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O del
sistema de lazo cerrado, tenga ciertos valores prescritos. La palabra "polo" en
este caso se refiere a los polos de la función de transferencia en lazo
cerrado, que son los mismos que los valores característicos de (A-BG).
Posteriormente
se demostrara que la existencia de la solución al diseño por ubicación de polos
con valores de polos asignados en forma arbitraria, a través de la
realimentación del estado, está basada directamente en la controlabilidad de
los estados del sistema. El resultado es que si el sistema de la ecuación es
controlable, existe una matriz de realimentación constante K que permite que
los valores característicos de (A-BG) sean asignados en forma arbitraria.
Una vez
que se ha diseñado el sistema en lazo cerrado, se debe tratar con los problemas
prácticos de implantar la realimentación de las variables de estado. Existen
dos problemas prácticos en la implantación del control por realimentación del
estado. Uno es que el número de variables de estado puede ser excesivo, por lo
que el costo de detectar cada una de estas variables de estado para realimentación
puede resultar prohibitivo. El otro problema es que no todas las variables de
estado están físicamente accesibles. Por lo tanto, podría ser necesario diseñar
y construir un observador que estime el vector de estado a partir del vector de salida y (t). La
figura muestra el diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado con un
observador. El vector de estado observados x (t) se utiliza para generar el
control u(t) a través de la matriz de realimentación K. La condición de que tal
observador pueda ser diseñado para el sistema se conoce como observabilidad del
sistema.
Concepto general de contabilidad
El
concepto de contabilidad se puede enunciar con referencia al diagrama de
bloques de la fig. 5-15. Se dice que el proceso es completamente controlable si
cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto
objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t).
En forma intuitiva, es sencillo entender que si una de las variables de estado
es independiente del control u(t), no habría forma de dirigir esta
variable de estado en particular al estado deseado en un tiempo finito por
medio de un esfuerzo del control. Por tanto, se dice que este estado en
particular es no controlable, y que el sistema no es completamente controlable,
o simplemente es no controlable, mientras exista por lo menos un estado no
controlable.
Como un
ejemplo sencillo de un sistema no contable, el diagrama ilustra el estado de un
sistema lineal con dos variables de estado. Debido a que el control u(t)
afecta solamente al estado x1(t) el estado x2(t)
es no controlable. En otras palabras, sería imposible llevar a x2(t)
de un estado inicial x2(t0)a un estado deseado x2(tf)
en un intervalo de tiempo finito tf – to mediante
el control u(t). Por tanto, se dice que
el sistema no es completamente controlable.
El
concepto de controlabilidad mencionado anteriormente se refiere a los estados y
se conoce como controlabilidad del estado. La controlabilidad también se puede
definir para las salidas del sistema, de tal forma que existe una diferencia
entre la controlabilidad del estado y la controlabilidad de la salida.
|
Control u(t) Estado
x(t)
 | |
I s-1 I
s-1 I
 C
| |
| CA
|
V = | CA2 . . . |
| CA n-1 |
La
condición también se conoce como que el par (A,C) es observable. En particular,
si el sistema tiene sólo una salida, C es una matriz reglón de 1 x n; V es una
matriz cuadrada en n x n. Entonces el sistema es completamente observable si V
es no singular.
La prueba
de este teorema no se proporciona. Dicha prueba se basa en el principio de que
la ecuación (5-239) debe ser satisfecha para que x(to) pueda
ser determinada únicamente de la salida y(t).
Teoremas Invariantes sobre contabilidad y observabilidad
Ahora se
investigarán los efectos de las transformaciones de similitud sobre la
contabilidad y la observabilidad. También se investigarán los efectos de la
realimentación del estado sobre la contabilidad y la observabilidad.
Teorema
5-8 Teorema invariante sobre transformaciones de similitud
Considere
el sistema descrito por las ecuaciones dinámicas de las ecuaciones (5-228) y
(5-229). La transformación de similitud x(t) = P(t), en donde P es no singular, transforma las
ecuaciones dinámicas a:
= 
(t) + 
u(t)
(t) = 
x(t) + 
u (t)
En donde:
= P-1 AP = P-1B
La
controlabilidad de (,) y la observabilidad de (,)no se afectan por la transformación.
En otras
palabras, la controlabilidad y la observabilidad se conservan a través de
transformaciones de similitud. El teorema se comprueba fácilmente al mostrar
que los rangos de 
y S, y los rangos de 
y V son idénticos, en
donde y son las matrices de
controlabilidad y observabilidad, respectivamente, del sistema transformado.
Teorema
5-9 Teorema sobre controlabilidad de sistemas en lazo
cerrado con realimentación del estado
Si el
sistema en lazo abierto:
= Ax(t) + Bu(t)
Es
completamente controllable, el sistema en lazo cerrado obtenido a través de
realimentación del estado:
U(t)
= r(t) – Kx(t)
Por lo que
las ecuaciones de estado se convierten en:
= (A – BK)x(t) +(t) + Br(t))
Es también
completamente controlable. Por otra parte, si (A,B) es no controlable, no
existe K que haga que el par (A-BK, B)
sea controlable. En otras palabras, si un sistema en lazo abierto es no
controlable, no puede convertirse en controlable a través de la realimentación
del estado.
Prueba: La
controlabilidad de (A,B) implica que existe un control u(t) en el
intervalo de tiempo (t0, tf) de tal forma que el
estado inicial x(to) se mueve al estado final x(tf) en el
intervalo de tiempo finito tf-to. La ecuación
(5-254) se puede escribir como:
r(t)
= u(t) + Kx(t)
Que es el
control del sistema en lazo cerrado. Por tanto, si existe u(t) que pueda
mover a x(to) a cualquier x(tf) en un
tiempo finito, no se podrá encontrar una entrada r(t) que realice lo
mismo a x(t), ya que de otra forma u(t) se puede establecer como
en la ecuación (5-254) para controlar el sistema en lazo abierto.
Teorema
5-10. Teorema sobre observabilidad de sistemas en lazo cerrado
con realimentación del estado
Si un
sistema en lazo abierto es controlable y observable, la realimentación del
estado de la forma de la ecuación (5-254) puede destruir la observabilidad. En
otras palabras, la observabilidad de sistemas en lazo abierto y en lazo cerrado
debido a la realimentación del estado no están relacionadas.
El
siguiente ejemplo ilustra la relación entre observabilidad y realimentación del
estado.
Autor:
Carlos Aparza Alfaro
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