Todos vivimos resolviendo problemas: desde el mas
básico de asegurar la Cotidiana subsistencia, común
a todos los seres vivos, hasta los más complejos
desafíos planteados por la ciencia y la tecnología.
La importancia de la actividad de resolución de problemas
es evidente; en definitiva, todo el progreso científico y
tecnológico, el bienestar y hasta la supervivencia de la
especie humana dependen de esta habilidad. No es de
extrañar por lo tanto que la misma se haya convertido en
un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la
atención de psicólogos, ingenieros,
matemáticos, especialistas en inteligencia artificial y
científicos de todas las disciplinas. En el campo
educativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en
muchas Universidades el desarrollo de la creatividad y de la
habilidad para resolver problemas es una parte integral del
curriculum.
Pero lamentablemente todavía es muy común que se
expongan ante el alumno los productos y resultados
de la resolución de problemas, pero no el proceso mismo.
Si examinamos un libro de texto con problemas resueltos de
matemática, encontraremos por lo general soluciones tersas
y acabadas.
Rara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos
fallidos de solución, los casos particulares examinados
antes de llegar a la solución general o los refinamientos
realizados a una primera solución no totalmente
satisfactoria.
Estos y otros elementos del proceso son cuidadosamente
eliminados y lo que se nos presenta es el producto final, conciso
y elegante. Hay muchas posibles razones para que esto sea
así: un estilo de exposición matemática
consagrado por la tradición, criterios estéticos de
concisión y elegancia, razones económicas de las
editoriales, etc. Pero la consecuencia es que el estudiante
obtiene una visión falseada de lo que es resolver
problemas y de la actividad matemática en general.
Si tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore
el proceso de resolver problemas entonces las actividades de aula
suplirán las deficiencias del texto. Pero si no es
así y el profesor sigue al libro al pie de la letra, al
enfrentarse al primer fracaso el estudiante terminara frustrado,
perderá la confianza en si mismo y creerá que la
resolución de problemas es una actividad incomprensible,
accesible solamente a unos pocos superdotados.
El principal objetivo con este estudio es ayudar a los alumnos
a desarrollar su habilidad para resolver problemas. Es
bueno dejar claro desde el principio que el desarrollo de esta
habilidad es el resultado del trabajo personal, de la
práctica adquirida resolviendo problemas y de la
reflexión sobre esa práctica. No es posible
convertirse en un solucionista experto mediante la mera lectura
pasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse
en un buen nadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el
conocimiento de las técnicas apropiadas y de los errores
típicos que es preciso evitar puede ser tan útil
para el solucionista como lo es para el nadador o el
pianista.
Por todo lo señalado anteriormente se desarrollo el
siguiente estudio a fin de aplicar la Metodología General
para la Enseñanza y el Aprendizaje de la Resolución
de Problemas, elaborada por el Dr. Guillermo Pérez
Pantaleón.
La elección de la temática se llevo a cabo porque
El tema "Los Números Complejo" es una unidad
que a la hora de la enseñanza no tiene significatividad
lógica, por lo cual se explicara la unidad
didáctica con una previa explicación de las
operaciones en dicho campo numérico y una posterior grilla
de situaciones problemáticas aplicadas a los
fenómenos físicos relacionados con circuitos
eléctrico para que los alumnos puedan asimilar la unidad
desarrollada a partir de su interdisciplinaridad entre ambas
asignaturas, debido que ellos están cursando física
general en paralelo, en donde desarrollan los conceptos de la
física ( Electricidad y Magnetismo ) como la ley de ohm y
las leyes de kirchoff ( de la corriente y la
tensión).
En carácter de lo que refleja el grupo, relacionado a la
preparación de resolución de problema se realizo
una encuesta para analizar el estado de los alumnos en el momento
previo de la implementación de la metodología a
utilizar. La cual resulto positiva, debido a que los alumnos en
el cursado previo de la asignatura tuvieron una materia
donde resolvían problemas de aplicación
(Matemática I).
MARCO
TEÓRICO
Las situaciones problemáticas son corrientes en la vida
de las personas. Los estudiantes también se ven
enfrentados frecuentemente a resolver problemas.
Varios investigadores han analizado la actividad de
resolución de problemas y señalan que tal actividad
es un proceso que involucra una serie de etapas. Desde principios
de siglo se viene investigando sobre las fases en la
resolución de problemas. Algunos autores señalan
que las etapas en la resolución de problemas sirven para
enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse
analíticamente a la solución, así como
también para ofrecer una descripción de las
actividades mentales de la persona que resuelve el problema. Es
de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas
aritméticos y algebraicos, pero también pueden
aplicarse a muchos otros tipos de problemas no necesariamente
relacionados con disciplinas académicas.
¿Como se puede definir un problema?
En la literatura existen diversas acepciones del
concepto problema, atendiendo cada una a diferentes puntos de
vistas.
Si nos remitimos al concepto que nos ofrece la Real
Academia Española, "es una proposición
dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado,
conociendo ciertos datos".
A partir de lo analizado en cuanto al concepto de problema,
desde el punto de vista de la psicología
y de la enseñanza de la matemática,
podemos afirmar que: a pesar de que cada concepción posee
conceptos relativamente distintos, estos no son
contradictorios.
¿Cómo se definir la resolución de
problema?
En lo que respecta a la resolución de problema, en
diferentes épocas se ha planteado que "hacer
matemáticas es por excelencia resolver problemas", con lo
cual se ha tratado de destacar la esencia del quehacer
matemático. Sin embargo, según Rico (1988), no es
hasta mediados de la década de los 70 cuando, coincidiendo
con la búsqueda de una nueva visión global para el
curriculum de Matemática en la enseñanza
obligatoria, se plantea la Resolución de Problemas como un
campo autónomo sobre el cual trabajar e investigar
sistemáticamente.
La Resolución de Problemas ha sido considerada por
autores como Brown (1983), la innovación más
importante de la Matemática en la década de los 80.
Pero a pesar de esto, y de que la misma se ha estudiado
mundialmente por especialistas de diferentes ramas del saber como
filósofos, dentro de los que se cuentan Descartes y Dewey;
psicólogos, como Newel, Simon, Hayes y Vergnaud;
matemáticos profesionales, como Hadamard y Polya y
educadores matemáticos como Steffe, Nesther, Kilpatrick,
Bell, Fishbein y Greer, cada uno de los cuales ha dado un enfoque
propio a la investigación en Resolución de
Problemas; queda mucho por sistematizar en este campo y un
ejemplo de ello es que no existe aún la
caracterización universalmente aceptada de los
términos problema y Resolución de Problemas (A.
Tortosa, 1999).
En lo referido a la Resolución de Problemas,
según cita de M. del P. Pérez, (1993), autores como
Schoenfeld (1983), Stanic y Kilpatrick (1988) o Wuebster (1979)
han llegado a recopilar hasta 14 significados diferentes de dicho
término.
Por su parte Schoenfeld (1985), describe los
cuatro enfoques que, en su opinión, han seguido los
trabajos sobre resolución de problemas a nivel
internacional:
♦ Problemas presentados en forma escrita, a menudo
problemas muy sencillos pero que colocan la Matemática en
el contexto del "mundo real".
♦ Matemáticas aplicadas o modelos
matemáticos, es decir, el uso de matemáticas
sofisticadas para tratar los problemas que reflejan el "mundo
real".
♦ Estudio de los procesos cognitivos de la mente,
consistente en intentos de exploración detallada de
aspectos del pensamiento matemático en relación con
problemas más o menos complejos.
♦ Determinación y enseñanza de los tipos de
habilidades requeridas para resolver problemas matemáticos
complejos. Enfoque con base, en gran medida, en la obra de Polya,
G. (1945).
Dentro de estos cuatro enfoques de la Resolución de
Problemas, los autores y asumen como definición del
término, la aportada por Schoenfeld, A. (1985), es decir,
el uso de problemas o proyectos difíciles por medio de los
cuáles los alumnos aprenden a pensar
matemáticamente. Entendiendo la calificación de
"difícil" como una dificultad intelectual para el
resolutor, es decir, como una situación para la cual
éste no conoce un algoritmo que lo lleve directamente a la
solución. De esto se desprende que la dificultad de un
problema es relativa pues depende de los conocimientos y
habilidades que posea el resolutor.
De igual forma, se asume el pensar matemáticamente como
" la práctica de habilidades para formar categorías
coherentes, usar procesos de cuantificación y manejo de
formas, para construir representaciones simbólicas del
entorno y desarrollar las competencias para resolver problemas
cotidianos, que aunque sean de naturaleza variada, puedan verse
bajo un mismo enfoque de contenidos o metodologías" (Cruz,
1995:23).
Por último, se emplea el término resolutor para
referirnos a la persona, en este caso el estudiante, enfrascada
en la tarea de resolver un determinado problema.
La Resolución de Problemas no puede considerarse como
una tendencia totalmente nueva en la enseñanza de la
Matemática, pues ya desde la antigüedad los
científicos se habían dado a la tarea de tratar de
entender y enseñar habilidades necesarias para resolver
problemas matemáticos. Sin embargo, como ha planteado R.
Delgado (1999), su historia puede dividirse en dos grandes etapas
delimitadas por la aparición de los primeros trabajos de
G. Polya en 1945.
Como referencias de la primer etapa, que se desarrolla desde
la antigüedad hasta 1945, puede destacarse la labor del
filósofo griego Sócrates, que es plasmada
fundamentalmente en el Diálogo de Platón, en que
dirigió a un esclavo por medio de preguntas para la
solución de un problema: la construcción de un
cuadrado de área doble a la de un cuadrado dado, mostrando
un conjunto de estrategias, técnicas y contenido
matemático aplicado al proceso de resolución.
Dos mil años después de Sócrates se
aprecia otro momento importante con la aparición de la
obra del filósofo francés René Descartes,
quién señalaba lo que se ha dado en llamar "modelos
del pensamiento productivo" o "consejos para aquellos que
quisiesen resolver problemas con facilidad", estos consejos
aún en la actualidad resultan beneficiosos.
Igualmente significativo fue el aporte del matemático
suizo Leonard Euler, que al exponer muchos de sus resultados
incluyó reflexiones sobre las técnicas que
utilizó, y por otro lado, se ocupó de la
educación heurística de sus discípulos.
Sin embargo, como plantea Delgado (1999) a pesar de los
esfuerzos realizados por cada uno de estos científicos en
sus respectivas épocas, en esa etapa no se apreciaron
cambios en el proceder educacional que pudieran referirse como
intentos de acoger la resolución de problemas como una
posible vía de enseñar la Matemática.
También podemos decir que la resolución de
problemas, ampliamente considerada conveniente y eje de la
enseñanza de la matemática, es recurrentemente
citada en los textos con una relevancia específica, tanto
por los especialistas en didáctica como por expertos
matemáticos; sin embargo en la práctica, la
enseñanza no logra concretar estrategias que permitan
aprender este contenido predominantemente procedimental de manera
significativa. Ausubel, Novak y Hanesian (1989) exponen sobre la
importancia de la significatividad del aprendizaje que se logra
cuando la nueva información, pone en movimiento y
relación conceptos ya existentes en la mente del que
aprende, es decir, conceptos inclusivos o inclusores. Para este
tipo de aprendizaje, Ausubel menciona que debe existir lo que
denomina "actitud para el aprendizaje significativo", que se
trata de una disposición por parte del aprendiz para
relacionar una tarea de aprendizaje sustancial y no arbitraria,
con los aspectos relevantes de su propia estructura
cognitiva.
Este concepto que puede unirse al de motivación del
aprendizaje, ligada durante el proceso de aprendizaje a "la
comprensión posible por parte del alumno de la
"significatividad" de lo que se aprende, sea en términos
de cómo se eslabona una actividad concreta con la
apropiación de un objeto complejo o con la secuencia de
las situaciones de enseñanza en relación al
objetivo". (Baquero 1996). En una visión compleja de
motivación Kozéki (1985) la define como la dosis de
esfuerzo aplicada a diferentes actividades, que resulta de la
relación entre los estilos cognitivos, afectivos y
morales. Para Ausubel la resolución de problemas es la
forma de actividad o pensamiento dirigido en los que, tanto la
representación cognoscitiva de la experiencia previa como
los componentes de una situación problemática
actual, son reorganizados, transformados o recombinados para
lograr un objetivo diseñado; involucra la
generación de estrategias que trasciende la mera
aplicación de principios. Los problemas matemáticos
entrañan un no saber, o bien una incompatibilidad entre
dos ideas que se transforma en un obstáculo que se
necesita atravesar.
Esta solución se logrará utilizando
básicamente un tipo de inteligencia: la lógico –
matemática (Gardner H. 1995) La solución de
problemas tiene valor porque cultiva procedimientos,
métodos y heurísticas que son valiosos para la
escuela y la vida. (Aebli1995)
Se resalta en diferentes autores la oposición entre
problemas y ejercicios en cuanto a las maniobras de acción
en uno y en otro sentido. El ejercicio conlleva la
práctica de la repetición y sirve para automatizar
cursos de pensamiento y de praxis. (Aebli 1995). Si asimilamos la
noción de problema con la ejecución de ejercicios y
planteamos el camino de la repetición sin que el alumnado
logre descubrir donde reside el problema o la dificultad,
llevaremos al alumno a la inhibición del aprendizaje
más que a su logro.
La resolución de problemas pone en juego el despliegue
de contenidos conceptuales, procedimentales y actiudinales, es
decir, implica tanto significatividad lógica como
psicológica o fenomenológica. El aprendiz en su
naturaleza idiosincrásica puede particularmente,
transformar el significado lógico de la materia en
producto de aprendizaje psicológicamente
significativo.
¿Que Pautas se sigue para resolver un
problema?
Una vez señalado el problema, hay
que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en
clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) "Sólo
los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes
problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco
de descubrimiento"; pero que, si se resuelve un problema y llega
a excitar nuestra curiosidad, "Este género de experiencia,
a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo
intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el
carácter, una huella que durará toda una
vida".
Para resolver problemas no existen
fórmulas mágicas; no hay un conjunto de
procedimientos o métodos que aplicándolos lleven
necesariamente a la resolución del problema (aún en
el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay
que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente
difundida en la sociedad: la única manera de resolver un
problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se
tienen.
Es evidente que hay personas que tienen
más capacidad para resolver problemas que otras de su
misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que
aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie
de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente
indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se
llaman "heurísticos": operaciones mentales que se
manifiestan típicamente útiles para resolver
problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es
justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace
que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede
mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer
los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con
método.
Es ya clásica, y bien conocida, la
formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas
esenciales para la resolución de un problema, que
constituyen el punto de arranque de todos los estudios referente
al tema:
1. COMPRENDER EL
PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en
contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre
todo cuando los problemas a resolver no son de formulación
estrictamente matemática. Es más, es la tarea
más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un
tratamiento informático: entender cuál es el
problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes
que hablan el demandante y el informático.
- Se
debe leer el enunciado despacio.
-
¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)
-
¿Cuáles son las incógnitas? (lo que
buscamos)
- Hay que
tratar de encontrar la relación entre los datos y las
incógnitas.
- Si se
puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la
situación.
2. TRAZAR UN PLAN PARA
RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible
y recursiva, alejada del mecanicismo.
-
¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
-
¿Se puede plantear el problema de otra forma?
- Imaginar
un problema parecido pero más sencillo.
- Suponer
que el problema ya está resuelto; ¿cómo se
relaciona la situación de llegada con la de partida?
-
¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3. PONER EN PRÁCTICA EL
PLAN. También hay que plantearla de una manera
flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta
que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre
el diseño del plan y su puesta en práctica.
- Al
ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
-
¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
- Antes de
hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con
esto?
- Se debe
acompañar cada operación matemática de una
explicación contando lo que se hace y para qué se
hace.
- Cuando
se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se
debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de
nuevo.
4. COMPROBAR LOS
RESULTADOS. Es la más importante en la vida
diaria, porque supone la confrontación con contexto del
resultado obtenido por el modelo del problema que hemos
realizado, y su contraste con la realidad que queríamos
resolver.
- Leer
de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es
lo que se ha averiguado.
- Debemos
fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente
posible?
-
¿Se puede comprobar la solución?
-
¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
-
¿Se puede hallar alguna otra solución?
- Se debe
acompañar la solución de una explicación que
indique claramente lo que se ha hallado.
- Se debe
utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular
y plantear nuevos problemas.
Hay que pensar que no basta con conocer
técnicas de resolución de problemas: se pueden
conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un
caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también
a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo que
nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece
que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien
problemas y los demás.
Dentro de las líneas de desarrollo
de las ideas de Polya, Schoenfeld da una lista de técnicas
heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases, y
que extractamos:
1. Trazar un
diagrama.
2. Examinar casos
particulares.
3. Probar a simplificar el
problema.
EXPLORACIÓN.
1. Examinar problemas
esencialmente equivalentes.
2. Examinar problemas
ligeramente modificados.
3. Examinar problemas
ampliamente modificados.
COMPROBACIÓN DE LA
SOLUCIÓN OBTENIDA.
1. ¿Verifica la
solución los criterios específicos siguientes?:
a) ¿Utiliza todos los datos
pertinentes?
b) ¿Está acorde con predicciones
o estimaciones razonables?
c) ¿Resiste a ensayos de
simetría, análisis dimensional o cambio de
escala?
2. ¿Verifica la
solución los criterios generales siguientes?:
a) ¿Es posible obtener la misma
solución por otro método?
b) ¿Puede quedar concretada en caso
particulares?
c) ¿Es posible reducirla a resultados
conocidos?
d) ¿Es posible utilizarla para generar
algo ya conocido?
Finalmente, hacemos una recopilación
de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar
en la resolución de problemas. Según S.
Fernández (1992) serían:
- Ensayo-error.
- Empezar por lo
fácil, resolver un problema semejante más
sencillo.
- Manipular y experimentar
manualmente.
- Descomponer el problema en
pequeños problemas (simplificar).
- Experimentar y extraer
pautas (inducir).
- Resolver problemas
análogos (analogía).
- Seguir un método
(organización).
- Hacer esquemas, tablas,
dibujos (representación).
- Hacer recuente
(conteo).
- Utilizar un método
de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico,
numérico (codificar, expresión,
comunicación).
- Cambio de estados.
- Sacar partido de la
simetría.
- Deducir y sacar
conclusiones.
- Conjeturar.
- Principio del palomar.
- Analizar los casos
límite.
- Reformular el
problema.
- Suponer que no
(reducción al absurdo).
- Empezar por el final (dar
el problema por resuelto).
Teniendo en cuenta estas pautas podemos
hacer dos consideraciones. La primera hace referencia a que
el contexto en el que se sitúen los problemas, que por
parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante
o, al menos como poco significativo, tiene una gran importancia,
tanto para determinar el éxito o fracaso en la
resolución de los mismos, como para incidir en el futuro
de la relación entre las matemáticas y los alumnos.
La segunda, que parece una perogrullada, es que la única
manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas;
es muy bueno conocer técnicas y procedimientos, pero
vistos en acción, no sólo a nivel teórico,
porque si no, es un conocimiento vacío. Luego, hay que
hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la
resolución de problemas sea el núcleo central de la
enseñanza matemática.
Luego de investigar varios atores que nos brindan una
visión mas significativa del proceso de enseñanza y
aprendizaje, en la resolución de Problemas, Podemos
reflejar dichas teorías con el aporte realizado por
el Dr. Guillermo Pérez
Pantaleón quien realiza un aporte importante sobre
la resolución de problemas brindando su
Metodología General Integral para la
Enseñanza y el Aprendizaje de la resolución de
problemas matemáticos, que se puede considerar desde
dos momento de la enseñanza que interactúan
en el proceso la primera referida al docente (el que conduce el
aprendizaje) y la segunda al alumno (al que construye el
conocimiento con la ayuda del docente); además integra en
esta metodología sus realizados aportes en su trayectoria
como profesional, y principalmente su experiencia como profesor
de matemática. Cabe destacar que en su trabajo retoma y
hace énfasis en los aportes de Polya (pasos), Schoenfeld
(dimensiones) y Müller (heurístico).
En nuestro caso específico tomamos como punto de
referencia la metodología planteada por Pérez
Pantaleón, pues nos permitió plantear la
enseñanza de la resolución de problemas desde una
perspectiva globalizadora.
Desarrollo
Para desarrollar la metodología de la
resolución de problemas se siguieron las siguientes
pautas que se describen a continuación.
1_ Se exploro la situación actúan de los alumnos
a partir de la realización de una evaluación
diagnostica y una posterior encuesta para conocer en que
condiciones están nuestros alumnos respecto a la
Resolución de Problemas. (Material y los
resultados de la encuesta se encuentran en el anexo 1).
2_ Para aplicar la metodología de la resolución
de problema, como en el resumes se expuso se eligió el
trabajo practico Nº 3 (Números complejos) de la
cátedra de Matemática II (Algebra y
geometría analítica) de la carrera de
Farmacia. En dicha guía de trabajo práctico, las
actividades han sido confeccionadas desde el inicio de dicho
cuatrimestre donde estaban incluidos diversos ejercicios y
problemas relacionados con asignaturas de la carrera y la vida
diaria. (ver anexo 2).
3_ Como primer paso para comenzar a aplicar la
metodología se elaborara un "universo vocabular" acorde al
nivel de los alumnos, donde se van a definir las
expresiones, leyes y significados importantes que debemos
conocer para resolver la distintas situaciones
problemáticas, el cual fue dado a los mismos como apoyo al
desarrollo de las distintas jornadas de trabajo, en material
fotocopiado para adquirir destreza en su manejo a través
de las diversas clases, y se estableció el uso del mismo
en distintos ejercicios formales y no formales.( ver anexo
3).
4_ Luego de haber elaborado el universo vocabular, hemos
definido las operaciones y procedimientos con los cuales los
alumnos debían enfrentarse.
Durante el desarrollo de las clases, trabajaron en diferentes
situaciones utilizando conceptos previos abordados en el cursillo
de nivelación de matemáticas y en unidades
anteriores de este espacio curricular, tales como:
·
Teorema de Pitágoras.
·
Representación cartesiana de un par ordenado.
·
Trinomio cuadrado perfecto.
·
Raíces de ecuaciones de primer y segundo grado.
Para lograr los objetivos propuestos, el alumno recibió
un entrenamiento previo utilizando como estrategia, los pasos de
Polya y Schoenfeld. (Ver anexo4)
5_Durante el desarrollo de la temática abordada, se
impulsaron las siguientes habilidades:
·
IDENTIFICAR los elementos de cada circuito.
·
CALCULAR las ecuaciones que determinan la ley de ohm y las
impedancias de cada circuito
·
GRAFICAR distintos tipos de circuitos: serie, paralelo,
estrella y triangulo.
·
RESOLVER problemas de aplicación haciendo uso de
las leyes y expresiones estudiadas.
En términos de enseñar a resolver problemas
matemáticos, cabe reflexionar que, aunque es deseable que
cada problema a resolver presente situaciones no idénticas
a algunas de las ya resueltas, la introducción de
variantes en diversos problemas relativos a la misma área
temática, necesita ser diseñada con especial
atención no sólo en el grado de complejidad de la
variación, sino en la relativa similitud que la
solución pueda tener con estrategias ya conocidas; de esta
manera no sólo se hará un uso creativo y pertinente
del conocimiento declarativo y procedimental que el alumno ya
posee, sino que se hará transferencia de estrategias ya
utilizadas en situaciones anteriores.
Por ello, dentro de los problemas relacionados con la
temática podemos encontrar:
Problemas de familarización donde se plantea a
los alumnos algún problema que combine cierta
información, de manera que su solución demande el
uso de algún procedimiento determinado o de una
combinación de ellos. Una vez que el problema es resuelto,
deseablemente en un trabajo conjunto entre el profesor y los
alumnos y no como mera ejemplificación del profesor, se
propone una serie de nuevos problemas de
reproducción que conservan la misma
estructura que el problema inicial, de tal manera que
sólo varían los datos y el contexto. De esta
manera, se contribuirá al aprendizaje de modos de
relación de información y de procedimientos, que
pueden ser transferibles a nuevas situaciones.
Al enfrentarlo al alumno a problemas reales que se relacionan con
otras ciencias, lo exponemos a resolver problemas de
producción, haciendo que el contenido dado se torne
más significativo en su aprendizaje. Para adquirir un
nivel más elevado de asimilación en el alumno se
propuso que sea él mismo, quien pueda plantear una
situación, a partir del contenido, condiciones y
exigencias dadas. De esta manera, estará ante problemas de
creación.
Todos estos tipos de problemas se encuentran plasmados en las
guías de trabajos prácticos y en la guía de
actividades complementarias (ver anexo2)
6_ Hemos seleccionado un problema y analizado acorde con la
teoría estudiada (Ver anexo5)
a) Según su
estructura específica y general
b) Función que
realiza
c) Tipo de problema
según las clasificaciones que aparecen en el texto
entregado.
d) Resuelva el problema y
señale los heurísticos empleados.
7_Hemos redactado toda la experiencia realizada en el
aula al aplicar la metodología sugerida en el Diario del
docente. (Ver anexo6)
RESULTADOS DE LA
EXPERIENCIA
A pesar de que los objetivos se formulan para todos los
alumnos, no todos logran alcanzarlos, esto se debe a que algunos
presentan dificultades para interpretar situaciones
problemáticas, para comprender los enunciados y otros
directamente no presentan interés en los mismos.
El alumno al no estar habituado a resolver problemas, cuando se
le presenta un problema complejo, es decir que requiera un
esfuerzo adicional, no se esfuerza por conseguir la respuesta del
mismo; por lo que se tuvo que buscar estrategias motivadoras para
que despierten interés en los alumnos. Por tal motivo se
formularon actividades, y se realizaron explicaciones que se
pueden vivir en la vida cotidiana, con las cuales
pretendíamos lograr un aprendizaje mas eficaz de nuestros
alumnos y que los mismos no produzcan rechazo; estas actividades
consistían en diferenciar un ejercicio de un problema,
plantear y resolver problemas dosificados de menor a mayor nivel
de complejidad, a partir de un dibujo crear una situación
problemática y además, palabras sueltas (contenido,
condiciones y exigencias) que permitan construir enunciados de
problemas, entre otras.
Analizando la propuesta desarrollada en las clases y teniendo en
cuenta el nivel de los alumnos, podemos remitirnos a destacar las
fortalezas y debilidades en la aplicación de la
metodología.
Como fortalezas podemos citar lo siguiente: La
metodología es totalizadora, didáctica y novedosa,
es decir plantea una serie de pautas a seguir muy útiles
al momento de aplicarla; pero la debilidad se presenta cuando,
por el escaso tiempo, no se aprovecha en todo su potencial.
Otra fortaleza importante a destacar es que se
evidenció un avance en nuestros alumnos en cuanto a la
forma de posicionarse frente a un problema, ya que en un
principio notamos resistencia a los mismos.
Por otra parte, desde el punto de vista de la matemática,
se logró desarrollar habilidades tales como la
comprensión lectora, la aplicación de
procedimientos heurísticos, aprender a partir del
error, la creatividad, la búsqueda de soluciones por
distintos medios, entre otras.
VALORACIÓN CRÍTICA
DE LA METODOLOGÍA EMPLEADA
La Metodología General Integral para la
Enseñanza y el Aprendizaje de la Resolución de
Problemas es un método meritorio a través del cual
se puede enseñar a resolver problemas.
Esta metodología permite concebir a la
resolución de problemas como un proceso amplio y complejo
si la comparamos con otros métodos. Del mismo modo que
plantea la incorporación de un "universo vocabular" para
que el alumno se oriente en los significados presentados por el
docente, tanto disciplinares como estratégicos o de
aprendizaje, también sintetiza los aportes de Polya, de
Schoenfeld y de Müller como una guía clara para la
resolución de problemas. En esta metodología se
integran los conceptos más importantes sobre la
resolución de problemas y se hace hincapié en la
preparación del docente como puente principal entre el
contenido y el alumno.
Como aportes para la mejora de la enseñanza de la
resolución de problemas queremos destacar cuatro temas
importantes, algunos de los cuales fueron mencionados en el
módulo para el cual se elaboró este trabajo, pero
intentamos darle más énfasis: La
Metacognición en la Resolución de
Problemas, La Afectividad en la Resolución
de Problemas, La Resoluciónde Problemas en
Grupos y La Concepción del Error en
Matemáticas.
La
Metacognición en la Resolución de
Problemas: en la mayoría de la guías de
trabajos prácticos vemos un énfasis en actividades
conceptuales y procedimentales, pero no advertimos una
intención clara hacia el desarrollo de la
metacognición del alumno. En la resolución de
problemas, pensar sobre lo actuado es fundamental para aprender
pues de esta manera se repasan los esquemas que se han utilizado
en el proceso de resolución. Los docentes
deberíamos hacer hincapié en buscar métodos,
procedimientos y actividades para desarrollar en nuestros alumnos
la metacognición.
La Afectividad en la
Resolución de Problemas: la cuestión afectiva
durante el proceso de aprendizaje de las matemáticas y de
la resolución de problemas es un tema importante que pocos
docentes lo toman en cuenta sistemáticamente. Saber lo que
el alumno siente y cree ante las matemáticas puede hacer
la diferencia entre aprender y no aprender a resolver problemas.
Aquí juegan un papel fundamental las experiencias pasadas
que los alumnos han tenido con las matemáticas. Es
interesante indagar de nuestros alumnos qué piensan sobre
las matemáticas y qué sienten ante ellas, de modo
que sobre esta base busquemos estrategias que puedan revertir la
situación y lograr un aprendizaje eficaz.
La Resolución
de Problemas en Grupos: conocemos ya los fundamentos
pedagógico/didácticos que sustentan el trabajo en
grupos en la enseñanza general, pero en la
resolución de problemas juega un papel más
importante aún. Resolver problemas junto con otros sujetos
permite socializar los modos y formas de pensamiento, de
análisis y síntesis, logra el intercambio de puntos
de vista y de estrategias de resolución, contribuye a la
discusión de diferentes caminos de solución. Ya
hemos desarrollado antes este tema.
La Concepción
del Error en Matemáticas: un tema interesante que
puede profundizarse en la resolución de problemas es el
tema del error. En general los errores que cometen los alumnos al
resolver un ejercicio o un problema son tomados por parte del
docente como negativos. En la mayoría de los casos no se
analiza por qué el alumno ha cometido un determinado
error, simplemente se lo corrige sin más explicaciones.
Pero el error del alumno refleja, de su parte, una
incomprensión del tema estudiado, un aprendizaje
inadecuado del contenido que ha aprendido. Esto da oportunidad al
docente para analizar qué cuestión o procedimiento
el estudiante no ha comprendido, luego de lo cual puede
re-encaminarse dicho aprendizaje. El error debe usarse por parte
del docente como otra herramienta didáctica más
para fortalecer el aprendizaje del alumno.
BIBLIOGRAFÍA
·
Pérez Pantaleón, G. (2007),
"Metodología General Integral para la Enseñanza
y el Aprendizaje de la Resolución de Problemas
Matemáticos". Apuntes como pre-texto del módulo
"Resolución de Problemas" de la maestría en
Enseñanza de la Matemática. Facultad de
Agroindustrias, U.N.N.E.
·
Vigotsky, L. S. (1979) "El Desarrollo de los Procesos
Psicológicos Superiores". Ed. Grijalbo. Barcelona.
·
García Madruga, J., La Casa, P. (1990) "Procesos
Cognitivos Básicos. Años Escolares". En Palacios,
J., Marchesi, A. y Coll, C. (Comp.) "Desarrollo
Psicológico y Educación". Tomo I:
Psicología Evolutiva. Madrid: Alianza Editorial, S. A.,
Capítulo 15, pp 235-250.
·
Pozo Municio, J. I. y otros (1994), "La
Solución de Problemas". Red Federal de
Formación Docente. Ministerio de Educación y
Cultura de la Nación Argentina. Ed. Santillana.
·
Chester L. Dawer(1977), " Tratado de
Electrotecnia". Tomo II Corriente alterna. Ed . G. GILI,
S.A.
·
José García Trasancos ( 1997), "
Electrotecnia". Ejercicios y problemas Segunda
Edición. Ed. Paraninfo
Anexos
Anexo Nº 1
Diagnostico
1_ Resolver las siguiente situaciones
problemáticas.
a_ Los alumnos de un colegio secundario son 206,
distribuidos de la siguiente manera: 1º año 63,
2º año 45, 3º año 40, 4º
año 30 y 5º año 28. Determine
aproximadamente cuantos alumnos tendrá cada curso si se
quiere aumentar proporcionalmente el total de alumnos a 350.
b_ Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi
abuelo tiene el triple de la edad de mi hermano,
¿Qué edad tiene cada uno?
c_ Desde un avión que vuela a 1860 metros de altura se
observa una embarcación con un ángulo de
depresión de 31º 30` y desde el mismo plano, en
sentido opuesto, se observa el puerto con un ángulo de
depresión de 53º 41´, ¿Cuál es la
distancia que separa a la embarcación de la
costa?
2_ Responder las siguientes preguntas encerrando con un
circulo la respuesta correcta.
1) ¿Te gusta resolver
problemas?
Si
No
2) ¿Tienes problemas al resolver los
mismos?
Si
No
3) ¿Durante la resolución de algún
problema se te ocurrieron otras alternativas para
resolver?
Si
No
4) ¿Comprendes las diferencias entre un problema y un
ejercicio?
Si
No
5) ¿Sabes como hacer para saber si la solución
es correcta o
no?
Si No
6) ¿Recuerdas los pasos que seguiste para resolver
algún
problema?
Si
No
7) ¿Podrías escribir los pasos que
seguiste para resolver los mismos?
——————-
—————————————————————
Resultados de la encuesta
Grafico.1
Grafico.2
Grafico.3
Grafico.4
Grafico.5
Grafico.6
Anexo Nº 2
Trabajo Práctico Nº 3
Números Complejos
OBJETIVO ESPECÍFICO:
Qué el alumno logre:
Interpretar la
diferencia entre un ejercicio y un problema.
Aplicar los pasos que se
utilizan en la resolución de un problema.
Adquirir actitudes
positivas frente a la resolución de problemas.
1_ Dados los siguientes números complejo en
forma cartesiana z1= 
y
z2=
, realizar las operaciones
indicadas.
a)
Z1+Z2,
b)
Z1-Z2,
c)
Z1.Z2,
d) Z1/Z2
2_ Dado los siguientes números complejos en
forma binómico z1= 2 + 5i, z2=
3 – 2i, z2= – 3i. Calcular:
a)
Z1+Z2,
b)
Z1-Z2,
c)
Z1.Z2,
d) Z1/Z2
3_ Dado los siguientes números complejos en
forma binómico z1= 3 + 4i, z2=
1 – 2i, Halla su forma trigonometrica.
4_ Dado los siguientes números complejos en
forma binómico z1= 3 + 4i, z2=
1 – 2i, hallar: a)
Z1+Z2,
b)
Z1-Z2, c)
Z1.Z2, d)
Z1/Z2
5_ Dado los siguientes números complejos en
forma trigonometrica:
a) Z1= 4 ( cos 30º + i
sen 30º)
b) Z2= 8 ( cos 45º + i
sen 45º)
c) Z3= 5 ( cos
120º + i sen 120º)
d) Z4= 5 ( cos 0º + i
sen 0º)
Hallar su forma binómico.
6_ Dados lo siguientes módulos y argumentos de
los números complejos:
a) Z=3 θ=
150º
b) Z=1 θ=
90º
c) Z=5 θ=
120º
d) Z=4 θ=
60º
Hallar su forma binómico.
7_ Resolver la siguiente situación
Problemática.
Un circuito en serie-paralelo constituido por dos impedancias
Z1= 6+3j(Ohmio); Z2=5-8j (Ohmio), en
paralelo y en serie con impedancia Z3=4+6j (Ohmio).El
circuito total esta conectado a una red de 110 voltios y 50
periodos. Determinar:
a) La impedancia del
sistema en paralelo.
b) La impedancia del circuito
completo.
c) La intensidad de la
corriente total.
8_ Una bobina de impedancia (50+40j) (Ohmio) y un
condensador de impedancia (-160j) (Ohmio) a la
frecuencia alterna senoidal de 50 Hz, Se conecta en serie a una
tensión alterna senoidal de 220 V, 50 Hz. Calcular:
a) Impedancia total
b) Intensidad de la corriente.
9_ Un circuito en serie-paralelo constituido por dos
impedancias Z1= 9-3j(Ohmio); Z2=3+7j
(Ohmio), en paralelo y en serie con impedancia Z3=9+1j
(Ohmio).El circuito total esta conectado a una red
trifásica de 330 voltios y 50 periodos. Determinar:
a) La impedancia del circuito completo.
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