Pero la es restringida solamente a los generadores ideales.

3.6-2  Ecuación de un circuito eléctrico con generador real.

3.6-2-1   Generadores reales

En generadores reales en condiciones de circuito cerrado el campo eléctrico total, dentro del generador no puede ser exactamente nulo porque es necesario que exista algún campo neto que "empuje" la carga a través  del generador.

Evidentemente esto es una pérdida para el generador. Esta pérdida será representada a través de una resistencia, la resistencia interna del generador . Por lo cual su diferencia de potencial  será dependiente de la corriente eléctrica.

La gráfica Volt-Amper del mismo será:

                  

 De la gráfica se deduce que 

Igual que se expreso anteriormente con la Fem, la resistencia interna es independiente de la intensidad de corriente. Es decir se van a considerar generadores lineales.

La simbología  utilizada es:

a

b

     

  

Donde  es el valor de la Fem expresada en Voltios.

             es el valor de la resistencia interna del generador expresada en Ohm.

Resulta evidente que siempre resulta

                                                                                          

 

La forma más simple de la representación de un generador real es a través de un generador ideal con una resistencia eléctrica en serie de valor igual a la resistencia interna del generador real, esto es:

 

3.6-2-2    Ecuación de un circuito eléctrico.

En la Fig se observa un generador real con sus bornes conectados a un dipolo cuya resistencia eléctrica es R

 

 

 

 

 

Realizando la representación que se indicó anteriormente resulta

Por lo que se tiene

 

                                                                                 

 

Remplazando la  se tiene

 

                                      

Despejando la corriente eléctrica resulta:

 

                                                                                      

 

Se pude plantear un símil mecánico como

 

3.6-3   Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito.

Considérese un tramo de un circuito eléctrico entre los puntos A y B, cuya diferencia de potencial es , siendo . Para nuestro caso y sin perder generalidad se supondrá que entre estos dos puntos existe una resistencia R y un generador real cuya Fem vale  y  su resistencia interna  , tal y como se aprecia en Fig.4

 

 

Fig.4

                      

Como existe una corriente eléctrica circulando en el tramo AB, necesariamente debe existir una campo eléctrico resultante neto no nulo. Por lo que aplicando las  ,, se puede escribir:

                                            

Remplazando y dado que entre AB existen las resistencias  y  se tiene:

                                                                       

Despejando el valor de la diferencia de potencial:

                                                                       

      

De una forma más general, si entre A y B existen varios generadores , con sus sentidos correspondientes y varias resistencias ,  remplazado en  resulta

                                       

Despejando

 

                                                                                          

En donde las Fem  tienen signo positivo si su sentido coincide con el sentido de la diferencia de potencial y signo negativo si su sentido es contrario al de la diferencia de potencial.

3.7  Ley de Joule. Potencia eléctrica. Cantidad de calor

3.7-1 Ley de Joule. Potencia eléctrica.

En general, cuando fluyen cargas móviles en el interior de un conductor, la carga posee energía potencial eléctrica en cada punto del conductor, transformándose parte de ella en energía cinética al moverse entre dos posiciones y dicha energía cinética se transfiere en los choques, a los iones que forman el conductor, convirtiéndose esta última en energía térmica (calor) del conductor.

Considérese un conductor de forma cualquiera, en el que se ha establecido una corriente eléctrica continua caracterizada por una densidad de corriente J o una intensidad I y se limita una parte del conductor por dos secciones equipotenciales de valores  y , se muestra en Fig

 

 

 

 

Se pretende analizar la variación de energía eléctrica de las cargas móviles al pasar de la sección S₁ a la sección S₂, suponiendo el potencial eléctrico mayor en S₁ que en S₂ , esto es 

Una cantidad de carga  que pasa por S₁ durante un tiempo , posee una energía potencial eléctrica que vale (recordar Un1)

 

                                                                                                 

 Durante este intervalo de tiempo la misma cantidad de carga dq pasa por S₂ donde posee una energía potencial eléctrica

                                          

La energía perdida por la carga al pasar a través de este segmento de conductor de  a  o el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para transportar la carga por el segmento de conductor viene dado la diferencia de energía potencial, esto es

                                                         

Esta energía eléctrica se transforma en calor, conocido con el nombre de efecto Joule.

Teniendo en cuenta  remplazada en  resulta:

                                                       

Todas estas expresiones fueron obtenidas experimentalmente por James P. Joule (1818-1889), por lo que se conocen como Ley de Joule.

Por lo tanto la potencia eléctrica disipada en el conductor  vale

                                                                            

3.7-1-1 Unidades de la potencia eléctrica.

 

                  

 

                  

 

                  

 

En honor al ingeniero escoses James Watt (1.736-1.819), creador de la primera máquina de transporte a vapor.

Teniendo como múltiplos

                                      

                                      

Otras unidad utilizada comúnmente es=horse power

                       

                           

3.7-1-2  Expresiones generales de la potencia eléctrica.

Hay que señalar que la noción de resistencia está ligada al efecto Joule. Así una resistencia pura queda caracterizada por el hecho de que toda la energía que consume se transforma en calor a diferencia de otros elementos que transforman la energía eléctrica en otros tipos de energía (lo consideraremos más adelante).

Si de se tiene     y considerando que la resistencia eléctrica del conductor es .

Remplazando la  se puede escribir la  como:

                                       

                                                                                                   

                                                          

3.7-2  Energía térmica. Cantidad de calor Q.

 La energía eléctrica transformada en energía térmica está dada a través de la relación de las unidades de energía:

                                     

 

De  se tiene

                                 

Donde = tiempo en segundos

La cantidad de calor vale:

 

                                                                              

 

Remplazando por las   también resulta

 

                                                        

 

Es evidente que esta energía aumenta la temperatura del conductor, en general del dipolo, la que puede calcularse como:

 

                                                                                  

 

Donde   = masa del medio al que se transfiere la cantidad de calor.

              = calor específico del medio en  .

           = variación de temperatura del medio en grados centígrados

 

3.7-3 Balance de energía en un circuito simple.

Consideremos un circuito simple como el de la Fig.

 

 

 

 

 

 

Recordando la  se tiene

 

                                        

En

                                 

                                                                

  

 

Pero 

                                    

 

Remplazando  y despejando se tiene:

                                                                                  

La   representa el balance energético del circuito eléctrico, donde los términos indican:     

 

    potencia suministrada al circuito  por el generador o fuente.

 

   Potencia disipada en el interior del generador por efecto Joule.

 

   Potencia transformada o disipada en el dipolo o resistencia por efecto Joule.

 

3.8 Teoría de circuitos.

En los puntos anteriores se han considerado circuitos simples. Esto es la intensidad de corriente eléctrica es igual para todos los dipolos del circuito eléctrico o en su defecto se podrán agrupar los dipolos de la misma especie para lograr este cometido.

En este punto se tratará la resolución de circuitos más complejos, redes, es decir, un conjunto de dipolos, generadores y conductores conectados entre si de cualquier manera en corriente continua. Donde por resolución se entiende a conocer las tensiones y corrientes de cada uno de los dipolos que componen el circuito eléctrico o red.

Si bien lo antes dicho parece un despropósito, es evidente que en toda red eléctrica real siempre existe un interés por solo algunos o ciertos valores de tensiones o corrientes o en nuestro caso teórico siempre existirán simetrías en las redes que nos permite reducir el número de ecuaciones a plantear para su cálculo.

En la Fig. 1 se muestra una red eléctrica genérica.

                                    Fig.1

 

 

 

 

 

 

 

 

3.8-1 Leyes de Kirchhoff

Las leyes (o Lemas) de Kirchoff fueron formuladas por el ingeniero alemán Gustav R. Kirchhoff (1824-1887) en 1845, mientras aún era estudiante. Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para obtener los valores de intensidad de corriente y potencial en cada dipolo de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la carga eléctrica y  la energía.

Para su enunciado es necesario previamente definir los conceptos de nodo o nudo, rama  y malla de una red eléctrica.

Nudo o nodo eléctrico: punto  de la red eléctrica donde se unen  o concurren tres o más dipolos cualesquiera pertenecientes a la red.

Rama: fragmento de la red eléctrica comprendido entre dos nudos o nodos.

Malla o lazo: conjunto de ramas que hay que recorrer, para que partiendo de un nudo se vuelva al mismo, después de haber recorrido varias ramas sin interrupción y sin pasar dos veces por la misma rama. Es evidente un camino cerrado.

Un ejemplo de estos conceptos se ven en la Fig. 7

Estas leyes se conocen como:

1º Ley de Kirchhoff o Ley de nudos

En todo nudo de una red eléctrica  la suma algebraica de las intensidades de corrientes debe ser cero. 

           

 

 

La ecuación matemática que impone la ley es:

 

                                                      

Es evidente que se conocen los sentidos de las intensidades de corriente o caso contrario se los fija arbitrariamente. 

Un enunciado alternativo es:

En todo nudo de una red eléctrica la suma algebraica de las intensidades de las corrientes que llegan es igual a las intensidades de las corrientes que salen de mismo.

 

                                  

La ecuación matemática es:

                                                                                   

 

Para el caso del nudo de la figura anterior se escribe matemáticamente:

                                                                

Con otro ejemplo se puede afianzar el concepto

Según la         

Según la         

2º Ley de Kirchhoff o Ley de mallas

En todo malla de una red eléctrica la suma algebraica  de las diferencias de potencial eléctrico es nula.

La ecuación matemática que implica la ley es:

                                                                                                      

Para aplicarla se requiere consignar un sentido de recorrido arbitrario a la malla, con lo cual los sentidos de  que coincidan con el del recorrido se consideran con signo positiva, caso contrario serán consideradas con signo negativo.

Un enunciado alternativo es:

En todo malla de una red eléctrica la suma algebraica de las fuerzas electromotrices es igual a la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico (caídas de tensión eléctrica) debidas a las resistencias.

La ecuación matemática es:

                                                                            

Nuevamente para aplicarla  se requiere  un sentido de recorrido arbitrario a la malla, con lo que las intensidades de corriente eléctrica (ya fijadas) que coincidan con dicho sentido de recorrido se consignarán con signo positivo, al igual que las fem de los generadores, caso contrario serán consideradas con signo negativo.

Según la  resulta par la malla en cuestión

                     + -=

Antes de escribir las ecuaciones para la resolución de las redes eléctricas conviene ver si la misma presenta simetrías, pues esto permite reducir el número de ecuaciones. Siempre se aplican las dos reglas a la vez. La primera a todos los nudos menos uno y la segunda a todas las mallas distintas (las que por lo menos tienen una rama no utilizada en las otras mallas). Si la resolución del sistema de ecuaciones, arroja como solución una intensidad de corriente negativa, debe entenderse que el sentido asignado a la misma es el contrario.

Para la resolución de las redes eléctricas se pueden aplicar métodos ya reconocidos para la determinación del número de ecuaciones necesarias que resuelve la red utilizando un algoritmo sistemático y simple, que pueden sencillamente ser programables en sistemas de cálculo informatizado mediante matrices.

Aquí se detallará uno de estos métodos denominado: método de las corrientes ficticias, de mallas o ventanas.

3.8-2 Método de las corrientes ficticias o ventanas 

Veremos en clase las ecuaciones  para su mejor comprensión y entendimiento

Apéndice

A1 Código de colores de resistencias.

Poner código de colores de resistencias

A2  Resistencia eléctrica específica de materiales a 20ºC.

Materiales conductores

Material
Acero colado	1	1
Acero fundido	0,13	7,7
Acero puro	0,10	10
Aluminio	0,0278	36
Antimonio	0,417	2,4
Cadmio	0,076	13,1
Carbón	40	0,025
Cobre	0,0172	58
Constantan	0,48	2,08
Cromo-Ni-Fe	0,10	10
Estaño	0,12	8,3
Grafito	8,00	0,125
Latón Ms58	0,059	17
Latón Ms63	0,071	14
Magnesio	0,0435	23
Manganeso	0,423	2,37
Mercurio	0,941	1,063
Níquel	0,087	11,5
Niquelín	0,5	2,0
Oro	0,0222	45
Plata	0,016	62,5
Plata artificial	0,369	2,71
Platino	0,111	9
Plomo	0,208	4,8
Wolframio	0,059	17
Zinc	0,061	16,5

 Materiales aislantes

Material
Aceite de parafina	1018
Agua de mar	106
Agua destilada	109
Ámbar artificial	1024
Baquelita	1016
Hule duro	1016
Mármol	1014
Mica	1017
Parafina pura	1022
Porcelana	1020
Tierra húmeda	108
Vidrio	1017

A3  Resistencia eléctrica específica y Coeficiente térmico de materiales a 20ºC.

	Material
	Plata	1.59	0.0061
	Cobre		0.0068
	Aluminio		0.00429
	Tungsteno		0.0045
Conductores	Hierro		0.00651
	Platino		0.003927
	Manganina		0.000002
	Mercurio		0.0009
	Nichrome ( Ni,Fe,Cr)		0.0004
	Carbono (grafito)*
Semiconductores	Germanio*
	Silicio*
	Vidrio
Aisladores	Mica
	Porcelana esmaltada
	Goma dura
	Cuarzo fundido

* - El rango de valores de la resistividad depende fuertemente de la temperatura.

A4 Conexión de Pilas y Baterías

A.4-1 Conexión de las pilas en serie para formar baterías

Bajo ciertas circunstancias, el voltaje que produce una sola pila es suficiente, tal como sucede en algunas linternas. En otras ocasiones se necesita mayor voltaje. Esto puede lograrse conectando varias pilas (primarias o secundarias) en serie, en número tal como para lograr el voltaje necesario. Esta agrupación de pilas se llama batería.

La fem (E) de una combinación serie es la suma de las fem de las pilas individuales, y la resistencia interna total es la suma de las resistencia (R_¡) de cada pila. En la combinación de pilas en paralelo, en la cual todas tienen la misma fem, la fem (E) resultante es la de una sola pila (E) . La resistencia interna total de n pilas en paralelo, teniendo cada una, una resistencia interna R_¡ es, R_¡/n. (La ventaja de la conexión en paralelo es la mayor capacidad de corriente que en una sola pila.)

El voltaje total de un conjunto de pilas conectadas en serie es la suma de los voltajes de cada pila. Así, si se conectan en serie cuatro pilas de 1,5 volts, el voltaje total es 1,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5, o sea 6 voltios. Si se conectan 30 de estas pilas en serie, el voltaje final será 30 x 1,5, o sea 45 voltios. Los acumuladores de plomo-ácido de 6 voltios consisten en tres baterías de 2 voltios conectadas en serie.

Una batería se forma conectando pilas entre sí . Una batería de 30 voltios (20 pilas de 1,5 voltios en serie).

Cuando las pilas se conectan en serie, el terminal positivo de una se conecta con el terminal negativo de la otra. Al hacer esto, se suman todos los potenciales individuales, unos a otros. Los ejemplos anteriores tratan las pilas que poseen el mismo voltaje. Esto no necesita ser de esa forma; se pueden conectar en serie pilas de cualquier voltaje. Aunque todas las pilas no tengan el mismo voltaje, se pueden conectar igualmente en serie. Ahora bien, cada pila o acumulador, en una conexión serie, debe tener la misma capacidad de corriente.

A.4-2  Conexión de las pilas en paralelo para formar baterías

También se puede formar baterías conectando pilas en paralelo. Esto solamente puede hacerse con pilas que tengan el mismo voltaje de salida. El propósito de una conexión en paralelo es aumentar la capacidad de corriente. La conexión en paralelo crea el equivalente de un aumento en el tamaño físico de los electrodos y de la cantidad de electrolito, e incrementa por lo tanto la corriente disponible.

Por ejemplo, si se conectan tres pilas en paralelo, la capacidad de corriente de la batería se hace igual al triple de la capacidad de corriente una sola pila. Es decir, cada pila contribuye con la tercera parte de la corriente total.

Conectando las pilas en paralelo no cambia el voltaje. El voltaje final de las pilas en paralelo, es el mismo que el de una sola. Cuando se conectan pilas en paralelo de tensiones desiguales, circula corriente entre las pilas debido a las diferencias de potencial y se consume energía eléctrica. Hay, también una posibilidad de que las pilas puedan dañarse.

 A.4-3  Conexión de pilas en serie-paralelo

Las ventajas de la conexión serie y paralelo, se pueden combinar en la distribución serie-paralelo. ésta permite mayor voltaje de salida como sucede en la conexión serie y aumenta la capacidad de corriente simultáneamente por la conexión paralelo. Como en los ejemplos previos de la conexión paralelo, es deseable que el voltaje y la capacidad de corriente de las pilas, sean en todas los mismos. Si se conecta una pila de tensión alta sobre otra de tensión baja, por esta última circulará corriente y puede dañarse. Generalmente este tipo de conexión solamente se usa cuando se quiere obtener una capacidad de corriente mayor que con una sola pila. Sin embargo hay casos en que el voltaje y la capacidad de corriente sólo se pueden alcanzar por medio de este tipo de conexión serie-paralelo.

Cuando se realiza una conexión serie-paralelo, se deben seguir las reglas de la polaridad: en circuito serie, se conecta positivo con negativo; en circuitos paralelos, se conectan positivo con positivo y, negativo con negativo.

 

A.5 Resumen de las leyes de Kirchhoff

A.6 Problemas

A.6-1 Problemas resueltos

PROBLEMA 1. Una carga de 3600 coulombs pasa por un punto en un circuito eléctrico durante media hora. ¿Cuál es el promedio de circulación de corriente?

Solución:

PROBLEMA 2. A través de un circuito electrónico se observa que circula una corriente uniforme de 50 mA (miliamperes). ¿Qué carga se transfiere durante un intervalo de 10 minutos?

Solución Q = I x t = (50 x 10-3) A x (10 x 60) seg. = 30 coulombs

PROBLEMA 3. Para obtener un plateado de espesor deseado, por la cuba electrolítica debe pasar una carga de 72.000 coulombs, utilizando una corriente constante de 8 amperes. ¿Qué tiempo es necesario?

PROBLEMA 4. Si se realiza un trabajo de 80 joules para mover 16 coulombs de carga desde un punto a otro, en un campo eléctrico, ¿cuál es la diferencia de potencial entre los puntos?

PROBLEMA5. La energía adquirida por un electrón que es acelerado una diferencia de potencial de 1 volt, se denomina "electrón-volt" . Si hay 6,28 X 1018 electrones en 1 coulomb de carga, ¿cuál es la cantidad de trabajo (energía) representado por 1 electronvolt (1 ev)?

Solución. La carga de 1 electrón es 1/6,28 x 1018 coulomb.

PROBLEMA 6. ¿Qué trabajo se realiza para desplazar una carga de 30 coulombs entre dos puntos de un circuito eléctrico que posee una diferencia de potencial de 6 volts?

Solución, W = QE = 30 coulombs x 6 volts = 180 joules

PROBLEMA 7. Una carga + de 5000 coulombs realiza 600.000 joules de trabajo al pasar a través de un circuito externo desde el terminal + al - de una batería. ¿Cuál es la fem (voltaje) aplicada por la batería al circuito?

Solución. La caída de potencial en el circuito externo es ,

 La FEM de la batería = caída de potencial en el circuito = 120 Volts.

PROBLEMA 8. El alambre de cobre tiene una resistividad (aproximada) de 1,72 microhm por centímetro (1 microhm = 10-6 ohm). Determinar la resistencia y la conductancia de un alambre de cobre de 100 metros de longitud y 0,259 cm. de diámetro.

Solución. El área de la sección transversal es :