Derivada de Funciones

Partes: 1, 2

1. Resumen
2. Pendiente de una Recta Tangente
3. Derivada de una Función
5. Derivada de la función inversa
6. Derivada implícita
7. Derivadas paramétricas
8. Bibliografía 

Resumen

 Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada de una función, derivadas laterales, teoremas sobre derivadas, derivación implícita, derivadas de orden superior, etc.

Pendiente de una Recta Tangente

            Sea f una función que es continua en Para definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto  consideremos un intervalo abierto I que contiene a  Sea  otro punto sobre la gráfica de f tal que  esté contenido en I. La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.

            Observe que es el cambio del valor x de  a llamado incremento de x, y es el cambio del valor de de a llamado incremento de y.

            La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1, está determinada por:

            Como  la pendiente puede escribirse así:

            Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que  tiende a cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación:

" La notación nos indica que la pendiente que calculemos con la ecuación (A) es la de la recta tangente a la gráfica de la función  en el punto " .

Ejercicios resueltos 1.

1.1) Calcule la pendiente de la recta tangente a la parábola  en el punto

Solución:

            Es evidente que por lo tanto, aplicando la ecuación (A) tenemos: