Sistemas de numeración (página 2)

6=0110(2)

7=0111(2)

8=1000(2)

9=1001(2)

10=1010(2)

11=1011(2)

12=1100(2)

13=1101(2)

14=1110(2)

15=1111(2)

Sencillamente, cada vez que querramos agregar una cifra,
debemos correr un uno a la izquierda y según su
posición tomará un valor, luego
agregamos 1 a los correspondientes 0 de la derecha y así
es posible escribir cualquier número sólo con dos
dígitos. En el sistema
binario este modelo
llevaría la siguiente secuencia:

0000 0 0 0 0

23 22 21 20

Y así seguiría el 24 , 25,
etc.

En el sistema decimal,
la posición del 1 y los 0 a la derecha corresponden a las
potencias de 10,es decir,10,100,1000,10000,100000,1000000,etc.En
el sistema binario, cada posición relativa de un 1
corresponde a las potencias de 2,es
decir;1,2,4,8,16,32,64,128,etc.

Una vez comprendida la diferencia entre ambos sistemas, se
puede abordar el estudio de sistemas diferentes. Por ejemplo,
veamos el sistema ternario.

Sistema
ternario

Esta vez, sólo podemos usar las cifras 0,1 y 2.Veamos
qué se puede hacer con esto. Expresando los primeros 15
números naturales en sistema ternario tenemos:

0=0(3)

1=1(3)

2=2(3)

3=10(3)

4=11(3)

5=12(3)

6=20(3)

7=21(3)

8=22(3)

9=100(3)

10=101(3)

11=102(3)

12=110(3)

13=111(3)

14=112(3)

15=120(3)

Al igual que en el sistema binario, el número 1
respecto a una posición nos dará el valor las
potencias de 3.¿Qué ocurre al llegar al
número 5?Tenemos un 1 que indica la cantidad 3 y un
número dos que indica 3+2 unidades=5.Si queremos escribir
un 6,debemos colocar un 2 en la posición de valor 3,lo
cual nos indica que tenemos la cantidad 3 pero en el segundo
orden, donde las unidades valen 3 cada una. Y así
sucesivamente.

Comprendidos ya los conceptos de representación de
valores y
cantidades según los dígitos o símbolos, queda claro que nuestro sistema
decimal no es más que un artificio del hombre para
simplificar los cálculos, y no un único método de
contar y representar cantidad y números. Es de suponer que
desde sus inicios el hombre
tendió a usar el sistema decimal debido a tenemos 10 dedos
en nuestras manos y era la manera mas fácil de contar.

Es importante mencionar que a veces la gente común, al
estar acostumbrada al uso diario del sistema decimal, da por
hecho que un número colocado a la izquierda de otro
representa siempre múltiplos de 10;y da por hecho que
10+90 es 100, por poner un ejemplo cualquiera, y a veces no son
posibles de concebir otro tipo de representar las cantidades
mediante el uso de otros sistemas de
numeración.

Sistema
Quinario

0=0(5)

1=1(5)

2=2(5)

3=3(5)

4=4(5)

5=10(5)

12=22(5)

20=40(5)

131=511(5)

3008=44013(5)

Queda claro que el proceso es el
mismo para cualquier base. Lo que hay que tener en cuenta es la
posición relativa de los números: siempre la
posición de los números indicarán la
potencia de la
base según la posición sea la primera, segunda,
tercera, etc. multiplicado por la cantidad (dígito) en esa
posición. Dicho de otro modo, se puede decir que cada
unidad escrita la izquierda de otra unidad, vale n veces cada
unidad de la derecha, siendo en la base. Y que en cada orden o
posición relativa, un número de unidades igual a la
base nos dará siempre una unidad del orden o
posición inmediata superior(a la izquierda).

Es por eso que en nuestro sistema decimal escribimos 10.El 1
representa una vez la cantidad 10, el 2 del 20 representa dos
veces 10 y así. Si queremos escribir 10 decenas ya no
podemos escribir en el segundo orden, sino que escribimos un 1 en
el tercer orden que representan esas 10 decenas, o sea 100.En el
número 555, un 5 representa 5 veces 10 ^2, es decir=500;el
otro 5 representa 5 veces 10^1,y el último 5 representa 5
veces 10^0.

Cabe recalcar que siempre con el número 10 escribiremos
el número que corresponda a la base que estamos usando. Es
decir el 4 en base 4 siempre se escribirá 10, el 5 en base
5 se escribirá 10, el 9 en base 9 se escribirá 10,y
así sucesivamente.

Para representar los dígitos mayores a 9 se usan las
letras del alfabeto, según sea la base. Se puede deducir
entonces, que usando un sistema alfanumérico,
podríamos trabajar máximo hasta la base 36.Pasada
dicha base, necesitaríamos nuevos símbolos o
dígitos para representar las cantidades.

Sistema
Hexadecimal

Este sistema utiliza letras para representar cantidades arriba
del 9.Estas son:

A=10

B=11

C=12

D=13

E=14

F=15

Es importante en informática debido a que la unidad
básica de información es el bit, el cuál
representa a un dígito del sistema binario, ya sea 1
ó 0.Si tenemos un bit, la cantidad total de valores que
puede tomar es de dos. Si son 2 en cambio, puede
tomar los valores de
0,1,10 ó 11 es decir 4.La cantidad de valores que puede
tomar un bit viene dada por la sencilla fórmula 2^n,siendo
n el número de bits.

Al agrupar 8 bits tenemos un byte, u octeto. Los bytes
son la unidad en la que se almacena información en las
memorias, de
ahí su importancia. La cantidad de valores que puede tomar
un byte es por tanto 2^8, que es igual a 16 x16.Por lo tanto,
cada byte se puede expresar con un solo número
hexadecimal, que sería 100 con base 16 como máximo.
Cada byte se puede expresar con dos dígitos hexadecimales,
o dos nibbles (un nibble es un grupo de 4
bits).Esto con la finalidad de "empacar" las cantidades y
así no expresar todo en números binarios,lo que
significa mayor espacio de almacenamiento y
una escritura
más tediosa. El sistema hexadecimal actual fue introducido
en el ámbito de la computación por primera vez por
IBM en 1963. Algunos
números decimales expresados como números
hexadecimales:

1283=503(hex)

1036=40F(hex)

2008=7D8(hex)

Se utiliza como subíndice la palabra "hex" en vez
de el número 16,aunque vale recalcar que hex significa 6 y
no 16.

Sistema
Octal

Es el sistema de base 8.Su importancia radica en que el
8 es una potencia exacta de 2 al igual que en 16.Esto se puede
usar en informática para representar cantidades de 3 o 6
bits utilizando 1 ó 2 cifras octales respectivamente,en
vez de utilizar el sistema binario.Otra ventaja es que no utiliza
letras como el sistema hexadecimal,puesto que utiliza los
dígitos del 0 al 7.Si tenemos en cuenta que en algunos
contextos informáticos un byte puede valer 6 bits,este
sistema cobra importancia en la "empaquetación" de
cantidades binarias,al igual que ocurre con el sistema
hexadecimal.

Sistema
Alfanumérico

Este sistema debe su importancia a que utiliza no
sólo todos los dígitos(0-9),sino

también todas las letras del alfabeto
latino(A-Z),a excepción de la letra ñ.La base de
este sistema es el 36.Se puede utilizar en informática,en
situaciones que requieren un almacenamiento de data especial en
base 36,tales como almacenamiento de caracteres
alfanuméricos o simplemente como simplificación de
largos números decimales que pueden ser más
fácilmente identificables como una corta sucesión
de caracteres alfanuméricos.

Conversiones entre Sistemas de
Numeración

De
Base Decimal a cualquier Base

Se divide la cantidad entre la base del sistema al que
se desea convertir, de esta manera:

Deseamos convertir 1453 a base 8:

1453/8=181

Residuo:5

181/8=22

Residuo:5

22/8=2

Residuo:6

El número sería
2655(8)

Este método de divisiones sucesivas se usa
diviendo el número decimal inicial entre la base,para
posteriormente dividir los cocientes entre la base hasta que ya
no se pueda divivir de manera natural.Luego se coge el
último cociente y se cuenta junto con todos los residuos
empezando por el último.Ese número final
será el número decimal inicial convertido al
sistema de la base.

Otro ejemplo:

Deseamos convertir 3829 a base 2:

3829/2=1914

Residuo:1

1914/2=957

Residuo:0

957:2=478

Residuo:1

478/2=239

Residuo:0

239/2=119

Residuo:1

119/2=59

Residuo:1

59/2=29

Residuo:1

29/2=14

Residuo:1

14/2=7

Residuo:0

7/2=3

Residuo:1

3/2=1

Residuo:1

El número final será: 1110 1111
0101(2)

De
cualquier Base a Decimal

Si se tiene un numero en base n,por ejemplo 163,el
proceso es el siguiente:

163(7)

1×7=7 7+6=13

13×7=91 91+3=94

Entonces 163(7) equivale a 94 en base
decimal.

Si tenemos 1001 1001(2):

1×2=2 2+0=2

2×2=4 4+0=4

4×2=8 8+1=9

Entonces 1001 1001(2) equivale a 9 en base
decimal.

Este método es útil para números
grandes, ya que para números pequeños se puede
utilizar el cálculo
mental según las potencias de la base, como se
explicó anteriormente. De ser los números muy
grandes, habría que conocer las tablas de multiplicar de
las diferentes bases, lo que resultaría tedioso. De
ahí la utilización de éste sencillo
método de multiplicaciones y sumas.

De todos modos, es altamente recomendable conocer las
tablas de multiplicar del 2,del 8,y del 16;debido al amplio uso
que se le da a éstos sistemas en informática y
sistemas de computación.

Operaciones
Básicas

Adición

Por ejemplo en el sistema binario:

1101+

0100

10001(2)

1010+

1111

11001(2)

En otros sistemas:

Base 4:

32+

33

131(4)

Este es el llamado método del acarreo. Se suman
el 2 y 3 y nos da 5,luego la diferencia con la base será
de 1 por lo tanto se coloca esa diferencia en el primer orden, y
se lleva el 4 a la izquierda porque el número en la
primera posición contiene 4 unidades del primer orden,
esto equivale a llevar en la izquierda una unidad.,es decir, una
unidad del orden inmediato superior. unidad .Luego tendremos
1+3+3 unidades del segundo orden, pero su diferencia con la base
es de 3,puesto que 7-4=3.Luego se coloca esa diferencia en el
segundo orden y se lleva una unidad a la izquierda, puesto que
tenemos 4 unidades del segundo orden pero éstas equivalen
a una unidad del tercer orden. Este proceso es el mismo para
todos los sistemas.

Conviene resaltar que se lleva una unidad a la izquierda
mas allá de la diferencia entre la suma en un orden y la
base. Es decir si por ejemplo la suma diera exactamente el
número de la base y la diferencia fuera 0,igual se lleva
una unidad a la izquierda porque como ya se ha explicado el
máximo número de dígitos que se puede usar
en una base cualquiera es n-1,siendo n la base. Esto puede
observarse mejor en el ejercicio siguiente:

Base 5:

21+

24

100(5)

El 4 y el 1 se suman y nos da 5,pero como su diferencia
con la base es 0,se coloca 0 en la primera posición u
orden, y se lleva un 1 a la izquierda puesto que si bien la
diferencia es 0,el número contiene 5 unidades del primer
orden que pueden escribirse como 5,sino como una unidad del orden
superior, que deben llevarse al segundo orden como una unidad.
Entonces en el segundo orden tenemos 5 unidades, pero por la
misma razón se escribe uno y se lleva una unidad al orden
inmediato superior, en éste caso el tercer
orden.

Base 8:

66+

47

135(8)

El mismo proceso:6+7=13,se escribe la diferencia con el
8 en el primer orden o sea 5,y llevamos 8 unidades del primer
orden a la izquierda, lo que equivale a una unidad del segundo
orden. En el segundo orden tenemos ahora 1+6+4
unidades.

Escribimos la diferencia, que sería 3 y llevamos
8 unidades a l izquierda, lo cuál equivale una unidad del
orden superior, en éste caso tercer orden.

Sustracción

Por ejemplo en el sistema binario:

1010-

0101

0101(2)

1101-

1011

0010(2)

En base 7:

45-

32

13(7)

603-

233

340(7)

Para la sustracción, se opera de forma similar a
la sustracción en base decimal. Sólo se debe tener
en cuenta que cuando hay una resta de un número menor y
otro mayor, por ejemplo 0-2 o 4-6;el número inmediato de
la izquierda "prestará" una unidad pero ésta
tomará siempre el valor numérico de la base. En el
último ejemplo:3-3=0,luego el 6 le presta una unidad al 0
y éste se convierte en 7(0+7)y se resta con el 3.Luego el
6 queda con 5 unidades y se resta con el 2 para dar 3.El mismo
proceso se utiliza en cualquier sistema.

Un ejemplo más:

Base 9:

7068-

6860

108(9)

Multiplicación

Se procede de forma similar a la multiplicación
decimal.Así:

0110x

10

0+

0110

1100(2)

24x

12

103+

24

343(5)

66x

6

561(7)

68x

32

147

226

2407(9)

Al igual que en la multiplicación decimal,se
opera cada cifra por separado y luego se suman las cantidades. La
diferencia es que cada vez que se tiene un número superior
a la base luego de multiplicar, se coloca el residuo y se "lleva"
las unidades a la izquierda, de manera similar al proceso de
suma. En realidad, no se trata de una diferencia, ya que en el
sistema decimal se utiliza exactamente el mismo proceso,
sólo que al estar tan acostumbrados al uso de este sistema
no nos damos cuenta del mecanismo real de este
proceso.

En el segundo ejemplo simplemente se multiplica 2×4=8
pero como la base es 5 se coloca el residuo y se lleva 1.Luego
2×2=4 pero como llevamos 1,es 5.Como estamos en base 5 se coloca
0 y se lleva 1 a la izquierda. Los números al final se
suman como si estuvieran en base decimal.

En el tercer ejemplo al multiplicar 6*6=36, se pueden
crear confusiones ya que nuestra mente puede pensar en el 36
decimal en un inicio. Entonces, se piensa en el 36 en base 7 que
sería 51 y se coloca 1, llevando el 5 a la izquierda.
Luego de nuevo 6×6=51(7)+5=56 colocado a la izquierda
del 1 inicial, lo que nos da 561(7).

Este método es a mi parecer mas sencillo que el
que se suele enseñar normalmente. Simplemente requiere
tomar los números en parejas, multiplicar
primero

en decimal y luego usar el cálculo mental para
hallar su valor según la base que estemos usando. Luego se
unen los números para hallar el número
final.

Para finalizar el presente trabajo, he
aquí un resumen de algunos sistemas de numeración
usados por culturas antiguas:

Numeración
Romana

La numeración romana es importante actualmente
más por cuestiones de cultura
general que prácticas. Su uso está limitado a la
escritura de capítulos de libros,
inscripciones históricas, en la notación de siglos,
en las sucesiones de los
reyes, en algunos relojes antiguos y para fijar algunas
fechas.

Los símbolos que emplea son:

I que vale 1

V que vale 5

X que vale 10

L que vale 50

C que vale 100

D que vale 500

M que vale 1000

Reglas

1)Todo número colocado a la derecha de otro, que
sea igual o menor que éste, será sumado con ese
otro número. Así:

CL=150

LX=60

XI=11

2)Todo número colocado a la izquierda de otro,
que sea menor a éste, será restado con ese otro
número. Así:

IX=9

CM=900

VL=45

3)No se pueden escribir más de 3 números
iguales seguidos aislados, o a la derecha de otra cifra mayor; ni
más de uno a la izquierda de otra mayor. Así, el 40
no se escribe XXXX sino XL; el 19 no se escribe XVIIII, sino XIX;
el 70 no se escribe XXXC, sino LXX

Numeración
Egipcia

Los egipcios usaban un sistema de numeración de
tipo no posicional, que se llama sistema aditivo. Usaban ciertos
símbolos(jeroglíficos) para representar 1 unidades,
una decena, una centena, un millar, y así sucesivamente.
De aquí se deduce que su sistema tenía base
decimal. Los jeroglíficos usados eran los
siguientes:

Esto implicaba que para representar las cantidades,por
ejemplo un 92,debían usar 9 jeroglíficos de decenas
y 2 jeroglíficos de unidades.Si querían escribir el
número 1345 debían escribir 1 vez el
jeroglíficos que representa millares,3 jeroglíficos
de centenas,4 de decenas y uno de unidades.

El orden de los símbolos, por tanto, no era
importante; y solían disponerse de forma estética según el caso y a veces
iban acompañados de otros símbolos que
representaban el tipo de objetos que representaba esa cantidad.
Aquí se muestran unos jeroglíficos hallados en una
estela en karnak:

Numeración Griega

Usaban un sistema bastante similar al de los egipcios,
siguiendo el mismo principio de numeración aditiva.
Tenían distintos símbolos para representar el 1,el
5,el 10,el 100,el 1000,etc.

Se puede observar cierto principio multiplicativo en
este sistema. Observar por ejemplo que para representar un 50 se
utiliza el símbolo del 5 con el símbolo del 10 en
su interior, lo que significaba 10 veces 5.Para representar un
5000 se utilizaba también el símbolo del 5 con el
símbolo del 1000 en su interior, lo que significaba 1000
veces 5.Este sistema ático fue finalmente reemplazado por
el jónico, que utilizaba las 24 letras del alfabeto griego
y algunos otros símbolos para representar las
cantidades:

Con el presente trabajo he querido dar una visión
completa del concepto de los
sistemas de numeración y sus usos. Normalmente, en las
escuelas y universidades se suele enseñar directamente la
manera de representar los números y las operaciones
básicas, sin dar una explicación completa de lo que
significa un sistema de numeración y de lo que ha sido la
evolución histórica de la manera de
contar del hombre. Entonces, espero que el presente trabajo sea
de ayuda para los interesados en el tema y los que ya conociendo
algunas nociones deseen aprender un poco más.

Bibliografía

Baldor, Aurelio-"Baldor de Aritmética"

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Base_(matem%C3%A1tica)

http://en.wikipedia.org/wiki/Hindu-Arabic_numeral_system

Autor:

José María Carreras
González

Lima – Perú

2008