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Apuntes sobre estimación de recursos y reservas (página 4)



Partes: 1, 2, 3, 4

Al igual que en el caso anterior hay que definir la
posición del modelo, su
extensión, dimensiónes de las celdas (X,Y) y las
variables a
almacenar. La altura de la celda se define por la diferencia de
las cotas (Z) de las superficies trianguladas que definen el la
unidad geológica.

Una vez definido el modelo de bloque que ocupa toda la
región de interés
entonces se procede a estimar la variación espacial de las
distintas variables definidas en el modelo, para lo cual se usa
una amplia gama de técnicas
de interpolación que serán discutidas a
continuación. 

5 Métodos de
estimación espacial

5.1
Método del
Inverso de la distancia

Este fue posiblemente el primer método analítico
para la interpolación de los valores de
la variable de interés en puntos no muestreados. 
Esta técnica se ha convertido en una de las más
populares gracias a la aparición de las computadoras y
relativa sencillez. En principio se adopta la hipótesis de que importancia de un dato
aislado responde a una función
inversa de la distancia. El objetivo del
método es asignar un valor a un
punto o bloque mediante la combinación lineal de los
valores de las
muestras próximas.

 Z*(x) = Ã¥ li
Z(xi)

En la que li son los pesos o coeficientes de
ponderación proporcionales a la distancia euclidiana entre
las localizaciones muestreadas y la que se desea estimar, estos
pesos son calculados por:

           
li = (1/doi)/
Ã¥1/doj

Donde: doi es la distancia entre la
localización a estimar y la localización de la
muestra i.

Generalizando obtenemos:

           
Z*(x) = [Ã¥i=1,n
1/doi Z(xi)] /
Ã¥i=1,n1/doj

Se pueden obtener distintos estimadores si escribimos la
ecuación anterior como:

           
Z*(x) = [Ã¥i=1,n
(1/doi)w Z(xi)]  /
Ã¥i=1,n(1/doj)w

             
Z*(x) = [Ã¥i=1,n
Z(xi)/ (XDi2 +
YDi2)w/2
/] / åi=1,n1/
(XDi2 +
YDi2)w/2

Note que si el exponente de la distancia w = 1 obtenemos la
ecuación anterior.

Es intuitivo suponer que la influencia potencial del valor de
una muestra sobre un punto o bloque a estimar decrece cuando este
se aleja de dicho punto. El atributo estimado cambiará
como función inversa de  la distancia. En otras
palabras, se asigna mayor peso a los valores de las muestras
más  próximas y menor peso a las más
alejadas del punto de estimación.

Para aplicar el método es necesario en primer lugar
escoger el valor del exponente del inverso de la distancia. Por
la fórmula queda claro que en la medida que este aumenta
disminuye  la influencia de los valores de las muestras
más alejadas, en esa misma medida aumenta la de las
 más próximas.  Con el incremento de la
potencia, la
interpolación de las leyes entre 2
puntos pasa del principio de los cambios graduales (w=1)  al
principio de los vecinos más cercanos (w ® Ñ).
Se debe resaltar que difícilmente en la naturaleza la
concentración de un elemento químico se subordine a
la ley de la
línea recta y mucho menos al principio de las zonas de
influencia. Un exponente igual a dos produce una
interpolación intermedia (solución de compromiso)
entre ambos principios. Por
esta razón, el método se conoce también como
inverso de la distancia al cuadrado. Los exponentes más
usados en la práctica son 2, 3 y1.  Para seleccionar
el valor que se va  a emplear se puede utilizar la
validación cruzada. Si el exponente es cero el
método del inverso de la distancia se reduce a una media
aritmética dentro de la vecindad de búsqueda 
o sea a todas las muestras se le asigna un mismo peso
independientemente de la distancia que la separa del punto a
estimar.  

5.1.1 
Área o vecindad de búsqueda

Para decidir cuales son las muestras que se emplearan para
estimar el valor del bloque o punto dentro del yacimiento 
se define la vecindad o área de búsqueda. La
vecindad de búsqueda bidimensional se emplea cuando la
estimación de reservas se realiza en un plano de
proyección.

El área de búsqueda  2D puede ser circular
o elíptica. La vecindad circular se emplea cuando la
mineralización en el yacimiento se considera
isotrópica  o sea cuando la variabilidad de la ley y
la potencia es la misma en todas direcciones. El radio  del
círculo se argumenta sobre la base del conocimiento
geológico del yacimiento o los resultados de la
variografía (ver métodos
geoestadísticos).

Una vez seleccionado el radio de búsqueda se
calcula la distancia entre el centro del bloque que se desea
estimar y cada una de las muestras vecinas. Todas aquellas
muestras que se localizan a una distancia mayor  que el
radio se excluyen  y no participan en la estimación
del bloque.

Figura 5.1 Ponderación por el método del
inverso de la distancia  empleando una vecindad de
búsqueda circular

El procedimiento
general se puede observar en la figura 5.1. Como los 3 pozos caen
dentro del círculo de búsqueda  todos son
utilizados para estimar el valor de la ley del bloque. El peso
asignado a la muestra más próxima aumenta con el
incremento de valor de w. En este caso  concreto esto
provoca una disminución de la ley pues la muestra
más cercana es la de menor concentración. La ley
del bloque fue estimada ponderando simplemente por el inverso de
la distancia, si la potencia es variable entonces la
ecuación se modifica de la siguiente manera:

Z*(x) = [Ã¥i=1,n
1/doi Z(xi)*mi] /
Ã¥i=1,nmi/doj

Si la mineralización es anisotrópica entonces se
utiliza una vecindad de búsqueda elíptica. La
elipse debe orientarse de forma tal que el eje mayor (a) coincide
con la dirección de máxima continuidad y el
eje menor (b) con la dirección de mayor variabilidad o
mínima continuidad.

En estos casos el método del inverso de la distancia
puede ser modificado para acomodar la anisotropía del
fenómeno y asignar mayor peso a las muestras ubicadas en
la dirección de máxima continuidad o en las
cercanías de esta. Esta modificación permite
acercar los resultados de este método de
estimación  a los obtenidos por kriging (ver
Annels,1991) .

Si la estimación de recursos se
realiza en el espacio 3D entonces para la selección
de las muestras se emplea una volumen  de
búsqueda tridimensional que puede ser una esfera (cubo) si
el yacimiento es isotrópico  o un elipsoide
(paralelepípedo) si es anisotrópico.  En este
caso se necesita definir 3 ejes (mayor, intermedio y menor) y
orientar correctamente el volumen de búsqueda en el
espacio. El procedimiento de selección de las muestras es
similar al caso 2D. 

Una vez determinada las dimensiones y la orientación
del volumen de búsqueda es posible aplicar otras
restricciones a la vecindad pues no todas las muestras que caen
dentro de ellas tienen necesariamente que ser empleadas en la
interpolación. Generalmente se fija un  número
máximo y mínimo por volumen de búsqueda. Si
dentro del área existen más muestras que el
máximo fijado entonces el algoritmo
selecciona entre las más cercanas un número que
coincide con el máximo definido, si la cantidad de
muestras no sobrepase  el mínimo requerido entonces
el bloque no se estima. Este tipo de restricciones permite
simplificar los cálculos al  no considerar aquellas
muestras, que a priori se conoce tienen poca influencia sobre el
bloque que se desea estimar.

Como regla el número máximo de muestras dentro
del volumen puede variar entre 4-18 dependiendo de la red y las dimensiones de la
vecindad de búsqueda que a su vez es función de la
continuidad espacial de la mineralización definida con la
ayuda del variograma.

El volumen de búsqueda alrededor del bloque se puede
dividir en sectores (1, 4 u 8) y posteriormente se procede 
a escoger de cada sector un número determinado de las
muestras más cercanas al bloque. La búsqueda por
cuadrante (4 sectores) u octantes  (8 sectores) permite
reducir el sesgo provocado por la aglomeración de los
pozos o muestras en ciertas áreas del yacimiento.

Figura 5.2 Impacto del empleo de la
vecindad de búsqueda por sectores en la selección
de las muestras  a) búsqueda sin restricción
(1 sector) todas las muestras seleccionadas proceden de un solo
pozo b) búsqueda por octantes (8 sectores) se selecciona 2
muestras de cada pozo.

La figura 5.2 muestra una situación hipotética
donde se tienen 4 pozos de exploración con 8 muestras
regularizadas cada uno.  Si se establece un volumen de
búsqueda (global) y un máximo de 8 muestras para
estimar el bloque, entonces se seleccionan las 8 muestras
pertenecientes al pozo  F1 que es el más cercano al
centro del bloque. Esto lógicamente no es lo ideal pues se
está descartando  la información brindada por el resto de los
pozos.

Ahora bien, si la búsqueda se realiza por octantes en
lugar de un solo sector y se establece un máximo de una
muestra por sector entonces se logra seleccionar las muestras
más cercanas de cada uno de los 4 pozos (2  muestras
por pozos) lo cual garantiza una mejor representatividad espacial
de la selección realizada.

Este ejemplo demuestra que en la estimación de reservas
la selección de las muestras dentro del volumen de
búsqueda debe realizarse por sectores para lograr un buen
muestreo
espacial, en caso contrario se corre el riesgo de evaluar
un bloque empleando solamente las muestras del pozo más
próximo.

5.1.2
Consideraciones finales sobre el método del inverso de la
distancia
 

Esta técnica suaviza los valores de la variable
estimada por lo cual el método brinda mejores resultados
en aquellos yacimientos en los que la ley varía de forma
gradual   (yacimientos de cobre
porfírico, yacimientos de calizas etc.)

La principal crítica
que se le hace a esta técnica de interpolación
espacial es que da los mismos resultados independientemente del
tamaño del bloque que se desea estimar (Annels,1991). Esto
es motivado poque lo que realmente se estima es el centro del
bloque  (estimador puntual). 

Para revertir este problema Yamamoto, 1992  propone
dividir los bloques en subloques, estimar puntualmente cada uno
de ello por el método del inverso de la distancia y
posteriormente combinar los estimados parciales para calcular el
valor medio del bloque. Esto es un procedimiento muy similar al
empleado por el Kriging de bloque. Según este autor la
combinación de los estimados de los subloques  a
partir del cálculo
del promedio de los estimados parciales es equivalente a la
estimación de  los coeficientes de
ponderación  medios de las
muestras en los subloques, lo cual  permite realizar una
estimación directa de la ley del bloque por  este
método.

Se debe destacar  que todas las modificaciones
introducidas al método para que pueda considerar la
anisotropía de la mineralización, la posibilidad de
emplear búsqueda por sectores lo cual permite desagrupar
las muestras y la variante de estimar directamente la ley del
bloque  hacen que los resultados obtenidos por este
método se aproximen mucho a lo brindados por los
métodos geoestadísticos.

En resumen el método es muy potente y se utiliza
ampliamente en la práctica de la estimación de
recursos en sustitución de los métodos
geoestadísticos cuando no es posible obtener modelos
matemáticos que describan la variabilidad
espacial de la mineralización en el yacimiento. 

5.2 Métodos
geoestadísticos

5.2.1Geoestadística,
concepto.

La Geoestadística se define como la aplicación
de la Teoría
de Funciones
Aleatorias al reconocimiento y estimación de
fenómenos naturales [Journel, A, G. and Huijbregts, C.J.,
1978], o simplemente, el estudio de las variables
numéricas distribuidas en el espacio [Chauvet, P., 1994
Los fenómenos distribuidos en el espacio, la
mineralización en un yacimiento mineral por ejemplo,
presenta un carácter mixto, un comportamiento
caótico o aleatorio a escala local,
pero a la vez estructural a gran escala. Se puede entonces
sugerir la idea de interpretar este fenómeno en
términos de Función Aleatoria (FA), es decir, a
cada punto x del espacio se le asocia una Variable Aleatoria (VA)
Z(x), para dos puntos diferentes x e y, se tendrán dos VAs
Z(x) y Z(y) diferentes pero no independientes, y es precisamente
su grado de correlación el encargado de reflejar la
continuidad de la mineralización, o de cualquier otro
fenómeno en estudio, de modo que el éxito
de esta técnica es la determinación de la
función de correlación espacial de los datos [Zhang, R.,
1992]. Su estimador, El Kriging, tiene como objetivo encontrar el
Mejor Estimador Lineal Insesgado a partir de la
información disponible, y en efecto, el valor estimado
obtenido Z*(x) de un valor real y desconocido Z(x), consiste en
una combinación lineal de pesos asociados a cada
localización donde fue muestreado un valor Z(xi) (i =
1,…n) del fenómeno estudiado, observando dos
condiciones fundamentales:

1.- que el estimador sea insesgado. E[Z* – Z] = 0,

 2.- que la varianza Var [Z* – Z] sea mínima,
consiguiéndose de este modo minimizar la varianza del
error de estimación.

5.2.4 El Análisis Estructural.

El Análisis Estructural o estudio variográfico
según [Armstrong, M., y Carignan, J., 1997] está
compuesto por:

"       El cálculo del
semivariograma experimental.

"       El ajuste a este de un
modelo teórico conocido.

El cálculo del semivariograma experimental es la
herramienta Geoestadística más importante en la
determinación de las características de
variabilidad y correlación espacial del fenómeno
estudiado [Chica-Olmo, M., 1987], es decir, tener conocimiento de
como la variable cambia de una localización a otra
[Lamorey, G., and Jacobsom, E.,1995], [Issaks & Co.,1999],
representando el útil más importante de que dispone
el geoestadístico para el análisis del
fenómeno mineralizado o de la variable de distribución espacial en
estudio.

5.2.4.1 El
semivariograma experimental

El variograma se define como la media aritmética de
todos los cuadrados de las diferencias entre pares de valores
experimentales separados una distancia h. [Journel, A, G. and
Huijbregts, C. J.,1978], o lo que es lo mismo la varianza de los
incrementos de la variable regionalizada en las localizaciones
separadas una distancia h.

Var{Z(x+h)-Z(x)} = 2g(h)

La función g(h) se denomina semivariograma, el
cual puede ser obtenido por la expresión.

           
                  

donde: Np(h)    es el número de pares a
la distancia h.

                       
h          es el
incremento.

                       
Z(xi)      son los valores
experimentales.

                       
xi         
localizaciones donde son medidos los valores
z(xi).

Aunque la función g(h) por definición es un
semivariograma (la mitad del promedio de las diferencias al
cuadrado) en la literatura científica
se ha arraigado el término variograma (por
definición es 2g(h)), esto ha provocado que ambos
términos se empleen indistintamente. Su cálculo no
consiste en una simple evaluación
de su expresión, según se plantea en [Krajewski, S.
A. and Gibbs, B.L., 1993], [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,
1978], [David, M.,1977], [Xie, T., and Myers, D.E.,1995a] y
[Pannatier, Y.,1993] esta operación está
relacionada con los elementos siguientes:

La dirección en la que será calculado el
semivariograma, uno o dos ángulos que definen una
dirección en el espacio a (azimuth) y/o b
(inclinación) con tolerancias angulares da y/o db. El
semivariograma calculado usando tolerancia
angular de 90º se denomina "semivariograma medio" u
"omnidireccional".

El incremento o paso en el cálculo del semivariograma h
y su tolerancia lineal dh, se recomienda que el valor de dh sea
la mitad del incremento inicial.

Una distancia, que representa la distancia máxima a que
pueden estar alejados los segundos puntos del par con respecto a
la línea que define la dirección de cálculo,
conocido como Ancho de Banda.

La distancia Lmáx hasta la cual será
calculado el semivariograma, se recomienda que ésta sea la
mitad de la distancia entre las muestras más alejadas
[Armstrong, M., y Carignan, J., 1997] [Krajewski, S. A. and
Gibbs, B.L., 1993], aunque dependiendo de la geometría
del fenómeno regionalizado en algunos casos puede ser
calculado hasta una distancia superior.

En la mayor parte de los casos g(h) crece hasta cierto
límite llamado meseta, en otros casos puede crecer
indefinidamente. El comportamiento en el origen puede tener
diferentes formas como son según [Armstrong, M., y
Carignan, J., 1997], [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,
1978], [Chica-Olmo, M., 1987] (Figura 5.7).

Parabólico: Caracteriza a una variable muy
regular, siendo continua y diferenciable.

Lineal: Caracteriza a una variable continua, pero no
diferenciable, es decir menos regular.

Discontinuidad en el origen: "Efecto de pepita", es el
caso en que g(h) no tiende a cero cuando h tiende a cero.
Representa a una variable muy irregular.

Discontinuo puro: Llamado también ruido blanco,
representa el caso de mayor discontinuidad o ausencia de estructura
espacial, donde los valores de dos puntos cualesquiera no tienen
correlación alguna.

El variograma experimental es calculado en diversas
direcciones. Inicialmente se estima el  semivariograma
medio, global  u "omnidireccional", como su nombre lo indica
no depende de la dirección solamente de la magnitud de h,
el cual proporcionando una idea inicial de la variabilidad
espacial de los datos, siendo el más idóneo para
representar u  obtener una estructura clara y definida.
Posteriormente deben ser calculados los semivariogramas en
diferentes direcciones, puede ser calculado en 4 direcciones
separadas 45º con tolerancia angular de 22.5º,
comenzando por 0º (fig. 5.8) hasta encontrar la
dirección de máxima o mínima variabilidad,
pueden ser calculados también, más
específicamente, en 8 direcciones separadas por 22.5.
También se calcula el variograma vertical (down hole), el
cual se estima en la dirección ortogonal a la superficie
del yacimiento mineral  esto es en la dirección en la
que fueron perforados los pozos.

El variograma vertical (down hole) es de singular importancia
pues es calculado en la dirección en la cual se posee
mayor cantidad de datos. Esto hace que habitualmente se emplee el
variograma calculado en la dirección de los pozos para
evaluar la forma o comportamiento del variograma en el origen y
determinar el efecto pepita (nugget).

5.2.5 Modelado de
Semivariogramas.

El modelado de semivariogramas consiste de dos etapas
fundamentales [Xie, T., and Myers, D.E., 1995a], una vez
construido el semivariograma experimental o empírico es
necesario ajustar a este un modelo teórico, con el
objetivo de determinar los parámetros descriptivos del
semivariograma que posteriormente serán usados en la
estimación.

5.2.5.1 Parámetros del
semivariograma.

Los parámetros del semivariograma caracterizan tres
elementos importantes en la variabilidad de un atributo que son:
la discontinuidad en el origen (existencia de Efecto de Pepita),
el valor máximo de variabilidad (Meseta), y el área
de influencia de la correlación (Alcance), (fig. 5.9).

El Efecto Pepita (Nugget): El semivariograma por
definición es nulo en el origen, pero en la
práctica las funciones obtenidas pueden presentar
discontinuidad en el origen, a esta discontinuidad se le llama
Efecto de Pepita, en ingles (Nugget effect). Puede ser obtenido
trazando una línea recta entre los primeros puntos del
semivariograma empírico y extender ésta hasta que
se intercepte con el eje Y. Si esta intersección ocurre
por debajo de cero, el valor asumido por este efecto es cero,
pues valores negativos de g(0) no tiene significado y no es
común. El Efecto Pepita se representa como
Co.

La Meseta (Sill): Es el valor de g(h) para el
cual con el aumento de h su valor permanece constante, se
representa como (CT = C + Co) y se denomina
Meseta. Puede obtenerse trazando una línea paralela a la
abscisa y que se ajuste a los puntos de mayor valor del
semivariograma y su valor se lee en la intersección de
esta línea con la ordenada.

El Alcance (Range): La distancia h para la cual las
variables Z(x) y Z(x+h) son independientes, se denomina Alcance y
se representa por (a), es decir, las distancias para la cual los
valores de la variable dejan de estar correlacionados, o lo que
es lo mismo, la distancia  para la cual el semivariograma
alcanza su Meseta.

El alcance siempre tiene valor positivo y puede ser obtenido a
partir de la intersección  de las líneas
descritas en los puntos anteriores, ese punto leído en la
abscisa es una fracción del propio Alcance,
fracción que se detallara posteriormente en la
explicación de los modelos teóricos

Los modelos de variograma teórico utilizado en el
proceso de
estimación o simulación
deben satisfacer ciertas condiciones, es decir tienen que ser
"definido positivo" o de "tipo positivo". En general el ajuste de
modelos
teóricos al variograma empírico se realiza de
forma visual.

Atendiendo a las dos características más
importantes en el modelado de semivariogramas que son
según [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,1978]: 1.- Su
comportamiento en el origen, el cual puede ser linear,
parabólico y con Efecto de Pepita y 2.- La presencia 
o ausencia de Meseta.  Estos modelos
son:

5.2.5.2 Modelos Teóricos de
Semivariogramas.

Los modelos de variograma teórico utilizado en el
proceso de estimación o simulación deben satisfacer
ciertas condiciones, es decir tienen que ser "definido positivo"
o de "tipo positivo". En general el ajuste de modelos
teóricos al variograma empírico se realiza de forma
visual.

Atendiendo a las dos características más
importantes en el modelado de semivariogramas que son
según [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J.,1978]: 1.- Su
comportamiento en el origen, el cual puede ser linear,
parabólico y con Efecto de Pepita y 2.- La presencia 
o ausencia de Meseta.  Estos modelos son:

Efecto de Pepita: Corresponde a un fenómeno
puramente aleatorio (ruido blanco), sin correlación entre
las muestras, cualquiera sea la distancia que las separe,
(fig.5.10a), donde C representa el valor de la meseta.

g(h)       =
0       h = 0

          =
C        | h | > 0

Modelo Esférico: Este modelo es probablemente el
más utilizado, es una expresión polinomial simple,
en su forma representada en la figura 5.10b, se puede observar un
crecimiento casi lineal y después a cierta distancia
finita del origen se alcanza una estabilización, la
Meseta. La tangente en el origen encuentra a la Meseta en el
punto de abscisa (2/3)a, donde a representa el valor del
alcance.

g(h) =    C [ (3/2)(h/a) –
½(h/a)3
]     h ú a

          
C                                            
h > a

Modelo Exponencial: Este modelo a diferencia del
esférico crece inicialmente más rápido y
después se estabiliza de forma asintótica (fig.
5.10c). Como la Meseta no se alcanza a una distancia finita, se
usa con fines prácticos el "alcance efectivo" o "alcance
práctico" a´, valor que se obtiene en el punto de
abscisa para el cual el modelo obtiene el 95% de la Meseta, con
un valor a´=3a,  donde a es el parámetro de
escala. La tangente en el origen encuentra a la meseta en el
punto a=(1/3)a´.

g(h) = C [1 – Exp(-|h|/a)]  h ú a

           
C                                
h > a

Modelo Gaussiano: Este es un modelo extremadamente
continuo (fig. 5.10d), inicialmente presenta un comportamiento
parabólico en el origen, después al igual que en el
modelo Exponencial se alcanza la meseta de forma
asintótica. El alcance práctico tiene un valor de
a´=1.73a, que es el valor de la abscisa donde se alcanza el
95% de la Meseta.

g(h)= C [ 1 –
Exp(-|h|2/a2)]    h
ú a

           
C                    
          h >
a

Modelo con función potencia: Este es un modelo
sin meseta, su forma se representa en la figura 5.10e, para
valores de a correspondientes a 0.5, 1.0 y 1.5.

g(h)       =
|h|a    con a ÃŽ]0, 2[

Para el valor de a=1 en el modelo anterior se obtiene el
modelo Lineal, al cual no tiene ni Meseta ni Alcance. Ahora por
efectos prácticos, sin embargo, muchos programas
informáticos denotan la pendiente del modelo lineal con la
relación C/a, Figura 5.10f.

g(h)       = (C/a) |h|

Estos modelos pueden ser ajustados individualmente, aunque es
posible encontrar en la práctica aplicaciones donde a los
semivariogramas experimentales se les debe ajustar más de
un modelo teórico, es decir, a través de
superposición, nombrándose estructuras
imbricadas. [Krajewski, S. A. and Gibbs, B.L., 1993], [Journel,
A, G. and Huijbregts, C. J., 1978], [David, M., 1977]

5.2.9 Métodos geoestadísticos
de estimación

Todo lo expresado hasta aquí tiene un único
objetivo, conocer la información disponible para realizar
estimaciones [Journel, A, G. and Huijbregts, C. J., 1978],
[David, M., 1977], [Armstrong, M., y Carignan, J., 1997], es
decir, estimar valores desconocidos a partir, no sólo de
los conocidos, sino también de su estructura de
continuidad espacial.

Inicialmente, Matheron denominó a esta técnica
Krigeage (en francés) que en ingles se convierte en
Kriging y en español se
escribe Kriging. Este término que tiene su origen en el
apellido de D.G. Krige, reconociendo de esta forma su
aporte.

5.2.9.1 Ecuaciones del
Krigeage.

Se dispone de los valores muestreados Z(xi), i=1,…,n, y
deseamos estimar un valor de la característica observada
en el panel Z(v) por una combinación lineal de Z(xi).

Z*(v) = Ã¥ li Z(xi), 

donde Z*(v) es el valor estimado y li son los peso de Kriging,
de modo que los li sean obtenidos de tal forma que proporcione un
estimador:  Insegado:   E[Z*(v) – Z(v)] = 0 y de
varianza mínima:  Var[Z*(v) – Z(v)].

Teniendo en cuenta las hipótesis de la
Geoestadística se pueden obtener las ecuaciones del
Kriging para los siguientes casos: Función Aleatoria
Estacionaria de Esperanza Nula o Conocida, método conocido
como Kriging Simple. Para una Función Aleatoria
Estacionaria de Esperanza Desconocida, y una Función
Aleatoria Intrínseca, método conocido como Kriging
Ordinario.

A continuación se presenta el sistema Kriging
para estos casos:

Kriging
Simple.

Estimador:
                  
Z*(v) =  Ã¥ li Z(xi) + m(1- Ã¥li).

Sistema:
                    
Ã¥ li C(xi, xj) = C(xj,
v)        j = 1,…,n

Varianza de Kriging:     
s2 = C(v,v) Р̴ li C(xi, v)

Kriging
Ordinario.

En términos de la Covarianza.

Estimador:
                             
Z*(v) =  Ã¥ li Z(xi)

Sistema:
                                
Ã¥ li C(xi, xj) – m = C(xj,
v)       i,j = 1,…,n

Ã¥ li = 1

Varianza de
Kriging:                 
s2 = C(v,v) Р̴ li C(xi, v) + m

En términos del Semivariograma.

Estimador:
                             
Z*(v) =  Ã¥ li Z(xi)

Sistema:
                                
Ã¥ li g(xi, xj) + m = g(xj,
v)        j = 1,…,n

Ã¥ li = 1

Varianza de
Kriging:                 
s2 = ̴ li g (xi, v) Рg(v,v) + m

Sobre el sistema Kriging es necesario hacer algunas
observaciones según [Journel, A, G. and Huijbregts, C.
J.,1978]:

1.- El sistema Kriging tiene una solución única
si y solo sí la matriz de K es
definida estrictamente positiva, es decir:

           
åi=1,nåj=1,n
lilj C(xi, xj) ³
0
                      

o en términos de variograma:

           
Р̴i=1,n̴j=1,n
lilj g(xi, xj) ³
0

y no existen datos con las mismas coordenadas.

2.- El Kriging, el cual es un estimador insesgado, es
también un interpolador exacto, es decir, para iguales
soportes de observación va (a=1,…,n)
y de estimación V, Los valores real Za y
estimado Z* son iguales, además de que la varianza de
Kriging s2k es cero.

3.- Las expresiones del sistema Kriging y de la Varianza
de  Kriging son completamente generales, es decir, son
aplicables cualquiera sean los soportes de observación y
estimación y el modelo estructural empleado.

4.- El Sistema Kriging y la Varianza de Kriging dependen
sólo: del modelo estructural C(h) o g(h) obtenido y de la
geometría del soporte de
observación. Esta característica da la posibilidad
de que la Varianza de Kriging sea usada cuidadosamente para el
estudio de redes y la
clasificación de reservas.

 Es importante tener en mente que aunque la
asignación de pesos que hace el kriging, sobre la base del
modelo de variograma, es óptima, en el sentido que
minimiza la varianza de estimación, puede asignar pesos
negativos y positivos lo cual implica que se pueden obtener
valores de contenido negativos. Por esto los resultados obtenidos
por estos métodos siempre tienen que ser chequeados contra
el modelo geológico y los valores de las muestras que
conforman la base de
datos.

5.3 Modelación del
contenido y otras variables de interés

En esta etapa el geólogo debe decidir cual
método empleará para modelar en el modelo de bloque
la variación espacial de la ley y de otras variables
cuantitativas de interés para el proyecto. Esta
decisión no tiene una respuesta única y
estará condicionada fundamentalmente por las
características de la mineralización y el tipo de
distribución al que se ajustan las variables
estudiadas. 

Durante la estimación se emplean técnicas de
control que
obligan al interpolador   a respetar la interpretación geológica. El primer
método para aplicar control geológico a la
estimación se conoce como método de control por
dominios y consiste en estimar los bloques de un determinado
sector del yacimiento con las muestras que pertenecen
únicamente a dicha unidad geológica, esto se logra
asignándole el mismo código
a las muestras y bloques que pertenecen al dominio
geológico. El otro método de controlar la
estimación es a través de estrategias de
búsqueda  este punto ya fue ampliamente abordado.

Una vez que se han estimado las leyes  y el resto de las
variables se procede a chequear el modelo de bloque construyendo
perfiles y planos, que permitan visualizar los resultados
obtenidos, y comparando los valores de las muestras originales
con los valores estimados para cada variable. También se
recurre a la estadística
descriptiva para caracterizar los estimados y hacer las
comparaciones pertinentes. De esta forma se pueden detectar
errores en la estimación. Una pésima
práctica es esta etapa es asumir los resultados de la
estimación como ciertos sin someterlos al juicio de la
duda y el sentido común.

A partir de la integración de los distintos
parámetros estimados en cada una de las celdas del modelo
de bloque se calcula el tonelaje, ley media  y cantidad de
metal en todo el depósito y se generan los reportes de
recurso.

6 Consideraciones finales

Hasta aquí hemos discutido de forma
crítica  los principales métodos de
estimación de recursos desde los geométricos o
tradicionales hasta los más modernos que se apoyan en el
empleo de ordenadores. Se presentaron los principales criterios
empleados para la categorización de reservas y los
esfuerzos por lograr un sistema internacional de
clasificación de recursos y reservas que sea reconocido
por todas las partes involucradas en la actividad. Se
discutió la filosofía general de trabajo de los
métodos asistidos por computadora

Por último se abordaron las principales bondades y
deficiencias de los métodos geoestadísticos,
así como las principales modificaciones realizadas al
método de estimación inverso de la distancia,
dirigidas a disminuir sus limitaciones y acercarlo lo más
posible al interpolador kriging.

Para finalizar este trabajo se enumeran las principales
limitaciones de los métodos asistidos por computadoras y
los errores más frecuentes que se cometen.

1.    El principal problema muchas veces es no
chequear los resultados y aceptar tácitamente las soluciones
brindados por la
computadora. Es muy fácil y rápido crear un
modelo computarizado pero es necesario que este responda al
modelo geológico del yacimiento y que respete los datos
originales.

2.    Muchas veces no es fácil combinar
en un mismo modelo de recurso  zonas con distinto grado de
conocimiento geológico

3.    Empleo de bloques muy pequeños
para la densidad de datos
disponible y que falsean la variabilidad real de la ley en el
yacimiento.

4.    Demasiado suavisamiento de los datos
producto al
empleo de vecindades de búsqueda inapropiadas

5.       Modelos de bloques de
recursos construidos sin la participación del
geólogo del proyecto que es quien conoce realmente los
datos y comprende la geología
del yacimiento

6.       Datos insuficientes o
inapropiados para modelar la naturaleza de la
mineralización y su continuidad espacial. Lo que impide la
obtención de variogramas confiables.

7.       Insuficiente control
geológico en la estimación

8.       Incorrecta
modelación del variograma.

BibliografÍa

Annels, A. E., 1991.  Mineral deposit Evaluation:
A Practical Approch. London: Chapman & Hall, 436p.

Armstrong, M., y Carignan, J., 1997,
"Géostatistique Linéaire, Application
au Domaine Minier.", école de Mines de Paris, 112 p.,
"Géostatistique Linéaire, Application au Domaine
Minier.", école de Mines de Paris, 112 p.

Arseneau, G. J. y Roscoe, W. E. Practical Applications
of Geology to Resource/Reserve Estimation

Barnes, M.P. 1980. Computer-Assisted Mineral Appraisal
and Feasibility. New York, Soe. Min. Eng. 167p.

Bum, R G, 1981. Data Reliability in Ore Reserve
Assessments, Mining Magazine, Oct, pp289-299. Hellsten, K,
Wegmann, D and Giles, D, 1994. Union Reefs.

Chica-Olmo, M., 1987, Análisis
Geoestadístico en el Estudio de la Explotación de
Recursos Minerales,
Tesis
Doctoral, Universidad de
Granada, España,
387 p.

David, M., 1977, Geostatistical Ore Reserve Estimation,
Elsevier, Amsterdam, 364 p.

Deutsch, C.V., y Journel, A.G., 1998, "GSLIB:
Geostatistical Software Library and User"s
Guide", Second Edition, Oxford University Press, 369p.

Diehl,  P. & David , M., 1982
Classification of Ore Reserve/Resource based on Geostatistical
Methods. The Canadian Mining and Metallurgical Bulletin, Vol. 75,
No338, p127-136.

Duke, J.H. and Hanna, P.J. 1997a "Geological
Interpretation for Resource Estimation". Proceeding of The
Resource Database Towards 2000 AusIMM Seminar, May 1997,
Wollongong, NSW, Australia.

Duke, J.H. and Hanna, P.J. 1997b "Computer-based
Resource Estimation In Accordance With The 1999 JORC Code"
Proceeding of The Resource Database Towards 2000 AusIMM Seminar,
May 1997, Wollongong, NSW, Australia.

Finney, D. J.  1941 On the distribution of
avariate whose logarithm is normally distributed. J. Royal Sat.
Soc., Supp. 7(2) : 155-161.

Froidevaux, R. 1982.  Geostatistics and Ore
Reserve Classification. The Canadian Mining and Metllurgical
Bulletin, Vol. 75, No 843, p. 77-83

Guibal, D. 1997 "Variography, A Tool For The Resource
Geologist". Proceeding of the The Resource Database Towards 2000
AusIMM Seminar, May 1997, Wollongong, NSW, Australia.

Houlding, S. W., 1994, 3D Geoscience Modelling.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Hong Kong, 309 Pp.

Isaaks, E.H., and Srivastava, R.M., An Introduction To
Applied Geostatistics" Oxford University Press (New York).

Journel, A.G., and Huijbregts, C. J., 1978. Mining
Geostatistics. Academic Press

(London), 600pp.

JORC, 1996. Australasian Code for Reporting of
Identified Mineral Resources and Ore Reserves (1996 Edition with
attached Guidelines). Joint Committee of the Australasian
Institute of Mining and Metallurgy, Australian Institute of
Geoscientists and Minerals Council of Australia

Krajewski, S. A. y Gibbs, B.L., 1993, A Variaogram Primer,
Gibbs Associates, 93 p.

Kreiter, V. M., 1968 Prospecting and exploration,
Moscow, 1968.

Lepin, O. V., y Ariosa, J. D., 1986, Búsqueda,
Exploración y Evaluación Geólogo
Económica de Yacimientos Minerales Sólidos,
Editorial Pueblo y Educación, Ciudad de
La Habana, Primera Parte, 348 p, Segunda Parte, 191 p

Myers, D. E., 1991, Interpolation and Estimation with
Spatially Located Data, Chemometrics and Intelligent Laboratory
Systems, 11, Elsevier Science Publishers  B.V.,
p.209-228.

Noble, A. C., 1992, Ore reserve/resource estimation.
Chapter 5.6 SME Mining Engineering Handbook.

ONU, 1996, Marco Internacional de las Naciones Unidas
Para la Clasificación de Reservas/Recursos, Combustibles
Sólidos y Sustancias Minerales, Versión Definitiva.
Establecida y Presentada por el Equipo Especial de las Naciones
Unidad.  p. 77-88.

Pannatier, Y., 1993, Ms-Windows
Program for exploratory variography and  variogram modelling
in 2D, International Workshop on Statistics of Spatial 
Processes-Theory and Applications, Bari, Italy 27-30 September
1993.

Popoff, C.C. Computing reserves of Mineral deposits:
principles and conventional methods. Washinton , Bureau of Mines.
113p.

Sinclair, A. y Blakwell, H. B., 2002. Applied mineral
Inventory. Cambrige University, 377 p.

Xie, T., y Myers, D.E., 1995a, Fitting Matrix-Valued
Variogram Models by Simultaneous Diagonalization (Part I:
Theory), Mathematical Geology, Vol. 27, No. 7, p. 867-875

Valente, J.M.G. P, 1982 Geomatematica
-Lições de Geoestadística. Ouro Preto,
Fundação Gorceix, Vol. 4, p. 714-1062

Vallée, M., 1999 Toward
Resource/reserveestimation, Inventory and Reporting Standards.
Proceeding , 28th International Symposium on
Computer Application in the Mineral Industries (APCOM´99),
Colorado School of Miness, Golden , Colorado USA, p.69-76.

Wellmer, F. W. 1983. Clasification of Ore Reserve by
Geostatistical Methods, ERZmetall, 36(7/8):315-321.

Yamamoto , J. K. , 1989  Novo método para
modelagem de jazidas e avaaliação de reservas.
Brasil
Mineral, 68:52-56.

Zhang, R., Myers, D. E., y Warrick, A. W., 1992,
Estimation of the Spatial Distribution of Soil Chemical Using
Pseudo Cross-Variograms, Soil Science Society of America Journal,
Vol.  56, No. 5, p.1444-1452.

 

 

 

 

 

Autor:

MSc. Elmidio Estévez Cruz

Departamento de Geología.

Universidad de Pinar El Río.

Partes: 1, 2, 3, 4
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