Los números complejos (página 3)

b) La intensidad de la corriente total.

10_ Calcular la intensidad de fase  y el factor de
potencia en la instalación trifásica de la figura
1, con carga equilibrada, si la tensión de línea es
de 220 V, 50 Hz.

Anexo Nº 3

Universo vocabular

Analizar: esta
operación consiste en separar el todo de sus partes de
acuerdo a un plan o a una forma concreta de razonar. Se opone a
la síntesis. El análisis estructural se realiza en
un orden no intencionado. El análisis operativo se realiza
en base a pasos secuenciados.

Calcular: es el
procedimiento a través del cual se aplican ciertas
fórmulas o algoritmos, con el fin de obtener el resultado
buscado de un problema.

Clasificar: separar o
dividir en grupos conceptos, objetos, eventos o personas de
acuerdo a elementos, factores o características comunes.
Incluye el colocar al grupo una etiqueta que comunique las
características esenciales.

Comprensión: es el
proceso mediante el cual se llega a entender el significado
intencional que un autor o un orador le está
proporcionando a lo que escribe o dice.

Definir: fijar con
claridad y precisión el significado de una palabra o
naturaleza de una cosa.

Fórmula
Matemática: es la representación, por
medio de números, letras y operadores matemáticos,
de una regla o un principio general. Por ejemplo la
fórmula para calcular el área de un
rectángulo es:

Resolver: es encontrar
y aplicar un método o vía que conduzca a la
solución de un problema matemático.

Teorema:
proposición demostrable lógicamente partiendo de
axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de
inferencia ya aceptadas.

Ley: Regla y norma
constante e invariable de las cosas, nacida de la causa primera o
de las cualidades y condiciones de las mismas.

La ley de Ohm: define una
propiedad específica de ciertos materiales por la que se
cumple la relación.  V= I . R ; V: Diferencia de
Potencial

R: Resistencia; I: Intensidad de la corriente

La ley de Kirchoff para los Nudos (
LKN): En todo nodo, donde la densidad de la carga no
varíe en un instante de tiempo, la suma de corrientes
entrantes es igual a la suma de corrientes salientes

La ley de Kirchoff para Las Mallas
(LKM): En toda malla la suma de todas las
caídas de tensión es igual a la suma de todas las
subidas de tensión.

Impedancia (Z):
Relación entre la tensión alterna aplicada a un
circuito y la intensidad de la corriente producida. Se mide en
ohmios.

Resistencia ( R):
Dificultad que opone un circuito al paso de una corriente.

Anexo Nº 4

Teniendo en cuenta la guía de trabajo numero 3 se
eligió la actividad nº 7.

Resolver la siguiente situación
Problemática.

Un circuito en serie-paralelo constituido por dos impedancias
Z1= 6+3j(Ohmio); Z2=5-8j (Ohmio), en
paralelo y en serie con impedancia Z3=4+6j (Ohmio).El
circuito total esta conectado a una red de 110 voltios y 50
periodos. Determinar:

d)       La impedancia del
sistema en paralelo.

e)       La impedancia del
circuito completo.

f)         La
intensidad de la corriente total.

1_ Comprender El Problema

Como primera medida los alumnos para "comprender el
problema", lo leyeron varias veces con el propósito de
tener en claro los datos con los que se cuenta, las condiciones
que relacionan esos datos y lo que se desea averiguar.

         Datos: –
Z1= 6+3j
(Ohmio)                   
Incógnitas: – La impedancia del sistema en paralelo

      – Z2=5-8j
(Ohmio)                                                
– La impedancia del circuito completo.

      – Z3=4+6j (Ohmio)
       
                                        -
La intensidad de la corriente total

            
-El circuito total esta conectado

            
a una red de110 voltios y 50 periodos

2_ Trazar Un Plan Para Resolverlo:

Descubrir las relaciones entre los datos y la
incógnita. Puede verse obligado a tomar en cuenta
problemas auxiliares si no encuentra una relación
inmediata. Debe llegar a tener un plan de resolución

Concepción de un plan:

¿Se ha encontrado antes con el problema?, ¿Lo ha
visto de forma diferente?, ¿Conoce algún problema
relacionado?, ¿Conoce algún teorema que le pueda
ser útil? Revise la incógnita. Intente recordar
algún problema familiar que tenga una incógnita
igual o parecida. ¿Puede replantearse el problema? Si no
puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero
algún problema que se relacione con el mismo.
¿Puede imaginarse un problema más sencillo,
relacionado con éste?, ¿Algún problema
más general?, ¿más particular?,
¿Análogo? ¿Puede resolver alguna parte del
problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones,
abandone la otra parte. ¿Hasta qué punto se
determina entonces la incógnita, cómo puede variar?
¿Podría extraer algo práctico a partir de
los datos? ¿Puede pensar en otros datos adecuados para
hallar la incógnita?   ¿Puede cambiar la
incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta,
para que la incógnita esté más
próxima a los datos nuevos? ¿Ha utilizado todas las
condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los elementos
esenciales que intervienen en el problema?

                      
V= I . R

3_ Poner En Práctica El Plan

Ejecución del plan

Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe
cada paso. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto?
¿Puede demostrar que es correcto?

·        
¿Cómo plantearíamos esta situación
para hallar el primer Inciso?

_Debido a que las impedancia están expresada como un
numero complejo en forma binómico, aplicando la formula de
Req de dos resistencia en paralelo los alumnos se
dieron cuenta que podían aplicar las operación de
producto y división de dos números complejos
para  poder hallar Zeq; por lo tanto
obtendremos:

·        
¿En que forma (paralelo o serie) queda Z3
respecto a Zeq?

_Debido a que Z1 y Z2 se transformaron
en una sola impedancia, Z3 y Zeq se
encuentran en serie, entonces para hallar Zeq, total
se plantean las siguientes preguntas.

·        
¿Cómo podemos hallamos Zeq en un
circuito en serie?

_La resistencia en serie de un circuito en serie se determina
de la siguiente manera:

 _Entonces, la impedancia total del circuito será
igual a:

      _ Para hallar el Inciso c
planteamos la siguiente pregunta: 

·        
¿Cuántas incógnitas tenemos si planteamos la
ley de ohm para el inciso a)?

_ La ley de Ohm: define
una propiedad específica de ciertos materiales por la que
se cumple la relación.  V= I . R ; V: Diferencia de
Potencial

       R: Resistencia o
impedancia (Z);    I: Intensidad de la
corriente

_ Como conocemos la impedancia y la tensión, podemos
despejar la intensidad de la   corriente; Entonces:

      _ Con lo cual queda resuelta la
situación Problemática.

4_ Comprobar Los Resultados

_Por último debían  "evaluar el plan", es
decir realizar una visión retrospectiva
verificando   los resultados y realizando
conclusiones.

_Luego de obtener resultados satisfactorios en las respuestas
de nuestros alumnos se les aclaró la importancia de las
mismas en todo problema.

      _Como conclusión se les
explicó a los alumnos lo siguiente:

En esta clase a partir de estos ejemplos hemos llegado a
establecer la diferencia entre:

·        
Ejercicio: en este no existe ninguna referencia
verbal, solamente la exigencia bajo la forma de
cálculo.

·        
Ejercicio con texto: en este la operación a
realizar está indicada desde el inicio precisándose
claramente las condiciones y exigencias.

·        
Problema con texto: solo se dan algunas
indicaciones verbales. Su solución requiere de un
análisis integral y complejo de la situación que se
describe.

·        
Las funciones de este problema son

_ De enseñanza: permite al alumno la
adquisición, ejercitación, a partir de sus
conocimientos previos.

_Educativa: El problema está pensado para que
trabajen en grupos (socialización) y discutan su
producción (tienen que respetar las ideas de los
demás y participar activamente)

_De Desarrollo:  Se evidencia en los distintos
procedimientos que expone el alumno en la puesta en común
donde se optará por el correcto.

·        
Clasificación del problema

_Problema con texto y gráfico porque se dan
determinados valores de magnitudes.

_Problema de hallazgo y determinación porque plantea la
necesidad de determinar algún valor

·        
Los heurísticas utilizado en la resolución de
problemas fueron

_Los pasos de Polya.

_Reglas heurísticas tales como Separar los datos y las
incógnitas. Confeccionar una figura de un circuito de
análisis, Recordar fórmulas.

_Estrategia heurística: Trabajo hacia adelante o
método sintético.

·        
Estructura especifica

          
Relaciones que se presentan:

_Se establecen relaciones entre los datos (numéricos),
y las operaciones a realizar.

_Relaciones de igualdad entre magnitudes, al hallar la las
magnitudes de la impedancia e intensidad a partir de los
números complejos.

Anexo Nº 5

Estructura General

Anexo Nº 6

Diário Del docente

           
Comenzamos la clase con una breve introducción
teórica, y luego proseguimos  trabajando con los
primeros ejercicios de la guía práctica (ejercicios
de familiarización). Luego de la resolución de los
mismos, y sin mayores inconvenientes, prosigo con la
aplicación de una estrategia grupal con el fin de resolver
los demás puntos, con diferentes situaciones
problemáticas que quedan pendientes en la guía
práctica. Para ello solicito a la clase separarse en
grupos que no superen los cuatros integrantes, los mismos
deberán intentar resolver los ejercicios restantes sin la
ayuda del profesor. Luego de  40 minutos, cada grupo
elegirá un representante, el cual deberá explicar
al resto de la clase, el problema en cuestión.

           
Observo en el transcurso de los sesenta minutos, que varios
grupos intentan solicitar mi ayuda. La desorientación, en
gran parte de ellos, hace imposible llegar a una solución
correcta. En algunos grupos se presentan debates referidos a los
medios a utilizar para comenzar con el planteo, lo cierto es que
solo un grupo logra avanzar luego de transcurrir cincuenta
minutos de lo estipulado. Gran parte de ellos quedan solo en el
primer punto, otros, sin llegar a una solución en el
primero, pasan al segundo.

           
Al momento de la exposición, solo son tres de los siete
grupos los que logran resolver el primer ejercicio, dos el
segundo punto y tan solo uno el tercer punto.

           
Antes de finalizar la clase cada alumno en forma anónima e
individual responde una encuesta.

Anexo Nº 7

Marco teórico del tema utilizado para desarrollar la
metodología.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Cuando se estudió la solución de la
ecuación de segundo grado  se
analizó el signo del discriminante  y su relación
con  las soluciones. Si el discriminante era negativo se
dijo que la ecuación no tenía raíces reales
sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos
ahora a estudiar los números complejos que nos
darán la idea completa de la solución de la
ecuación de segundo grado y una extensión de los
conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la
definición axiomática del conjunto de los
números complejos.

Definición y operaciones en el conjunto de
los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de los
números complejos y lo denotamos con la letra
 al conjunto de los
pares de números reales  en
el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación.

En el número complejo  llamaremos a
 la parte
real  y  a  la parte
imaginaria. Note que la suma y producto de pares no
está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales
y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.  

Multiplicación por un escalar. 
 donde
.

Ejemplo. Dados  y
, hallar:

a)

b)

c)

Como los números complejos son pares de números
reales podemos efectuar una representación de los mismos
mediante el plano  (Gráfica
1) En esta representación se le dice  eje
real (Re) al eje de las  y  eje
imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación
del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están
contenidos en los números complejos puesto que en el plano
 el número
complejo  coincide con
el  número real . De este
modo tenemos  cuando
. Los números
complejos de la forma  son llamados
imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por
un escalar :  

Para eso escribimos el número real  en la forma
 y aplicamos la
definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo  con la letra
 y lo llamaremos
unidad imaginaria. Es fácil demostrar 
que  .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla
ecuación .

Forma binómica de un número
complejo

Sea   un número
complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como  y , entonces
. En este caso
 se llama forma
binómica o binomia del número
complejo.

Suma y multiplicación
de números complejos en la forma binómica

,  puesto que
 son todos
números reales.

 porque
.

Ahora observe que los resultados son los mismos que las
definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la
realización de las operaciones de suma y
multiplicación con números complejos se puede
realizar en la forma de pares o en la forma
binómica, con la ventaja a favor de la forma
binómica que se trabaja con las reglas del álgebra
y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo.  Si   y
, halle  y .

Conjugado de un número complejo

Si    es un
número complejo llamaremos conjugado del número
z, al número  , es
decir, al número complejo que tiene la misma parte real
que  pero la parte
imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces
 y si
, entonces
.

Módulo y argumento de un número
complejo

Sea  un número
complejo cualquiera. Llamaremos módulo del
número complejo , al
número real dado por   y lo
denotaremos por  . El módulo se
interpreta como la distancia al origen del número
 (Gráfica
2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número
complejo , al ángulo
comprendido entre el eje y el radio
vector que determina  a . El
argumento de  se denota por
 y se calcula
mediante la expresión:

.

Gráfica 2: Módulo y
argumento de un número complejo.

Propiedad: 

Demostración:

División de números complejos

La división de números complejos se realiza
mediante la multiplicación y división por el
conjugado del denominador:

Ejemplo.  Dados   y , halle: (a)
  y  (b)
.

(a) Como   entonces  

(b) Para hallar  multiplicamos y
dividimos por el conjugado .

Raíces complejas de la ecuación de
segundo grado

Si el discriminante de la ecuación  es negativo, debe
sustituirse el signo negativo por  y de esa forma
se obtienen las raíces complejas de la
ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación .

Aplicando la fórmula de la ecuación
cuadrática:

Se puede ver que el discriminante es  lo cual puede
escribirse como . Por lo tanto:

Así, las raíces complejas de la ecuación
son:   y .

Ejercicios de la Sección 1.

2)       Dados los
números complejos  y
, halle:

           
(a) , (b), (c) , (d) , (e) .

3)       Muestre que
 es el elemento
neutro para la suma de números complejos.

4)       Muestre que
 es el elemento
neutro para la multiplicación de números
complejos.

5)       Calcule:

           
(a) ,   (b)
,   (c)
,   (d)
 ,   (e)
.

6)       Calcule:

           
(a) ,   (b)
,   (c)
,   (d)
.

7)       Dado el número
complejo  halle el par
 tal que
. Al par se le llama
inverso multiplicativo de . Concluya que el
par  es único y
que el  no tiene inverso
multiplicativo.

8)       Verifique que 
.

9)       Verifique que
 y  son conjugados.

10)   Calcule:

           
(a) , (b) .

11)   Resuelva la ecuación .

12)   Halle  tal que
.

13)   Calcule y represente en el plano complejo los
números , tales que:

           
(a) , (b) .

14)   Calcule y represente en el plano complejo los
números  tales que:

           
(a) , (b) , (c) .

15)   Resuelva la ecuación cuadrática
.

16)   Resuelva la ecuación cuadrática
.

17)   Resuelva la ecuación cuadrática
.

18)   Resuelva la ecuación .

Forma trigonométrica o polar de un
número complejo

La forma trigonométrica de un número complejo se
establece observando el triángulo amarillo de la Figura
3:

Gráfica 3: Forma
trigonométrica de un número complejo.

En este caso se tiene que  y
que .

Luego:

Por lo tanto:

ésta es la llamada forma trigonométrica o
polar del número complejo, la cual está en
términos del módulo y el argumento. Se denota
comúnmente por .

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de 
 .

Hallemos  y 
.

Note que  está en el
cuarto cuadrante. Por lo tanto:

.

Multiplicación de números complejos
en su forma trigonométrica

Sean  y , entonces
. En otros
términos:

Demostración:

Por lo tanto, la multiplicación de dos números
complejos en su forma trigonométrica da como resultado un
número complejo cuyo módulo es igual al producto de
sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los
argumentos.

Autor:

Edgardo Verón