Las funciones trigonométricas – Características generales de los ángulos (página 2)

En el sistema circular se
utiliza como unidad de medida el "radián".

En el sistema centesimal se
considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales,
llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos
centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos
centesimales".

 Equivalencia
de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y
viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son
el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un
ángulo dado de un sistema a otro.

Qué son ángulos
cuadrantes

Qué son ángulos
coterminales

La idea de ángulos coterminales que consideramos
anteriormente,

También se aplica a los ángulos en medida
radián, excepto, que sumemos o

restemos múltiplos de rotaciones en radianes. De manera,
que por

ejemplo, un ángulo de 2

! es coterminal con un ángulo de 4 5

2

2 2 2 2

! + ! = ! + ! = ! y un ángulo de 3

−! es co terminal con un ángulo de 6 7

2

3 3 3 3

− ! − ! = − ! − ! = − ! .

También podemos verificar evaluando todo en la
calculadora en vez de usar fracciones o múltiplos de π.
Por ejemplo, evalúa la expresión 3 − !

en tu calculadora y obtendrás −1.047
aproximadamente. Si evalúas la Expresión 7 3−!
obtendrás −7.33 aproximadamente. La diferencia entre
estos dos valores es −1.047
− (−7.33) = 6.283, lo cual es casi 2π.

1. Verifica que

2

! Es co terminal con 5

2

! , sin usar tú

Calculadora.

2. Verifica que

2

! Es co terminal con 5

2

! , usando tú

Calculadora.

Aunque siempre podemos convertir todo de nuevo a medidas
degrados, y convertirlas de nuevo a medidas radianes, esto no es
eficiente.

En general, si un ángulo está dado en radianes, es
mejor encontrar los ángulos coterminales en radianes.

Que son ángulos de
referencia

Funciones trigonométricas definidas con
ángulos

Si q es un ángulo arbitrario en la posición
estándar o normal en un sistema de coordenadas cartesianas
y  P(a,b) es un punto a r unidades del origen en el
lado terminal de q,
entonces:                   

                                                          
b

    
                                                              P
(a, b)

                                                                
r         
   b

                                                              
q

                                                                                                 
a    

                                                                   
a

 Nota: El triángulo rectángulo que se
forma al dibujar una perpendicular de P(a,b) al eje horizontal se
llama triángulo de referencia asociado con el
ángulo .

Ejemplos para discusión:

1)  Halla el valor de cada una de las seis
funciones trigonométricas para el ángulo q cuyo lado
terminal contiene el punto P(-3,-4).

2)  Halla el valor de cada una de las otras cinco
funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar
q) dado que es un ángulo en el Cuadrante IV  si :

Ejercicio de práctica:

1) Halla el valor de cada una de las seis funciones
trigonométricas si el lado terminal de q  contiene al
punto P (-6,-8).

2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones
trigonométricas para un ángulo q (sin hallar  q)
dado que es un ángulo en el Cuadrante II  si:

 Triángulo de referencia y ángulo de
referencia

 Para dibujar un triángulo de referencia para
un ángulo q, se dibuja una línea
perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de q al
eje horizontal.  El ángulo de referencia
a es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado
terminal de q y el eje horizontal. 

Reglas de los ángulos de
referencia

En cimentaciones se denomina capacidad portante a la
capacidad del terreno para soportar las cargas aplicadas sobre
él. Técnicamente la capacidad portante es la
máxima presión media de contacto
entre la cimentación y el terreno tal que no se produzcan un
fallo por cortante del suelo o un asentamiento
diferencial excesivo. Por tanto la capacidad portante admisible
debe estar basada en uno de los siguientes criterios
funcionales:

·         Si la
función del terreno de
cimentación es soportar una determinada tensión
independientemente de la deformación, la capacidad portante
se denominará carga de hundimiento.

·         Si lo
que se busca es un equilibrio entre la
tensión aplicada al terreno y la deformación sufrida
por éste, deberá calcularse la capacidad portante a
partir de criterios de asiento
admisible.

De manera análoga, la expresión
capacidad portante se utiliza en las demás ramas de
la ingeniería para referir a la capacidad
de una estructura para soportar las
cargas aplicadas sobre la misma.

 Valores de las funciones
trigonometrías

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo
origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva
del vocablo ← griego
τριγωνο
<trigōno> "triángulo" +
μετρον <metron>
"medida".[1]

La trigonometría en principio
es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para
esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son
utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En
términos generales, la trigonometría es el estudio de
las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás
ramas de la matemática y se aplica en
todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de
la geometría, como es el caso
del estudio de las esferas en la geometría del
espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de
triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir
distancias a estrellas próximas, en la medición de
distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de
navegación por satélites.

Unidades angulares

Razones Trigonométricas Recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la
cotangente, como las razones recíprocas al
seno, coseno y tangente, del siguiente
modo:

• cosecante: (abreviado como csc o
  cosec) es la razón recíproca de seno, o
  también su inverso multiplicativo:

• secante: (abreviado como sec) es la
  razón recíproca de coseno, o también su inverso
  multiplicativo:

• cotangente: (abreviado como cot o cta)
  es la razón recíproca de la tangente, o también
  su inverso multiplicativo:

Múltiplos

Múltiplos de 30 son

3,6,30

^^^de 45

9,,5,45

66

33,11,6,66

Conclusión

En la medida de ángulos, y por tanto en
trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más
utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en
matemáticas es el Radián la más utilizada, y se
define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado
centesimal se desarrolló como la unidad más
próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Autor:

Javier Perea T.

Ministerio de Educación

Instituto Bilingüe Jesús de Praga

Materia: Matemática

Profesor: Aníbal Gallardo

Año: Décimo  Ciencias

Fecha de Entrega: 14/11/08