Análisis de varianza (página 2)

Partes: 1, 2

Se suele representar por MST, se le denomina varianza
total o cuadrados medios
totales, es también un cociente y al numerador se le llama
suma de cuadrados total y se representa por SST, y el denominador
(kn -1) grados de libertad.

Los resultados de un anova se suelen representar en una
tabla como la siguiente:

Fuente de variación	G.L.	SS	MS	F
Entre grupos Tratamientos	k-1	SSA	SSA/(k-1)	MSA/MSE
Dentro Error	(n-1)k	SSE	SSE/k(n-1)
Total	kn-1	SST

Y el cociente F se usa para realizar el contraste de la
hipótesis de medias iguales. La
región crítica
para dicho contraste es F > F(k-1,(n-1)k)a

Algunas propiedades

Es fácil ver en la tabla anterior que

GLerror+ GLtrata = (n – 1) k + k –
1 = nk – k + k – 1 = nk – 1 = GLtotal

No es tan inmediato, pero las sumas de cuadrados cumplen
la misma propiedad,
llamada identidad o
propiedad aditiva de la suma de cuadrados:

SST = SSA + SSE

El análisis de la varianza se puede realizar
con tamaños muestrales iguales o distintos, sin embargo es
recomendable iguales tamaños por dos motivos:

La F es insensible a pequeñas variaciones en la
asunción de igual varianza, si el tamaño es
igual.

Igual tamaño minimiza la probabilidad
de error tipo II.

3.
Modelos de análisis de la
varianza

El anova permite distinguir dos modelos para
la hipótesis
alternativa:

Modelo I o de efectos fijos
en el que la H1 supone que las k muestras son
muestras de k poblaciones distintas y fijas.

Modelo II o de efectos aleatorios
en el que se supone que las k muestras, se han seleccionado
aleatoriamente de un conjunto de m>k poblaciones.

Un ejemplo de modelo I de
anova es que se asume que existen cinco poblaciones (sin
tratamiento, con poca sal, sin sal, etc.) fijas, de las que se
han extraído las muestras.

Un ejemplo de modelo II sería: un investigador
está interesado en determinar el contenido, y sus
variaciones, de grasas en las
células
hepáticas de cobayas; toma del animalario 5 cobayas al
azar y les realiza, a cada una, 3 biopsias
hepáticas.

La manera más sencilla de distinguir entre ambos
modelos es pensar que, si se repitiera el estudio un tiempo
después, en un modelo I las muestras serían iguales
(no los individuos que las forman) es decir
corresponderían a la misma situación, mientras que
en un modelo II las muestras serían distintas.

Aunque las asunciones iniciales y los propósitos
de ambos modelos son diferentes, los cálculos y las
pruebas de
significación son los mismos y sólo difieren en la
interpretación y en algunas pruebas de
hipótesis suplementarias.

Análisis de la varianza de dos
factores

Es un diseño
de anova que permite estudiar simultáneamente los efectos
de dos fuentes de
variación.

En cualquier caso, el investigador puede estar
interesado en estudiar si hay, o no, diferencia en la evolución según el sexo. En un
anova de dos vías se clasifica a los individuos de acuerdo
a dos factores (o vías) para estudiar
simultáneamente sus efectos. En este ejemplo se
harían cinco grupos de tratamiento para los hombres y
otros cinco para las mujeres, en total diez grupos; en general,
si el primer factor tiene a niveles y el segundo tiene b, se
tendrán ab muestras o unidades experimentales, cada una
con n individuos o repeticiones.

Una observación individual se representa
como:

El primer subíndice indica el nivel del primer
factor, el segundo el nivel del segundo factor y el tercero la
observación dentro de la muestra. Los
factores pueden ser ambos de efectos fijos (se habla entonces de
modelo I), de efectos aleatorios (modelo II) o uno de efectos
fijos y el otro de efectos aleatorios (modelo mixto). El modelo
matemático de este análisis es:

Donde  es la media global,  i
o Ai b el efecto del nivel
i del 11 factor, j o Bj e el efecto del nivel j del 2º factor y
ijk las desviaciones aleatorias alrededor de las
medias, que también se asume que están normalmente
distribuidas, son independientes y tienen media 0 y varianza
 2.

A las condiciones de muestreo
aleatorio, normalidad e independencia,
este modelo añade la de aditividad de los efectos de los
factores.

A los términos (  )ij,
(AB)ij, ( B)ij, se les denomina
interacción entre ambos factores y
representan el hecho de que el efecto de un determinado nivel de
un factor sea diferente para cada nivel del otro
factor.

Para entender mejor este concepto de
interacción veamos un ejemplo sencillo sobre un anova de
dos factores, cada uno con dos niveles: supóngase un
estudio para analizar el efecto de un somnífero teniendo
en cuenta el sexo de los sujetos. Se
eligen al azar dos grupos de hombres y otros dos de mujeres. A un
grupo de
hombres y otro de mujeres se les suministra un placebo y a los
otros grupos el somnífero. Se mide el efecto por el
tiempo que los sujetos tardan en dormirse
desde el suministro de la píldora.

Se trata de un anova de dos factores (sexo y
fármaco) fijos, cada uno con dos niveles (hombre y
mujer para el
sexo y somnífero y placebo para el fármaco). Los
dos tipos de resultados posibles se esquematizan en la
figura

En la figura A se observa que las mujeres tardan
más en dormirse, tanto en el grupo tratado como en el
grupo placebo (hay un efecto del sexo) y que los tratados con
placebo tardan más en dormirse que los tratados con
somnífero en ambos sexos (hay un efecto del tratamiento).
Ambos efectos son fácilmente observables.

Sin embargo en la figura B es difícil cuantificar
el efecto del somnífero pues es distinto en ambos sexos y,
simétricamente, es difícil cuantificar el efecto
del sexo pues es distinto en ambos grupos de tratamiento. En este
caso, se dice que existe interacción.

Podría, incluso, darse el caso de que se
invirtieran los efectos de un factor para los distintos niveles
del otro, es decir, que las mujeres se durmieran antes con el
somnífero y los hombres antes con el placebo.

La interacción indica, por tanto, que los efectos
de ambos factores no son aditivos: cuando se dan juntos, su
efecto no es la suma de los efectos que tienen cuando
están por separado, por lo que, si en un determinado
estudio se encuentra interacción entre dos factores, no
tiene sentido estimar los efectos de los factores por separado. A
la interacción positiva, es decir, cuando el efecto de los
factores actuando juntos es mayor que la suma de efectos actuando
por separado, en Biología se le
denomina sinergia o
potenciación y a la interacción negativa
inhibición. En el ejemplo de la figura B, se diría
que el ser mujer inhibe el efecto del somnífero, o que el
ser hombre lo potencia
(según el sexo que se tome como referencia).

4.
Análisis de Varianza a una vía: Diseño
completamente aleatorizado

Hay varias formas en las cuales puede diseñarse
un experimento ANOVA. Quizás el más común es
el diseño completamente aleatorizado a una vía. El
término proviene del hecho que varios sujetos o unidades
experimentales se asignan aleatoriamente a diferentes niveles de
un solo factor. Por ejemplo: varios empleados (unidades
experimentales) pueden seleccionarse aleatoriamente para
participar en diversos tipos (niveles diferentes) de un programa de
capacitación (el factor).

El análisis de varianza se basa en una
comparación de la cantidad de variación en cada uno
de los tratamientos. Si de un tratamiento al otro la
variación es significativamente alta, puede concluirse que
los tratamientos tienen efectos diferentes en las
poblaciones.

Esta variación entre el número total de
las 14 observaciones. Esto se llama variación
total.
Existe variación entre los diferentes
tratamientos (muestras). Esto se llama variación
entre muestras.
Existe variación dentro de un tratamiento dado
(muestra). Esto se denomina variación dentro de la
muestra.

5. Fundamentos
del ANOVA

Para determinar si tratamientos diferentes tienen
efectos diferentes en sus respectivas poblaciones, se hizo una
comparación entre la variación dentro de las
muestras y la variación entre muestras. La
variación de los puntajes de una muestra dada puede ser
productiva por una variedad de factores: la inhabilidad innata de
los empleados en dicha muestra, la
motivación personal, los
esfuerzos individuales y la destreza, el factor suerte, y una
gran cantidad de otras circunstancias aleatorias. El tratamiento
en sí mismo no producirá ninguna variación
en las observaciones dentro de alguna muestra, debido a que todas
las observaciones en dicha muestra reciben el mismo
tratamiento.

Es un asunto diferente con la variación entre
muestras. La variación en los puntajes entre muestras
puede producirse por el mismo factor aleatorio que la
variación dentro de una muestra, mas toda influencia
adicional que puedan tener los tratamientos diferentes. Puede
existir un efecto tratamiento entre muestras debido a que
cada muestra es un tratamiento diferente.

Efecto del tratamiento: como las muestras
diferentes tienen tratamientos distintos, la variación
entre las muestras puede ser producida por los efectos de
tratamientos diferentes.

Si un efecto del tratamiento existe, puede detectarse
comparando la variación entre las muestras y la
variación dentro de las muestras. Si la variación
entre las muestras es significativamente mayor que la
variación dentro de las muestras, un fuerte efecto de
tratamiento está presente. Esta diferencia entre la
variación entre muestras y variación dentro de las
muestras es precisamente lo que mide el análisis de
varianza. El análisis de varianza es una relación
de la variación entre muestras con la variación
dentro de las muestras. Si los tratamientos diferentes tienen
efectos diferentes, la variación entre muestras
crecerá, haciendo que la razón aumente. Esta
razón se basa en la razón F presentada en la
secciona anterior.

La razón F tal y como se utiliza en ANOVA: La
razón F es una razón de la variación entre
muestras y la variación dentro de las
muestras.

De nuevo, la variación entre muestras puede ser
producida en parte por tratamientos diferentes. La
variación dentro de una muestra dada puede ser producida
solo por factores aleatorios como la suerte, la destreza, y la
motivación de los empleados. Dicha
variación es independiente del tratamiento y es el
resultado solo del error de muestreo aleatorizado dentro
de la muestra.

La razón F: cuando las medias poblacionales
son diferentes, el efecto del tratamiento está presente y
las desviaciones entre las muestras serán grandes
comparadas con la desviación del error dentro de una
muestra. Por tanto, el valor F
aumentara, lo cual es una razón de la variación del
tratamiento y de la variación del error.

La variación total es igual a la variación
producida por los tratamientos diferentes, más la
variación producida por elementos de error aleatorios
dentro de los tratamientos, como la destreza, la suerte y la
motivación. Es decir,

Variación Total =
variación del tratamiento + variación del
error

6. Contrastes
de hipótesis en un análisis de la varianza de dos
factores

Con el análisis de3 varianza a una vía, se
pensó que solo un factor influenciaba las unidades
experimentales. Sin embargo, con frecuencia se encuentra que una
segunda influencia exterior puede impactar las unidades
experimentales. Por ejemplo, el interés
puede ser comparar la productividad
promedio de los tres tipos de maquinas (tratamientos). Sin
embargo, se observa que al probar estas maquinas, la destreza del
operador y su experiencia pueden afectar la producción de la maquina, produciendo
confusión sobre cuál máquina es realmente
mejor. Así, para obtener un panorama no contaminado y
claro de la capacidad de la maquina, se debe eliminar de alguna
manera o corregir, la influencia del operador sobre la
producción final. Esta consideración
simultánea de las dos fuerzas requiere del
análisis de varianza a dos vías.

Para obtener una medida decisiva de la capacidad de la
maquina, se debe bloquear el factor externo, colocando las
observaciones en grupos homogéneos con base en los
años de experiencia. Así, las observaciones se
clasifican tanto por bloques como por tratamientos. El
propósito del bloqueo es reducir la variación
dentro de un tratamiento. Este diseño experimental se
llama diseño aleatorio en bloques.

Si los bloques se realizan de manera efectiva y se basan
en un factor que verdaderamente afecte la productividad, se
obtiene una medida más pura del efecto del tratamiento.
Sin embargo, si el factor seleccionado para el bloqueo no afecta
la productividad, los resultados pueden ser engañosos. Es
importante determinar si el bloqueo se hace o no correctamente, y
si el factor en el que se basa el bloqueo si tiene cierto
impacto.

Con el análisis de varianza a dos vías, la
suma de los cuadrados total se divide en tres partes: la suma de
cuadrados del tratamiento (SCTR), suma de cuadrados del error, y
la suma de cuadrados de bloques (SCBL).

SCT y SCTR se calculan de la misma forma que en el
análisis de varianza a una vía. Sin embargo SCE se
subdivide en una medida para SCE y SCBL.

Del mismo modo que se hizo en el anova de una
vía, para plantear los contrastes de hipótesis
habrá que calcular los valores
esperados de los distintos cuadrados medios. Los resultados
son:

Modelo I

Por lo tanto, los estadísticos MSAB/MSE, MSA/MSE
y MSB/MSE se distribuyen como una F con los grados de libertad
correspondientes y permiten contrastar, respectivamente, las
hipótesis:

No existe interacción (MSAB/MSE)

No existe efecto del primer factor, es decir,
diferencias entre niveles del primer factor (MSA/MSE)

No existe efecto del segundo factor (MSB/MSE)

Si se rechaza la primera hipótesis de no
interacción, no tiene sentido contrastar las siguientes.
En este caso lo que está indicado es realizar un
análisis de una vía entre las ab combinaciones de
tratamientos para encontrar la mejor combinación de los
mismos.