+    

                -           

                               

KD

                                                                                                                                                                   

 

O del sistema de lazo cerrado, tenga ciertos valores prescritos. La palabra "polo" en este caso se refiere a los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, que son los mismos que los valores característicos de (A-BG).

Posteriormente se demostrara que la existencia de la solución al diseño por ubicación de polos con valores de polos asignados en forma arbitraria, a través de la realimentación del estado, está basada directamente en la controlabilidad de los estados del sistema. El resultado es que si el sistema de la ecuación es controlable, existe una matriz de realimentación constante K que permite que los valores característicos de (A-BG) sean asignados en forma arbitraria.

Una vez que se ha diseñado el sistema en lazo cerrado, se debe tratar con los problemas prácticos de implantar la realimentación de las variables de estado. Existen dos problemas prácticos en la implantación del control por realimentación del estado. Uno es que el número de variables de estado puede ser excesivo, por lo que el costo de detectar cada una de estas variables de estado para realimentación puede resultar prohibitivo. El otro problema es que no todas las variables de estado están físicamente accesibles. Por lo tanto, podría ser necesario diseñar y construir un observador que estime el vector de estado  a partir del vector de salida y (t). La figura muestra el diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado con un observador. El vector de estado observados x (t) se utiliza para generar el control u(t) a través de la matriz de realimentación K. La condición de que tal observador pueda ser diseñado para el sistema se conoce como observabilidad del sistema.

Concepto general de contabilidad

El concepto de contabilidad se puede enunciar con referencia al diagrama de bloques de la fig. 5-15. Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t). En forma intuitiva, es sencillo entender que si una de las variables de estado es independiente del control u(t), no habría forma de dirigir esta variable de estado en particular al estado deseado en un tiempo finito por medio de un esfuerzo del control. Por tanto, se dice que este estado en particular es no controlable, y que el sistema no es completamente controlable, o simplemente es no controlable, mientras exista por lo menos un estado no controlable.

Como un ejemplo sencillo de un sistema no contable, el diagrama ilustra el estado de un sistema lineal con dos variables de estado. Debido a que el control u(t) afecta solamente al estado x₁(t) el estado x₂(t) es no controlable. En otras palabras, sería imposible llevar a x₂(t) de un estado inicial x₂(t₀)a un estado deseado x₂(t_f) en un intervalo de tiempo finito t_f - t_o mediante el control u(t). Por  tanto, se dice que el sistema no es completamente controlable.

El concepto de controlabilidad mencionado anteriormente se refiere a los estados y se conoce como controlabilidad del estado. La controlabilidad también se puede definir para las salidas del sistema, de tal forma que existe una diferencia entre la controlabilidad del estado y la controlabilidad de la salida.

G

                                                                      Control u(t)              Estado x(t)

 

                   I                           s-1                                   I                                                s-1                                 I

 

  u (t)                     x₂                                                x₂                                                x₁                                                 x₁                                               y

                                                       -1                                                       _-2                                              

                                              ₃

Diagrama de estado del sistema que es de estado no contable

Definición de controlabilidad del estado

Considere que un sistema lineal e invariante con el tiempo se describe mediante las siguientes ecuaciones dinámicas.

 = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

en donde x(t) es el vector de estado de n x 1, u(t) es el vector de entrada de r x 1, y el vector de salida y(t) es de p x 1. A, B , C y D son los coeficientes de las dimensiones apropiadas.

Se dice que el estado x(t) es controlable en t = t₀ si existe una entrada continua por intervalos u(t) que moverá al estado a cualquier estado final x(t_f) en un tiempo finito (t_f-t_o) O. Si cada estado x(t_o) del sistema es controlable en un intervalo de tiempo finito, se dice que es un sistema de estado completamente controlable o simplemente controlable.

El siguiente teorema demuestra que la condición de controlabilidad depende de los coeficientes matrices del sistema, A y B. El teorema también proporciona un método de prueba para la controlabilidad del estado.

Teorema 5-1

Para que el sistema descrito por la ecuación de estado de la ecuación (5-228) sea e estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de controlabilidad de n x nr tenga rango n:

S = [B AB A2B ... An-1B]

Ya que las matrices A y B están involucradas, algunas veces se dice que el par [A,B] es controlable, lo que implica que S es de rango n.

La prueba para este teorema se da en cualquier libro de texto estándar de sistemas de control óptimo (3). La idea es iniciar con la ecuación de transición estados de la ecuación (5-44) y entonces proceder a mostrar que la ecuación (5-230) debe cumplirse para que todos los estados sean accesibles mediante la entrada.

Aunque el criterio de la controlabilidad del estado dado en el Teorema 5-1 es bastante directo, no es muy sencillo emplearlo en forma manual para el sistema de orden superior y/o sistemas con muchas entradas. Si S no es cuadrada, se puede formar la matriz SS", que es de n x n; entonces si SS" es no singular, S tiene rango n.

Observabilidad de sistemas lineales

El concepto de observabilidad se explicó en la Sec. 5-10. Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. En otras palabras, con frecuencia es deseable obtener información sobre las variables de estado de las mediciones de las salidas y las entradas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es completamente observable, o simplemente no observable. La muestra el diagrama de estado de un sistema lineal en donde el estado x₂ no está conectado en alguna forma a la salida y(t). Una vez que se ha medido y(t), se puede observar el estado x₁(t), ya que x₁(t) = y(t). Sin embargo, el estado x₂ no puede ser observado de la información en y(t). Por lo que el sistema es no observable.

                   I                                  s-1                                                                                   s-1                                I

 

u (t)                            x₂                                                x₂                                x₁                                                 x₁                                               y

                                                       -1                                                       _-2                                              

                                              ₃

Diagrama de estado de un sistema que es no observable

Definición de Observabilidad

Dando un sistema lineal e invariante con el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinámicas de las ecuaciones (5-228) y (5-229), se dice que el estado x(t₀)es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito t_f≥t_o tal que del conocimiento de u(t) para t_o≤t<t_f las matrices A, B, C y D; y la salida y(t) para t_o≤t<t_f son suficientes para determinar x(t_o). Si cada estado del sistema es observable para un t_f finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable.

El siguiente teorema demuestra que la condición de observabilidad depende de las matrices del sistema A y C. El teorema también proporciona un método para probar la observabilidad.

Teorema 5 -4

Para que el sistema descrito por las ecuaciones (5-228) y (5-229) sea completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de observabilidad de n x np tenga un rango n:

	C
	CA
V =	CA2 . . .
	CA n-1

La condición también se conoce como que el par (A,C) es observable. En particular, si el sistema tiene sólo una salida, C es una matriz reglón de 1 x n; V es una matriz cuadrada en n x n. Entonces el sistema es completamente observable si V es no singular.

La prueba de este teorema no se proporciona. Dicha prueba se basa en el principio de que la ecuación (5-239) debe ser satisfecha para que x(t_o) pueda ser determinada únicamente de la salida y(t).

Teoremas Invariantes sobre contabilidad y observabilidad

Ahora se investigarán los efectos de las transformaciones de similitud sobre la contabilidad y la observabilidad. También se investigarán los efectos de la realimentación del estado sobre la contabilidad y la observabilidad.

Teorema 5-8 Teorema invariante sobre transformaciones de similitud

Considere el sistema descrito por las ecuaciones dinámicas de las ecuaciones (5-228) y (5-229). La transformación de similitud x(t) = P(t), en donde P es no singular, transforma las ecuaciones dinámicas a:

 =  (t) + u(t)

(t) = x(t) + u (t)

En donde:

 = P-1 AP   = P-1B

La controlabilidad de (,) y la observabilidad de (,)no se afectan por la transformación.

En otras palabras, la controlabilidad y la observabilidad se conservan a través de transformaciones de similitud. El teorema se comprueba fácilmente al mostrar que los rangos de  y S, y los rangos de  y V son idénticos, en donde  y  son las matrices de controlabilidad y observabilidad, respectivamente, del sistema transformado.

Teorema 5-9 Teorema sobre controlabilidad de sistemas en lazo cerrado con realimentación del estado

Si el sistema en lazo abierto:

 = Ax(t) + Bu(t)

Es completamente controllable, el sistema en lazo cerrado obtenido a través de realimentación del estado:

U(t) = r(t) - Kx(t)

Por lo que las ecuaciones de estado se convierten en:

 = (A - BK)x(t) +(t) + Br(t))

Es también completamente controlable. Por otra parte, si (A,B) es no controlable, no existe K que haga que el par    (A-BK, B) sea controlable. En otras palabras, si un sistema en lazo abierto es no controlable, no puede convertirse en controlable a través de la realimentación del estado.

Prueba: La controlabilidad de (A,B) implica que existe un control u(t) en el intervalo de tiempo (t₀, t_f) de tal forma que el estado inicial x(to) se mueve al estado final x(t_f) en el intervalo de tiempo finito t_f-t_o. La ecuación (5-254) se puede escribir como:

r(t) = u(t) + Kx(t)

Que es el control del sistema en lazo cerrado. Por tanto, si existe u(t) que pueda mover a x(t_o) a cualquier x(t_f) en un tiempo finito, no se podrá encontrar una entrada r(t) que realice lo mismo a x(t), ya que de otra forma u(t) se puede establecer como en la ecuación (5-254) para controlar el sistema en lazo abierto.

Teorema 5-10. Teorema sobre observabilidad de sistemas en lazo cerrado con realimentación del estado

Si un sistema en lazo abierto es controlable y observable, la realimentación del estado de la forma de la ecuación (5-254) puede destruir la observabilidad. En otras palabras, la observabilidad de sistemas en lazo abierto y en lazo cerrado debido a la realimentación del estado no están relacionadas.

El siguiente ejemplo ilustra la relación entre observabilidad y realimentación del estado.

 

 

 

 

Autor:

Carlos Aparza Alfaro

pevdasilento[arroba]hotmail.com