Partes: 1, 2

-          Formulación de una serie de enunciados (lemas) que permitan desarrollar una construcción básica donde se demostrará el teorema.

-          Una vez construida   dicha constante se realizará un análisis de todos y cada uno de los elementos que intervienen en la construcción básica.

-          Y por último se realiza una demostración definitiva a través del planteamiento de un problema por resolver (análogo)

PROBLEMA POR RESOLVER: (Con Regla sin Marcas y Compás)

DADOS DOS SEGMENTOS DE RECTAS AO  y    OB= 2AO  ORTOGONALES EN EL PUNTO O y  CON CENTRO EN EL PUNTO O CONSTRUIDA UNA SEMI-CIRCUNFERENCIA AMC CUYO RADIO SEA IGUAL A EL SEGMENTO OA; "DETERMINAR UN PUNTO P EN EL SEGMENTO AO DONDE CENTRAR EL COMPAS y CON ABERTURA PO CONSTRUIR UN ARCO OE PARA OBTENER UN PUNTO R EN LA INTERSECCION DE LOS ARCOS AM Y OE" DE FORMA TAL QUE LOS PUNTOS P; R y B QUEDEN ALINEADOS (CORRECTALES)

CUMPLIENDO LAS SIGUIENTES CONDICIONES:

C:1  - QUE EL PUNTO P ESTE EN EL SEGMENTO AO

C:2  - QUE EL PUNTO R ESTE EN LA INTERSECCION DE LOS ARCOS AM y OE

C:3  - QUE EL PUNTO M ESTE EN EL CENTRO DEL SEGMENTO OB

C:4  - QUE  LOS PUNTOS P; R y B QUEDEN ALINEADOS (CORRECTALES)

C:4  - QUE LOS SEGMENTOS AO = OR = OM = OC = MB

C:5  - QUE LA PERPENDICULAR A AMBOS LADOS DEL PUNTO M DETERMINE LOS PUNTOS G; H y U y DICHA PERPENDICULAR SEA PARALELA AL SEGMENTO AC

C:6  - QUE LOS SEGMENTOS GP = GH = GB = GU = GO

C:7  - QUE LOS SEGMENTOS HB = HR = HO = HD

C:8  - QUE LA PERPENDICULAR DEL PUNTO R  AL CORTAR LA PROLONGACION DEL

          SEGMENTO  DE RECTA AC DETERMINE EL PUNTO D SIENDO OD = RB y PB = PD

          DE FORMA TAL QUE CON EL COMPÁ S CENTRADO EN EL PUNTO P Y ABERTURA

          PB CONSTRUIR LOS ARCOS BD Y BF Y LA SEMI-CIRCUNFERENCIA FBD.               

C:9  - QUE LA PERPENDICULAR RD SEA IGUAL AL SEGMENTO DE RECTA OB Y SU PUNTO DE INTERSECCION SEA EL PUNTO I (ORTOCENTRO) DEL TRIANGULO

          OBD

DEMOSTRAR:

P1.-     QUE EL PUNTO P ES EL UNICO

P2.-     QUE EL ANGULO BPO ES UNICO

P3.-     QUE EL SEGMENTO OD ES IGUAL A 2 / π

P4.-     QUE LA SUMA DE LOS SEGMENTOS PO + PB = π / 2

P4.-     QUE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO G y RADIO GB PASA POR LOS PUNTOS

            P;  H;  B;  U y  O

P5.-     QUE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO H y RADIO HB PASA POR LOS PUNTOS

            B;  R;  O  y  D

P6.-     QUE EL AREA DEL SEMI-CIRCULO DE RADIO HB = HD y DIAMETRO BD ES IGUAL

           AL  AREA DEL TRIANGULO BPD

P7.-     QUE EL AREA DEL CIRCULO DE RADIO OM y DIAMETRO OB ES IGUAL AL AREA

           DEL TRIANGULO BOF

P8.-     QUE EL SEGMENTO BF ES LA RECTIFICACION DE LA SEMI-CIRCUNFERENCIA BD

P9.-     QUE EL SEGMENTO HP ES LA RECTIFICACION DE LA SEMI-CIRCUNFERENCIA

            BD / 2

P10.-   QUE EL SEGMENTO UM ES LA RECTIFICACION DEL ARCO AM

P11.-    LA SOLUCION DEFINITIVA DE LA CUADRATURA DE CIRCULO

TEOREMA: SI EL ARCO COMPRENDIDO ENTRE LOS DOS LADOS IGUALES DE

         UN TRIANGULO ISOCELES  ACUTANGULO PASA POR EL

         ORTOCENTRO DE DICHO TRIANGULO Y ADEMAS PASA POR LOS

         PUNTOS MEDIOS DE DICHOS LADOS IGUALES ENTONCES LA

         SUMA DE LAS DOS TANGENTES DE LOS ANGULOS OPUESTOS A

         LOS DOS LADOS ADYACENTES A LA BASE ES IGUAL A Pí (π)

DEMOSTRACIÓN

SEAN:              PH ; RD ; OB = ( ALTURAS ) DEL TRIANGULO PBD

DONDE:           RD = OB (DOS ALTURAS IGUALES)

PH     (SE INTERCEPTAN EN EL ORTOCENTRO) (PUNTO I) ÇOB  ÇY:         RD 

I                     (EL ARCO GJ INTERCEPTA AL PUNTO I) ÇY SI:     GJ   

DONDE:           PJ = JD = PG = GB (J y G SON LOS PUNTOS MEDIOS DE PD y PB)

Y:         Tang < PDB = Tang  < PBD (ANGULOS CON VERTICES EN D y B)

DONDE:           (DB = BASE)

ENTONCES:     Tang <  PDB + Tang <  PBD = π

ANÁLISIS

TRIANGULO: POB                                                                   TRIANGULO: BOD

LADOS: PO = 0,46708828…                             LADOS: OD = 0,636619772…

               OB = 1                                                                       OB = 1

                PB = 1,10370805…                                         DB = 1, 185447061…

ANGULOS: BPO = 64°96327305…                                ANGULOS: BPO = 57°51836347…

                      OBP = 25°03672695…                                     DBO = 32°48163653…

                      POB = 90°                                                                 DOB = 90°

PROBLEMA POR DEMOSTRAR: DEMOSTRAR QUE EL SEGMENTO OD ES IGUAL A 2 / π

OD = 0,636619772…                            (POR HIPÓTESIS)

OB = 1                                     (POR CONDICIÓN)

BOD = 90°                                           (POR CONDICIÓN) (perpendicular y rectángulo)

OD = Tang DBO                                  (POR HIPÓTESIS) (POR LO ANTERIOR)

DBO = 32°48163653…              (POR HIPÓTESIS) (POR LO ANTERIOR)

180° - (BOD + DBO) = ODB                  (SUMA DE ANGULOS INTERNOS) (POR DESPEJE Y DEDUCCIÓN)

ODB = 57°51836347…                          (POR LO ANTERIOR)

OB2 + OD2 = DB2                                  (POR PITAGORAS)

  __________

√OB2 + OD2 = DB                                 (POR PITAGORAS)

                          DB = 1,185447061… (POR LO ANTERIOR)

DHP = 90°                                           (POR CONDICIÓN: perpendicular rectángulo)

180° = DHP + ODB + HPD                   (POR SUMA DE Á NGULOS INTERNOS)

180° - (DHP +ODB) = HPD                   (POR DESPEJE)

                                                           DBO = 32°48163653…POR LO ANTERIOR)

BPD = ISOCELES (POR SIMETRÍA HD = HB) y (PB = PD)

HPD = HPB = DBO (POR DEDUCCIÓN)

OBD + OBP = PDB (POR DEDUCCIÓN)

DPB = 2HPD = 2HPB (POR DEDUCCIÓN)

            OBP = PBD - OBD     = (180° - (POB + OPB)

            OBP = 25°03672695   = (180 - (POB + 2HPD)

                                                 = (180 - (POB + 2HPB)          

PO = Tang OBP

PO = 0,46708828…

                                         _________ 

PO + OD = PR + RB =  √PO2 + OB2 = PB         (POR PITAGORAS)

PB = 1,10370805… (POR LO ANTERIOR)        

                                                     _________

    √PO2 + OB2 - PO = OD =  2 / π = 0,636619772...=RB

                                     2 /π = PB -PO = RB = OD      L.Q.Q.D.

                                                           PB + PO = π/2 L.Q.Q.D.

                                   2 (PB + PO) =  π    L.Q.Q.D.

                                   π / 2   .    2 / π      =  1

 RESULTADOS

El resultado de esta investigación es parcial y es mi deber aclarar que solo se demostró la  construcción de pi (π) y se realizó un análisis al teorema del cual se obtiene su determinación. Pues el mismo pertenece a una cadena de problemas por demostrar y problemas por resolver los cuales requieren de la aprobación de varios métodos que me pertenecen tales como METODO PARA INTERPOLAR Y EXTRAPOLAR "n" SEGMENTOS DE RECTAS ENTRE UN SEGMENTO DE RECTA ARBITRARIO DADO OX y UN SEGMENTO DE RECTA UNIDAD COMUN ARBITRARIO OU (INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN DE "n" MEDIOS GEOMETRICOS ó "n" MEDIOS PROPORCIONALES) (CON EL USO EXCLUSIVO DE REGLA SIN MARCAS Y COMPÁ S) y METODO PARA MULTIPLICAR UN SEGMENTO ARBITRARIO JO POR UN SEGMENTO ARBITRARIO OX TENIENDO AMBOS UNA UNIDAD COMUN OU y SU DEMOSTRACIÓN UTILIZANDO EL METODO PARA LA INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN DE SEGMENTOS PROPORCIONALES POR ITERACIÓN CON REGLA SIN MARCAS Y COMPÁ S (HORIZONTAL y EN ESPIRAL) así como el  METODO PARA DIVIDIR UN SEGMENTO DE RECTA OX ENTRE OTRO SEGMENTO DE RECTA OJ y (OJ entre OX) ARBITRARIOS DADA UNA UNIDAD COMUN y ARBITRARIA (CON REGLA SIN MARCAS Y COMPÁ S) entre otros.

Los cuales  presentaré en futuras monografías, en este mismo compendio monográfico y además se presentarán varios teoremas originales y varios problemas por resolver. Dentro de estos están las condiciones necesarias para confirmar que sí tienen solución los problemas clásicos de la geometría, como lo son: La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo,  cerrando este capítulo en la historia de la geometría superior y abriendo un nuevo episodio en el quehacer científico actual, pues éste es  solo el comienzo.

http://www.monografias.com/trabajos63/construccion-constante-pi/construccion-constante-pi.shtml

 

 

 

 

 

Autor:

Rodolfo A. Nieves Rivas

Investigador Independiente

Matemática-Física y Biología

Tinaquillo - Cojedes

Venezuela

Participante en la I Jornada Para la enseñanza de la matemática 1995

Universidad Nacional Experimental de los Llanos Ezequiel Zamora (Unellez)

Ponente en XVII Jornada de Investigación y I de Postgrado de Unellez Cojedes

Trabajos Realizados:

Método Para la Interpolación de Segmentos Proporcionales por iteración con regla sin marcas y compás entre otros

Trabajo realizado en: Venezuela Julio 2008