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Los números complejos (página 2)

Enviado por Edgardo Verón



Partes: 1, 2, 3


Todos vivimos resolviendo problemas: desde el mas básico de asegurar la Cotidiana subsistencia, común a todos los seres vivos, hasta los más complejos desafíos planteados por la ciencia y la tecnología. La importancia de la actividad de resolución de problemas es evidente; en definitiva, todo el progreso científico y tecnológico, el bienestar y hasta la supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No es de extrañar por lo tanto que la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atención de psicólogos, ingenieros, matemáticos, especialistas en inteligencia artificial y científicos de todas las disciplinas. En el campo educativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas Universidades el desarrollo de la creatividad y de la habilidad para resolver problemas es una parte integral del curriculum.

Pero lamentablemente todavía es muy común que se expongan ante el alumno los productos y resultados de la resolución de problemas, pero no el proceso mismo. Si examinamos un libro de texto con problemas resueltos de matemática, encontraremos por lo general soluciones tersas y acabadas.

Rara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos fallidos de solución, los casos particulares examinados antes de llegar a la solución general o los refinamientos realizados a una primera solución no totalmente satisfactoria.

Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente eliminados y lo que se nos presenta es el producto final, conciso y elegante. Hay muchas posibles razones para que esto sea así: un estilo de exposición matemática consagrado por la tradición, criterios estéticos de concisión y elegancia, razones económicas de las editoriales, etc. Pero la consecuencia es que el estudiante obtiene una visión falseada de lo que es resolver problemas y de la actividad matemática en general.

Si tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore el proceso de resolver problemas entonces las actividades de aula suplirán las deficiencias del texto. Pero si no es así y el profesor sigue al libro al pie de la letra, al enfrentarse al primer fracaso el estudiante terminara frustrado, perderá la confianza en si mismo y creerá que la resolución de problemas es una actividad incomprensible, accesible solamente a unos pocos superdotados.

El principal objetivo con este estudio es ayudar a los alumnos  a desarrollar su habilidad para resolver problemas. Es bueno dejar claro desde el principio que el desarrollo de esta habilidad es el resultado del trabajo personal, de la práctica adquirida resolviendo problemas y de la reflexión sobre esa práctica. No es posible convertirse en un solucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el conocimiento de las técnicas apropiadas y de los errores típicos que es preciso evitar puede ser tan útil para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista.

Por todo lo señalado anteriormente se desarrollo el siguiente estudio a fin de aplicar la Metodología General para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Resolución de Problemas, elaborada por el Dr. Guillermo Pérez Pantaleón.

            La elección de la temática se llevo a cabo porque El tema  "Los Números Complejo" es una unidad  que a la hora de la enseñanza no tiene significatividad lógica, por lo cual se explicara la unidad didáctica con una previa explicación de las operaciones en dicho campo numérico y una posterior grilla de situaciones problemáticas aplicadas a los fenómenos físicos relacionados con circuitos eléctrico para que los alumnos puedan asimilar la unidad desarrollada a partir de su interdisciplinaridad entre ambas asignaturas, debido que ellos están cursando física general en paralelo, en donde desarrollan los conceptos de la física ( Electricidad y Magnetismo ) como la ley de ohm y las leyes de kirchoff ( de la corriente y la tensión). 

            En carácter de lo que refleja el grupo, relacionado a la preparación de resolución de problema se realizo una encuesta para analizar el estado de los alumnos en el momento previo de la implementación de la metodología a utilizar. La cual resulto positiva, debido a que los alumnos en el cursado previo de la asignatura tuvieron  una materia donde resolvían problemas de aplicación (Matemática I).       

MARCO TEÓRICO

Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida de las personas. Los estudiantes también se ven enfrentados frecuentemente a resolver problemas.

Varios investigadores han analizado la actividad de resolución de problemas y señalan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de etapas. Desde principios de siglo se viene investigando sobre las fases en la resolución de problemas. Algunos autores señalan que las etapas en la resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analíticamente a la solución, así como también para ofrecer una descripción de las actividades mentales de la persona que resuelve el problema. Es de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas aritméticos y algebraicos, pero también pueden aplicarse a muchos otros tipos de problemas no necesariamente relacionados con disciplinas académicas.

¿Como se puede definir un problema?

En  la literatura existen diversas acepciones del concepto problema, atendiendo cada una a diferentes puntos de vistas.

Si nos remitimos al concepto que nos ofrece la Real Academia Española, "es una proposición dirigida a averiguar el modo de  obtener un resultado, conociendo ciertos datos".

A partir de lo analizado en cuanto al concepto de problema, desde el punto de vista de la psicología y de la enseñanza de la matemática, podemos afirmar que: a pesar de que cada concepción posee conceptos relativamente distintos, estos no son contradictorios.

¿Cómo se definir la resolución de problema?

En lo que respecta a la resolución de problema, en diferentes épocas se ha planteado que "hacer matemáticas es por excelencia resolver problemas", con lo cual se ha tratado de destacar la esencia del quehacer matemático. Sin embargo, según Rico (1988), no es hasta mediados de la década de los 70 cuando, coincidiendo con la búsqueda de una nueva visión global para el curriculum de Matemática en la enseñanza obligatoria, se plantea la Resolución de Problemas como un campo autónomo sobre el cual trabajar e investigar sistemáticamente.

La Resolución de Problemas ha sido considerada por autores como Brown (1983), la innovación más importante de la Matemática en la década de los 80. Pero a pesar de esto, y de que la misma se ha estudiado mundialmente por especialistas de diferentes ramas del saber como filósofos, dentro de los que se cuentan Descartes y Dewey; psicólogos, como Newel, Simon, Hayes y Vergnaud; matemáticos profesionales, como Hadamard y Polya y educadores matemáticos como Steffe, Nesther, Kilpatrick, Bell, Fishbein y Greer, cada uno de los cuales ha dado un enfoque propio a la investigación en Resolución de Problemas; queda mucho por sistematizar en este campo y un ejemplo de ello es que no existe aún la caracterización universalmente aceptada de los términos problema y Resolución de Problemas (A. Tortosa, 1999).

En lo referido a la Resolución de Problemas, según cita de M. del P. Pérez, (1993), autores como Schoenfeld (1983), Stanic y Kilpatrick (1988) o Wuebster (1979) han llegado a recopilar hasta 14 significados diferentes de dicho término.

Por su parte Schoenfeld (1985), describe los cuatro enfoques que, en su opinión, han seguido los trabajos sobre resolución de problemas a nivel internacional:

            ♦ Problemas presentados en forma escrita, a menudo problemas muy sencillos pero que colocan la Matemática en el contexto del "mundo real".

            ♦ Matemáticas aplicadas o modelos matemáticos, es decir, el uso de matemáticas sofisticadas para tratar los problemas que reflejan el "mundo real".

            ♦ Estudio de los procesos cognitivos de la mente, consistente en intentos de exploración detallada de aspectos del pensamiento matemático en relación con problemas más o menos complejos.

            ♦ Determinación y enseñanza de los tipos de habilidades requeridas para resolver problemas matemáticos complejos. Enfoque con base, en gran medida, en la obra de Polya, G. (1945).

Dentro de estos cuatro enfoques de la Resolución de Problemas, los autores y asumen como definición del término, la aportada por Schoenfeld, A. (1985), es decir, el uso de problemas o proyectos difíciles por medio de los cuáles los alumnos aprenden a pensar matemáticamente. Entendiendo la calificación de "difícil" como una dificultad intelectual para el resolutor, es decir, como una situación para la cual éste no conoce un algoritmo que lo lleve directamente a la solución. De esto se desprende que la dificultad de un problema es relativa pues depende de los conocimientos y habilidades que posea el resolutor.

De igual forma, se asume el pensar matemáticamente como " la práctica de habilidades para formar categorías coherentes, usar procesos de cuantificación y manejo de formas, para construir representaciones simbólicas del entorno y desarrollar las competencias para resolver problemas cotidianos, que aunque sean de naturaleza variada, puedan verse bajo un mismo enfoque de contenidos o metodologías" (Cruz, 1995:23).

Por último, se emplea el término resolutor para referirnos a la persona, en este caso el estudiante, enfrascada en la tarea de resolver un determinado problema.

La Resolución de Problemas no puede considerarse como una tendencia totalmente nueva en la enseñanza de la Matemática, pues ya desde la antigüedad los científicos se habían dado a la tarea de tratar de entender y enseñar habilidades necesarias para resolver problemas matemáticos. Sin embargo, como ha planteado R. Delgado (1999), su historia puede dividirse en dos grandes etapas delimitadas por la aparición de los primeros trabajos de G. Polya en 1945.

Como referencias de la primer etapa, que se desarrolla desde la antigüedad hasta 1945, puede destacarse la labor del filósofo griego Sócrates, que es plasmada fundamentalmente en el Diálogo de Platón, en que dirigió a un esclavo por medio de preguntas para la solución de un problema: la construcción de un cuadrado de área doble a la de un cuadrado dado, mostrando un conjunto de estrategias, técnicas y contenido matemático aplicado al proceso de resolución.

Dos mil años después de Sócrates se aprecia otro momento importante con la aparición de la obra del filósofo francés René Descartes, quién señalaba lo que se ha dado en llamar "modelos del pensamiento productivo" o "consejos para aquellos que quisiesen resolver problemas con facilidad", estos consejos aún en la actualidad resultan beneficiosos.

Igualmente significativo fue el aporte del matemático suizo Leonard Euler, que al exponer muchos de sus resultados incluyó reflexiones sobre las técnicas que utilizó, y por otro lado, se ocupó de la educación heurística de sus discípulos.

Sin embargo, como plantea Delgado (1999) a pesar de los esfuerzos realizados por cada uno de estos científicos en sus respectivas épocas, en esa etapa no se apreciaron cambios en el proceder educacional que pudieran referirse como intentos de acoger la resolución de problemas como una posible vía de enseñar la Matemática.

También podemos decir que la resolución de problemas, ampliamente considerada conveniente y eje de la enseñanza de la matemática, es recurrentemente citada en los textos con una relevancia específica, tanto por los especialistas en didáctica como por expertos matemáticos; sin embargo en la práctica, la enseñanza no logra concretar estrategias que permitan aprender este contenido predominantemente procedimental de manera significativa. Ausubel, Novak y Hanesian (1989) exponen sobre la importancia de la significatividad del aprendizaje que se logra cuando la nueva información, pone en movimiento y relación conceptos ya existentes en la mente del que aprende, es decir, conceptos inclusivos o inclusores. Para este tipo de aprendizaje, Ausubel menciona que debe existir lo que denomina "actitud para el aprendizaje significativo", que se trata de una disposición por parte del aprendiz para relacionar una tarea de aprendizaje sustancial y no arbitraria, con los aspectos relevantes de su propia estructura cognitiva.

Este concepto que puede unirse al de motivación del aprendizaje, ligada durante el proceso de aprendizaje a "la comprensión posible por parte del alumno de la "significatividad" de lo que se aprende, sea en términos de cómo se eslabona una actividad concreta con la apropiación de un objeto complejo o con la secuencia de las situaciones de enseñanza en relación al objetivo". (Baquero 1996). En una visión compleja de motivación Kozéki (1985) la define como la dosis de esfuerzo aplicada a diferentes actividades, que resulta de la relación entre los estilos cognitivos, afectivos y morales. Para Ausubel la resolución de problemas es la forma de actividad o pensamiento dirigido en los que, tanto la representación cognoscitiva de la experiencia previa como los componentes de una situación problemática actual, son reorganizados, transformados o recombinados para lograr un objetivo diseñado; involucra la generación de estrategias que trasciende la mera aplicación de principios. Los problemas matemáticos entrañan un no saber, o bien una incompatibilidad entre dos ideas que se transforma en un obstáculo que se necesita atravesar.

Esta solución se logrará utilizando básicamente un tipo de inteligencia: la lógico - matemática (Gardner H. 1995) La solución de problemas tiene valor porque cultiva procedimientos, métodos y heurísticas que son valiosos para la escuela y la vida. (Aebli1995)

Se resalta en diferentes autores la oposición entre problemas y ejercicios en cuanto a las maniobras de acción en uno y en otro sentido. El ejercicio conlleva la práctica de la repetición y sirve para automatizar cursos de pensamiento y de praxis. (Aebli 1995). Si asimilamos la noción de problema con la ejecución de ejercicios y planteamos el camino de la repetición sin que el alumnado logre descubrir donde reside el problema o la dificultad, llevaremos al alumno a la inhibición del aprendizaje más que a su logro.

La resolución de problemas pone en juego el despliegue de contenidos conceptuales, procedimentales y actiudinales, es decir, implica tanto significatividad lógica como psicológica o fenomenológica. El aprendiz en su naturaleza idiosincrásica puede particularmente, transformar el significado lógico de la materia en producto de aprendizaje psicológicamente significativo.

¿Que Pautas se sigue para resolver un problema?

    Una vez señalado el problema, hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) "Sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento"; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, "Este género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida".

    Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.

    Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.

    Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios referente al tema:

1.    COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático.

       -    Se debe leer el enunciado despacio.
       -    ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)
       -    ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)
       -    Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas.
       -    Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.

2.    TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo.
       -    ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
       -    ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
       -    Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
       -    Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
       -    ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

3.    PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica.

       -    Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
       -    ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
       -    Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
       -    Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace.
       -    Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.

4.    COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver.

       -    Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.
       -    Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible?
       -    ¿Se puede comprobar la solución?
       -    ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
       -    ¿Se puede hallar alguna otra solución?
       -    Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.
       -    Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.

    Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.

    Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases, y que extractamos:

    ANÁLISIS.

    1.    Trazar un diagrama.
    2.    Examinar casos particulares.
    3.    Probar a simplificar el problema.

    EXPLORACIÓN.

    1.    Examinar problemas esencialmente equivalentes.
    2.    Examinar problemas ligeramente modificados.
    3.    Examinar problemas ampliamente modificados.

    COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.

    1.    ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?:
           a)    ¿Utiliza todos los datos pertinentes?
           b)    ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?
           c)    ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?
    2.    ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?:
           a)    ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?
           b)    ¿Puede quedar concretada en caso particulares?
           c)    ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?
           d)    ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?

    Finalmente, hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. Según S. Fernández (1992) serían:

    -    Ensayo-error.
    -    Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo.
    -    Manipular y experimentar manualmente.
    -    Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar).
    -    Experimentar y extraer pautas (inducir).
    -    Resolver problemas análogos (analogía).
    -    Seguir un método (organización).
    -    Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación).
    -    Hacer recuente (conteo).
    -    Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificar, expresión, comunicación).
    -    Cambio de estados.
    -    Sacar partido de la simetría.
    -    Deducir y sacar conclusiones.
    -    Conjeturar.
    -    Principio del palomar.
    -    Analizar los casos límite.
    -    Reformular el problema.
    -    Suponer que no (reducción al absurdo).
    -    Empezar por el final (dar el problema por resuelto).

    Teniendo en cuenta estas pautas podemos  hacer dos consideraciones. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas, que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o, al menos como poco significativo, tiene una gran importancia, tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos, como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. La segunda, que parece una perogrullada, es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas; es muy bueno conocer técnicas y procedimientos, pero vistos en acción, no sólo a nivel teórico, porque si no, es un conocimiento vacío. Luego, hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática.

Luego de investigar varios atores que nos brindan una visión mas significativa del proceso de enseñanza y aprendizaje, en la resolución de Problemas, Podemos reflejar  dichas teorías con el aporte realizado por el  Dr. Guillermo Pérez Pantaleón quien realiza un aporte importante sobre la  resolución de problemas brindando su Metodología General Integral  para la Enseñanza y el Aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos, que se puede considerar desde dos momento de la enseñanza  que interactúan en el proceso la primera referida al docente (el que conduce el aprendizaje) y la segunda al alumno (al que construye el conocimiento con la ayuda del docente); además integra en esta metodología sus realizados aportes en su trayectoria como profesional, y principalmente su experiencia como profesor de matemática. Cabe destacar que en su trabajo retoma y hace énfasis en los aportes de Polya (pasos), Schoenfeld (dimensiones) y Müller (heurístico).

En nuestro caso específico tomamos como punto de referencia la metodología planteada por Pérez Pantaleón, pues nos permitió  plantear la enseñanza de la resolución de problemas desde una perspectiva globalizadora.

Desarrollo

Para desarrollar la metodología de la  resolución de problemas se siguieron las siguientes pautas que se describen a continuación.

1_ Se exploro la situación actúan de los alumnos a partir de la realización de una evaluación diagnostica  y una posterior encuesta para conocer en que condiciones están nuestros alumnos respecto a la Resolución de Problemas. (Material y los resultados de la encuesta se encuentran en el anexo 1).

2_ Para aplicar la metodología de la resolución de problema, como en el resumes se expuso se eligió el trabajo practico Nº 3 (Números complejos) de la cátedra de Matemática II (Algebra y geometría analítica)  de la carrera de Farmacia. En dicha guía de trabajo práctico, las actividades han sido confeccionadas desde el inicio de dicho cuatrimestre donde estaban incluidos diversos ejercicios y problemas relacionados con asignaturas de la carrera y la vida diaria. (ver anexo 2).

 3_ Como primer paso para comenzar a aplicar la metodología se elaborara un "universo vocabular" acorde al nivel de los alumnos,  donde se van a definir las  expresiones, leyes  y significados importantes que debemos conocer para resolver la distintas situaciones problemáticas, el cual fue dado a los mismos como apoyo al desarrollo de las distintas jornadas de trabajo, en material fotocopiado para adquirir destreza en su manejo a través de las diversas clases, y se estableció el uso del mismo en distintos ejercicios formales y no formales.( ver anexo 3).

4_ Luego de haber elaborado el universo vocabular, hemos definido las operaciones y procedimientos con los cuales los alumnos debían enfrentarse.

Durante el desarrollo de las clases, trabajaron en diferentes situaciones utilizando conceptos previos abordados en el cursillo de nivelación de matemáticas y  en unidades anteriores de este espacio curricular, tales como:

·         Teorema de Pitágoras.

·         Representación cartesiana de un par ordenado.

·         Trinomio cuadrado perfecto.

·         Raíces de ecuaciones de primer y segundo grado.

Para lograr los objetivos propuestos, el alumno recibió un entrenamiento previo utilizando como estrategia, los pasos de Polya y Schoenfeld. (Ver anexo4)

5_Durante el desarrollo de la temática abordada, se impulsaron las siguientes habilidades:

·         IDENTIFICAR los elementos de cada circuito.

·         CALCULAR las ecuaciones que determinan la ley de ohm y las impedancias de cada circuito

·         GRAFICAR distintos tipos de circuitos: serie, paralelo, estrella y triangulo.

·         RESOLVER problemas de aplicación haciendo uso de las leyes y expresiones estudiadas.

En términos de enseñar a resolver problemas matemáticos, cabe reflexionar que, aunque es deseable que cada problema a resolver presente situaciones no idénticas a algunas de las ya resueltas, la introducción de variantes en diversos problemas relativos a la misma área temática, necesita ser diseñada con especial atención no sólo en el grado de complejidad de la variación, sino en la relativa similitud que la solución pueda tener con estrategias ya conocidas; de esta manera no sólo se hará un uso creativo y pertinente del conocimiento declarativo y procedimental que el alumno ya posee, sino que se hará transferencia de estrategias ya utilizadas en situaciones anteriores.

Por ello, dentro de los problemas relacionados con la temática podemos encontrar:

Problemas de familarización donde se plantea a los alumnos algún problema que combine cierta información, de manera que su solución demande el uso de algún procedimiento determinado o de una combinación de ellos. Una vez que el problema es resuelto, deseablemente en un trabajo conjunto entre el profesor y los alumnos y no como mera ejemplificación del profesor, se propone una serie de nuevos problemas de reproducción que conservan la misma estructura que el problema inicial, de tal manera que sólo varían los datos y el contexto. De esta manera, se contribuirá al aprendizaje de modos de relación de información y de procedimientos, que pueden ser transferibles a nuevas situaciones.

            Al enfrentarlo al alumno a problemas reales que se relacionan con otras ciencias, lo exponemos a resolver problemas de producción, haciendo que el contenido dado se torne más significativo en su aprendizaje. Para adquirir un nivel más elevado de asimilación en el alumno se propuso que sea él mismo, quien pueda plantear una situación, a partir del contenido, condiciones y exigencias dadas. De esta manera, estará ante problemas de creación. 

Todos estos tipos de problemas se encuentran plasmados en las guías de trabajos prácticos y en la guía de actividades complementarias (ver anexo2)

6_ Hemos seleccionado un problema y analizado acorde con la teoría estudiada (Ver anexo5)

a)       Según su estructura específica y general

b)       Función que realiza

c)       Tipo de problema según las clasificaciones que aparecen en el texto entregado.

d)       Resuelva el problema y señale los heurísticos empleados.

7_Hemos redactado toda la experiencia realizada en el aula al aplicar la metodología sugerida en el Diario del docente. (Ver anexo6)

RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA

A pesar de que los objetivos se formulan para todos los alumnos, no todos logran alcanzarlos, esto se debe a que algunos presentan dificultades para interpretar situaciones problemáticas, para comprender los enunciados y otros directamente no presentan interés en los mismos.

            El alumno al no estar habituado a resolver problemas, cuando se le presenta un problema complejo, es decir que requiera un esfuerzo adicional, no se esfuerza por conseguir la respuesta del mismo; por lo que se tuvo que buscar estrategias motivadoras para que despierten interés en los alumnos. Por tal motivo se formularon actividades, y se realizaron explicaciones que se pueden vivir en la vida cotidiana,  con las cuales pretendíamos lograr un aprendizaje mas eficaz de nuestros alumnos y que los mismos no produzcan rechazo; estas actividades consistían en diferenciar un ejercicio de un problema, plantear y resolver problemas dosificados de menor a mayor nivel de complejidad, a partir de un dibujo crear una situación problemática y además, palabras sueltas (contenido, condiciones y exigencias) que permitan construir enunciados de problemas, entre otras.

            Analizando la propuesta desarrollada en las clases y teniendo en cuenta el nivel de los alumnos, podemos remitirnos a destacar las fortalezas y debilidades en la aplicación de la metodología.

Como fortalezas podemos citar lo siguiente: La metodología es totalizadora, didáctica y novedosa, es decir plantea una serie de pautas a seguir muy útiles al momento de aplicarla; pero la debilidad se presenta cuando, por el escaso tiempo, no se aprovecha en todo su potencial.

Otra fortaleza importante a destacar es que se evidenció un avance en nuestros alumnos en cuanto a la forma de posicionarse frente a un problema, ya que en un  principio notamos resistencia a los mismos. 

            Por otra parte, desde el punto de vista de la matemática, se logró desarrollar habilidades tales como la comprensión lectora, la aplicación de procedimientos heurísticos,  aprender a partir del error, la creatividad,  la búsqueda de soluciones por distintos medios, entre otras.

VALORACIÓN CRÍTICA DE LA METODOLOGÍA EMPLEADA

La Metodología General Integral para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Resolución de Problemas es un método meritorio a través del cual se puede enseñar a resolver problemas.

Esta metodología permite concebir a la resolución de problemas como un proceso amplio y complejo si la comparamos con otros métodos. Del mismo modo que plantea la incorporación de un "universo vocabular" para que el alumno se oriente en los significados presentados por el docente, tanto disciplinares como estratégicos o de aprendizaje, también sintetiza los aportes de Polya, de Schoenfeld y de Müller como una guía clara para la resolución de problemas. En esta metodología se integran los conceptos más importantes sobre la resolución de problemas y se hace hincapié en la preparación del docente como puente principal entre el contenido y el alumno.

Como aportes para la mejora de la enseñanza de la resolución de problemas queremos destacar cuatro temas importantes, algunos de los cuales fueron mencionados en el módulo para el cual se elaboró este trabajo, pero intentamos darle más énfasis: La Metacognición en la Resolución de Problemas, La Afectividad en la Resolución de Problemas, La Resoluciónde Problemas en Grupos y La Concepción del Error en Matemáticas.

*       La Metacognición en la Resolución de Problemas: en la mayoría de la guías de trabajos prácticos vemos un énfasis en actividades conceptuales y procedimentales, pero no advertimos una intención clara hacia el desarrollo de la metacognición del alumno. En la resolución de problemas, pensar sobre lo actuado es fundamental para aprender pues de esta manera se repasan los esquemas que se han utilizado en el proceso de resolución. Los docentes deberíamos hacer hincapié en buscar métodos, procedimientos y actividades para desarrollar en nuestros alumnos la metacognición.

*       La Afectividad en la Resolución de Problemas: la cuestión afectiva durante el proceso de aprendizaje de las matemáticas y de la resolución de problemas es un tema importante que pocos docentes lo toman en cuenta sistemáticamente. Saber lo que el alumno siente y cree ante las matemáticas puede hacer la diferencia entre aprender y no aprender a resolver problemas. Aquí juegan un papel fundamental las experiencias pasadas que los alumnos han tenido con las matemáticas. Es interesante indagar de nuestros alumnos qué piensan sobre las matemáticas y qué sienten ante ellas, de modo que sobre esta base busquemos estrategias que puedan revertir la situación y lograr un aprendizaje eficaz.

*       La Resolución de Problemas en Grupos: conocemos ya los fundamentos pedagógico/didácticos que sustentan el trabajo en grupos en la enseñanza general, pero en la resolución de problemas juega un papel más importante aún. Resolver problemas junto con otros sujetos permite socializar los modos y formas de pensamiento, de análisis y síntesis, logra el intercambio de puntos de vista y de estrategias de resolución, contribuye a la discusión de diferentes caminos de solución. Ya hemos desarrollado antes este tema.

*       La Concepción del Error en Matemáticas: un tema interesante que puede profundizarse en la resolución de problemas es el tema del error. En general los errores que cometen los alumnos al resolver un ejercicio o un problema son tomados por parte del docente como negativos. En la mayoría de los casos no se analiza por qué el alumno ha cometido un determinado error, simplemente se lo corrige sin más explicaciones. Pero el error del alumno refleja, de su parte,  una incomprensión del tema estudiado, un aprendizaje inadecuado del contenido que ha aprendido. Esto da oportunidad al docente para analizar qué cuestión o procedimiento el estudiante no ha comprendido, luego de lo cual puede re-encaminarse dicho aprendizaje. El error debe usarse por parte del docente como otra herramienta didáctica más para fortalecer el aprendizaje del alumno.

BIBLIOGRAFÍA

·         Pérez Pantaleón, G. (2007), "Metodología General Integral para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Resolución de Problemas Matemáticos". Apuntes como pre-texto del módulo "Resolución de Problemas" de la maestría en Enseñanza de la Matemática. Facultad de Agroindustrias, U.N.N.E.

·         Vigotsky, L. S. (1979) "El Desarrollo de los Procesos Psicológicos Superiores". Ed. Grijalbo. Barcelona.

·         García Madruga, J., La Casa, P. (1990) "Procesos Cognitivos Básicos. Años Escolares". En Palacios, J., Marchesi, A. y Coll, C. (Comp.) "Desarrollo Psicológico y Educación". Tomo I: Psicología Evolutiva. Madrid: Alianza Editorial, S. A., Capítulo 15, pp 235-250.

·         Pozo Municio, J. I. y otros  (1994), "La Solución de Problemas". Red Federal de Formación Docente. Ministerio de Educación y Cultura de la Nación Argentina. Ed. Santillana.

·         Chester L. Dawer(1977), " Tratado de Electrotecnia". Tomo II Corriente alterna. Ed . G. GILI, S.A.

·         José García Trasancos ( 1997), " Electrotecnia". Ejercicios y problemas Segunda Edición. Ed. Paraninfo

Anexos

Anexo Nº 1

Diagnostico

1_ Resolver las siguiente situaciones problemáticas.

a_ Los alumnos de un colegio secundario son  206, distribuidos de la siguiente manera: 1º año 63, 2º  año 45, 3º año  40, 4º año 30 y 5º año  28. Determine aproximadamente cuantos alumnos tendrá cada curso si se quiere aumentar proporcionalmente el total de alumnos a 350.

b_ Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene el triple de la edad de mi hermano, ¿Qué edad tiene cada uno?

c_ Desde un avión que vuela a 1860 metros de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31º 30` y desde el mismo plano, en sentido opuesto, se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º 41´, ¿Cuál es la distancia que separa a la embarcación  de la costa?

2_ Responder las siguientes preguntas encerrando con un circulo la respuesta correcta.

1) ¿Te gusta resolver problemas?                                                                     Si           No

2) ¿Tienes problemas al resolver los mismos?                                                 Si           No

  3) ¿Durante la resolución de algún problema se te ocurrieron otras alternativas para resolver?                                                                                                           Si           No

4) ¿Comprendes las diferencias entre un problema y un ejercicio?                  Si          No     

5) ¿Sabes como hacer para saber si la solución es correcta o no?                  Si         No

6) ¿Recuerdas los pasos que seguiste para resolver algún problema?             Si          No   

7) ¿Podrías  escribir los pasos que seguiste para resolver los mismos? 

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Resultados de la encuesta


Grafico.1

Grafico.2

Grafico.3

            Grafico.4

Grafico.5

Grafico.6

Anexo Nº 2

Trabajo Práctico Nº 3

Números Complejos

OBJETIVO ESPECÍFICO:

Qué el alumno logre:

*       Interpretar la diferencia entre un ejercicio y un problema.

*       Aplicar los pasos que se utilizan en la resolución de un problema.

*       Adquirir actitudes positivas frente a la resolución de problemas.

1_ Dados los siguientes números complejo en forma cartesiana z1=  y z2=, realizar las operaciones indicadas.

a) Z1+Z2,                   b) Z1-Z2,                  c) Z1.Z2,                    d) Z1/Z2

2_ Dado los siguientes números complejos en forma binómico z1= 2 + 5i,  z2= 3 - 2i,    z2= - 3i. Calcular:

a)  Z1+Z2,                   b) Z1-Z2,                  c) Z1.Z2,                    d) Z1/Z2

3_ Dado los siguientes números complejos en forma binómico z1= 3 + 4i,  z2= 1 - 2i, Halla su forma trigonometrica. 

4_ Dado los siguientes números complejos en forma binómico z1= 3 + 4i,  z2= 1 - 2i, hallar: a)  Z1+Z2,          b) Z1-Z2,      c) Z1.Z2,      d) Z1/Z2

5_ Dado los siguientes números complejos en forma trigonometrica:

a)     Z1= 4 ( cos 30º + i sen 30º)

b)     Z2= 8 ( cos 45º + i sen 45º)

c)      Z3= 5 ( cos 120º + i sen 120º)

d)     Z4= 5 ( cos 0º + i sen 0º)

Hallar su forma binómico.

6_ Dados lo siguientes módulos y argumentos de los números  complejos:

a)  Z=3      θ= 150º

b)  Z=1      θ= 90º

c)  Z=5      θ= 120º

d)  Z=4      θ= 60º

Hallar su forma binómico.

7_ Resolver la siguiente situación Problemática.

Un circuito en serie-paralelo constituido por dos impedancias Z1= 6+3j(Ohmio); Z2=5-8j (Ohmio), en paralelo y en serie con impedancia Z3=4+6j (Ohmio).El circuito total esta conectado a una red de 110 voltios y 50 periodos. Determinar:

a)       La impedancia del sistema en paralelo.

b)      La impedancia del circuito completo.

c)       La intensidad de la corriente total.

8_ Una bobina de impedancia (50+40j) (Ohmio) y un condensador de impedancia (-160j)    (Ohmio) a la frecuencia alterna senoidal de 50 Hz, Se conecta en serie a una tensión alterna senoidal de 220 V, 50 Hz. Calcular:

a) Impedancia total

b) Intensidad de la corriente.

9_ Un circuito en serie-paralelo constituido por dos impedancias Z1= 9-3j(Ohmio); Z2=3+7j (Ohmio), en paralelo y en serie con impedancia Z3=9+1j (Ohmio).El circuito total esta conectado a una red trifásica de 330 voltios y 50 periodos. Determinar:

a) La impedancia del circuito completo.


Partes: 1, 2, 3


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