Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada de una función, derivadas laterales, teoremas sobre derivadas, derivación implícita, derivadas de orden superior, etc.
Sea f una función que es continua
en
Para definir
la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto
consideremos un intervalo
abierto I que contiene a
Sea
otro punto sobre la gráfica
de f tal que
esté
contenido en I.
La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.

Observe que
es
el cambio del valor x de
a
llamado incremento de x, y
es el cambio del valor de
de
a
llamado incremento de y.
La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1, está determinada por:
![]()
Como
la
pendiente puede escribirse así:
![]()
Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P.
Esto es igual a decir que
tiende a cero. Si esto sucede la
recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la pendiente de la recta
tangente en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación:
![]()
"
La notación
nos indica que la pendiente que calculemos
con la ecuación (A) es la de
la recta tangente a la gráfica de la función
en el punto
"
.
Ejercicios resueltos 1.
1.1) Calcule la pendiente de la recta tangente
a la parábola
en el punto ![]()
Solución:
Es evidente que
por lo
tanto, aplicando la ecuación (A) tenemos:

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