Fig. 2.2.  Un anillo uniformemente cargado de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x.  Todos los segmentos del anillo están a la misma distancia del punto axial P.

 Considere que el punto P está a una distancia x del centro del anillo, como en la figura 2.2.  El elemento de carga dq (diferencial de carga eléctrica) está a una distancia  del punto P.  Por lo tanto, se puede expresar V como

 

En este caso, cada elemento dq (diferencial de carga eléctrica) está a la misma distancia del punto P. Por lo que el término  puede sacarse de la integral y V se reduce a

En esta expresión V sólo varía con x.  Esto no es de extrañarse, ya que nuestro cálculo sólo es valido para puntos sobre el eje x, donde "y"  y  "z" son cero.  De la simetría de la situación, se ve que a lo largo del eje x, E sólo puede tener componente en x.  Por lo tanto, podemos utilizar la expresión Ex=-Vd./d.C.

Este resultado es igual al obtenido por integración directa.  Note que Ex=0 (el centro del anillo).

Apéndice

 

A.1

Tabla 1  Permitividad relativas de materiales

 

 

 

Tabla I. Constante dieléctrica y Rigidez eléctrica de algunos materiales.[3]

A.2 Magnitud. Tipos de magnitudes.         

Magnitud

La noción de magnitud está inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un sistema físico que pueden ser expresados en forma numérica. En otros términos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.

La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes físicas. La belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato que permita determinar cuántas veces una persona o un objeto es más bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no cantidad.

Cantidad

En el lenguaje de la física la noción de cantidad se refiere al valor, el número que toma una magnitud dada en un cuerpo o sistema concreto frente a la comparación realizada, la longitud de este hilo, la masa de aquel trozo de madera , el volumen de esa pileta, son ejemplos de cantidades.

Unidad

Una magnitud arbitraria de una dimensión  elegida como  referencia para propósitos de medición o cálculo se denomina unidad. El sistema físico que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina patrón. Por esta razón cuando medimos, la cantidad resultante lleva un nombre que es el  la unidad patrón.

  Tipos de magnitudes

Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una clasificación básica de magnitudes. Un grupo importante de ellas quedan perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante un número seguido de la unidad correspondiente, es decir se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de números reales y dichas magnitudes. Este tipo de magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La longitud, el volumen, la masa, la temperatura, la energía, son sólo algunos ejemplos. Sin embargo, existen otras que por su propia naturaleza, precisan para su total definición que se especifique, además de los elementos anteriores, una dirección o una recta de acción , un sentido y un punto de aplicación : son las llamadas magnitudes vectoriales o dirigidas. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial, pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependerán no sólo de su cantidad, sino también de la línea a lo largo de la cual se ejerza su acción.

Las magnitudes vectoriales requieren del empleo de otros elementos matemáticos diferentes de los números reales, con mayor capacidad de descripción. Estos elementos matemáticos que pueden representar intensidad, dirección y sentido se denominan vectores.

Toda magnitud vectorial puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de vectores.

 Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por lo general, escalares, longitudes, masas, precios, volúmenes, etc., y por ello es suficiente saber operar correctamente con números reales. Sin embargo, el técnico, el ingeniero, y en la medida correspondiente el estudiante de escuelas técnicas, al tener que manejar magnitudes vectoriales, ha de operar, además, con vectores.

A.3 Vectores.                                             

Un vector puede concebirse como un segmento orientado.

Un vector admite una representación gráfica, que hace en entendimiento más intuitivo. Esta representación esta dada por un segmento orientado en forma de flecha, con una letra mayúscula (minúscula) en negrita A o una letra mayúscula con una flecha  o guión sobre ella , del cual su longitud denota el módulo o intensidad del vector, la recta que lo incluye indica la dirección, llamada recta o línea de acción, la punta de la flecha indica el sentido y el punto del cual parte determina el punto de aplicación.

Ejemplos   A, B, H, R, T   o     o 

En la figura siguiente se muestra un vector de módulo A, recta de acción tiene un ángulo con la horizontal y punto de aplicación O.

                               

A.3-1 Sistemas de referencia

En la mayoría de los problemas físicos y/o mecánicos se hace necesario posicionar cuerpos u objetos en el espacio. Para ello la matemática nos definen sistemas de referencia o coordenadas. Estos poseen un punto de referencia fijo, llamado origen (O), un conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada (en general son tres ejes) e instrucciones para la identificación de un punto en dicho sistema.

El sistema de referencia mas frecuentemente usado es el conocido como sistema ortonormal o cartesiano en el cual se usan tres ejes perpendiculares entre sí.

En la figura siguiente se muestra dicho sistema ortonormal  en el que se toma sentido positivo de los ejes cuando salen del punto de referencia O. Un punto P del espacio tridimensional (3D) esta determinado por tres coordenadas (x, y, z) sobre cada eje con valores positivos como muestra la figura.

                                            P(x, y, z)

Para nuestro trabajo en electromagnetismo nos alcanza con representar puntos en el plano, esto es dos dimensiones, por lo que  la representación en el sistema cartesiano resulta

                                       P(x, y)

Otro sistema de coordenadas utilizado es sistema de coordenadas polares.En donde un punto queda representado por la distancia del punto al origen, generalmente llamado radio y el ángulo entre el eje horizontal y el radio (   ), considerado positivo en sentido antihorario.

                                   P(r,)                                   

Recordando las relaciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras

                               

 

                                                    

Si el radio vale uno   , se cumple la igualdad

 

                                 

Se pueden deducir las relaciones entre los dos tipos de coordenadas. Como sigue:

De cartesiana a polar     

                                      

De polar a cartesiana    

                                     

A.3-2 Operaciones básicas con vectores

Ø   Igualdad de vectores

Dos o más vectores son iguales si sus sentidos y direcciones son iguales y tienen la misma magnitud independientemente de su ubicación en el espacio

 

A=b=

Ø   Multiplicación de un escalar por un vector

El resultado de esta operación es otro vector de dirección y sentido igual (contraria) al original si el escalar es positivo (negativo) y de magnitud igual al producto del escalar por la magnitud del vector  original

Ej.                                         

                           

Ø  Vector nulo

Vector de magnitud nula 

Ø  Vector unitario o versor  

Vector de magnitud unitaria

El vector unitario de un vector  cualquiera se calcula como

                           Donde con  se representa el módulo o magnitud del vector

 

Ø    Adición o suma de vectores

Los vectores se pueden sumar de diversas formas como muestra la figura siguiente

Parte a método del polígono

Parte b método del paralelogramo

                 

A.3-3 Representación  vectores

Cartesiana

Cualquier vector puede representarse en un sistema cartesiano como una combinación lineal de n (en general tres) vectores unitarios (versores) perpendiculares entre si conocida con el nombre de base del sistema.

En el sistema cartesiano la base se escribe como  , más conocidos por los nombres ,

La combinación lineal resulta

                                      

Donde x, y, z son las coordenadas (proyección) del vector sobre cada eje.

Donde en el plano se toman  para el eje   

                                           para el eje

                      

Donde la combinación lineal resulta

                       

Donde cada coordenada vale

Módulo o magnitud   

Dirección                  

Cilíndrica o Polar

En el plano o sea dos dimensiones

                                    

   Donde   

               

A.3-4   Operaciones con vectores representados por sus coordenadas

Ø       Igualdad de vectores

Sea     

            

                                        y   

O sea igualdad de coordenadas o componentes

Ø       Suma, resta, multiplicación por un escalar

 

= =

Ø       Producto punto o interno o escalar entre vectores

Se define como producto escalar entre vectores (simboliza con)

                            Donde es el ángulo entre los vectores

Si   

      

 

si se opera como el producto de dos polinomios resulta

                             

 Reconociendo que de la definición resulta el producto escalar aplicado a los versores

                             ,  ,

El resultado del producto escalar es un número escalar.

Observaciones importantes

El producto escalar de dos vectores colineales es igual al producto de sus módulos

 es colineal con     

El producto escalar de dos vectores iguales resulta su módulo al cuadrado

         ya que

Ø       Producto externo o vectorial entre vectores

El producto vectorial entre dos vectores (se simboliza ) resulta un nuevo vector perpendicular al plano que define  los vectores anteriores, sentido dado por la regla del tornillo derecho y de módulo  ,  donde es el ángulo entre los dos vectores.

                            

                              

Si      

         

Si se opera como el producto de dos polinomios resulta

=

De la definición resulta

 por ser vectores colineales y

            simplificando

-

La expresión anterior del cálculo del producto vectorial resulta también como el cálculo del  siguiente determinante 

=-

Observaciones importantes

El producto vectorial de dos vectores colineales es nulo

  es colineal con    

El producto vectorial no es conmutativo

Se puede probar que:     

                                   

A.3-5  Flujo de un campo vectorial ()

Se utiliza como símbolo   (letra griega Phi se lee fi). 

Este es un concepto matemático de gran utilidad aplicable a  campos vectoriales especialmente a campos electromagnéticos y fluidos. Hasta aquí nosotros reconocemos el campo gravitatorio, el campo eléctrico como  campos vectoriales.

Se ha representado y" visualizado" al campo eléctrico (gravitatorio, magnético) por sus líneas de campo, el concepto físico de flujo de campo será la evaluación de la cantidad total de líneas de campo.

Para el cálculo de flujo de un campo vectorial se debe recordar y/o reconocer los conceptos que siguen.

Toda superficie elemental (se lee diferencial de superficie) para su empleo en el cálculo vectorial se caracteriza por un vector  , que tiene por módulo el área de la superficie, su dirección es la perpendicular a la superficie y su sentido arbitrario. En la figura se muestra

                                            

El símbolo representa  una integral (sumatoria) cerrada sobre una línea o superficie según corresponda, nosotros la usaremos sobre superficies.

Si en una región del espacio existe un campo vectorial  , representado por sus líneas de campo y se toma una superficie elemental representada por . Se muestra en la figura siguiente.

                                   

Se llama flujo elemental del campo vectorial ( se lee diferencial de fi) al producto escalar

                                  

Resolviendo

                                  

 

                          

 

Puesto que la cantidad de líneas de campo es proporcional al módulo del mismo, se puede decir entonces que flujo elemental  representa el número de líneas de campo que atraviesan un elemento de superficie perpendicular al campo.

Por lo tanto la sumatoria  de todos los  que componen una superficie cerrada (encierra un volumen), esto es la integral de superficie , será el flujo total sobre dicha superficie y vale

 

                                         

Remplazando

 

                           

 

Con lo cual el flujo de un campo vectorial sobre una superficie cerrada nos representa el número total de líneas que atraviesan dicha superficie, se deberá contabilizar las que salen con un signo arbitrario y las que ingresan con el signo opuesto.

Puesto que no existe restricciones en cuanto a la forma y tipo de superficie esta puede ser cualquiera, por lo cual seguramente se tomará para el cálculo del flujo la más simple y sencilla.

Conociendo la expresión del módulo del campo vectorial sobre la superficie, esto resulta simple de evaluar. 

A.3.6 Fuerzas. Representación.Tipos de fuerzas

Es una magnitud vectorial, representada entonces por un vector.

Las fuerzas pueden agruparse en:

Fuerzas conservativas

Fuerzas no conservativas y

Fuerzas centrales

A.3.6-1 Concepto de trabajo de una fuerza y energía cinética

Se denomina trabajo de una fuerza, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.

                                      

 vector que representa el desplazamiento.

Recordar del punto A.3-4 que el producto escalar resulta:

                                       

Donde     es el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento. 

Si se toma un  desplazamiento genérico cualquiera deberá  tomarse desplazamientos muy pequeños (diferenciales de desplazamiento) para obtener diferenciales de trabajo. Aplicando la definición

                           

 

                                         

                                  

 

Donde F_t es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, dr es el módulo del vector.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales (integral)

                                      

 

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente  de la fuerza Ft, y el desplazamiento  dr

Concepto de energía cinética ().

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

    pero         

 

Pero      remplazando   resulta

 

                                

El trabajo de la resultante de todas las fuerzas sobre un cuerpo de masa m  es igual a la variación de la energía cinética del cuerpo. Esto es

 

                                   

 

Fuerza conservativa. Energía potencial

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza a lo largo de un a trayectoria cerrada es nulo. Esto nos indica la existencia de una función, que solo depende de las coordenadas del sistema de referencia. A dicha función se le denomina energía potencial.

Por lo cual el trabajo de la fuerza es igual a la diferencia entre los valores iniciales y finales de la función energía potencial.

 

                                 

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

Ejemplo 1: Fuerza peso

El peso es una fuerza conservativa.

Calculemos el trabajo de la fuerza peso  representado como  cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es y_A hasta la posición B cuya ordenada es y_B.

La energía potencial E_p correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.

Ejemplo 2: fuerza de un resorte (muelle)

La fuerza que ejerce un muelle es conservativa

Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.

Para x>0, F=-kx Para x<0, F=kx

El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición x_A a la posición x_B es

La función energía potencial E_p correspondiente a la fuerza conservativa F vale

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se toma cero, E_p=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

A.3.6-2  Principio de conservación de la energía

Fuerzas  conservativas

Si solamente una fuerza conservativa  actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial

 

                                   

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre un cuerpo es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.

 

                                   

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía

                                      

 

                                         

La energía mecánica del cuerpo (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

                   

Comprobación del principio de conservación de la energía

Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g=10 m/s2

Posición inicial x=3 m, v=0.

E_p=2·10·3=60 J, E_k=0, E_A=E_k+E_p=60 J

Cuando x=1 m

E_p=2·10·1=20 J, E_k=40, E_B=E_k+E_p=60 J

Cuando x=0 m

E_p=2·10·0=0 J, E_k=60, E_C=E_k+E_p=60 J

 

La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.

 

Fuerzas no conservativas

Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.

El peso es una fuerza conservativa.

Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.

WAB=mg x WBA=-mg x El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, WABA es cero.

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa

Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la fuerza es de signo contrario al desplazamiento

WAB=-Fr x WBA=-Fr x El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, WABA es distinto de cero WABA=-2Fr x

Balance de energía

En general, sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas F_c y no conservativas F_nc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo  es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.

                                

 

Pero    remplazando

 

                          

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final

                             

 

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que

 

                         

                      

 

Agrupando se tiene

 

 

El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.

Bibliografía

*FÍSICA VOL 2. CAMPOS Y ONDAS.  MARCELO ALONZO- EDWARD J. FIN.

*FÍSICA VOL 2. RESNICK HOLLADAY AND KRANE.

* FÍSICA VOL 2. F.SEARS- M. ZEMAASKY- H. YOUNG.

 

Links relacionados

www.ele.cie.uva.es/emag

www.omega.ilce.edu.mx

www.cenam.mx

www.hiru.com

www.udlap.mx

1.4 Ejercicios resueltos

1) Calcular la fuerza que produce una carga de 10 C sobre otra de 20 C, cuando esta última se encuentra ubicada, respecto de la primera, a:

a) 1 cm.

b) 2 cm.

c) 0,1 cm.

Resolución:

datos: q₁ = 10

C = 1.10-5 C q₂ = 20

C = 2.10-5 C

x_a = 1 cm. = 10-2 m x_b = 2 cm. = 2.10-2 m x_c = 0,1 cm. = 10-3 m

a) F_a = k.q₁.q₂/x_a2

F_a = 9.109 (Nm2/C2).1.10-5 C.2.10-5 C/(10-2 m)2

 F_a = 18.10-1 (Nm2/C2).C2/10-4 m2

 F_a = 18.103 N

F_a = 1,8.104 N

b) F_b = k.q₁.q₂/x_b2

F_b = 9.109 (Nm2/C2).1.10-5 C.2.10-5 C/(2.10-2 m)2

 F_b = 18.10-1 (Nm2/C2).C2/4.10-4 m2

 F_b = 4,5.103 N

F_b = 4,5.103 N

 

c) F_c = k.q₁.q₂/x_c2

F_c = 9.109 (Nm2/C2).1.10-5 C.2.10-5 C/ (10-3 m)2

 F_c = 18.10-1 (Nm2/C2).C2/10-6 m2

F_c = 18.105 N

F_c = 1,8.106 N

 

2) Una bola de médula de sauce, A, tiene una carga de 40  y está suspendida a 6 cm de otra bola, B, que ejerce una fuerza de 500 N sobre la carga A, ¿cuál es la carga de la bola B?.

Resolución:

datos: q_A = 40

C = 4.10-5 C

r = 6 cm = 6.10-2 m

F = 500 N = 5.102 N

F = k.q_A.q_B/r2

 q_B = F.r2/ k.q_A

q_B = 5.102 N.(6.10-2 m)2/9.109 (Nm2/C2).4.10-5 C

 q_B = 5.10-2 N.36.10-4 m2/36 (Nm2/C2).C

q_B = 5.10-6 C

 

3) Una bola de médula de sauce, A, tiene una masa de 0,102 g y una carga de 0,1 C. A está ubicada a 50 cm de otra bola, B, de 0,04 C.

a) ¿qué fuerza ejerce B sobre A?.

b) ¿cuál será la aceleración de A en el instante en que se suelta? (no tener en cuenta la aceleración de la gravedad).

Resolución:

datos: q_A = 0,1

C = 10-7 C

q_B = 0,04

C = 4.10-8 C

r = 50 cm = 5.10-1 m

m_A = 0,102 g = 1,02.10-4 kg

a) F = k.q_A.q_B/r2

F = 9.109 (Nm2/C2).10-7 C.4.10-8 C/(5.10-1 m)2

 F = 36.10-6 (Nm2/C2).C2/25.10-2 m2

F = 1,44.10-4 N

b) F = m.a

 a = F/m

 a = 1,44.10-4 N/1,02.10-4 kg

a = 1,412 m/s2

 

4) Un electróforo se puede descargar y cargar repetidas veces produciendo chispas. ¿De dónde se obtiene la energía que produce las chispas?.

Respuesta:

Por el trabajo entregado para realizar la carga y descarga.

 

5) En los vértices de un cuadrado imaginario de 0,1 cm de lado hay cargas de 30, -10, 40 y 0 C. Encuentre la fuerza resultante sobre el vértice de -10 C.

 

 

 

 

Resolución:

datos: q₁ = 30 C

q₂ = -10 C

q₃ = 40 C

q₄ = 0 C

r = 0,1 cm = 10-3 m

F₃₂ = k.q₃.q₂/r2 y F₃₂ = F_R.sen α

F₁₂ = k.q₁.q₂/r2 y F₁₂ = F_R.cos α

F_R2 = F₁₂2 + F₃₂2 y α = arctg(F₁₂/F₃₂)

F₃₂ = 9.109 (Nm2/C2).40 C.(-10 C)/(10-3 m)2  

 F₃₂ = -9.109 (Nm2/C2).400 C2/10-6 m2    

F₃₂ = -3,6.1018 N

F₁₂ = 9.109 (Nm2/C2).30 C.(-10 C)/(10-3 m)2 

 F₁₂ = -9.109 (Nm2/C2).300 C2/10-6 m2 

  F₁₂ = -2,7.1018 N

F_R2 = (-3,6.1018 N)2 + (-2,7.1018 N)2

F_R2 = 1,29637 N2 + 7,2936 N2