forma abreviada se expresa como:

(3)

J se supone el Jacobiano de la transformación. Si el
Jacobiano es diferente de cero tiene un conjunto inverso de
único de la forma:

(4)

Los sistemas de coordenadas representados por
en las ecuaciones (1) y (4) son
completamente generales y pueden ser cualquier sistema o
cartesiano. Diferenciando la ecuación (1) se tiene
que esta dado por:

Diferencial Total.
(5)

Esta ecuación es prototipo de la que se define la
clase de
tensores conocidos como tensores contravariantes. Se dice en
general que un conjunto de cantidades asociadas a un punto
P son las componentes de orden uno si se transforman bajo
una transformación de coordenadas dadas por la
ecuación.

Tensor contravariante de orden uno (6)

i índice libre

j índice repetido

Donde las derivadas parciales se calculan en P en la
ecuación (6) representa las componentes del tensor en
el sistema de coordenadas mientras que
representa las componentes en el
sistema

En la teoría
general de los tensores, los tensores contravariantes se
reconocen por el empleo de
índices escritos como superíndices.

Por esta razón aquí se señalan las
coordenadas como en vez de pero hay que
tener en cuenta que esto solamente es así para los
diferenciales dx y no para las coordenadas mismas que
tienen carácter de tensor.

Para una generalización lógica
del concepto de
tensor expresado en la ecuación (6), la definición
de tensores contravariantes de orden dos requiere que los
componentes de un tensor obedezcan a la ley de
transformación siguiente:

(7)

representa las componentes en el
sistema

representa las componentes en el sistema

Los tensores de tercer orden y cuarto orden se definen de
forma similar. La palabra contravariante se usa para distinguir a
esta clase de tensores conocida como tensores covariantes. En la
teoría general de los tensores los tensores covariantes se
conocen por el empleo de subíndices.

El prototipo de un vector covariante es la derivada parcial de
una función escalar de coordenadas.

Así, si es función de

es una función tal que la derivada
parcial de respecto a i es igual a
la derivada parcial de respecto de j la
derivada parcial de:

(8)

En general se dice que un conjunto de cantidades
que son las componentes de un tensor,
componentes de orden uno, se transforman mediante la
ecuación:

(9)

Tensor covariante de primer orden

i índice libre

j índice repetido

Los tensores covariantes de segundo orden obedecen la
siguiente ley de la conservación

Esto se generaliza para tensores de tercer y cuarto orden

Se llaman tensores mixtos a los combinados entre
contravariantes y covariantes

Contravariante de orden uno y covariante de orden 2. Tensor
mixto tres.

TENSORES DE OREDEN SUPERIOR.

Estos se definen sin ninguna dificultad, también son
denominados tensores mixtos

ESCALARES O INVARIANTES.

Sea una función de la coordenadas
y la correspondiente en
la transformación de un nuevo conjunto de coordenadas
si se verifica la igualdad
la funciónse denomina
escalar o invariante respecto a la transformación de
coordenadas, dada.

Los escalares son invariantes en toda la transformación
de coordenadas, y se los conoce como tensor de orden cero, tensor
simétrico o hemisimetrico. Se dice que un tensor es
simétrico respecto a dos componentes cualquiera si al
intercambiarlas, el nuevo tensor es igual al original, si el
nuevo tensor difiere del original en el signo, este tensor se
conoce con el nombre de hemisimetrico o antisimetrico

Para: Tensor
antisimétrico

OPERACIONES CON TENSORES.

SUMA Y DIFERENCIA.

La suma y la diferencia de dos o más tensores del mismo
orden y tipo, es otro tensor de idéntico orden y tipo.

MULTIPLICACION.

El producto de dos tensores del mismo o diferente orden es
otro tensor cuyo orden es la suma de los órdenes de los
tensores dados. A esto se llama producto externo de tensores.

CONTRACCION.

Si en un tensor de iguala un índice contravariante y
covariante, según el convenio de índices repetidos,
debe sumarse respecto de dicho índice, este otro tensor
resultante será de orden inferior en dos unidades al
tensor original, este proceso se
llama contracción tensorial.

si r = s

TENSOR METRICO.

Si representamos por a un sistema de coordenadas
cartesianas rectangulares en un espacio euclidiano tridimensional
y por a cualquier sistema de coordenadas
curvilíneo.

El vector que tiene los componentes cartesianas
se denomina vector de posición
del punto arbitrario referido a los ejes cartesianos
rectangulares el cuadrado del elemento diferencial de la
distancia entre dos puntos muy próximos y
será la diferencial de
área.

El diferencial de

Diferencial de arco

Tensor métrico

tensor métrico o fundamental
del espacio

LOS SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL

CALCULO DIFERENCIAL TENSORIAL.

La derivada de un tensor es otro tensor. Esto se hace
si se facilita en función de combinaciones de las
derivadas parciales de un tensor métrico, que se conoce
como los símbolos de Christoffel. Los tres índices
de Christoffel a las expresiones.

1º orden