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Fracciones parciales, ejemplos resueltos (página 2)

Enviado por Luis Teschi

Partes: 1, 2


= ∫ 1 d x + ∫ 1/((x - 1) (x + 1)) d x

<br />          Separando la fraccion 1/((x - 1) (x + 1)) en fracciones parciales . <br />         

= ∫ 1 d x + ∫ (1/(2 (x - 1)) - 1/(2 (x + 1))) d x

<br />          Integrando 1/(2 (x - 1)) - 1/(2 (x + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= ∫ 1 d x + 1/2 ∫ 1/(x - 1) d x - 1/2 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya s = x + 1, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/2 ∫ 1/s d s + 1/2 ∫ 1/(x - 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x - 1), <br />          sustituya t = x - 1, <br />          d t = 1 d x . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/2 ∫ 1/s d s + 1/2 ∫ 1/t d t

<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/2 ∫ 1/s d s + log(t)/2

<br />          La integral de 1/s es log(s) . <br />         

= ∫ 1 d x - log(s)/2 + log(t)/2

<br />          La integral de 1 es x . <br />         

= x - log(s)/2 + log(t)/2 + ÷r

<br />          Resustituyendo t = x - 1 . <br />         

= x - log(s)/2 + 1/2 log(x - 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x + 1 . <br />         

= x + 1/2 log(x - 1) - 1/2 log(x + 1) + ÷r

 

 3)     ∫ x^3/(x^2 - 1) d x

<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d s = 2 x d x . <br />         

= ∫ s/(2 (s - 1)) d s

<br />          Factorizando constantes . <br />         

= 1/2 ∫ s/(s - 1) d s

<br />          Sustitución <br />          t = s - 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         

= 1/2 ∫ (1 + 1/t) d t

<br />          Integrando la suma térmimo-por-término . <br />         

= 1/2 ∫ 1 d t + 1/2 ∫ 1/t d t

<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         

= 1/2 ∫ 1 d t + log(t)/2

<br />          La integral de 1 es t . <br />         

= t/2 + log(t)/2 + ÷r

<br />          Resustituyendo t = s - 1 . <br />         

= (s - 1)/2 + 1/2 log(s - 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x^2 . <br />         

= 1/2 (x^2 - 1) + 1/2 log(x^2 - 1) + ÷r

<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         

= 1/2 (x^2 + log(x^2 - 1) - 1) + ÷r

 

 4)       ∫ 1/(x^2 + 1) d x

<br />          La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . <br />         

= tan^(-1)(x) + ÷r

 

5)

∫ x^2/(x^2 + 1) d x<br />          Haciendo divisió larga . <br />         = ∫ (1 - 1/(x^2 + 1)) d x<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         = ∫ 1 d x - ∫ 1/(x^2 + 1) d x<br />          La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . <br />         = ∫ 1 d x - tan^(-1)(x)<br />          La integral de 1 es x . <br />         = x - tan^(-1)(x) + ÷r

 

6)

∫ x^3/(x^2 + 1) d x

<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d s = 2 x d x . <br />         

= ∫ s/(2 (s + 1)) d s

<br />          Factorizando constantes . <br />         

= 1/2 ∫ s/(s + 1) d s

<br />          Sustitución <br />          t = s + 1, <br />          d t = 1 d s . <br />         

= 1/2 ∫ (t - 1)/t d t

<br />          Dividiendo por t . <br />         

= 1/2 ∫ (1 - 1/t) d t

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= 1/2 ∫ 1 d t - 1/2 ∫ 1/t d t

<br />          La integral de 1/t es log(t) . <br />         

= 1/2 ∫ 1 d t - log(t)/2

<br />          La integral de 1 es t . <br />         

= t/2 - log(t)/2 + ÷r

<br />          Resustituyendo t = s + 1 . <br />         

= (s + 1)/2 - 1/2 log(s + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x^2 . <br />         

= 1/2 (x^2 + 1) - 1/2 log(x^2 + 1) + ÷r

<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         

= 1/2 (x^2 - log(x^2 + 1) + 1) + ÷r

7)

∫ 1/(x^3 + 1) d x

<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         

= ∫ 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) d x

<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         

= ∫ ((2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1))) d x

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x + 1/3 ∫ (2 - x)/(x^2 - x + 1) d x

<br />          Completando el cuadrado in (2 - x)/(x^2 - x + 1) . <br />         

= 1/3 ∫ (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= 1/3 ∫ (3/2 - s)/(s^2 + 3/4) d s + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (3/2 - s)/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Integrando la suma (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término . <br />         

= 1/3^(1/2) ∫ 1/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante t/(t^2 + 1), <br />          sustituya w = t^2 + 1, <br />          d w = 2 t d t . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/y d y

<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - 1/6 ∫ 1/w d w + log(y)/3

<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - log(w)/6 + log(y)/3 + ÷r

<br />          Resustituyendo y = x + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - log(w)/6 + 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo w = t^2 + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) - 1/6 log(t^2 + 1) + 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) + 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/3 log(x + 1) - 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + ÷r

 

8)

∫ x/(x^3 + 1) d x

<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         

= ∫ x/((x + 1) (x^2 - x + 1)) d x

<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         

= ∫ ((x + 1)/(3 (x^2 - x + 1)) - 1/(3 (x + 1))) d x

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= 1/3 ∫ (x + 1)/(x^2 - x + 1) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Completando el cuadrado in (x + 1)/(x^2 - x + 1) . <br />         

= 1/3 ∫ (x + 1)/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (x + 1)/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= 1/3 ∫ (s + 3/2)/(s^2 + 3/4) d s - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (s + 3/2)/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ ((3^(1/2) t)/2 + 3/2)/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Integrando la suma ((3^(1/2) t)/2 + 3/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término . <br />         

= 1/3^(1/2) ∫ 1/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante t/(t^2 + 1), <br />          sustituya w = t^2 + 1, <br />          d w = 2 t d t . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/y d y

<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 ∫ 1/w d w - log(y)/3

<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - log(y)/3 + ÷r

<br />          Resustituyendo y = x + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo w = t^2 + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 log(t^2 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + ÷r

 

9)

∫ x^3/(x^3 + 1) d x

<br />          Haciendo divisió larga . <br />         

= ∫ (1 - 1/((x + 1) (x^2 - x + 1))) d x

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= ∫ 1 d x - ∫ 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) d x

<br />          Separando la fraccion 1/((x + 1) (x^2 - x + 1)) en fracciones parciales . <br />         

= ∫ 1 d x - ∫ ((2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1))) d x

<br />          Integrando (2 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1)) término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x - 1/3 ∫ (2 - x)/(x^2 - x + 1) d x

<br />          Completando el cuadrado in (2 - x)/(x^2 - x + 1) . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (2 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/3 ∫ (3/2 - s)/(s^2 + 3/4) d s - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (3/2 - s)/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         

= ∫ 1 d x - 2/(3 3^(1/2)) ∫ (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Integrando la suma (3/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término . <br />         

= ∫ 1 d x - 1/3^(1/2) ∫ 1/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         

= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante t/(t^2 + 1), <br />          sustituya w = t^2 + 1, <br />          d w = 2 t d t . <br />         

= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/y d y

<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         

= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + 1/6 ∫ 1/w d w - log(y)/3

<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         

= -tan^(-1)(t)/3^(1/2) + ∫ 1 d x + log(w)/6 - log(y)/3

<br />          La integral de 1 es x . <br />         

= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - log(y)/3 + ÷r

<br />          Resustituyendo y = x + 1 . <br />         

= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + log(w)/6 - 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo w = t^2 + 1 . <br />         

= x - tan^(-1)(t)/3^(1/2) + 1/6 log(t^2 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         

= x - tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/3^(1/2) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         

= x - tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/3^(1/2) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + ÷r

 

10)

∫ 1/((x + 1) (x^3 + 1)) d x

<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         

= ∫ 1/((x + 1)^2 (x^2 - x + 1)) d x

<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         

= ∫ ((1 - x)/(3 (x^2 - x + 1)) + 1/(3 (x + 1)) + 1/(3 (x + 1)^2)) d x

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x + 1/3 ∫ (1 - x)/(x^2 - x + 1) d x

<br />          Completando el cuadrado in (1 - x)/(x^2 - x + 1) . <br />         

= 1/3 ∫ (1 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (1 - x)/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= 1/3 ∫ (1/2 - s)/(s^2 + 3/4) d s + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (1/2 - s)/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ (1/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Integrando la suma (1/2 - (3^(1/2) t)/2)/(t^2 + 1) téermino-por-término . <br />         

= 1/(3 3^(1/2)) ∫ 1/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante t/(t^2 + 1), <br />          sustituya w = t^2 + 1, <br />          d w = 2 t d t . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x + 1)^2, <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x + 1/3 ∫ 1/y^2 d y

<br />          La integral de 1/y^2 es -1/y . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x - 1/(3 y)

<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/y d y - 1/(3 y)

<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/6 ∫ 1/w d w + log(y)/3 - 1/(3 y)

<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - log(w)/6 + log(y)/3 - 1/(3 y) + ÷r

<br />          Resustituyendo y = x + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - log(w)/6 + 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo w = t^2 + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) - 1/6 log(t^2 + 1) + 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) - 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) + 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) + 1/3 log(x + 1) - 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         

= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 6 x log(x + 1) + 6 log(x + 1) - 3 x log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 3 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 6)/(18 (x + 1)) + ÷r

 

11)

∫ x/((x + 1) (x^3 + 1)) d x

<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         

= ∫ x/((x + 1)^2 (x^2 - x + 1)) d x

<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         

= ∫ (1/(3 (x^2 - x + 1)) - 1/(3 (x + 1)^2)) d x

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= 1/3 ∫ 1/(x^2 - x + 1) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x

<br />          Completando el cuadrado in 1/(x^2 - x + 1) . <br />         

= 1/3 ∫ 1/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x

<br />          Para el integrante 1/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= 1/3 ∫ 1/(s^2 + 3/4) d s - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x

<br />          Para el integrante 1/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ 1/(t^2 + 1) d t - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x

<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         

= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) - 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x

<br />          Sustitución <br />          w = x + 1, <br />          d w = 1 d x . <br />         

= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) - 1/3 ∫ 1/w^2 d w

<br />          La integral de 1/w^2 es -1/w . <br />         

= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 w) + ÷r

<br />          Resustituyendo w = x + 1 . <br />         

= (2 tan^(-1)(t))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         

= (2 tan^(-1)((2 s)/3^(1/2)))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         

= (2 tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)))/(3 3^(1/2)) + 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         

= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 3)/(9 (x + 1)) + ÷r

 

12)

∫ x^2/((x + 1) (x^3 + 1)) d x

<br />          Factorizando el denominador en términos lineales y <br />          términos quadraticos irreducibles . <br />         

= ∫ x^2/((x + 1)^2 (x^2 - x + 1)) d x

<br />          Separando las fracciones en fracciones parciales . <br />         

= ∫ (x/(3 (x^2 - x + 1)) - 1/(3 (x + 1)) + 1/(3 (x + 1)^2)) d x

<br />          Integrando la suma término-por-término y factorizando las constantes . <br />         

= 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x + 1/3 ∫ x/(x^2 - x + 1) d x

<br />          Completando el cuadrado in x/(x^2 - x + 1) . <br />         

= 1/3 ∫ x/((x - 1/2)^2 + 3/4) d x + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante x/((x - 1/2)^2 + 3/4), <br />          sustituya s = x - 1/2, <br />          d s = 1 d x . <br />         

= 1/3 ∫ (s + 1/2)/(s^2 + 3/4) d s + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante (s + 1/2)/(s^2 + 3/4), <br />          sustituya t = (2 s)/3^(1/2), <br />          d t = 2/3^(1/2) d s . <br />         

= 2/(3 3^(1/2)) ∫ ((3^(1/2) t)/2 + 1/2)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Factorizando las constantes from ((3^(1/2) t)/2 + 1/2)/(t^2 + 1) . <br />         

= 1/(3 3^(1/2)) ∫ (3^(1/2) t + 1)/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Integrando la suma (3^(1/2) t + 1)/(t^2 + 1) téermino-por-término . <br />         

= 1/(3 3^(1/2)) ∫ 1/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          La integral de 1/(t^2 + 1) es tan^(-1)(t) . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/3 ∫ t/(t^2 + 1) d t + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante t/(t^2 + 1), <br />          sustituya w = t^2 + 1, <br />          d w = 2 t d t . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/6 ∫ 1/w d w + 1/3 ∫ 1/(x + 1)^2 d x - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x

<br />          Para el integrante 1/(x + 1)^2, <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x + 1/3 ∫ 1/y^2 d y

<br />          La integral de 1/y^2 es -1/y . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/(x + 1) d x - 1/(3 y)

<br />          Para el integrante 1/(x + 1), <br />          sustituya y = x + 1, <br />          d y = 1 d x . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/6 ∫ 1/w d w - 1/3 ∫ 1/y d y - 1/(3 y)

<br />          La integral de 1/y es log(y) . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/6 ∫ 1/w d w - log(y)/3 - 1/(3 y)

<br />          La integral de 1/w es log(w) . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + log(w)/6 - log(y)/3 - 1/(3 y) + ÷r

<br />          Resustituyendo y = x + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + log(w)/6 - 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo w = t^2 + 1 . <br />         

= tan^(-1)(t)/(3 3^(1/2)) + 1/6 log(t^2 + 1) - 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo t = (2 s)/3^(1/2) . <br />         

= tan^(-1)((2 s)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) + 1/6 log((4 s^2)/3 + 1) - 1/3 log(x + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Resustituyendo s = x - 1/2 . <br />         

= tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2))/(3 3^(1/2)) - 1/3 log(x + 1) + 1/6 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 1/(3 (x + 1)) + ÷r

<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
 

= (2 3^(1/2) x tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) + 2 3^(1/2) tan^(-1)((2 x - 1)/3^(1/2)) - 6 x log(x + 1) - 6 log(x + 1) + 3 x log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) + 3 log(1/3 (2 x - 1)^2 + 1) - 6)/(18 (x + 1)) + ÷r

 

 

 

Autor:

Luis Teschi


Partes: 1, 2


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