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Las funciones trigonométricas - Características generales de los ángulos (página 2)

Enviado por Javier Perea T.



Partes: 1, 2


En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián".

En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".

 Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.

MathType 5.0 Equation

Qué son ángulos cuadrantes

Signos de las funciones trigonométricas

          De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.

          En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

 

Imagen de mapa de bits

seno

coseno

tangente

cotangente

secante

cosecante

I

+

+

+

+

+

+

II

+

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

+

III

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

+

+

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

IV

MathType 5.0 Equation

+

MathType 5.0 Equation

MathType 5.0 Equation

+

MathType 5.0 Equation

Qué son ángulos coterminales

La idea de ángulos coterminales que consideramos anteriormente,

También se aplica a los ángulos en medida radián, excepto, que sumemos o

restemos múltiplos de rotaciones en radianes. De manera, que por

ejemplo, un ángulo de 2

! es coterminal con un ángulo de 4 5

2

2 2 2 2

! + ! = ! + ! = ! y un ángulo de 3

−! es co terminal con un ángulo de 6 7

2

3 3 3 3

− ! − ! = − ! − ! = − ! .

También podemos verificar evaluando todo en la calculadora en vez de usar fracciones o múltiplos de π. Por ejemplo, evalúa la expresión 3 − !

en tu calculadora y obtendrás −1.047 aproximadamente. Si evalúas la Expresión 7 3−! obtendrás −7.33 aproximadamente. La diferencia entre estos dos valores es −1.047 − (−7.33) = 6.283, lo cual es casi 2π.

1. Verifica que

2

! Es co terminal con 5

2

! , sin usar tú

Calculadora.

2. Verifica que

2

! Es co terminal con 5

2

! , usando tú

Calculadora.

Aunque siempre podemos convertir todo de nuevo a medidas degrados, y convertirlas de nuevo a medidas radianes, esto no es eficiente.

En general, si un ángulo está dado en radianes, es mejor encontrar los ángulos coterminales en radianes.

Que son ángulos de referencia

Funciones trigonométricas definidas con ángulos

Si q es un ángulo arbitrario en la posición estándar o normal en un sistema de coordenadas cartesianas y  P(a,b) es un punto a r unidades del origen en el lado terminal de q, entonces:                   

                                                           b

 

                                                                   P (a, b)

                                                                 r             b

                                                               q

                                                                                                  a    

                                                                    a

 Nota: El triángulo rectángulo que se forma al dibujar una perpendicular de P(a,b) al eje horizontal se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo .

Ejemplos para discusión:

1)  Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo q cuyo lado terminal contiene el punto P(-3,-4).

2)  Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar q) dado que es un ángulo en el Cuadrante IV  si :

 

Ejercicio de práctica:

1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado terminal de q  contiene al punto P (-6,-8).

2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar  q) dado que es un ángulo en el Cuadrante II  si:

 

 Triángulo de referencia y ángulo de referencia

 Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo q, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de q al eje horizontal.  El ángulo de referencia a es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de q y el eje horizontal. 

Reglas de los ángulos de referencia

En cimentaciones se denomina capacidad portante a la capacidad del terreno para soportar las cargas aplicadas sobre él. Técnicamente la capacidad portante es la máxima presión media de contacto entre la cimentación y el terreno tal que no se produzcan un fallo por cortante del suelo o un asentamiento diferencial excesivo. Por tanto la capacidad portante admisible debe estar basada en uno de los siguientes criterios funcionales:

·         Si la función del terreno de cimentación es soportar una determinada tensión independientemente de la deformación, la capacidad portante se denominará carga de hundimiento.

·         Si lo que se busca es un equilibrio entre la tensión aplicada al terreno y la deformación sufrida por éste, deberá calcularse la capacidad portante a partir de criterios de asiento admisible.

De manera análoga, la expresión capacidad portante se utiliza en las demás ramas de la ingeniería para referir a la capacidad de una estructura para soportar las cargas aplicadas sobre la misma.

 Valores de las funciones trigonometrías

La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".[1]

La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Unidades angulares

Razones Trigonométricas Recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

  • cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

 \csc (\alpha) = \frac{1}{\operatorname{sen} (\alpha)} = \frac{c}{a}

  • secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

 \sec (\alpha) = \frac{1}{\cos (\alpha)} = \frac{c}{b}

  • cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

 \cot (\alpha) = \frac{1}{\tan (\alpha)} = \frac{b}{a}

Múltiplos

Múltiplos de 30 son

3,6,30

^^^de 45

9,,5,45

 

66

 

33,11,6,66

Conclusión

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

 

 

 

 

 

Autor:

Javier Perea T.

Ministerio de Educación

Instituto Bilingüe Jesús de Praga

Materia: Matemática

Profesor: Aníbal Gallardo

Año: Décimo  Ciencias

Fecha de Entrega: 14/11/08


Partes: 1, 2


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