Partes: 1, 2

Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media.

Todo esto se resume de la sig. Forma:

TEOREMA DE TCHEBYCHEFT O CHEBYSHEV

La proporción de cualquier conjunto de observaciones que caen dentro de  desviaciones típicas, medidas a partir medidas a partir de la media es al menos.

, esto es que estén en  y

Donde es cualquier numero mayor 1

Ejemplo

Del ejemplo:

Al menos que porcentaje de observaciones caerá dentro de 3 desviaciones típicas a partir de la medio Soluciones:

Sol.

 Ó 88%

 Ó 75%

 Ó 93%

El teorema indica que:

Para   

Al menos  de las observaciones caen dentro de dos observaciones estándar de la media.

Es decir  cuartos o más de las observaciones cae en el intervalo

Similarmente.

Al menos de las observaciones de cualquier distribución caen en el intervalo

Ejemplo:

A lo mas ¿Que porcentaje de un digito de observaciones caerá? a) mas allá de dos observaciones típicas medidas a partir de la media.

b)    Mas allá de 3 desviaciones típicas

a)

        

 

Luego 1- proporción dentro del intervalo

           1- =

c)     1- proporción dentro del intervalo

      %

REGLA DE LA NORMAL

Def. Para uno distribución de frecuencia simétrica, en forma de campana.

a)    aproximadamente el 68% ó 68.27% de los datos caerán en el intervalo formando a una desviación típica a partir de la media (i, e. el valor de la desviación típica a ambos lados de la media) comprendidos entre y

c)     Aproximadamente el 95% o 95.45% están comprendido entre  y  (z` doble del valor de las desviaciones típica ambos lados de la media) ó en el intervalo medida a dos desviaciones típicas a partir de la media

d)    El 99.73% ó casi el valor% de los datos caerá dentro  y  (es decir el triple del valor de la desviación típica a ambos lados de la media)

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Indica la magnitud relativa de la desviación estándar con respecto a la media de la distribución.

El coeficiente de variación es útil cuando se desea:

• Comparar la variabilidad de 2 conjuntos de datos con respecto al nivel general, de los valores de cada conjunto.
• Se empleo para comparar la variabilidad entre dos grupos de datos referidos o distintos sistemas de unidades de medida. Por ejemplo kilogramos y centímetros.
• Comparar la variabilidad entre dos grupos obtenidos por dos o más personas.
• Comparar dos grupos de datos que tienen distinta media.
• Determinar si cierta es consistente con cierta varianza.

La formula a usar es:

c.v=

si c.v                  0 % implica que la media es buena como valor central

    c.v       100% implica que la media es mala como valor central

Ejemplo:

Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de tubos A Y B los tubos tienen unas duraciones medias respectivas de.

 1,495hrs                           SA= 290 hrs.

 1,875 hrs.                         SB= 310 hrs.

¿Qué tubo tiene mayor a)Dispersión absoluta

                                      b) Variación o dispersión relativa?   

SOL. a) Dupersion absoluta de

              A:  SA= 280h          B: SB= 310h

     El tipo B tienen la dispersión absoluta mayor

B) Coeficiente de variación.

A: CV= =  Ó 18.7%

B: CV= Ó 16.5%

Luego:

Es el tipo A que tiene mayor variación o dispersión relativa.

Obs.

v  Si CV < 0.5 entonces  es confiable

         Es adecuado su representación como medida de tendencia central.

v  Si CV > 0.5 Entonces  no es confiable.

REGLAS O TéCNICAS DE CONTEO

Obs. Nos sirve para determinar sin enumerar directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto particular.

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

DEF. Si un experimento puede resultar de maneras distintas y correspondientes a cada una de estas, un segundo experimento puede resultar, de  maneras distintas y si después efectuados. El tercer experimento puede realizarse de  maneras distintas, y así sucesivamente.

El experimento combinado puede resultar de:

 

           FORMAS

Ejemplo

1.- ¿Cuántos puntos muéstrales hay un punto o muestral cuando se lanzan un par de dados uno ala vez?

SOL. El 1er dado puede caer en cualquiera de  formas

         El 2do dado puede caer en cualquiera de formas

 El par de dados puede caer en

                         Formas

Si se lanza una moneda 4 veces entonces el numero de puntos muéstrales es:

            

            

3.- Una persona de sexo femenino tiene 10 blusas, 5 faldas y 12 pares de zapatos.

             ¿Cuantas maneras distintas se puede vestir?

SOL.                                  

Luego:

 Formas de vestir

4.- pendiente

Supóngase que una placa de un automóvil consta de dos letras distintas seguida de 3 dígitos de los cuales  de los cuales el primero no cero.

¿Cuánto placas diferentes pueden grabarse?

5.- cuantos menos que consisten de sopa, emparedado, postre y un refresco existen, si se pueden seleccionar entre 4 sopas diferentes, 3 clases de emparedados, 5 postre y 4 refrescos.

Luego:

                               

  240 tipos de menos

6.- En un estudio medico, los pacientes se clasifican en 8 formas diferentes de acuerdo con su tipo de sangre    y su presión sanguínea (baja, normal o alta).

Encuentre el número de formas posible para clasificar a un paciente.

 Tipos de sangre

 Presión

   Formas de clasificación.

Los estudiantes de un colegio privado de humanidades se clasifican como estudiantes de primer año, de segundo de penúltimo o de último, también de acuerdo con su sexo: hombre o mujeres. Entre en número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de este colegio.

Sol.

Luego

= 4*2= 8 clasificaciones posibles

2.- Un determinado zapato se fabrica en 5 estilos diferentes y en 4 colores distintos para cada uno. Si la zapatería desea mostrar a su clientela pares de zapatos en todos los estilos y colores ¿Cuántos pares diferentes deberán colocar e el aparador?

Sol.

Estilos

 Colores

Luego

5*4= 20

3.- Un contrato de construcción ofrece casas con cinco distintos tipos de distribución, tres tipos de techo y dos tipos de alfombrado ¿De cuantas formas diferentes puede un comprador elegir una casa? Muestre el número total de selecciones empleando un diagrama de árbol.

               

 Formas diferentes de elegir una casa              sea  D: distribución 

                                                                                                       T: Techos

4.- Puede comprarse un medicamento para la cura del asma ya sea liquido en tabletas o en capsulas, a 5 diferentes fabricantes y todas la presentaciones en concentración regular o alta ¿en cuantas formas diferentes puede un medico recetar la medicina a un paciente que sufre de este padecimiento.

Sol.

Luego por el principio fundamental de conteo

 Formas diferentes de recetar la medicina

5.- En un estudio de economía de combustibles, se prueban 3 carros de carreras con 5 diferentes marcas de gasolina, en 7 sitios de pruebas en distintas regiones del país si se utiliza 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizaron una vez bajo cada conjunto de condiciones ¿Cuántas se necesitarían?

Sol.

Luego

Se necesitan

6.- ¿En cuantas formas diferentes puede contestarse 9 preguntas de cierto o falso?

Sol. 512

Preguntas

Por el principio fundamental del conteo

 Formas diferentes de contestar 9 preguntas

7.- Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas de los cuales sola (una es la respuestas) y es correcta.

a)     ¿En cuantas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta?

b)    ¿En cuantas formas puede un estudiante escoger una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas?

Sol.

a)     1024

b)    243

a)                                         

Por el principio fundamental de conteo

Formas diferentes de escoger una respuesta.

b)                            

 Suponiendo que para cada pregunta estas tres son las incorrectas luego por el principio fundamental de conteo.

  Formas de escoger una pregunta y tener todas las respuestas incorrectas.

Un estudiante de primer año debe tomar un curso de ciencia uno de humanidades y otro de matemáticas. Si se puede escoger entre cualquiera 4 cursos de ciencia, 4 de humanidades y 4 de matemáticas, ¿en cuantas formas, puede acomodar su horario?

Sol.

               

     Formas de acomodar su horario

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Es un dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimento. Donde cada experimento puede suceder en un número finito de manera:

Ejemplo:

Dado A=         B=           C=

 Hallar los puntos muéstrales usando el diagrama del árbol

Por la regla del conteo será

                                   

 Puntos muéstrales.

Ejemplos

Se va a formar un comité de 3 miembros compuestos por un representante de los trabajadores uno de la administración y uno del gobierno.

Si hay 3 candidatos de los trabajadores

Si hay 2 de la administración y 4 del gobierno

Determinar cuantos comités diferentes puedan conformarse empleando

a)     El principio fundamental de conteo

b)    Un diagrama de árbol

Sol.

a)  Candidatos de los trabajadores.

     Candidatos de los admón.

     Candidatos del gobierno

 Comités.

b) sea    Trabajadores

                Admón.

             Gobierno

Luego

           

NOTACIÓN FACTORAL

DEF: Dado un numero N entero positivo definimos el factorial de n denotado por n! como

n! =    …… 3. 2. 1

Ejemplo:

CONVIENE DEFINIR: 0!=1

PERMUTACIONES

DEF.

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetivos.

DEF. Una permutación de n objetos distintos tomados de en r es una elección ordenada I de entre

El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r vienen dado por:

          Obs. El número de permutaciones de objetos tomado de n a la vez.            

Observación1: Se toma en cuenta el orden, sin reemplazo.

DEF: Supongamos que tenemos M objetos que se van a seleccionar de          n objetivos con orden y sin reemplazo

1er elto lo podemos seleccionar M objetos

2do elto lo podemos seleccionar M-1 objetos

3er elto lo podemos seleccionar M.2 objetos

AMO elto lo podemos seleccionar M-(n-1) objetos.

Por el principio fundamental de conteo o los n objetos se pueden seleccionar de:

. . . . . .. Maneras.

1.- El número de permutaciones de las letras tomadas de dos a la vez es

= 6 Estás  son:

Ab    ba  ac  ca     bc   cb

2.- De un grupo de 40 alumnos se van a seleccionar 5 para ocupar

1.- La presidencia

2.- Otro para ocupar la tesorería de una planilla

3.- Otro la secretaria de la planilla

4.- Otro para ocupar E cargo de difusión de la planilla

5.- Otro para ocupar el cargo de relaciones publicas.

Sol.

Ó

3.- Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el segundo y 1er  premio encuentre el numero de puntos muéstrales en el espacio.

Sol.

1ro          2do

 

Un testigo de un accidente de transito en el que el causante huyó, le indica al policía que el numero  de matricula del automóvil tenia las letras RLH seguidas por tres dígitos, el primero de los cuales era un cinco. Si el testigo no puede recordar los otros dígitos pero esta seguro de que los tres eran diferentes, encuentre el número máximo de registro de automóvil que debe verificar el policía.

Sol.

El número de registro es 9x8= 72

ó

Como los tres números son diferentes se trata de permutaciones

Y

En cuantas formas pueden llenar las 5 posiciones iniciales de un equipo de baloncesto (con 8 jugadores que pueden ocupar cualquiera de ellas?

Sol.

Como importa el orden se trata de permutaciones.

Encuentre el número de formas en las cuales pueden asignarse 6 profesores a las 4 secciones de un curso introducciones de sicología, si ninguno cubre más de una sección.

Sol.

Como importa el orden se trata de una permutación

Entonces.

4.- Supóngase que una placa de un automóvil consta de 2 letras seguidas de 3 dígitos de los cuales el 1ro no es cero.

Luego:

 

6.- De cuentas maneras pueden 10 personas sentarse en una banca si solo hay 4 puestos disponibles.

Sol.

 

PERMUTACIONES = CON REPETICIONES

Def:

El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales n2 son iguales ….. nr son iguales es:

 Donde n= n1+n2+…..+nr

Ejemplo.

1.- El número de permutaciones de las letras en la palabra estadística es:

 Puesto que hay

2.- El número de permutaciones diferentes de las 11 letras de la palabra Mississipi que consiste de 1M, 4I, 4s 2p es:

COMBINACIONES

Def.

Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r los n objetos. Sin importar el orden y sin reemplazote los r escogidos.

Es denotado por

 

Ejemplo:

1.- El numero de combinaciones de las letras A,B,C tomados de dos en dos es.

      3 Estas combinaciones son

ab      ac   bc       

Observe que ab es la misma combinación que ba.

2.- ¿De cuantas formas pueden elegirse una comisión de 5 personas de entre 9 personas?

Luego:      

3.- De cuantas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos respectivamente.

Sol.

Esto es lo mismo que el numero de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4 objetos son iguales y los otros 6 también son iguales.

Esto es:

Ejemplo:

De cuantas formas se pueden seleccionar 6 preguntas de un total de 10

Sol: Como no hay orden se trata de combinaciones

Luego:

n=10

r=6

2.- Cuantos comités diferentes de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse con 8 hombres y 6 mujeres.

Sol. La forma en que se pueden elegir 4 mujeres de un total de 6 n2 =

POR EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO

EL NUMERO DE COMITé ES:

3.- De cuantas formas puede un grupo de 10 personas dividirse en a) dos grupos de 7 y 3 personas b) tres grupos de 4, 3 y 2 personas.

a)                  b)

Ejercicio

1.- Cuatro matrimonios compraron 8 lugares por concierto ó en cuantas formas diferentes pueden sentarse.

a) sin restricciones

b) si se sienta por pareja

c) si todos los hombres se sientan juntas a la derecha de todas las mujeres.

a)8!= 40320

b) 4! 2! 2! 2! 2! = 384

c) 4!  4!= 576

2.- a) ¿De cuantas maneras pueden formarse 6 personas para subir a un autobús?

b) si 3 de ellas insisten en seguirse una una ala otra ¿en cuantas formas es esto posible?

c) 2 personas se rehúsan a seguirse una ala otra ¿en cuantas formas es esto posible?

Sol.

a)     6! =720

b)    3! 4!=144

c)     6!"5! 2!=480

SUGERENCIA PARA DIAGNOSTICAR DE APLICACIÓN DE REGLA DE CONTEO

1.- Una de las tres reglas: de conteo de esta sección puede ser aplicable a un problema de probabilidad si los puntos muéstrales son identificables por un número fijo de características.

2.- La regla m.n puede ser aplicable si las características referidas en 1 se toman una sola de cada un solo digito si fuesen tomadas de un solo digito

La regla que puede ser aplicables son las de permutación y combinación.

3.- La regla de combinaciones puede ser aplicable si las características se toman de un solo digito y el reordenamiento de las características no produce otro punto muestral.

4.- La regla de permutaciones puede ser aplicable si las características se toman de un digito y cada reordenamiento de ellas corresponde a un nuevo punto muestral.

Ejemplo:

De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos, ¿de cuantas formas pueden formarse

Si:

a)     Puede pertenecer a el cualquier matemático, físico

b)    Un físico determinado debe pertenecer al comité

c)     Dos matemáticos determinados no pueden estar en  el comité 

Sol.

a)     2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de  formas

3 físicos de un total 7 pueden elegirse de  formas

# Total de selecciones posibles=

b)    2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de  formas

2 físicos de un total de de 6 pueden elegirse de  formas

# Total de selecciones posibles=

 

 

Autor:

Yair