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El vector (página 2)

Enviado por Obrian Perdomo



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VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes (a este nivel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar , , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

VECTORES NULO

En matemáticas, un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su representación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbitrario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v.

Fijando una base, se tiene que el vector nulo siempre tiene las coordenadas (0,0, ..., 0).

El vector cero es un caso especial de tensor cero. Es el resultado del producto escalar por el número 0.

VECTORES UNITARIOS

En álgebra lineal, un vector unitario es un vector de módulo uno. Frecuentemente se lo llama también versor o vector normalizado.

MODULO DE UN VECTOR

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

VECTOR LIBRE

Es todo vector del plano que tiene mismas características: mismos módulo, dirección y sentido.

Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del plano que tienen mismo módulo, misma dirección y mismo sentido. Se llama vector libre a cada una de las clases de segmentos orientados equipolentes. Por tanto, cada vector libre está definido por un módulo, una dirección, y un sentido. Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

PROYECCIÓN DE UN VECTOR

La proyección se expresa por la forma:, y viene dada por:

                       

El vector proyección de:  sobre  se calcula por:

               

 

PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN RECTA

La proyección de un vector A sobre una recta r es otro vector cuya dirección coincide con la de la recta, cuyo punto de aplicación es el mismo de A, y cuyo extremo se obtiene trazando desde el extremo de A una perpendicular sobre la recta. Designaremos a la proyección de A sobre r por A sobre r

El modulo de la proyección de un vector sobre una recta es fácil de determinar en función del modulo del vector y del ángulo θ formado por el vector y la recta.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Una forma gráfica sencilla para sumar vectores es usando el método del paralelogramo, que consiste en trazar las paralelas a los vectores hasta formar y la suma correspondería a la diagonal que va del origen hasta el vértice más lejano (ver dibujo).

 

Lo mismo es aplicable a la resta de vectores: -

El método del paralelogramo se puede deducir otra forma gráfica de sumar y restar vectores que queda clara con el siguiente dibujo. 
El método consiste en desplazar el vector B al final del vector A y unir el origen con el final del vector B (el método es similar para la resta de vectores [A -B], sólo debe cambiarse el sentido del vector B a -B y sumar este último al vector A:

 

MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

Un vector encierra más información que un número, nos da (en el caso de una dimensión) la magnitud, que es un número, y el sentido, si apunta hacia la izquierda o la derecha en el eje x.

¿Cuál es el significado que asociamos a (3,7 )?

Si el número es positivo, como es el caso de 3,7, lo que hace es multiplicar el largo del vector (su magnitud, que es un número) por 3,7,o el número que instalemos delante del vector. El resultado es que la nueva magnitud del vector es el producto de la antigua por el número dado. Si el número es negativo, la operación es idéntica, salvo que el vector cambia su sentido.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE VECTORES

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

·         Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

·         Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

·         Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

·         Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores $\vec a$y $\vec b$, y llamemos $\alpha$al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

\begin{displaymath} \vec a \cdot \vec b = \vert\vec a \vert \vert\vec b \vert cos (\alpha), \end{displaymath}

En que $\vert\vec a\vert$y $\vert\vec b\vert$corresponden a las longitudes de los vectores $\vec a$y $\vec b$, respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

\begin{displaymath} \vec a \cdot \vec a = \vert\vec a \vert^2. \end{displaymath}

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

\begin{displaymath} \vert\vec a \vert^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2, \end{displaymath}

Es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

\begin{displaymath} cos (\alpha) = \frac{\vec a \cdot \vec b }{\vert\vec a \vert\vert\vec b\vert}. \end{displaymath}

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

\begin{displaymath} \vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. \end{displaymath}

COMBINACIÓN LINEAL

Un vector \ xse dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores \ A = { x_1, x_2, x_3,...,x_n }si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de \ Amultiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar \ a_1, a_2, ..., a_n, de forma que:

\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i.

Así, \ xes combinación lineal de vectores de \ Asi podemos expresar \ xcomo una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de \ A.

Un (elemento de un espacio vectorial) \ xes combinación lineal de un conjunto de vectores \ Asi existe una cantidad finita, pero a su vez se encuentra regida por la ley de Bohegiher IV \ nde elementos de \ Aque denotaremos por \ x_1, x_2, ..., x_n, y esa misma cantidad \ nde escalares (elementos del cuerpo sobre el que el espacio vectorial está construido) \ a_1, a_2, ..., a_n, de forma que

\ x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = \sum_{i=1}^n a_i x_i.

Así, \ xes combinación lineal de vectores de \ Asi podemos expresar \ xcomo una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de \ A.

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir z = x + \frac{3}{2} ysin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuanto de cada vector del conjunto \ Anecesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar al vector \ xen cuestión.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Los vectores que no son linealmente independientes son linealmente dependientes.

Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

 a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}.

Nótese que el cero en el lado derecho es el vector nulo, no el número cero. y el conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.

Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀ u\in U, u\not\in \left \langle U-u \right \rangle

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

  1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
  2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

  1. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

Dependientes e independientes

De los pares de vectores que ves en la escena di cuáles son linealmente dependientes e independientes. Para los que sean linealmente dependientes escribe las combinaciones lineales que permiten escribir cada uno de ellos en función del otro.(Para ello puedes moverlos, como siempre) Después compruébalo pulsando el botón azul del control combinaciones lineales.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Dos vectores a y b de V2, linealmente independientes, forman una base de V2, puesto que cualquier vector de V2, incluso ellos mismos, se puede escribir como combinación lineal de a y b, es decir, estos dos vectores generan todo el espacio vectorial.

Al conjunto formado por un punto cualquiera del plano, O, sobre el que situaremos los orígenes de a y b, y los dos vectores a y b, lo llamamos sistema de referencia en el plano, y lo denotamos (O, a, b)

VECTORES UNITARIO

Vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario Vectores
o también denominado Vectores
.

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario Vectores
o también denominado Vectores
.

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario Vectores
o también denominado Vectores

OPERACIONES CON NÚMEROS IMAGINARIOS

Potencias de la Unidad Imaginaria:

i =

i2 = -1

i3 = -i

i4 = 1

Para determinar el resultado de cualquier potencia de la unidad imaginaria "i" se toma su exponente, se lo divide por 4 (cuatro), y el resto de esa división que será siempre menor que 4 (cuatro), será en definitiva el valor buscado que quedará encuadrado dentro de la primeros cuatro valores de la tabla anterior.

Suma de números Complejos:

El resultado es otro complejo que se obtendrá sumando respectivamente las partes reales e imaginarias de los complejos dados.

Ejemplo: (-3/4 + 5i) + (2 - 3i) = (-3/4 + 2) + (5i - 3i)

= 5/4 + 2i

Producto de Complejos:

•  Producto de un Complejo por un Real:

El resultado es otro Complejo que se obtiene multiplicando las partes del complejo dado por dicho número real.

Ejemplo: (0,3 - 2/3i) .4 = (0,3 .4) + (-2/3i .4)

= 1,2 - 8/3i

•  Producto de dos Complejos:

El resultado es otro Complejo que se obtiene multiplicando cada una de las partes de uno de los complejos por las otras partes del otro complejo recordando que i2 = -1

Ejemplo: (4/5 - 3i). (-3/7 + 5i) = 4/5. 5i + 4/5. (-3/7) - 3i. (-3/7) - 3i. 5i

= 4i - 12/35+ 9/7i - 15i2

= -12/35 + 37/7 i + 15

= 513/35 + 37/7i

Complejos Opuestos:

Son aquel par de Complejos que difieren en el signo de la parte real e imaginaria. Su ubicación en el diagrama resultará simétrica con respecto al centro del mismo.

Ejemplo: -2 + 5i

2 - 5i -2 + 5i*

2 - 5i*

Complejos Conjugados:

Son aquel par de Complejos que solo difieren en el signo de las partes imaginarias. Su ubicación es simétrica con respecto al eje real.

Ejemplo: -2 + 5i

-2 - 5i -2 + 5i*

-2 - 5i*

Producto de Complejos Conjugados.

El producto de dos Complejos Conjugados dará como resultado un número real cuyo valor es la suma del cuadrado de la parte real más el cuadrado de la componente real e imaginaria.

Ejemplo: (3 - 4i). (3 + 4i) = 9 + 12i - 12i + 16i2

= 9 + 16

= 25

División de Complejos:

•  Por un número Real:

Dará por resultado otro Complejo cuya parte Real e Imaginaria se obtendrá dividiendo el Complejo dado por dicho Real.

Ejemplo: (14 + 7i) /41 = (14/41) + (7i/41)

= 14/41 + 7/41i.

División de dos Complejos:

 

Ejemplo: 4+5i -3-4i -12 -16i -15i + 20i2

. =

-3+4i -3-4i 9+16

8 -31i

= 25

= 8/25 - 31/25i

POTENCIA

Producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o por sí misma.

En la potencia an, a es la base y n el exponente.

POTENCIA DE UNA POTENCIA

La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. Así se obtiene esta potencia

 (a^m)^n = a^{m \cdot n}

DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

IGUALDAD DE  LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1.- 3ix + 2x= 2iy + y +1 3 ( 2 )=2y

3x =2y --- 3 ( x )= 2 ( 2x-1 ) 6= 2y

2x = y+1 3x= 4x-2 y = 6/2

-4x + 3x = -2 y = 3

y =2x-1 -x = -2

x = 2

2.- ( x + iy ) ( 1+2i )= -1+8i

2

( x+iy )= ( -1 +8i ) ( 1-2i )- -1 +2i+8i-16i - 15 + 10i - 3 + 2i

( 1 +2i ) ( 1- 2i ) - 1 + 4 - 5 -

x =3 y =2

CONJUGADO DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal.

Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado sería (x,-y).

Si al número complejo lo representamos por n; n = (x ,y) el complejo conjugado se representa por n; n = (x ,-y) con una raya encima del número.

SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:

(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la Suma de Números Complejos

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa

Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:

(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )

Ejemplo:

(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i

(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i

· Asociativa

Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:

[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]

Ejemplo:

[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i

(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i

· Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que

(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi

El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La resta  z - w de los números complejos z = a + b i, w = c + d i, es la suma de z y del inverso aditivo de w,

z - w = z + (-w) = (a + b i) + (-c - d i) = (a - c) + (b - d) i

Ejemplos:

(9 - 5i) - (4 + 7i) = (9 - 4) + (-5 + 7)i = 5 + 2i.

(3 - 5i) - (6 + 7i) = (3 - 6) + (-5 - 7)i = -3 - 12i.

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real.

Como en la multiplicación, podemos representar los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados

PROPIEDADES DEL CONJUNTO Y DEL MÓDULO (VALOR ABSOLUTO) PARA LA VISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

|a| = \sqrt{a^2}

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

z = x + iy\,

Con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

 |x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

  PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NÚMERO COMPLEJO

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

 z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,

Y

\bar{z} = x - iy

Es el conjugado de z, luego podemos ver que:

|z| = r\,

|z| = |\bar{z}|

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

CONCLUSIÓN

Una magnitud que tiene una dirección y sentido al mismo tiempo y los vectores se representan con segmentos rectilíneos orientados, utilizando los vectores se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de cualquier objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $, representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

Los problemas de adición y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

BIBLIOGRAFÍA

 

 

 

 

Autor:

Obrain


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