Partes: 1, 2

                                                            n = períodos de capitalización ( si es un año , m = n )

             Ejemplo 1:

¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual correspondiente a una tasa nominal anual de 25% con capitalización mensual?

 

            Datos                                                    Solución

                                                                       

            i = ?                                          i = ((1+0.25 / 12)12  -1)  x 100

            j = 25%                                    

            m = 12                                      i = ((1+0.0208333) 12 -1)  x 100

 

                                                            i = ((1.0208333) 12  -1 )   x 100

 

                                                            i = (1.28073156 - 1) x 100

                                   

 i = 28.07 % tasa efectiva anual

           

2.3     TASA EFECTIVA PROPORCIONAL (p)

          Cuando se quiere conocer la tasa efectiva proporcional para períodos inferiores  a un año se aplica la siguiente fórmula :

 

                                         

                                    donde :

                                                            p = interés efectivo proporcional

                                                            i  = interés efectivo anual

                                                            m  = subperíodo inferior a un año ( dia, semana, mes , etc.)

                                                            n : Total de subperiódos en un año

            Ejemplo 2 :

              Se tiene una tasa efectiva anual de 18% encontrar la tasa efectiva mensual.

Datos                                                    Solución

           

i  = 18%                                    p = ((1+0.18) 1/12  - 1) x 100

m  = 1

n : 1 x 12 = 12                           p = ((1+0.18) 0.08333333  - 1) x 100

p = ?

                                                p = [(1.18) 0.08333333  - 1) x 100

 

p = ((1.01388843) 0.08333333  - 1) x 100

 

                                                             ip = 1.39% efectivo mensual

 

2.4.       TASAS EQUIVALENTES           :

            Tasa efectiva (i) equivalente a tasa nominal (j)

           

Ejemplo 3:

Calcular la tasa efectiva anual de interés correspondiente a una tasa nominal anual de 17% , con capitalización mensual.

Datos                                        Solución

            i = ?                                                 

            j = 17% = 0.17                           i =  ( ( 1+ 0.17 / 12) 12 - 1 ) x 100

            m = 12

            n = 12                                       i =  [ ( 1+ 0.01416667) 12 - 1 ) x 100

 

i =  (( 1.01416667) 12- 1) x 100

                                                             i =  18.40 % tasa efectiva anual

 

Tasa nominal ( j ) equivalente a tasa efectiva ( i )

 

                                                               

                                                     j = ( ( 1+ i ) 1 / n  - 1 ) x m x100

            Ejemplo 4 :

¿ Cuál es la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual de 12.5% , si la capitalización es trimestral ?

                        Datos                                        Solución

 

           i : 12.5% =0.125                         j = ( ( 1+ 0.125)1/4 - 1 ) x m x 100

           n : 4

           m : 4                                          j =  ( (1.125) 0.25 - 1) x 4 x 100

            j : ?

j =  ( 1.02988357 - 1) x 4 x 100

           

                                                            j = ( 0.02988357) x 4 x 100

 

                                                            j = 11.95% nominal anual

Ejemplo 5 :

¿ Cuál es la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual de 23.% , si la capitalización es mensual

            Datos                                        Solución

 

            i = 23 % =0.23               j = ( (1+ 0.23) 1/12  -  1 ) x m x 100

            j = ?                             

            m = 12                                      j = (1.01740084  -  1 ) x 12 x 100

            n = 12

                                                            j =  20.88% tasa nominal anual

3. EL VALOR FUTURO - Vf

El valor futuro o capitalización es el proceso por el cual los intereses se suman al capital o renta y puede darse en las siguientes situaciones :

• Valor futuro de un Stock o Monto
• Valor futuro de una Renta

3.1        Valor futuro de un Stock

 

En estos casos se utiliza la siguiente expresión :

 

                 

            El factor se denomina factor simple de capitalización - FSC

Ejemplo 6  :

Se tiene un capital de s/. 250,000 , el cual se ha depositado en un banco durante ocho meses a una tasa efectiva mensual de 5%. Calcule el monto al finalizar el período.

           

            Datos                                        Solución

            Va : S/250,000                          Vf = 250,000 x (1+0.05)8

             i  : 5%

            n  : 8                                         Vf = 250,000 x 1.47745544

            Vf : ?

                                                            Vf = s/.369,363.86

           

Si deseamos calcular sólo el interés tenemos :

                                                I = 250,000 x (  1 - (1 + 0.05)8 )

                                                I =  s/. 119,363.86

También se puede expresar en forma tabular, es decoir mediante un cuadro de capitalización :

n	M n-1	I	M
1	250,000	12,500	262,500
2	262,500	13,125	275,625
3	275,625	13,781.25	289,406.25
4	289,406.25	14,470.31	303,876.56
5	303,876.56	15,193.83	319,070.39
6	319,070.39	15,953.52	335,023.91
7	335,023.91	16,751.20	351,775.11
8	351,775.11	17,588.76	369,363.87

           

 

1.2        Valor futuro de Rentas

 

            En estos casos se utiliza la expresión :

 

                                                                                     

                                                (FCS) factor de capitalización de la serie

           

IMPORTANTE : En el curso se está trabajando con rentas vencidas

Ejemplo 7:

A cuánto ascenderá el monto de una anualidad vencida de $10,000 durante 8 años si se invierte a la tasa del 6% de interés efectivo anual ?

 

Datos                                       Solución    

             i  : 6%                                          

Vf : ?                              Vf = 10,000   x  ( 1+ 0.06) 8  - 1

R : 10,000                                                       0.06

N : 8                

                                    Vf = 10,000   x  1.59384807 -1

                                                                               0.06                                                                                              

Vf = 10,000 x  9.897468

                       

                                                Vf = $ 98,974.68

 

Respuesta : al cabo de 8 años el monto obtenido sera igual a $98,974.68

Vamos a efectuar el mismo cálculo utilizando el  método tabular

Ahora utilzando la hoja electronica tenemos :

 

EL VALOR ACTUAL - Va

Valor actual es aquel monto o renta , que a una determinada fecha anterior  o fecha focal, tendrá un valor equivalente  ( a interés compuesto ), es decir es un valor actuarial.

       Se tienen dos situaciones :

• Actualización de un Monto
• Actualización de una serie         

4.1        Actualización de un monto

 

Fórmula :                     

             

                                                           

FSA-Factor simple de Actualización

donde:

                                    Va = Capital , valor actual o valor presente

                                    Vf = Monto o valor futuro

                                    i = Tasa de interés efectiva

                                    n = Período de tiempo

 

Ejemplo 8         

Hallar el valor actual de $5,000. pagaderos en 5 años a la tasa anual efectiva de 6%

 

            Datos                                                    Solución

            Va : ?                                                   C = 5000 / (1+0.06) 5

            Vf : $5,000.        

            n : 5                                          C = 5000 / 1.33822558

            i :  6%                                      

C=  $  3,736.29

 

 

4.2        Actualización de Rentas

                           

             Fórmula :

                                               

FAS-factor de actualización de la serie)

Ejemplo 9 :

Determinar el valor actual de una anualidad vencida de s/.40,000, que será pagada durante 3 años a la tasa de interés del 45%.

 

Datos                                                    Solución

                                                              

Va  : ?                          Va = 40,000  x   1 - (1 + 0.45) - 3

R : S/ 40,000                                                 0.45

n : 3                             

i  :45%                          Va = 40,000  x  1 - 0.32801673

                                                                   0.45                                                               

 

                                                Va = 40,000 x 1.49329616

 

            Va = S/. 59,731.85 

 

El valor actual  de las tres rentas de s/. 59.731.85

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Una  empresa exportadora  de esparragos  ha decidido ahorrar  $ 30,200. El Banco nos paga 2.4%  mensual. Se  pide :

• Transcurridos ocho meses calcule el Valor futuro
• Elabore la comprobación tabular

R:  M = $36,509.56

 

2. Hallar el Valor futurode la siguiente serie :

 

R : Vf = 4,667.17

3. Dentro de 180 días se tiene que pagar una letra de S/.12,300. Transcurridos 55 días queremos cancelar la obligación. ¿ A cuánto ascenderá el valor actual si la tasa de interés mensual es de 1.8%

• Grafique la operación

 

R:  Va = S/. 11,418.18

 

4. Se tiene dos opciones para ahorrar S/. 33,100 durante 7 meses :

    a) El Banco X que nos paga 10.3% anual efectivo

    b) El banco W que nos paga 2.22 % trimestral efectivo

    c) El banco Z que nos paga 0.95% mensual efectivo

¿ Cual es la mejor opción?

 R : El Banco Z con M = S/. 35,364.89

 

5.        Se ha adquirido un equipo de aire acondicionado para el albergue  " Shipibo" , el cual será pagado   en ocho cuotas iguales de $ 122.40. La tasa de interés efectiva mensual es de 3.29%. Se pide :

• Grafique la operación
• Calcule el Valor actual al término del segundo período

R : Va =$ 656.74

 

6.         Hallar el valor futuro de :

 

R : Vf = 5,869.98

 

7.           Hallar el Valor actual del siguiente flujo ( Interés mensual : 4.10%)

 

 

     R : Va = 2,185.77    

 

8.           Se desea adquirir un vehiculo de transporte  y se tienen tres propuestas :

 

PROPUESTA	DETALLE
A	Inicial de $4,800 y seis letras mensuales de $2,000 cada una
B	Seis letras mensuales de $1,500 cada una y seis letras mensuales de $1,200 cada una ( consecutivas)
c	Inicial de $ 2,500 y ocho letras mensuales de $1,650

• Elabore el gráfico de cada propuesta
• ¿ que propuesta elegiría?- La tasa de interes para las tres propuestas del 2.7% mensual efectiva- Utilize la actualización (Va)

R :               - Propuesta A : C = $15,742.94

                   - Propuesta B : C =  $13,803.01

                   - Propuesta C :  C = $ 14,230.48

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

• ALIAGA VALDEZ, Carlos. " Matemáticas Financieras - Un enfoque práctico ". Edic. Prentice Hall. Colombia. 2002
• ESPINOZA HUERTAS, Abdías. " Matemática Financiera Simplificada". Lima .2000
• FLORES CEBRIÁN ,Luis . "Matemáticas Financieras" . Lima , 2001
• GITMAN J. ,Lawrence . "Principiosde Administración Financiera". Edic. Addison Wesley. México. 2000
• MARIÑOS ALFARO, César. "Matemáticas Financiera simplificada en EXCEL" . Lima 2002
• ALIAGA VALDEZ, Carlos. "Funciones y herramientas de EXCEL para la gestión financiera". Edic. CITEC. Lima 2000

APÉNDICE

APÉNDICE 2 : FORMULAS BÁSICAS DEL CIRCUITO FINANCIERO Y SU EXPRESION EN EXCEL

FACTOR	Denominación	Comando EXCEL
	Factor simple de capitalización	= VF ( i, n, 0, C)
	Factor simple de actualización	= VA ( i,n,0,M)
	Factor de capitalización de la serie	= VF ( i, n, R)
	Factor de Depósitos al fondo de amortización	= PAGO ( i, n, 0, M)
	Factor de actualización de la serie	= VA ( i, n, R )
	Factor de recuperación de capital	= PAGO ( i, n, A )

LEYENDA :

A  o C    : Capital -Stock inicial- Valor presente

M         : Monto - Stock final - Valor futuro

R          : Flujo períodico - anualidad - Renta

i           : Tasa de interés efectiva          

n           : período de tiempo

 

 

 

 

 

 

Autor:

Luis Flores Cebrián

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad de Ciencias Administrativas

EAP Administración de Negocios Internacionales

Perú - 2007