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Integración por sustitución trigonométrica (página 2)




Enviado por Luis Teschi



Partes: 1, 2

 Ejercicios
resueltos

En los siguientes ejercicios, obtenga la
integral indefinida:

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

Documento Microsoft Office Word

Documento Microsoft Office Word

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

S o l u c i o n e s

 MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

Imagen de mapa de bits

Sustituyendo estos valores en
(1), se obtiene:

MathType 5.0 Equation

 MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

Imagen de mapa de bits

(Fig.1)

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

MathType 5.0 Equation

 MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

 Documento Microsoft Office Word

Documento Microsoft Office Word

Imagen de mapa de bits

Documento Microsoft Office Word

 Documento Microsoft Office Word

Documento Microsoft Office Word

Imagen de mapa de bits

Documento de Microsoft Word

 MathType 5.0 Equation

Documento Microsoft Office Word

Integración por
sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones
trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas
integrales
cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

$displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},;sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$con
$a > 0$y $b>0$

La sustitución trigonométrica permite
transformar una integral en otra que contiene funciones
trigonométricas cuyo proceso de
integración es más sencillo.

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:

A
.       
El integrando contiene una función de
la forma $displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$con $a>0; , ;b>0$

Se hace el cambio de
variable escribiendo

$displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta,}$donde
$theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[; y ;x;varepsilon left]frac{-a}{b}, frac{a}{b}right[$

Si $displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta}$entonces
$dx = frac{a}{b};cos;theta;dtheta$

Además:

$displaystyle {=sqrt{a^{2}(1-sen^{2}theta)} = sqrt{a^{2};cos^{2}theta} = vert a;cos;thetavert = a;cos;theta,}$pues
$a > 0$y como

$displaystyle {theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$entonces
$cos;theta>0$por lo que $vert a;cos;thetavert = a;cos;theta$

Luego: $displaystyle {sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a;cos;theta}$

Como $displaystyle {x =frac{a}{b};sen;theta}$entonces
$sen;theta = frac{bx}{a} ; y; theta = arcsenleft(frac{bx}{a}right)$

Para este caso, las otras funciones trigonométricas
pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:

1.

$displaystyle {int sqrt{16 - x^{2}};dx; x varepsilon ]-4,4[}$

Sea $displaystyle {x = 4;sen;theta}$con $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 4;cos;theta; d theta}$

Luego: $displaystyle {16-x^{2} = 16-16;sen^{2}theta = 16;(1-sen^{2}theta) = 16;cos^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{16-x^{2}} = 4;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = int 4;cos;theta cdot 4;cos;theta;dtheta = 16int cos^{2}theta;dtheta}$

$displaystyle {= 16int frac{1+cos;2theta}{2};dtheta = 8int (1+cos;2theta);dtheta}$

$displaystyle {= 8;(theta + frac{1}{2};sen;theta) + C}$

$displaystyle {= 8theta + 4cdot 2;sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {= 8theta + 8;sen;theta;cos;theta + C}$

Como $displaystyle {x = 4;sen;theta}$entonces $displaystyle {sen;theta = frac{x}{4}}$y $displaystyle {theta = arcsenleft(frac{x}{4}right)}$

Además $displaystyle {sqrt{16-x^{2}} = 4;cos;theta}$por lo que
$displaystyle {cos;theta = frac{sqrt{16-x^{2}}}{4}}$

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de
la figura siguiente:

Por último:

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = 8;theta + 8;sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {=8;arcsenleft(frac{x}{4}right) + 8cdot frac{x}{4}cdot frac{sqrt{16-x^{2}}}{4} + C}$

$displaystyle {int sqrt{16-x^{2}};dx = 8;arcsenleft(frac{x}{4}right) + frac{xsqrt{16-x^{2}}}{2} + C}$

2.

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}},; x varepsilon left]frac{-5}{2},frac{5}{2}right[}$

Sea $displaystyle {x = frac{5}{2};sen;theta,; theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = frac{5}{2};cos;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {25-4x^{2} = 25-4cdot frac{25}{4};sen^{2}theta = 25-25;sen^{2}theta}$

$displaystyle {25-4x^{2} = 25(1-sen^{2}theta) = 25;cos^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{25-4x^{2}} = 5;cos;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}} = int frac{frac{5}{2};cos... ...sen;thetacdot 5;cos;theta} = frac{1}{5}int frac{dtheta}{sen;theta}}$

$displaystyle {=frac{1}{5}int csc;theta;dtheta}$

$displaystyle {=frac{1}{5} ;lnvert csc;theta - cot;thetavert + C}$

Como $displaystyle {x = frac{5}{2};sen;theta}$entonces
$displaystyle {sen;theta = frac{2x}{5}}$por lo que puede
utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:

$displaystyle {csc;theta = frac{1}{sen;theta} = frac{1}{frac{2x}{5}} = frac{5}{2x}}$

 

Luego:

$displaystyle {int frac{dx}{xsqrt{25-4x^{2}}} = frac{1}{5};lnleftvertfrac{5}{2x} - frac{sqrt{25-4x^{2}}}{2x} rightvert + C }$

3.

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{4-x^{2}}},; x varepsilon ]-2,2[}$

Sea $displaystyle {x = 2;sen;theta; hspace{2cm} theta;varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;cos;theta;dtheta}$

Además: $displaystyle {4-x^{2} = 4-4;sen^{2}theta = 4;cos^{2}theta}$

$displaystyle { sqrt{4-x^{2}} = 2;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{4-x^{2}}} = int frac{(2;sen;theta)^{2};2;cos;theta;dtheta}{2;cos;theta}= 4 int sen^{2}theta ;dtheta}$

$displaystyle {= 4int frac{1-cos;2theta}{2};dtheta = 2 int (1 - cos;2theta);dtheta}$

$displaystyle {= 2left(theta - frac{1}{2};sen;2thetaright) + C}$

$displaystyle {= 2theta - 2;sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {= 2;arcsenleft(frac{x}{2}right) - 2;cdot frac{x}{2} cdot frac{sqrt{4-x^{2}}}{2} + C}$

$displaystyle {= 2;arcsenleft(frac{x}{2}right) - frac{x;(4-x^{2})}{2} + C}$

4.

$displaystyle {int frac{dx}{(5-x^{2})^{frac{3}{2}}},; x varepsilon ]-sqrt{5},sqrt{5}[}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{5};sen;theta; hspace{2cm} theta;varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{5};cos;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {5-x^{2} = 5-5;sen^{2}theta = 5;cos^{2}theta}$

$displaystyle {(5-x^{2})^{frac{3}{2}} = (5;cos^{2}theta)^{frac{3}{2}} = sqrt{(5;cos^{2}theta)^{3}}}$

$displaystyle {(sqrt{5};cos;theta)^{3} = 5;sqrt{5};cos^{3}theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{(5-x^{2})^{frac{3}{2}}} = int frac{sqrt{5};c... ...} int frac{dtheta}{cos^{2}theta} = frac{1}{5} int sec^{2}theta;dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{5};tan;theta + C}$

$displaystyle {= frac{1}{5}cdot frac{x}{sqrt{5-x^{2}}} + C}$

pues $displaystyle {sen;theta = frac{x}{sqrt{5}}}$y
$displaystyle {cos;theta = frac{sqrt{5-x^{2}}}{sqrt{5}}}$

También puede utilizarse:

5.

$displaystyle {int x^{2};sqrt{25-x^{2}};dx}$ 
Ejercicio para el estudiante

6.

$displaystyle {int frac{x^{2}}{(4-x)^{frac{3}{2}}};dx}$       
Ejercicio para el estudiante

7.

$displaystyle {int frac{x^{3};dx}{sqrt{16-x^{2}}}}$          
Ejercicio para el estudiante

B)         
   El integrando contiene una
expresión de la forma $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$con $a>0; , ;b>0$

Hacemos un cambio de variable escribiendo $displaystyle {x = frac{a}{b};tan;theta,}$donde
$displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$y
$x varepsilon I!!R$

Si $displaystyle {x = frac{a}{b};tan;theta}$entonces
$displaystyle {dx = frac{a}{b};sec^{2}theta;dtheta}$

Además $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = sqrt{a^{2} + b^{2} cdot frac{a^{2}}{b^{2}};tan^{2}theta} = sqrt{a^{2} + a^{2};tan^{2}theta}}$

$displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = sqrt{a^{2}(1+tan^{2}theta )} = sqrt{a^{2};sec^{2}theta} = vert a;sec;thetavert}$

Como ${a>0}$y $displaystyle {theta; varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$entonces
$displaystyle {sen;theta = frac{1}{cos;theta}}$es
positiva

y por tanto $displaystyle {sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a;sec;theta}$

Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a
partir de la siguiente figura:

        
Ejemplos:

1.

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}}}$

Sea $displaystyle {x = 2;tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;sec^{2}theta;dtheta}$

Luego: $displaystyle {4+x^{2} = 4+4;tan^{2}theta = 4(1 + tan^{2}theta)}$

$displaystyle {4+x^{2} = 4;sec^{2}theta }$

$displaystyle {sqrt{4+x^{2}} = sqrt{4;sec^{2}theta} = vert 2;sec;thetavert = 2;sec;Theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}} = int frac{2;sec^{2}theta;dtheta}{2;sec;theta} = int sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {ln;vert sec;theta+ tan;thetavert + C}$

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{4+x^{2}}} = lnleftvert frac{sqrt{4+x^{2}}}{2} + frac{x}{2}rightvert + C}$

2.

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{x^{2}+6}}}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{6};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{6};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego: $displaystyle {x^{2} + 6 = 6;tan^{2}theta + 6 = 6(tan^{2}theta + 1) = 6;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}+6} = sqrt{6;sec^{2}theta} = sqrt{6};sec;theta... ...heta>0 si theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[right)}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{x^{2}}{sqrt{^{2}+6}};dx = int frac{6;tan^{2}the... ...a;dtheta}{sqrt{6};sec;theta} = 6int tan^{2}theta;sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {= 6 int (sec^{2}theta - 1);sec;theta;dtheta = 6int(sec^{3} - sec;theta);dtheta}$

$displaystyle {= 6 left[frac{1}{2}(sec;theta;tan;theta) + ln;vert sec... ...eta + tan;thetavertright] -6;ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {= 3 sec;theta;tan;theta - 3;ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {= 3 cdot frac{sqrt{x^{2}+6}}{sqrt{6}}cdot frac{x}{sqrt{6}... ...;leftvertfrac{sqrt{x^{2}+6}}{sqrt{6}} + frac{x}{sqrt{6}}rightvert + C}$

$displaystyle {= frac{xsqrt{x^{2}+6}}{2} - 3;ln;leftvertfrac{sqrt{x^{2}+6} + x}{sqrt{6}}rightvert + C}$

3.

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}}}$

Sea $displaystyle {x = frac{3}{2};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = frac{3}{2};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {9 + 4x^{2} = 9 + 4cdot frac{9}{4};tan^{2}theta = 9 + 9;tan^{2}theta = 9(1 + tan^{2}theta)}$

$displaystyle {9 + 4x^{2} = 9;sec^{2}theta}$

$displaystyle {(9 + 4x^{2})^{frac{3}{2}} = (9;sec^{2}theta)^{frac{3}{2}} = (9;sec^{2}theta)^{3}}$

$displaystyle {(9 + 4x^{2})^{frac{3}{2}} = (3;sec;theta)^{3} = 27;sec^{3}theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}} = int frac{frac{3... ...}theta};dtheta = frac{1}{12} int frac{tan;theta;dtheta}{sec;theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{12} int frac{frac{sen;theta}{cos;theta}}{frac... ...heta = frac{1}{12} int sen;theta;dtheta = frac{1}{12}(-cos;theta) + C}$

Como

$displaystyle {tan;theta = frac{2x}{3}}$de la
sustitución inicial

Por tanto:

$displaystyle {int frac{x;dx}{(9+4x^{2})^{frac{3}{2}}} = frac{-1}{12} cdotfrac{3}{sqrt{9+4x^{2}}} + C}$

$displaystyle {= frac{-1}{4sqrt{9+4x^{2}}} + C }$

4.

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}}}$

Sea $displaystyle {x = sqrt{3};tan;theta, theta varepsilon left]frac{-Pi}{2}, frac{Pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = sqrt{3};sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {x^{2} + 3 = 3;tan^{2}theta + 3 = 3(tan^{2}theta + 1) = 3;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}+3} = sqrt{3;sec^{2}theta} = sqrt{3};sec;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}} = int frac{sqrt{3};sec^{... ...{3};sec;theta} = frac{1}{9}int frac{sec;theta;dtheta}{tan^{4}theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int frac{cos^{4}theta}{cos;thetacdot sen^{4}theta};dtheta = frac{1}{9}int frac{cos^{3}theta}{sen^{4}theta};dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int frac{(1-sen^{2}theta)cos;theta}{sen^{4}t... ...n^{4}theta}- frac{sen^{2}theta;cos;theta}{sen^{4}theta}right);dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9} int cos;theta(sen;theta)^{-4};dtheta - frac{1}{9}int cos;theta(sen;theta)^{-2};dtheta}$

$displaystyle {= frac{1}{9};frac{(sen;theta)^{-3}}{-3} - frac{1}{9};frac{(sen;theta)^{-1}}{-1} + C}$

$displaystyle {= frac{-1}{27;sen^{3}theta} + frac{csc;theta}{9} + C}$

Como $displaystyle {x = sqrt{3};tan;theta}$entonces
$displaystyle {tan;theta = frac{x}{3}}$

Por lo que:

se obtiene: $displaystyle {sen;theta = frac{x}{sqrt{x^{2}+3}}, csc;theta = frac{sqrt{x^{2}+3}}{x}}$

Por último:

$displaystyle {int frac{dx}{x^{4}sqrt{x^{2}+3}} = frac{-(sqrt{x^{2} + 3})^{3}}{27;x^{3}} + frac{sqrt{x^{2}+3}}{9x} + C}$

5.

$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}+1}}{x};dx}$ 
Ejercicio para el estudiante

6.

$displaystyle {int frac{x^{3};dx}{sqrt{9+3x^{2}}};dx}$ 
Ejercicio para el estudiante

c.

El integrando contiene una expresión de la forma
$displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$con $a > 0$y
$b>0$

En este caso la sustitución adecuada es:

$displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta,}$donde
$displaystyle {theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ ;U;left]pi, frac{3pi}{2} right[}$

y $displaystyle {x; varepsilon left]-infty, frac{-a}{b}right[ bigcup left]frac{a}{b}, +infty, right[, o; sea vert xvert>frac{a}{b}}$

Si $displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta}$entonces
$displaystyle {dx = frac{a}{b};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Además $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = sqrt{b^{2}cdot frac{a^{2}}{b^{2}}cdot sec^{2}theta -a^{2}} = sqrt{a^{2}(sec^{2}theta-1)}}$

de donde $displaystyle {sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = sqrt{a^{2};tan^{2}theta} = vert a;tan;thetavert = a;tan;theta,}$

pues $a > 0$y $tan;theta>0$para $theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ bigcup left]pi, frac{3pi}{2}right[$

Como $displaystyle {x = frac{a}{b};sec;theta}$entonces
$displaystyle {sec;theta = frac{bx}{a}}$por lo que
$displaystyle {theta = arcsenleft(frac{bx}{a}right)}$

Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las
otras funciones trigonométricas:

Ejemplos:

1.

$displaystyle {int frac{x;dx}{sqrt{x^{2}-9}}, vert xvert>3}$

 Sea $displaystyle {x = 3;sec;theta}$

$displaystyle {dx = 3;sec;theta;tan;theta;dtheta, theta varepsilon left]0, frac{pi}{2}right[ bigcup left]pi, frac{3pi}{2}right[}$

Luego $displaystyle {x^{2}-9= 9;sec^{2}theta-9 = 9(sec^{2}theta-1) = 9;tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{x^{2}-9} = sqrt{9;tan^{2}theta} = 3;tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac {x;dx}{sqrt{x^{2}-9}} = int frac{3;sec;theta cdot 3;sec;theta;tan;theta;dtheta}{3;tan;theta}}$

$displaystyle {= 3int sec^{2}theta;dtheta = 3;tan;theta + C = sqrt{x^{2}-9}}$

2.

$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}-1}}{x};dx, vert xvert>frac{1}{4}}$

Sea $displaystyle {x = frac{1}{2};sec;theta}$

$displaystyle {dx = frac{1}{2};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {4x^{2}-1= 4cdotfrac{1}{4};sec^{2}theta-1 = sec^{2}theta-1 = tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{4x^{2}-1} = sqrt{tan^{2}theta} = tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{sqrt{4x^{2}-1}}{x};dx = int frac{tan;thetacdot frac{1}{2};sec;theta;tan;theta;dtheta}{frac{1}{2};sec;theta}}$

$displaystyle {= int tan^{2}theta;dtheta = int(sec^{2}theta-1);dtheta}$

$displaystyle {= int tan;theta - theta + C = sqrt{4x^{2}-1} - arcsec;(2x) + C}$

3.

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}}, vert uvert>2sqrt{2}}$

Sea $displaystyle {u = sqrt{8};sec;theta}$

$displaystyle {du = sqrt{8};sec;theta;tan;theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {u^{2}-8= 8;sec^{2}theta-8 = 8(sec^{2}theta-1) = 8;tan^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{u^{2}-8} = sqrt{8;tan^{2}theta} = sqrt{8};tan;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}} = int frac{sqrt{8};sec;... ...2}theta;sqrt{8};tan;theta} = frac{1}{8}int frac{dtheta}{sec;theta}}$

$displaystyle {= frac{1}{8}int cos;theta;dtheta = frac{1}{8};sen;theta + C}$

Como $displaystyle {sec;theta = frac{u}{sqrt{8}}}$puede
utilizarse la siguiente figura para determinar $sen;theta$

Por último:

$displaystyle {int frac{du}{u^{2}sqrt{u^{2}-8}} = frac{1}{8};frac{sqrt{u^{2}-8}}{u} + C}$

4.

$displaystyle {int x^{3}sqrt{4x^{2}-9};dx}$ 
Ejercicio para el estudiante

5.

$displaystyle {int frac{sqrt{y^{2} - 25}}{y^{4}};dy}$    
Ejercicio para el estudiante

Otras integrales en las que se utiliza alguna de las
sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son
aquellas que contienen una expresión de la forma
$displaystyle {(Ax^{2}+Bx+C)^{frac{1}{2}}}$. En los
siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a
seguir:

         
Ejemplos:

1.

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{x^{2}-6x+13}}}$

Podemos escribir $x^{2}-6x+13$como $x^{2}-6x+9+4$o sea
$(x-3)^{2} + 4$

Luego $displaystyle {int frac{dx}{sqrt{(x-3)^{2}+4}}}$es la
integral que debemos calcular

Sea $displaystyle {x - 3 = 2;tan;theta, theta varepsilon left]frac{-pi}{2}, frac{pi}{2}right[}$

$displaystyle {dx = 2;sec^{2}theta;dtheta}$

Luego $displaystyle {(x-3)^{2}+4= 4;tan^{2}theta + 4 = 4;sec^{2}theta}$

$displaystyle {sqrt{(x-3)^{2}+4} = sqrt{4;sec^{2}theta} = 2;sec;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{dx}{sqrt{(x-3)^{2}+4}} = int frac{2;sec^{2}theta;dtheta}{2;sec;theta} = int sec;theta;dtheta}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;leftvertfrac{sqrt{(x-3)^{2}+4}}{2} + frac{x-3}{2}rightvert + C}$

$displaystyle {=frac{1}{2};ln;leftvertfrac{sqrt{(x-3)^{2}+4} + (x-3)}{2}rightvert + C, x;varepsilon I!!R}$

2.

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{21+4x-x^{2}}}}$

Se tiene que: $displaystyle {21+4x-x^{2} = 21-(x^{2}-4x)}$

$displaystyle {= 21-(x^{2}-4x+4-4)}$

$displaystyle {= 21-(x-2)^{2}-4}$

$displaystyle {= 21-(x-2)^{2}+4 = 25-(x-2)^{2}}$

Luego la integral se convierte en: $displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{25 - (x-2)^{2}}}}$

y se utiliza la sustitución $(x-2) = 5;sen;theta$de
donde: $x = 2 + 5;sen;theta$

$displaystyle {dx = 5;cos;theta;dtheta}$

Luego: $25-(x-2)^{2} = 25-25;sen^{2}theta = 25;cos^{2}theta$

$displaystyle {sqrt{25-(x-2)^{2}} = 5;cos;theta}$

Sustituyendo:

$displaystyle {int frac{x^{2};dx}{sqrt{25-(x-2)^{2}}} = int frac{(2+5;sen;theta)^{2};5;cos;theta;dtheta}{5;cos;theta}}$

$displaystyle {=int (4+20;sen;theta + 25;sen^{2}theta);dtheta}$

$displaystyle {=int 4;dtheta + 20int sen;theta;dtheta + 25int frac{1-cos;2theta}{2};dtheta}$

$displaystyle {=int 4;dtheta + 20int sen;theta;dtheta + frac{25}{2}int dtheta - frac{25}{2}int cos;2theta;dtheta}$

$displaystyle {=4;theta - 20;cos;theta + frac{25}{2};theta - frac{25}{4};sen;2theta + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};theta - 20;cos;theta + frac{25}{2};sen;theta;cos;theta + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};arcsenleft(frac{x-2}{5}right) - 20;frac{sqr... ...}}{5} + frac{25}{2}cdot frac{x-2}{5}cdot frac{sqrt{25-(x-2)^{2}}}{5} + C}$

$displaystyle {=frac{33}{2};arcsenleft(frac{x-2}{5}right) - 4sqrt{21+4x-x^{2}} + frac{(x-2)sqrt{21+4x-x^{2}}}{2} + C}$

con $vert x-2vert<5$o sea $x varepsilon ]-3,7[$

3.

$displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{x^{2}+4x+3}}}$

Se tiene que $x^{2}+4x+3 = x^{2}+4x+4-1 = (x+2)^{2}-1$

por lo que $displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{x^{2}+4x+3}} = frac{2x;dx}{sqrt{(x+2)^{2}}-1}}$,
con $vert x+2vert>1$

sea $x+2 = sec;theta$de donde $x = sec;theta - 2$

$dx = sec;theta;tan;theta;dtheta$

Luego $(x+2)^{2} - 1 = sec^{2}theta-1 = tan^{2}theta$y
$sqrt{(x+2)^{2}-1 = tan;theta}$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{2x;dx}{sqrt{(x+2)^{2}-1}} = int frac{2;(sec;theta-2);sec;theta;tan;theta;dtheta}{tan;theta}}$

$displaystyle {= 2int (sec^{2}theta-2;sec;theta);dtheta}$

$displaystyle {= 2;tan;theta-4;ln;vert sec;theta + tan;thetavert + C}$

$displaystyle {= 2sqrt{(x+2)^{2}-1}-4;ln;vert x+2+sqrt{x^{2}+4x+3}vert + C}$

4.

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{(3+2x-x^{2})^{frac{3}{2}}}}$

Se tiene que $3+2x-x^{2} = 4-(x-1)^{2}$(completando
cuadrados)

Luego la integral que se debe determinar es:

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{left[4-(x-2)^{2}right]^{frac{3}{2}}}}$

Sea $(x-1) = 2;sen;theta$

$x = 1+2;sen;theta$

$dx = 2;cos;theta;dtheta$

Luego $4-(x-1)^{2} = 4-4;sen^{2}theta = 4(1-sen^{2}theta) = 4;cos^{2}theta$

$left(sqrt{4-(x-1)^{2}}right)^{3} = left(sqrt{4;cos^{2}theta}right)^{3} = (2;cos;theta)^{3} = 8;cos^{3}theta$

Sustituyendo

$displaystyle {int frac{(x+2);dx}{left[4-(x-2)^{2}right]^{frac{3}{2}}} = int frac{(1+2;sen;theta+2);2;cos;theta;dtheta}{8;cos^{3}theta}}$

$displaystyle {=frac{1}{4} int frac{(3+2sen;theta);dtheta}{cos^{2}theta... ...frac{3}{cos^{2}theta} + frac{2;sen;theta}{cos^{2}theta}right);dtheta}$

$displaystyle {=frac{3}{4}int sec^{2}theta;dtheta + frac{1}{2}cdot sen;theta;(cos;theta)^{-2};dtheta}$

$displaystyle {=frac{3}{4};tan;theta - frac{1}{2}cdot frac{(cos;theta)^{-1}}{-1} + C}$

$displaystyle {=frac{3}{4};tan;theta + frac{1}{2;cos;theta}+ C}$

Como $displaystyle {x-1 = 2;sen;theta}$entonces
$displaystyle {sen;theta = frac{x-1}{2}}$y utilizando
que

se obtiene finalmente que

 $displaystyle {=int frac{(x+2);dx}{(3+2x-x^{2})^{frac{3}{2}}} = frac{3}{4}cdot frac{(x-1)}{sqrt{4-(x-1)^{2}}} + frac{1}{sqrt{4-(x-1)^{2}}} + C,}$
con $x varepsilon ]-1,3[$

En cada caso determine el intervalo sobre el cual es
válido el resultado.

  

5.

$displaystyle {int frac{(2x-3);dx}{(x^{2}+2x-3)^{frac{3}{2}}}}$ 
Ejercicio para el estudiante

6.

$displaystyle {int frac{sqrt{x^{2} + 2x}}{x+1};dx}$    
Ejercicio para el estudiante

7.

$displaystyle {int frac{sec^{2}x;dx}{(4-tan^{2}x)^{frac{3}{2}}}}$    
Ejercicio para el estudiante

8.

$displaystyle {int frac{e^{-x};dx}{(9;e^{-2x}+1)^{frac{3}{2}}}}$    
Ejercicio para el estudiante

 

 

 

Autor:

Luis Teschi

Partes: 1, 2
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