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Pensamiento matemático, filosófico y complejo (página 2)




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Comenzaremos  con uno de los mas notables matemáticos, físicos y filósofos de la Era Moderna, el francés Henri Poincaré. En el ámbito de las ciencias se destacó en la solución del probema de los tres cuerpos en el contexto de la cual descubrió que un problema relativamente sencillo como el de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, se vuelve extraordinariamente complicado cuando se trata de extender a tres cuerpos. A partir de tal complicación  y de su solución, estableció Poincaré las bases de lo que en la actualidad se conoce como Teoría del Caos.  A Poincaré se debe el desarrollo del Analysis Situs o Topología  y en el seno de ésta propuso la famosa Conjetura que lleva su nombre y que fue resuelta en el 2006 por Grigori Perelman. Episodio famoso en la carrera de Henri Poincaré lo constituyo su versión de la Teoría Especial de la Relatividad enviada a la publicidad sólo unos dias después de haberlo hecho Einsten por lo cual no se le reconoció como su inventor. Como filósofo Poincaré se destacó tanto como científico, al ser  el propulsor de la corriente positivista del convencionalismo según la cual los supuestos matemáticos sólo son como convenciones  o acuerdos en la comunidad científica que permiten  realizar razonamientos logicamente aceptables.

Continuamos ahora con uno de los mas brillantes pensadores de los útimos tiempos.

El matemático y filósofo inglés Bertrand Russll nació en 1872 y en su larga vida alcanzó gran renombre en las disciplinas con las cuales lo he calificado aunque el mayor destaque  dentro de la ciencia lo obtuvo por sus aportes a la lógica matemática.

La lógica matemática constituye una forma de tratar la lógica clásica mediante procedimientos semejantes a los de la matemática. Como la matemática, específicamente como el álgebra, utiliza símbolos y signos de operaciones que en este caso se denominan lógicas. Tales procedimientos permiten efectuar deducciones así como verificar la veracidad o falsedad de proposiciones y juicios.

La elaboración de los contenidos en la forma que propicia su utilidad actual, particularmente    en las ciencias que derivan de la cibernética, se debe principalmente a la publicación por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910, del libro Principia Matemática.

La obra de Bertrand Russell y especialmente la desarrollada en la lógica matemática está relacionada con la teoría de los conjuntos creada a finales del XlX por el alemán Georg Cantor, teoría que para su exposición utiliza una simbología y una operatoria muy parecida a la de la lógica matemática. El concepto de conjunto en la teoría de Cantor es el mismo que se utiliza en el lenguaje común, conjunto de personas, conjunto de letras en los cuales por lo general no importa el orden de sus elementos.

Un concepto muy importante al cual nos vamos a referir  de nuevo mas adelante  es el de conjuntos relacionados. Se dice que dos conjuntos están relacionados cuando a cada uno de los elementos de uno de ellos se le puede hacer corresponder un elemento del otro sin que sobre ni falte ninguno por relacionar

La teoría de los conjuntos sirve de base a la teoría de los números, dada esta circunstancia y la de la similitud de estas teorías con la lógica matemática, Bertrand Russell dedicó gran parte de sus investigaciones  al desarrollo de una teoría según la cual las matemáticas pueden fundamentarse exclusivamente en la lógica, teoría que se conoce como Logicismo. En sus intentos de desarrollar el Logicismo, surgieron paradojas que al no poder resolver satisfactoriamente, entorpecieron el fluir de razonamientos de Russell en su empeño logicista. Ante esas dificultades, Russell apeló a una cadena de suposiciones ad hoc o introducción de conceptos como el de clase parecido al de conjunto, y  surgieron conceptos como el de proposiciones atómicas las cuales según  Russell eran los componentes últimos de las proposiciones mas generales. Pero las paradojas seguían sin resolverse como la del cretense Epiménides al decir"Todos los cretenses mienten" con lo cual, al ser dicho por un cretense, la proposición quedaba desmentida. De esa manera se llegó al Teorema de Kurt Godel que afirma que no hay un sistema completo de axiomas en el sentido de que siempre queda algo que no puede explicarse dentro de ese tipo de sistema de afirmaciones. Sbre el logicismo trabajó independientemente de Russell, en esa  época el lógico y matemático alemán Gottlob Frege.

Para sus objetivos, Frege introdujo una categoría llamada volumen del concepto. No trataré de definir esta categoría sino de dar una idea de lo que era para Frege. El concepto "lados del cuadrado" tiene el mismo   "volumen" que el concepto "estaciones del año", "vértices del cuadrado", etc. Todos evidentemente, son conjuntos relacionados con un conjunto de letras como "a b c d" y claro está define el número 4.

Esto que parece una banalidad, tiene gran importancia en teoría de los números pues constituye la forma abstracta  de definir lo que es un número natural. "Número natural es el ente común a conjuntos relacionados entre si". Esto es fácil de entender, por ejemplo: el número 12 es el ente común a las horas de un reloj tradicional, a los apóstoles de Jesús, a los meses del año, a las uvas que algunos comen recibiendo el Año Nuevo, etc

En definitiva, el Logicismo no logró su objetivo de reducir las matemáticas a lo lógica  pero en su intento se lograron aportes al adecuado uso de la lógica matemática en las matemáticas en general, que si bien no las sustituyen  coadyuvan a su mejor entendimiento y manejo.

La lógica matemática de la cual Bertrand fue indiscutible artífice, es básicamente la lógica clásica concebida por Aristóteles con  acertadas modificaciones cuya característica fundamental es el uso de una simbología, también utilizada en la teoría de los conjntos, y el establecimiento de operaciones con esos símbolos, operaciones que se asemejan a las de la aritmética y el álgebra.                                      

La larga vida, fructífera hasta el final mismo, de Bertrand Russell le permitió aportar su talento a diferentes aunque relacionadas vertientes de la actividad humana, la gran parte de cuyos resultados han quedado plasmados en su voluminosa obra escrita. Paralelamente al matemático y lógico, la historia recordará al filósofo y al humanista. Como la mayor parte de quienes acceden a la filosofía a partir de las ciencias exactas, Russell siguió espontáneamente la línea de pensamiento del Positivismo  moviéndose entre sus variantes empiristas y realistas principalmente, coincidiendo unas veces y discrepando otras con los criterios de John Stuart Mill, David Hume y Joh Locke entre otros. Alguien con quien estuvo siempre en desacuerdo fue con Ludwig Wittgenstein y su interpretación  lingüística de la filosofía. El pensamiento filosófico russeliano se  centró preferentemente en la especulación acerca de la relación entre la realidad objetiva y la interpretación o hipótesis que sobre ésta hacemos. Este problema es el que de una forma o de otra está presente como tema fundamental de reflexión en los diferentes sistemas filosóficos que han pasado a la historia y siempre es tema de debate el de si es posible conocer en su esencia, en su absoluta objetividad, la "cosa en si" kantiana,  el mundo exterior a cada ser, o si sólo  es posible el conocimiento subjetivo através de lo que aportan nuestros sentidos. El dilema parece no tener solución, conocer la "cosa en si" sin la mediación de los sentidos, se nos presenta como el tratar de ver el mundo que nos rodea o como dice Russell "lo que está allá afuera", sin los ojos, oirlo sin los oídos. Sobre este tema se nos ocurre el siguiente símil. Imaginemos un individuo que de alguna manera ha logrado vivir desde que tiene uso de razón en una habitación absolutamnte cerrada y que sólo tiene conocimiento de lo que el supone hay "allá afuera"es por medio de lo que observa en la pantalla de un televisor que le presenta imágenes del supuesto mundo exterior. Al individuo le asalta la duda de que si será real lo que ve o sólo son imágenes de un video instalado en su equipo.  A nuestro sujeto se le posiblita salir de la duda practicando una abertura een la pared de su habitación, pero nada similar podemos intentar los seres reales.                                                   

El interés científico- filosófico de Russell se desplazó también hacia la física particularmente en su divulgación rigurosa como se advierte en sus excelentes obras didácticas "El ABC de los Átomos" y el "ABC de la Relatividad".

Corrientes filosóficas de las ciencias como el Costructivismo se oponen a criterios de Russell como el el del infinito actual y la aceptación de la Teoría de los Conjuntos de Cantor. Niegan también los construcionistas el  Principio del Tercero Excluido de la lógica formal.             

El nombre de Bertrand Russell apareció muy a menudo en los medios en los años 60 y 70.  Obtuvo el Premio Nobel en 1950, se destacó como pacifista y tal como aparece  en el Diccionario de Lógica de la autora rusa Alexandra Guétmanova,  "impugnaba las teorías que predicaban la absorción del hombre por la Sociedad y el Estado".

Hata aquí hemos hecho referencia a paradigmas de la ciencia y la filosofía que pudiéramos llamar clásicos, toca ahora referirnos al trascedental surgimiento  a mediados del pasado siglo XX de nuevos paradigmas que sin sustituir a los clásicos en cuanto a contenido, si modifican significativamente los criterios de certidumbre y exactitud por aquellos de alguna manera sustentados. Por ende, a tono con los nuevos paradigmas el dicurrir filosófico y científico muestra su influencia. Aunque tesis como el de la totalidad de David Bohm según la cual la naturaleza de la realidad en general y de la conciencia en particular es un coherente todo, nunca estático o completo pero en interminable proceso de desarrollo, han tenido impacto en el ámbito científico y filosófico, sin lugar a dudas es la Teoría de la Complejidad y sus vertientes, la que ha venido a ocupar junto con las Teorías de la Relatividad y la Mecánica Cuántica, relevante lugar entre los paradigmas del momento.

Comenzaremos nuestra referencia a la Teoría de la Compleidad, ocupándonos de sus conceptos definitorios como es el de complejidad.

La complejidad es una forma de analizar, de reflexionar sobre determinados aspectos de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento, los cuales presentan ciertas características que los clasifican como sistemas  de comportamiento complejo. Asociado al concepto de complejidad aparece el concepto de caos y ambos conforman lo que ha dado en llamarse Teoria del Caos y la Complejidad, constituyendo uno de los paradigmas del pensamiento científico actual.

Los sistemas de comportamiento complejo necesitan para ser determinados, de un  programa que medirá el grado de complejidad por la cantidad de información que contenga En términos matemáticos, por el número de bits o longitud del programa.  Característica esencial de estos sistemas es el hecho de que constituyen colectivos en los que surgen propiedades al constituírse éstos  que no presentaban sus  elementos aisladamente. A éstas se les llama propiedades emergentes. Las variaciones en la cantidad, valor  y propiedades en general de los sistemas que estudia la complejidad, no lo hacen de forma   directamente proporcional o como se dice en matemáticas de forma lineal, sino de forma no lineal. La no linealidad se evidencia al no presentar las variables del sistema dinámico, potencias desiguales a uno.

Las variaciones que experimentan los sistemas de propiedades complejas pueden llegar a situaciones en que no sean predecibles y que muy pequeñas de éstas en las condiciones hasta cierto momento existentes, provoquen grandes cambios irregulares, no periódicos, en las propiedades, cantidades o valores del sistema. Se dice entonces que se ha llegado al caos, teniendo este vocablo una connotación especial en la teoría que estudia la complejidad. Es un concepto que, como otros de la Teoría de la Complejidad. tuvo su origen en las matemáticas y fue estudiado con mas amplitud por el climatólogo norteamericano Edward Lorenz. Hay ecuaciones o sistemas de ecuaciones que a partir de ciertos valores de las variables, los valores que siguen resultan impredecibles, aperiódicos, se dice entonces que se ha llegado al caos determinista, determinista porque se somete, aún con las características citadas,  a regularidades que se estudian y se tratan con  métodos de las ciencias exactas, naturales y humanísticas.

Esa característica de los sistemas en régimen de caos, de pequeñas causas provocando notables cambios en los efectos, ha pasado a la cultura pudiéramos decir popular, descrita como que "el aleteo de una mariposa en New York es capaz de provocar un tiempo después un huracán en Beiguin, lo que ha motivado que el caos sea conocido como Efecto Mariposa. Y ya llegado a este punto podemos ir comprendiendo como conceptos como el de caos y otros de la Complejidad, manejados inteligentemente y con cabal entendimiento del concepto en su significado originario, pueden ser extrapolados a otras ramas del conocimiento universal y con procedimientos análogos de razonamiento a los originarios, enriquecer teorías de disciplinas como,  economía, sociología, filosofía, psicología además de las distintas ramas de la ciencia, física, química, biología, que fueron donde surgieron los conceptos básicos de la Complejidad.

Además, y esto es muy importante, la Teoría del Caos debida a Edward Lorenz, vertiente principal de la Complejidad,, al mostrarnos que en un momento dado multitud de procesos se hacen impredecibles, y que esto es algo que forma parte de la realidad, que no podemos evitar, el enfrentarnos racionalmente a esta realidad y actuar en consecuencia, es algo que nos lo permite el estudio a fondo de la teoría del caos.  Nos permite trazar estrategias ante eventualidades en todos los terrenos de la vida. Hace unos años ocurrió que en México y mas tarde en varios países asiáticos hubo una caída estrepitosa de las bolsas de valores, las cuales comenzando en puntos localizados, se propagaron caóticamente por casi todo el mundo por lo cual remedando lo del Efecto Mariposa, se les llamó a esos eventos, Efecto Tequila al de México y Efecto Dominó al asiático. Algo similar pero con mas significativas consecuencias ocurrió en septiembre del 2008, cuando una caída de valores en Wall Street motivó inmediata crisis económica mundial Muy presente estuvo la teoría del caos y por ende la de la Complejidad en los pasos dados por los economistas para enfrentar esas crisis. No obstante lo que puede intuirse de la explicación anterior, no puede olvidarse que el origen del concepto caos en el contexto, es de índole matemático.

Ciertos procesos naturales como el aumento de la población de una especie animal en determinadas condiciones, puede estudiarse mediante un mapa iterativo como el logístico :xn+1 =  kxn(1 - xn)  donde las x representan las poblaciones en la etapa que se estudia y la anterior, y la k es la tasa de crecimiento. Para cierto valor de la tasa de crecimiento, los valores de la población  comienzan a repetirse periódicamente constituyendo ciclos o períodos que van aumentando en componetes, llegan a ser muy largos y a partir de cierto valor de la tasa se pierde la periodicidad y es cundo se presenta la condición de caos. Pero es el caso que a las puertas del caos. si colocaramos, los valores poblacionales de un periódo como puntos de un eje coordenado, la disposición de éstos adopta un configuración consistente en la repetición cada vez  a menor tamaño de un patrón geométrico, constituyendo lo que se llama un fractal.

De la repetición cada vez a menor tamaño de un mismo patrón geomértico se dice que es un proceso de autosemejanza el cual se realiza manteniendo constante el factor de reducción, característica llamada Invarianza de Escala, la cual se presenta en fenómenos naturales que ocurren a sistemas complejos lejos del equilibrio cercanos al punto de transición de fase o punto crítico.  De la Teoría de los Fractales de Benoit de Mandelbrot, también se ocupa la Teorá de la Complejidad.  Con lo visto, nos damos cuenta que aún  en situación de caos se advierte la presencia de manifestaciones de orden como las estructura fractales. Es por eso que al caos que trtamos se le llama caos determinista. Además no debe pensarse que procesos como los ciclos a los que nos referimos al estudiar la evolución poblacional mediante el mapa logístico, son incontrolables, inevitables en sus caracteríticas. 

La tasa k de crecimiento toma valores que dependen del medio en el cual ocurre la evolución,  de la disponibilidad de recursos para la sobrevivencia sobre lo cual influye la acción humana con su eficiencia y voluntad, factores éstos que diferencian las ciencias sociales de las naturales. La aparente idea de incertidumbre en el caos determinista en unos casos ,y la periodicidad de ciclos en otros,   no debe de servir de explicación smplista y fatalista de la aparición de crisis económicas y por lo tanto de excusa para no evitarlas o  prevenirlas.

Otra muy importante vertiente de la Complejidad la constituye la Termodinámica de No Equilibrio, que, como su nombre indica tiene su origen en  la termodinámica, pero que sus conceptos esenciales extrapolados racionalmente pasan a ser poderoso instrumento investigativo en disciplinas como la sociología y la economía. En esta vertiente de termodinámica de no equilibrio y a partir de los aportes del Nobel belga Ilya Prigogine., se  hace énfasis  en los conceptos de equilibrio y orden que partiendo de la termodinámica son conceptos antagónicos aunque parezca extraño. En este contexto, el equilibrio es el estado al que espontáneamente tienden los sistemas y si bien se analiza, esa tendencia es hacia el desorden. Enciérrese un gas en una caja y de momento ábrase un extremo de ésta; espontáneamente las moléculas del gas se regarán, se desordenarán y en ese desorden permanecerán, será su estado natural,  su estado de equilibrio como entiende la termodinámica.

Para ordenar las moléculas del gas de nuevo habría que hacer fuerza sobre ellas, empujarlas hacia la ca.ja. El orden no es espontáneo, hay que imponerlo, bien que lo sabemos. Pero un sistema equilibrado no suele ser útil. Un gas en una jeringuilla sin émbolo, está desordenado, en nuestro contexto equilibrado, pero no produce movimiento. Si lo comprimimos con un émbolo, lo ordenamos, lo desequilibramos pero estará apto para realizar un trabajo cuando soltemos el émbolo y se expanda. Es por ello que, aunque parezca paradójico, para lograr movimiento es necesario propiciar el no equilibrio. Manejado racionalmente este hecho puede resultar positivo en importantes momentos.

 En los saltos cualitativos de cambio de estructuras socioeconómicas, se suelen presentar  en el momento de producirse, inestabilidades, desequilibrios, que pueden tomar la forma de contradicción entre las fuerzas productivas y las relaciones de producción aunque esto no signifique una necesidad histórica. La termodinámica de no equilibrio predice y así se cumple, que a partir de la inestabilidad, del no equilibrio, la estructura se estabiliza en un nuevo estado. Pero como todo orden hay que mantenerlo pues no es espontáneo como vimos. Para lograr ese orden sostenido gran aporte hace la Teoría de la Complejidad sobre todo en la vertiente de la termodinámica de no equilibrio debidamente extrapolada desde sus conceptos originarios. Así como hemos visto que en general el no-equilibrio es lo deseado, se presentan casos en los cuales lo deseable es que un organismo no alcance  el no-equilibrio pues no deseamos su estbilización. Un ejemplo nos lo presenta el distinguido médico colombiano Dr. José Félix Patiño quien estima que un ente indeseado como es el cáncer, en su tratamiento ha de buscarse el que no alcance el no- equilibrio para que no logre  mantener su maligno ordenamiento. .

En la actualidad a nivel mundial se realizan intensos estudios de la Complejidad. .En los planes de estudio de las enseñanzas superior y media aparecen destacados espacios dedicados a la Teoría de la Complejidad a nivel mundial.

 Debemos expresar nuestra opinión de que, quienes seducidos por el sugerente significado que algunos de los términos del glosario de la Complejidad tienen en el lenguaje común como caos y complejidad, se sienten motivados a incursionar en extrapolaciones de conceptos,   antes deben adentrarse en los fundamentos originarios de los mismos casi todos concebidos en el campo de las matemáticas y las ciencias naturales, para evitar caer en lo metafórico y en la posible apropiación errónea de conceptos.

Conclusiones

Hemos presentado los elementos que en nuestra opinión evidencian de qué forma se imbrican el pensamiento matemático y el filosófico en la matemática, teniendo en cuenta su estatus peculiar dentro de las ciencias acorde con los paradigmas clásicos y modernos que rigen su desarrollo. Para nuestro objetivo  hemos presentado sucintamente a autores y obras que han marcado hitos en el devenir del conocimiento universal.   Especial énfasis hemos hecho en el rol que en el contexto cientifico-filosófico de nuestros días  han desempeñado la Teoría de la Complejidad y la de la Totalidad de Bohm.

Bibliografía

Bohm, D. 2004. Wholenes and Implicate Order. Rouledge Classics. New York.

Gleick, J. 1988. Caos. Penguin Books. New York.

González, J. 2001. Ciencia, Arte y Literatura. Editorial Holguín. Holguín.

González, J. y R. Ávila. 2004. La Ciencia que Emerge con el Siglo. Editorial Academia. La Habana.

Strogatz, S, 2000. Non Linear Dynamics and Chaos. Perseus Books Publishing. Cambridge.

 

 

 

Autor

Joaquín González Álvarez

Graduado de Eneñanza Superior de Física y de Optometrista por la Universidad de la Habana.

Prefesor Universitario de Física (Jubilado)

Autor de varios libros de texto y divulgación de sus especialidades, así como de innumerables artículos científicos publicados en Cuba, España, Mexico y Nicaragua.

Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física radicado en Estados Unidos.


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