Partes: 1, 2

            Ahora, cuando  entonces,

 por

consiguiente:

           

Por lo tanto, la pendiente buscada es:

Derivada de una Función

            La derivada de una función f, es una función denotada por tal que para cualquier x del dominio de f  está dada por:

si este límite existe.

            Si  es un número del dominio de f, entonces:

si este límite existe.

            El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable.

Ejercicios resueltos 2.

2.1)  Determine la derivada de aplicando la ecuación (B).

Solución:

2.2)  Determine la derivada de la función

Solución:

            Apliquemos la ecuación (B),

2.3)  Determine la derivada de la función

Solución.

            Aplicando la ecuación (B), tenemos,

Otras notaciones para la derivada de una función f son:   y 

Teorema 1.

            Si una función f es diferenciable en un punto entonces,  f es continua en

            Una función f puede no ser diferenciable en  por alguna de las siguientes razones:

1.            La función es discontinua en  (Ver figura 2)

2.            La función es continua en pero la gráfica de f tiene una recta tangente vertical en el punto donde  (Ver figura 3)

3.            La función f es continua en pero la gráfica de f no tiene recta tangente en el punto donde (Ver figura 4). La continuidad no implica diferenciabilidad.

  

                                    

La figura 5 muestra la gráfica de una función que no es diferenciable en los puntos donde  y  La gráfica está compuesta por tres curvas. En el punto  se han trazado las siguientes rectas: T1 tangente a la curva de la izquierda y T2 tangente a la curva central, las cuales evidentemente tienen pendientes diferentes. Igualmente se han trazado en el punto las rectas tangentes T3 y T4 que igualmente tienen diferentes pendientes. Esta experiencia nos conduce a pensar en derivadas laterales, lo que estudiaremos a continuación.

Derivadas Laterales

            i)  Si f es una función definida en entonces, la derivada por la derecha de f en denotada por  está definida por:

si el límite existe.

            ii)  Si f es una función definida en entonces, la derivada por la izquierda de f en denotada por  está definida por:

si el límite existe.

Ejercicios resueltos 3.

3.1)  Determine si la función f es diferenciable en

           

Solución.

            Puesto que f está definida por trozos, se calculan las derivadas laterales en

           

Como entonces, f no es diferenciable en

3.2)  Decida si la función  es diferenciable en  2.

Solución.

            Puesto que:

Ahora, siendo entonces, g no es diferenciable en 2.

3.3)         Determine si la función  es diferenciable en

Solución.

Ahora, cuando  entonces,

 

luego,

 Cuando  entonces,

 

luego,

Puesto que,  entonces, h es diferenciable en

            El proceso del cálculo de la derivada de una función aplicando la fórmula (B) es muy largo y laborioso, por lo tanto, a continuación se proporcionan algunos teoremas que permiten determinar las derivadas con mayor facilidad; con la finalidad de familiarizarnos con las notaciones, la derivada se expresará con alguna de las tres expresiones equivalentes  ó .

Teorema 2. Derivada de una función constante.

            Si donde c es una constante, entonces:

Ejemplo.

            Si entonces,

Teorema 3. Derivada de una función potencial.

            Si donde n es un número racional, entonces:

Ejemplo.

            Si entonces,

Teorema 4. Derivada del producto de una función por una constante.

            Si g es una función definida por  donde f es una función y c una constante, entonces:

Ejemplo.

            Si entonces,

A partir del resultado obtenido en el ejemplo anterior, podemos enunciar el siguiente teorema.

Teorema 5. Derivada del producto de una función potencial por una constante.

            Si donde  n es un número entero positivo y c una constante, entonces:

Teorema 6.  Derivada de una adición de funciones.

            Si  son funciones y si f es una función definida por:  y si  existen, entonces:

Ejemplo.

            Determine  si

           

Teorema 7. Derivada de un producto de funciones.

            Si f y g son funciones y h una función definida por  y si  y  existen, entonces:

Ejemplo.

            Sea  determine

            Apliquemos el teorema 7:

Teorema 8. Derivada de un cociente de funciones.

            Si f y g son funciones y h una función definida por  donde y si  y  existen, entonces:

Ejemplo.

            Calcule

            Debemos aplicar el teorema 8:

            Para determinar la derivada de una función compuesta, se aplica uno de los teoremas más importantes del Cálculo llamado  "Regla de la Cadena".

Teorema 9. Derivada de una función compuesta (Regla de la Cadena).

            Si g es una función diferenciable en x y la función h es diferenciable en  entonces, la función compuesta  es diferenciable en x, y su derivada es:

Ejemplo.

            Sean  y  Determinar

            La función está definida por

            Para aplicar la regla de la cadena necesitamos calcular  y  Como  entonces,  y así:  Además, como  luego,

            Por lo tanto,

            Calcular la derivada de numerosas funciones aplicando la fórmula (B) es muy laborioso y complicado, por tal razón, a continuación se suministra la siguiente tabla:

Tabla de derivadas usuales

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejercicios resueltos 4.

4.1)  Calcule la derivada de la función

Solución.

            Debemos aplicar el teorema 8 y la regla de la cadena, así:

4.2)         Dada la función  determine

Solución.

Apliquemos la regla de la cadena en cada sumando.

            En efecto,

4.3)         Derive la función

Solución.

Apliquemos la fórmula para derivar el logaritmo neperiano de una función y resolvamos las derivadas indicadas.

            Efectivamente,

4.4)         Determine la derivada de la función

Solución.

            Apliquemos el teorema 7 y resolvamos las derivadas señaladas, así,

    

4.5)         Calcule la derivada de la función

Solución.

            Aplicando la fórmula que aparece en tabla de derivadas usuales, tenemos que,

4.6)         Dada la función calcular

Solución.

            En efecto,

Derivada de la función inversa

            Si la función es diferenciable con respecto de x, entonces, es diferenciable con respecto de y, y se verifica la siguiente relación:

                                              

Ejercicios resueltos 5.

5.1)         Determine la derivada de la función aplicando la relación (D).

Solución.

            Si  entonces,  por ende, aplicando la relación (D), tenemos que,

 

5.2)         Sea  calcule  usando la relación (D).

Solución.

            Puesto que,  entonces, luego, si usamos la relación (D), obtenemos,

5.3)         Empleando la relación (D), determine la derivada de

Solución.

            Como,  entonces,  en consecuencia,

5.4)         Valiéndonos de la relación (D), calcule la derivada de

Solución.

            Siendo entonces, así que,

5.5)         Dada la función calcule  utilizando la relación (D).

Solución.

            Ya que,  entonces, luego,

Derivada implícita

            Existen funciones que no pueden expresarse explícitamente. Por ejemplo, no se puede resolver la ecuación  para y en términos de x. Pueden existir una o más funciones  tales que  cuando esto es así, se dice que la función f  está definida implícitamente.

            Ahora, la derivada de y con respecto a x puede determinarse mediante la diferenciación implícita.

Ejercicios resueltos 6.

6.1)  Determinemos dada  la ecuación

Solución.

            Para calcular la derivada pedida, diferenciemos ambos miembros de la ecuación con respecto de x y despejemos así:

             

6.2)         Sea  hallar

Solución.

            Diferenciemos ambos miembros con respecto de x y despejemos

6.3)         Siendo, hallar

Solución.

            Diferenciando ambos miembros con respecto de x y despejando  obtenemos,

6.4)         Determine de la ecuación

Solución.

            Debemos diferenciar ambos miembros con respecto de x y luego despejemos 

            Supongamos que una partícula se mueve en un plano, de manera tal que sus coordenadas  de su posición en cualquier tiempo t, están dadas por las ecuaciones:        y

            Para cada número t del dominio común de f y g, la partícula se encuentra en el punto y el conjunto de todos estos puntos describe una curva plana C recorrida por la partícula. Las ecuaciones y  se llaman ecuaciones paramétricas de C y la variable t se llama parámetro.

            Si eliminamos el parámetro de las ecuaciones paramétricas, se obtiene una ecuación en x e y, la cual es denominada ecuación cartesiana de C.

            A partir de una ecuación cartesiana podemos obtener una ecuación paramétrica, y viceversa.

Ejemplos.

            1)  Para determinar unas ecuaciones paramétricas de   se procede de la manera siguiente: puesto que, la variable y está expresada en función de x, hacemos  e  por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de  son:

      y     

            2)  Obtenga la ecuación cartesiana de la curva definida por las ecuaciones paramétricas

     y    

            Para eliminar el parámetro t, se elevan al cuadrado los dos miembros de cada ecuación paramétrica y se suman, así:

           

            A continuación se darán tres definiciones de términos relacionados con las curvas planas, las cuales serán aplicadas posteriormente.

Curva lisa

            Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas

  y 

se dice que es lisa o suave en el intervalo cerrado  si y son continuas en

y además,  y no son cero simultáneamente en cada

Ejemplo.

            Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas

    y   

Como   y    son continuas para todo  y además, no son cero simultáneamente en cualquier t, entonces la curva C es lisa.

            Si un intervalo I puede partirse en un número finito de subintervalos en los que la curva C es suave, entonces se dice que C es lisa a trozosen I.

Curva cerrada

            Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas

  y 

se dice que es cerrada si el punto inicial  coincide con el punto final

Fig. 3.5

            La figura 3.5 muestra una curva cerrada y lisa donde los puntos A y B coinciden.

Curva simple

            Una curva plana C definida por las ecuaciones paramétricas

  y 

se dice que es simple entre los puntos  y  si  es diferente del punto  para todo  y  diferentes del intervalo abierto

            "Una curva simple no se cruza a sí misma".

            En la figura 3.5 se muestra una curva cerrada simple lisa.

Derivadas paramétricas

            Supongamos que una curva lisa C está definida paramétricamente por  y   y que éste par de ecuaciones define al menos una función diferenciable h para la cual  La derivada de cada función h, denotada por está relacionada con  y  mediante la siguiente ecuación:  Si podemos dividir miembro a miembro entre  para obtener:

                                                 

            Para hallar la derivada  a la igualdad anterior la derivamos con respecto a x:

            Para hallar la derivada  derivamos  con respecto a x, y se procede de manera similar para determinar  etc.

            Puesto que, las derivadas paramétricas que hemos considerando son funciones dependientes del parámetro "t", las siguientes fórmulas son alternativas para hallar las derivadas paramétricas:

Primera derivada paramétrica:

Segunda derivada paramétrica:

Tercera derivada paramétrica:

Cuarta derivada paramétrica:

                   

n-ésima derivada paramétrica:

Ejercicio resuelto 7.

            Dadas las ecuaciones paramétricas   y    determine  y

Solución.

            Como   y   entonces   y

            Usando la fórmula alternativa tenemos que:

           

Derivada de orden superior

            Si la función f es diferenciable en todo su dominio, entonces su derivada  se  le llama primera derivada de f o primera función derivada. Si la función  es también diferenciable, entonces la derivada se denomina segunda derivada de f o segunda función derivada… Si continuamos derivando n veces, entonces la derivada  es llamada n- ésima derivada de f. La función f puede representarse como  

            A continuación conoceremos las distintas notaciones para las derivadas de orden superior:

Primera derivada:

Segunda derivada:

Tercera derivada:

Cuarta derivada:

            

n-ésima derivada:

            Para familiarizarnos con la derivación de orden superior, veamos con detenimiento el desarrollo de los siguientes ejemplos.

 Ejercicios resueltos 8.

8.1)   Las derivadas  y  de  son:

 

8.2)   Las derivadas  y  de  son:

Bibliografía

[1]  Rabuffetti Hebe T. Introducción al Análisis Matemático, décima edición.

[2]  Apostol Tom M. Calculus, segunda edición.

 

 

 

 

 

Autor:

Eleazar José García

Profesión: Licenciado en Matemática

Profesor de Matemática de 4º y 5º Año dependiente del Ministerio del Poder Popular para la Educación

Profesor (contratado) de Cálculo 1 y 2 de la UNELLEZ-Núcleo San Carlos

País: Venezuela