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Enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática utilizando un simulador geométrico desde el enfoque de la teoría de los conceptos nucleares (página 3)




Partes: 1, 2, 3, 4, 5, 6


  • Mediante una tabla de valores: es más trabajosa pero se logra la representación haciendo los cálculos de los puntos, ejemplo:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y

49

29

15

7

5

9

19

35

  • Mediante un enunciado: es menos precisa pero muy práctico, ejemplo: el recorrido de una persona de su casa a su trabajo en relación al tiempo.
  • Mediante su representación gráfica: es la más usada porqué permite apreciar el comportamiento global de una función, por ejemplo las que tenemos seguidamente.
  1. Para comprender el comportamiento de la función cuadrática es necesario analizar cada una de sus características o elementos importantes tales como: coeficientes de los términos cuadráticos, lineal e independiente, así como los cortes con los ejes, vértice y puntos máximos y mínimos.

    1. f (x) = ax2+bx+c.

      Al término cuadrático (ax2) se le asocia un coeficiente "a" donde este cuando es mayor que uno (a > 1), podemos observar que a medida que este crece el comportamiento de la función es comprimirse positivamente hacia el eje de las ordenadas "y".

      f(x) = ax2 si a>1

      Si ahora al término cuadrático se le asocia un coeficiente "a" donde este es mayor que cero pero menor que uno (0 < a < 1), podemos observar que a medida que este se hace más pequeño el comportamiento de la función se expande hacia el eje de las abscisas "x".

      f (x) = ax2 si 0 < a < 1

      Si al término cuadrático se le asocia un coeficiente "a" donde este es menor que cero (a < 0), podemos observar que a medida que este se hace más pequeño el comportamiento de la función se comprime negativamente hacia el eje de las ordenadas negativo "- y" (Oaxaca, J. y Valderrama, M. 2000).

      f(x) = ax2 si a < 0

      Hasta ahora hemos observado como es el comportamiento de la función cuadrática con un término cuadrático, pero que ocurre si además posee un término lineal, ahora su forma será:

      f(x) = ax2 + bx, si el coeficiente del término cuadrático a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba y posee un mínimo, pero si a < 0, entonces la parábola es cóncava hacia abajo y posee un máximo, pero observemos como se comporta la función al agregar el término lineal.

    2. Análisis del parámetro "a" de la función cuadrática

      f(x) = ax2+bx+c.

      Cuando b > 0

      Cuando b < 0

      De las gráficas se observa que cuando b > 0, el desplazamiento de las parábolas es a la izquierda, y cuando el valor de b < 0 el desplazamiento es a la derecha, en ambas situaciones a medida que el valor absoluto de "b" aumenta la ordenada del vértice de la parábola se hace más negativa. En los dos casos las parábolas coinciden en el origen.

    3. Análisis del parámetro "b" de la función cuadrática

      f(x) = ax2 + bx + c.

      Ahora se analizara el comportamiento de la función cuadrática cuando el término independiente se ve modificado, manteniendo constantes los valores de "a" y "b"

      En la gráfica se observa que el desplazamiento de las parábolas es vertical, es decir la ordenada del vértice se hace más positiva si C > 0 y es más negativa si C < 0; conservando las características del efecto que proporciona el término cuadrático y el término lineal.

    4. Análisis del parámetro "c" de la función cuadrática

      Existe un único punto de corte con el eje "y", que es el (0, c)

      Los cortes con el eje "x" se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno, depende del discriminante (b2 - 4ac).

      Intersección con el eje "y": Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x=0, el punto de corte de la parábola con el eje "y" tendrá de coordenadas (0, c).

      Intersección con el eje "x": Como todos los puntos del eje "x" tienen la ordenada y= 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

    5. Los cortes con ejes cartesianos

      Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas:

      Si D > 0, donde D = b2 - 4ac, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje "x" en dos puntos.

      Si D = 0, donde D = b2 - 4ac, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje "x" en un punto (que será el vértice).

      Si D < 0, donde D = b2 - 4ac, la ecuación no tiene soluciones reales y no corta al eje x, Por lo que la parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo, pero sobre el eje "x" o por abajo del eje "x", según sea el caso.

    6. Discriminante de una función cuadrática.

      También llamados "raíces", representa los valores de "x" cuya imagen tiene valor cero, (x, 0). Al ser cuadrática sólo se obtiene, como máximo dos valores, denominados x1 y x2.

      Para calcular los ceros de la función cuadrática Se aplica la fórmula general ya conocida. Como una de las características de la parábola es que esta es simétrica con respecto al eje focal, entonces la abscisa del vértice corresponderá al punto medio entre ambos valores de la abscisa, esto es:

      Xm = -b/2a, Ym = f (-b/2a), lo cual nos da el vértice de la parábola, que es:

      V (Xm, Ym) = (-b/2a, f (-b/2a)).

      Cuando la parábola abre hacia arriba, al vértice se le considera el punto mínimo, pero cuando abre hacia abajo, es el punto máximo.

    7. Ceros de la función cuadrática, vértice, máximos y mínimos
    8. Gráfica de una función cuadrática: creciente y decreciente.
  2. Características

Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el vértice.

Parábola f(x) = x2 + 5x + 6

La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función.

Hallamos el vértice de la parábola:

Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2

Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4

V = (-2.5, - 12.5)

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

La gráfica decrece desde y la gráfica crece desde x = -2.5 hasta +

    1. En este capitulo se pretende esquematizar y describir todo el proceso metodológico a emplear durante la investigación, detallando cada una de las etapas o fase propuestas para llevar a cabo nuestra investigación.

    2. Introducción

      Figura 2. Diseño a implementar en la investigación.

    3. Diseño general de la investigación.
      1. Fase inicial
    4. Metodología de la investigación
  1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN

Durante esta fase de la investigación se pretende aplicar dos pruebas de evaluación (ver Anexo) y la construcción de la Red Básica Conceptual, las cuales son las siguientes:

  1. Prueba inicial: esta consistirá en un test diagnóstico sobre los conceptos más relevantes para comprender el tema de la función cuadrática.
    1. Índice de coherencia
    2. Índice de similaridad con la Red Básica Conceptual
    3. Índice de complejidad
  2. Redes iníciales: consistirá en la construcción de redes pathfinder del concepto de la función cuadrática, utilizando el programa MicroGoluca y una lista de términos previamente seleccionados. Para las redes se evaluaran tres índices:
  3. Red Básica Conceptual: será nuestra red de la ciencia la cual se construirá utilizando los criterios aplicados en las investigaciones de Violeta H. (2007) y Arias J. (2008).
  1. Esta consistirá en utilizar una unidad didáctica adaptada a la teoría de los conceptos nucleares, para la enseñanza del concepto de la función cuadrática empleando un simulador geométrico, dicha unidad didáctica se aplicara a los estudiantes de III de magisterio de la clase de informática II del segundo cuatrimestre del presente año.

  2. Fase experimental
  3. Fase final

Al igual que la fase inicial, se aplicara las siguientes pruebas de evaluación de aprendizaje (ver Anexo).

  1. Test final: consistirá en el mismo test aplicado al inicio de la investigación con el objetivo de observar la mejoría, si existe, del rendimiento de los estudiantes después de la enseñanza.
  2. Redes finales: también se construirán las redes asociativas pathfinder de cada estudiante después de la enseñanza del concepto de la función cuadrática con la unidad didáctica y el simulador geométrico para después contrastar los resultados con los obtenidos en el test final.

Figura 3. Esquema general del proceso metodológico de la investigación

  • REALIZACIÓN PRÁCTICA
  1. En este apartado se pretende describir detalladamente lo realizado durante la investigación, así como la muestra seleccionada, sus características y criterios de selección, además, los instrumentos e indicadores que se utilizaron en el desarrollo de la misma.

  2. Introducción

    Esta etapa se desarrolló con el propósito de determinar los conocimientos previos que los estudiantes tenían sobre la función cuadrática y a al ves, encontrar algunos conceptos nucleares en su estructura cognitiva sobre el tema (ver anexo). Para lograrlo ese cometido, se decidió obtener esa información con dos test diferentes los cuales son:

  3. Etapa diagnóstico

    El test estaba constituido por 19 preguntas sobre los diferentes conceptos fundamentales para el aprendizaje de la función cuadrática como ser: pendiente, variable, constante, ecuación general cuadrática, parábola, curva, gráfica, corte en los ejes, plano cartesiano, punto, vértice, tabla de valores y ejemplos prácticos como el lanzamiento de proyectiles.

    Para determinar los conceptos mínimos que debe un estudiante tener para saber identificar, relacionar, construir y aplicar la función cuadrática, se realizó una revisión bibliográfica tanto en los textos que se utilizan en la enseñanza secundaria en la comunidad autónoma de Extremadura, España como en otras investigaciones realizadas del tema. Obteniendo así una lista de conceptos mínimos de referencia y los cuales también nos sirvieron para construir nuestra red básica conceptual.

    Su estructura era cerrada donde los alumnos, de cada pregunta, seleccionaban de las opciones la más correcta, aunque en algunos casos podían seleccionar más de una opción según la pregunta, al principio se pensó en un test con preguntas abiertas, sin embargo considerando que la mayoría de los estudiantes de la muestra seleccionada pertenecían a la carrera de magisterio en la especialidad de educación física y que dentro de esta el concepto de la función cuadrática no esta dentro del programa.

    Por esa razón y par evitar que surgiera muy poca información o información incompleta, el test se estructuro con preguntas cerradas, para facilitarles a los estudiantes las opciones de las respuestas y así darle pista de la temática, aun así, se presento que algunos estudiantes no contestaron algunas preguntas del test (ver anexo).

    La recogida de los datos se realizó utilizando la plataforma del campo virtual de la Universidad de Extremadura (moodle), los estudiantes bajan el test usando su login (código) de la clase de informática II y luego lo contestaban inmediatamente para luego subirlo a la plataforma de la Universidad. Esta herramienta nos facilito grandemente para llevar a cabo la recogida de la mayoría de los datos de la investigación.

  4. Test inicial

    Se construyeron redes pathfinder iníciales de los estudiantes, utilizando el programa de computo MicroGoluca, el cual es un software desarrollado por D. Vítor Godinho en su trabajo de investigación sobre software y su aplicación en las redes conceptuales en el 2007 y dirigido por los Dres. Luengo y Casas.

    El programa MicroGoluca nos permite construir las redes pathfinder y obtener las matriz de peso de cada sujeto, las cuales íbamos a utilizar después para analizar con los indicadores de similaridad y coherencia.

    Para la construcción de las redes, los estudiantes iban determinando las relaciones entre pares de conceptos, de una lista de términos previamente seleccionados y que forman parte de lo que llamamos Red Básica Conceptual (RBC) (tabla 1), este par de conceptos era lanzado arbitrariamente por el programa, y los estudiantes con el cursor determinaban la magnitud de la relaciones de los conceptos dados en ese momento.

    Figura 4. Pantalla inicial de la recogida de datos del programa MicroGoluca

    Para eso se tuvo que explicar muy bien a los estudiantes sobre lo que se pretendía realizar con este programa, ya que como se observa en la lista de los términos seleccionados todos están relacionados, más sin embargo los estudiantes tenían que determinan quienes tenían más relación que otros.

    Al principio se dieron algunas dificultades por el desconocimiento del funcionamiento del programa por parte de los estudiantes y por otras surgidas por el aula de nuevas tecnologías, pero se resolvieron inmediatamente haciéndoles a los estudiantes una pequeña demostración de la misma.

    El propósito de construir estas redes pathfinder, era de constatar la estructura cognitiva que tienen los estudiantes inicialmente sobre el concepto de la función cuadrática y de esa manera valiéndonos de la teoría de los Conceptos Nucleares, identificar aquellos conceptos nucleares en la red de los alumnos y que nos permitiera desarrollar nuestra unidad didáctica y de esa manera, enseñanza el tema con el simulador reforzando estos conceptos nucleares que sirven de medios inclusores a la estructura cognitiva del alumnos.

    De igual manera la aplicación y recogida de los datos de las redes iníciales de los alumnos, se realizó utilizando la plataforma del campo virtual de la Universidad de Extremadura (moodle).

    Aunque el programa MicroGoluca fue instalado previamente en cada uno de los ordenadores de los estudiantes, así como la lista de términos y una guía sobre el uso del programa.

    Después que se construyeron las redes pathfinder los estudiantes subieron el archivo producido por el programa MicroGoluca y que contenía la información para la construcción de las redes y matrices de análisis.

    Figura 5. Pantalla principal del programa MicroGoluca con la lista de términos

  5. Redes Pathfinder iníciales

    Para comprender mejor nuestra RBC, describiremos su concepto y la metodología y criterios que se aplica para construir la misma.

    1. Es nuestra red de la ciencia sobre el concepto de la función cuadrática y representa gráficamente las relaciones de los conceptos elementales de la temática. También podemos decir que es la representación esquematizada de la ciencia sobre este concepto a través de las redes asociativas pathfinder.

    2. Definición

      Para construir la red básica conceptual o red de la ciencia, se siguió el proceso utilizado por Hidalgo V. (2007) en su investigación sobre las redes pathfinder y Arias J. (2008) en su tesis doctoral sobre la metodología de evaluación de los cursos virtuales:

      Figura 6. Proceso de construcción de la Red Básica Conceptual (RBC) o Red de la Ciencia

    3. Construcción de la Red Básica Conceptual

      Se realizó una revisión bibliográfica de los libros de texto que se utilizan en la enseñanza media de la función cuadrática en la Comunidad Autónoma de Extremadura, España, obteniendo así una lista preliminar de conceptos, que se dan a continuación:

      Tabla 1.

      Términos presentes el la enseñanza del concepto de la función cuadrática en los textos de educación media de Extremadura, España

      Conceptos Matemáticos

      Conceptos Cotidianos

      Curva

      Punto

      Vértice

      Variable

      Simetría

      Un paragua

      Gráfica

      Continuidad

      Volumen

      Constante

      Discontinuidad

      Salto de

      trampolín

      Parábola

      Área

      Término lineal

      Crecimiento

      Discriminante

      Faros de los

      coches

      Función

      Dominio

      Término cuadrático

      Término constante

      Decrecimiento

      Antenas

      parabólicas

      Pendiente

      Rango

      Eje de simetría

      Punto mínimo

      Tabla de valores

      Chorro

      de agua

      Ecuación general cuadrática

      Plano cartesiano

      Corte en los ejes

      Punto máximo

      Ejes del plano cartesiano

      Lanzamiento

      de un balón

    4. Revisión de literatura
    5. Selección de conceptos más relevantes
  6. Red Básica Conceptual (RBC)

Se seleccionaron los conceptos más relevantes (ver tabla 2 y gráfica 1) tomando como criterio de selección los que más aparecían en la literatura y que se utilizaban en los problemas resueltos y propuestos. Es decir su frecuencia de aparición en el texto.

Obteniendo así los siguientes conceptos:

  • Curva
  • Gráfica
  • Parábola
  • Función
  • Punto
  • Eje de simetría
  • Ecuación general cuadrática
  • Vértice
  • Corte en los ejes
  • Tabla de valores
  • Ejes del plano cartesiano
  • Término cuadrático

Tabla 2. Términos relacionados con el aprendizaje y enseñanza del concepto de la función cuadrática

Concepto

F

Concepto

F

Concepto

F

Concepto

F

01

Antena parabólica

1

10

Simetría

8

19

Vértice de la parábola

57

28

Variable

5

02

Discriminante

1

11

Punto máximo

10

20

Ecuación general cuadrática

43

29

Lanzamiento de balones

4

03

Discontinuidad

1

12

Constante

11

21

Eje de simetría

22

30

Crecimiento

3

04

Salto de trampolín

1

13

Curva

12

22

Tabla de valores

16

31

Término lineal

2

05

Pendiente

1

14

Corte en los ejes

15

23

Término cuadrático

14

32

Plano cartesiano

1

06

Área

3

15

Punto

18

24

Ejes del plano cartesiano

12

33

Rango

1

07

Continuidad

3

16

Gráfica

44

25

Dominio

10

34

Discontinuidad

1

08

Decrecimiento

4

17

Función

57

26

Volumen

8

35

Chorro de agua

1

09

Término constante

5

18

Parábola

93

27

Punto mínimo

6

36

Faros de los coches

1

Como se puede ver en la tabla de arriba, los conceptos que tienen mayor frecuencia en el tema de la función cuadrática, en los textos de 4to de la ESO, y de I de Bachillerato de dos editoriales reconocidas en España, son los que aparecen en el centro del cuadro y dentro de las casillas de color. Es importante señalar que el concepto de "parábola" es el término que más menciona los textos para explicar el concepto de función cuadrática, el cual nos da una idea intuitiva sobre algunos conceptos nucleares que podría existir en esta temática.

Gráfico 1.

  1. Lista final de conceptos

Por último y después de analizar los conceptos resultantes de la revisión bibliográfica y por sugerencia del equipo de investigación, se decidió suprimir dos conceptos de la lista preliminar, los cuales son los siguientes:

  • Gráfica: por encontrarse en la unión de los conceptos de curva y corte con los ejes cartesiano.
  • Término cuadrático: de igual manera porqué esta incluido en el concepto de ecuación general cuadrática.

Obteniendo así la lista final de los conceptos:

  • Curva
  • Parábola
  • Función
  • Punto
  • Eje de simetría
  • Ecuación general cuadrática
  • Vértice de la parábola
  • Corte en los ejes
  • Tabla de valores
  • Ejes del plano cartesiano.

Ya con los conceptos definitivos se construyo La Red Básica Conceptual la cual es un mapa pathfinder de la ciencia que figura la estructura cognitivamente del concepto de la función cuadrática, es decir que si pudiéramos preguntarle a la ciencia sobre el tema de la función cuadrática y construirle un mapa pathfinder con los conceptos seleccionados, entonces obtendríamos la Red Básica Conceptual.

El propósito de construir la RBC fue el de encontrar un patrón que nos permitiera utilizar como red referencial y que de esa manera podamos determinar el grado de acercamiento o similitud de las redes finales de los alumnos, después de haber recibido el proceso de enseñanza usando el simulador del tema mencionado.

  1. Criterios de construcción de la Red Básica Conceptual

Para construir la Red Básica Conceptual (RBC) se siguieron los siguientes criterios, los cuales ya han sido utilizados en investigaciones anteriores de Hidalgo, V. (2007) y Arias, J. (2008):

  • Primero se definieron cada uno de los conceptos que componen la red: estas definiciones fueron producto de una revisión bibliográfica en varias fuentes como ser: textos, diccionarios e investigaciones.
  • Después determinamos el grado de relación que tenían cada uno de los conceptos mediante una matriz de la RBC o Red de la Ciencia.
  • Para determinar el grado de relación entre los conceptos se busco que conceptos (T1) dentro su definición contenían a otros conceptos (T2), dando a esa relación un valor de 100.
  • Se le asigno un valor de 66 a la relación entre dos conceptos (T1y T2) cuando un concepto (T1) contiene a otro segundo (T2) y este a otro tercero (T3), es decir una relación de segundo orden.
  • Después a una relación del tercer orden y para un enlace del cuarto nivel se le asigno un valor de 33.
  • Por último a una relación del cuarto orden o superior, se le asignó el valor "0".

Tabla 3.Definiciones de conceptos de la Red Básica Conceptual (RBC)

Conceptos

Definición

Fuente

Curva

Conjunto de puntos que forman una línea continúa en una dimensión o plano y que varía su dirección paulatinamente.

Adaptado a lo leído en Wikipedia

Parábola

Es una curva plana formada por un conjunto de puntos P(x, y) en el plano cartesiano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco de la parábola) y de una recta fija L (llamada la directriz de la parábola o eje de simetría) que no contiene a F y cuya relación a un sistema de coordenadas orto normales es: y = ax2 + bx +c

Adaptado a lo leído en http: //www.

solomatematicas.com

Función

Es un tipo de relación entre los elemento de un conjunto X y los elementos del conjunto Y, y que cumplan las siguientes condiciones:

(1) que cada elemento del conjunto X esta relacionado con elementos del conjunto Y.

(2) que cada elemento del conjunto X esta relacionada a un único elemento del conjunto Y.

Esta se puede representar por tablas, expresión matemática (ecuaciones), pares ordenados (punto), graficas o curvas y proporciones

Adaptado a lo leído en la RAE

Punto

Es un elemento geométrico adimensional, descrito como una posición en el espacio, determinado en función de un sistema de coordenadas preestablecido.

Adaptado a lo leído en Wikipedia

Eje de simetría

Es una línea imaginaria que pasa por un punto llamado vértice y que divide al curva en dos partes, cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos

Adaptado a lo leído en Wikipedia

Ecuación general cuadrática

(y = ax2 + bx + c)

Es la expresión matemática de una función polinómicas de segundo grado con una incógnita donde su representación gráfica es una parábola

Wikipedia

Vértice de la parábola

El punto de la curva, en el que se extiende un eje de simetría.

Adaptado a lo elido en Wikipedia

Corte con los ejes cartesianos

son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados

htpp://thales.cica.es

Tabla de valores

Es una herramienta que esta formada por filas y columnas que contienen las coordenadas de los puntos de una función.

Adaptado a lo elido en Wikipedia

Ejes del Plano cartesiano

Son dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

Adaptado a lo leído en Wikipedia

Tabla 4.

Matriz de la Red Básica Conceptual

Ejes cartesiano

Punto

Curva

Corte con ejes

Vértice

Tabla de valores

Función

Ecuación general cuadrática

Parábola

Eje se simetría

Ejes cartesiano

 

100

33

100

33

33

66

33

100

33

Punto

   

100

100

100

100

100

66

100

100

Curva

     

66

100

33

100

66

100

33

Corte con ejes

       

33

66

100

66

33

33

Vértice

         

33

66

33

66

100

Tabla de valores

           

100

66

33

33

Función

             

100

66

33

Ecuación general cuadrática

               

100

33

Parábola

                 

100

Eje de simetría

                   

Con la matriz anterior se logro construir la red básica conceptual introduciendo la información al programa Knot-Mac de la siguiente manera. Primero el encabezado del texto es la información necesaria para que el programa Knot pueda construir y analizar la red pathfinder.

El titulo de la red, el número nodos, las cifras decimales, el menor valor, el valor mayor. La frase similar indica la que se construirá según la similaridad y la frase lower triangular indica que los datos se presentan en forma triangular decreciente.

Figura 7. Matriz triangular de la Red Básica Conceptual en el programa Knot-Mac

Con los datos de la matriz el programa Knot construye una red pathfinder la cual nosotros llamamos Red básica Conceptual o Red de la Ciencia como se observa en gráfica de la figura 8.

En la red básica conceptual podemos ver el grado relación que existe entre cada uno de los conceptos. Si un concepto esta conectado directamente por un enlace tiene una relación directa y dentro de su definición utiliza o aparece determinado conceptos, por ejemplo para definir curva es necesario mencionar el concepto de punto, función y parábola por lo que tienen un enlace directo que los una.

Del mismo modo si un concepto se relaciona con otro a través de otro concepto, tiene una relación indirecta por lo que en su definición no aparece este concepto, pero si el la definición del concepto intermediario.

Por ejemplo, el concepto de parábola no se relaciona directamente con el concepto de función, por lo que no tienen un enlace que los una directamente sino, a través de otros conceptos, pero si esta relacionado directamente con los conceptos de curva, ecuación general cuadrática, eje de simetría, ejes del plano y de punto.

Figura 8. Red Básica Conceptual o Red de la Ciencia sobre el concepto de la función cuadrática

Al igual el concepto de función, esta directamente relacionado con los conceptos de ecuación general cuadrática, tabla de valores, curva, punto y corte con ejes que son representativos del mismo, aunque no directamente con el término de parábola, porqué no toda función es una parábola.

También se observa que los términos vértice, punto, curva, parábola, función, ejes del plano cartesiano, corte con ejes y eje de simetría (8 de 10 términos) tienen más de dos enlaces, es decir son nodos múltiples, afirmando así el alto nivel de relación que tienen los conceptos.

  1. Conceptos nucleares de la RBC

De lo obtenido de la RBC se observa varios conceptos nucleares (aquellos nodos múltiples es decir los nodos con más de 2 enlaces) que sirven como términos enlace a la estructura cognitiva del alumno, los cuales son los siguientes:

  1. El punto el cual se relaciona directamente con 8 de los 9 conceptos (curva, ejes de simetría, parábola, corte con ejes, función vértice corte con ejes y tabla de valores).
  2. El término Curva con 4 enlaces (parábola, punto, vértice y función).
  3. El término Parábola con 5 enlaces (curva, punto, ejes del plano cartesiano, eje de simetría, ecuación general cuadrática).
  4. Termino Eje de simetría con 3 enlaces (vértice, parábola y punto).
  5. Vértice con 3 enlaces (eje de simetría, punto y curva).
  6. Ejes del plano cartesiano con 3 enlaces (parábola, punto y corte con ejes).
  7. Corte con ejes con 3 enlaces (punto, ejes del plano cartesiano y función).
  8. Función con 5 enlaces (punto, tabla de valores, ecuación general cuadrática, curva y corte con ejes).

Todos estos términos nucleares (nodos múltiples) fueron abordados en la unidad didáctica adaptada a la teoría de los conceptos nucleares por ser conceptos enlaces para el aprendizaje del concepto de la función cuadrática.

  1. Esta fase de la investigación se llevo a cabo desarrollando el tema de la función cuadrática al grupo de alumnos seleccionados, utilizando una unidad didáctica adaptada a la teoría de los conceptos nucleares y el simulador geométrico Graphcalc.

    1. La unidad didáctica fue construida (ver figura 9) utilizando los conceptos centrales obtenidos tanto en el test inicial como en las redes iníciales de los alumnos, los cuales hicimos referencia a ellos anteriormente (tabla 1).

      Figura 9. Esquema de la unidad didáctica aplicada

      La temática de la unidad didáctica, se desarrollo con los estudiantes de la clase de Informática II, quienes cursa la carrera de magisterio de la Universidad de Extremadura, España (muestra seleccionada) en tres sesiones de 2 horas cada una en los días 26 de abril, 8 y 16 de Mayo del año 2008, y para llevar a cabo determinada unidad didáctica se plantearon varias actividades que se detallan a continuación.

      1. La parábola una curva interesante
    2. Unidad didáctica
  2. Etapa experimental

Esta consistió en una presentación en power point donde se le daba a conocer a los alumnos sobre la importancia que tiene el concepto de función cuadrática tanto en el medio científico como en la vida cotidiana, las diferentes presentaciones de la función cuadrática y los puntos referenciales de la parábola (ver anexos).

Los estudiantes fueron reunidos en el aula de laboratorio de las nuevas tecnologías donde se les expuso la temática con el propósito de darles a conocer la aplicabilidad de la parábola en la vida cotidiana, tomando en cuenta que unos de los conceptos que los alumnos más asocian al concepto de la función cuadrática es su representación gráfica, la parábola.

El contenido de la presentación fue el siguiente:

  • La función cuadrática en la vida cotidiana
  • Sus representaciones gráficas, tabla de valores y ecuación general
  • Puntos interesantes de la gráfica parabólica
  • Como se puede representar a través de un simulador
  • Evaluación de los términos de la función cuadrática
  • Elementos importantes de la parábola.

Se consideraron los conceptos nucleares encontrados en nuestra red básica conceptual y test inicial mencionados anteriormente.

  1. El propósito de esta actividad fue motivar a los estudiantes a conjeturar a través de la exploración grupal del simulador el tema de función cuadrática, para eso continuamente se le motivaba a utilizar las potencialidades del simulador, al inicio los alumno no sabían que experimentar, más si embargo con un poco de orientación, los alumnos fueron explorando las ventajas que tiene la herramienta para la comprensión de un concepto como el caso de la función cuadrática.

    A medida que los estudiantes exploraban el programa, iban dándose cuenta de las características de la función cuadrática como: tipo de representación gráfica, ecuación general, tabla de valores, vértice, interceptos en los ejes cartesiano, puntos máximo y mínimo, las cuales fueron expuestas sobre una hoja de papel como elemento resumen de lo obtenido en la exploración del simulador, también escribieron sus impresiones sobre las características del simulador y sus ventajas al emplear en el aula de clase.

    Algunas de las conclusiones que se obtuvieron de la exploración realizada por los estudiantes, fueron el análisis del comportamiento de cada uno de los términos que compone la ecuación general cuadrática (término cuadrático, lineal e independiente), cuando se varia sus coeficientes y que se pueden observar en su gráfica parabólica, de esa manera los estudiantes, por si solos, observaban el efecto que tiene cada uno de sus términos tanto en los valores negativos, positivos y fraccionarios.

    También expresaron lo fácil que se puede obtener usando el simulador, los puntos de corte en los ejes coordenados, el valor del vértice de la gráfica y el eje de simetría. Otro elemento interesante que los estudiantes dieron a conocer en sus impresiones al emplear el simulador geométrico fue la construcción de la parábola en tercera dimensión, la cual les llamo mucho a atención ya que en la enseñanza tradicional esto sería imposible de realizar.

    Figura 10. Pantalla principal del simulador geométrico GraphCalc

  2. Exploración grupal del simulador
  3. Observaciones y conjeturas de la exploración

Una vez terminada la actividad de la exploración, la cual duro aproximadamente 1 hora clase, se prosiguió a escribir en una hoja de papel lo observado y experimentado con el simulador referente al tema de la función cuadrática. Muchos de los alumnos expresaron su opinión sobre las posibilidades una herramienta dentro del aula de clase.

Algunas de las impresiones y conclusiones que los alumnos escribieron son:

  1. Hemos observado que al ir modificando los signos y aumentando los valores de los números, la apertura de la parábola cambia.
  2. También observo que si escribo un número decimal la parábola es abierta y cuando un número mayor entero por ejemplo 5 la parábola es más cerrada.
  3. Este programa nos ha sorprendido por su gran utilidad, nos ha parecido curioso, ya que esta experiencia práctica nos ha servido para comprobar de una manera sensorial lo visto en tiempo atrás.
  4. La aplicación didáctica es muy interesante ya que aparece atractiva para los alumnos, porqué facilita el aprendizaje.
  5. El término x2 hace que la curva se estreche si cambiamos el número y se da vuelta si cambiamos el signo
  6. Probamos que la gráfica en 3D se ve perfectamente los puntos de corte con los ejes y vértice.
  7. He resuelto un problema utilizando el cálculo del punto máximo de la curva.
  8. Es posible graficar otras funciones con este ordenador, he intentado con la funcione lineal y exponencial.

Según los comentarios escritos por los alumnos después de trabajar con el simulador, se observa que han identificado algunas características principales de la función cuadrática de una manera particular y abierta.

  1. Práctica con el simulador

Después de la exploración y de escribir las conclusiones e impresiones de la misma, se les pidió a los estudiantes que resolvieran, utilizando el simulador, una práctica, como actividad del tema, la cual tenía como propósito que los estudiantes aplicaran por si solos esos conocimientos adquiridos de la función cuadrática y a la vez reflexionar sobre la utilidad que tiene el uso de estas herramientas en nuestra aula de clase.

Dicha práctica contenía actividades donde se reforzaban los conceptos centrales de nuestra unidad didáctica, como los siguientes:

Ejercicio 1

  • Comportamiento de la curva parabólica dependiendo la modificación de los coeficientes de los términos de la función cuadrática.

Ejercicios 2

  • Análisis de puntos interesantes de la parábola: vértice, interceptos con ejes cartesianos y puntos máximos y mínimos.
  • Aplicar el concepto de la función cuadrática para resolver un problema práctico.

Toda la actividad se desarrollo siempre utilizando la plataforma del campo virtual de la Universidad de Extremadura (Moodle) ya que nos permitía facilitar tanto los programas como la recogida de los datos y las prácticas de la clase.

TABLA 5. CONTENIDO DE LA UNIDAD DIDACTICA EMPLEADA

OBJETIVOS

CONTENIDO

ACTIVIDADES

TIEMPO

RECURSOS

  1. Los estudiantes conocerán la aplicabilidad del concepto de la función cuadrática en la vida cotidiana.

La parábola una curva interesante

Presentación expositiva

1 hora

Diapositivas

Moodle

Proyector

  • Incentivar a los estudiantes que conozcan, mediante la exploración, el simulador geométrico Graphcalc

Uso del simulador geométricos

Trabajo en grupos, mediante la exploración del simulador

Resumen de conjeturas y conclusiones obtenidas

1 hora

Simulador geométrico

Moodle

  • Comprender las características de la función cuadrática

Características relevantes de la función cuadrática

Trabajo en grupo usando el simulador geométrico

1.5 hora

Simulador geométrico

Moodle

  • Aplicar lo aprendido del concepto de la función cuadrática en casos específicos usando el simulador

Análisis de la función cuadrática

Trabajo individual resolviendo la práctica

2.5 horas

Simulador geométrico

Moodle

Diapositivas

Práctica

Figura 11. Diseño de clase con uso del simulador*

  • Adaptado de las clases impartidas por el Dr. Ricardo Luengo con un simulador.
  1. En esta última etapa de la investigación, consistió en aplicar dos evaluaciones a los estudiantes, después de haber realizado todas las actividades experimentales (unidad didáctica), las cuales fueron: un test final o post- test y la construcción de redes pathfinder finales con el programa MicroGoluca.

    1. Este consistió en aplicarles el test inicial a todos los estudiantes de la muestra. El propósito de aplicar el mismo test al final fue para hacer una comparación entre lo obtenido inicialmente y después de su experiencia, de esa manera determinar si hubo mejora o no en el rendimiento sobre el tema de la función cuadrática.

      El test fue valorado con un máximo de puntaje posible de 26, cada respuesta correcta se le asignaba un 1 pts., en algunos casos algunas pregunta tenia un valor de 4 pts. Y otras 1 pts. Dependiendo del número de respuestas correctas posibles que esta tenía. Por ejemplo: en la pregunta 4 donde el alumno tenia 4 alternativas posibles correctas y solo marcaba 3 de ellas pues de le asignaba solamente 3 pts. Y viceversa.

      Después fue convertido a una escala de 10 para facilitar su análisis y comparación, por ejemplo si un alumno obtuvo una nota de 23 punto del total de 26 se convertía a una escala de 10 así: x = (23x10)/26 = 8.85 pts.

      En otros casos como la pregunta 1, 2, 3 y 15 no se les asigno ningún valor ya que proporcionaban información relacionada con datos particulares de los alumnos y que no correspondía a una evaluación especifica.

      Este instrumento fue contestado por los estudiantes utilizando siempre la plataforma del campo virtual de la Universidad de Extremadura (moodle), ellos bajan el documento de la misma y lo rellenaran en los espacios que se le indicaban, después que habían terminado el test se les solicito que lo subieran a la plataforma con su login (código) especifico y por último cuando se terminaba la clase se recogía toda la información de la plataforma en folder virtuales asignados para cada estudiantes para luego ser analizados e interpretados.

    2. Test final
  2. Etapa final

Partes: 1, 2, 3, 4, 5, 6


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