Partes: 1, 2

Vectores ortogonales:

Dados dos vectores , serán ortogonales si su producto escalar es cero, es decir, forman un ángulo de noventa grados:

APLICACIONES DE LOS VECTORES:

Condiciones para que tres puntos estén alineados:

Los puntos  están alineados si los vectores  y  tienen la misma dirección, es decir, son linealmente dependientes, lo que implica que sus coordenadas serán proporcionales:

Punto medio de un segmento:

Dados dos puntos , el punto medio del segmento  será .

Simétrico de un punto con respecto de otro:

Si  es el simétrico a A respecto del punto P, P será el punto medio del segmento . Por lo tanto, si el punto  tendrá por coordenadas:

Despejando, podemos obtener las coordenadas de  en función del las de  y :

Proyección de un vector sobre otro:

Dado que  y sabemos que , deducimos que , así;

Vector director y vector normal de una recta.

áVector director de una recta determinado por dos puntos: vector director, vector paralelo a la recta o contenido en ella . Nos dan los puntos  y , queremos obtener el vector director : restamos las coordenadas de x y las de y:

áVector director de una recta: un vector normal de una recta es siempre perpendicular a ella:

El producto escalar de un vector director por un vector normal es cero por ser normal, .

Coordenadas del punto medio de un segmento en el plano:

Las coordenadas del punto medio  del segmento  son

Ecuaciones de la recta:

Ø  Sistema de referencia en el plano:

Ø  Ecuación vectorial de la recta: conocemos un punto  y un vector director :

donde  es un parámetro que indica el número de veces que un vector unitario está contenido en el vector director.

Ø  Paramétrica: despejamos x e y:

Ø   Continua: despejamos en las dos ecuaciones y las igualamos:

Ø  General o implícita: . Sustituyendo (ya que obtendremos:

 

(Directamente no conocemos ni coordenadas del punto ni vector director)

Ø  Explícita:

Ø 

Ø  Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: tenemos dos puntos :

Ø  Ecuación punto-pendiente: punto  y pendiente,(): .

Ø  Ecuación segmentaria: corta a los ejes de coordenadas en los puntos (a,0) y (0, b):

Posiciones relativas de dos rectas en el plano:

>Rectas en forma general:

>Rectas en forma explícita:

>Vectores directores:

Posición relativa de dos rectas en el plano:

Un haz de rectas es un conjunto formado por las mismas con una característica común, tales como tener la misma dirección o pasar por un mismo punto, en el primer caso será un haz de rectas paralelas y en el segundo un haz de rectas concurrentes (con vértice común).

>Haz de rectas paralelas: todas las rectas tendrán el mismo vector director, es decir, todas tendrán la misma pendiente:

>Haz de rectas concurrentes: cada una de las rectas tendrá distinta dirección y distinta pendiente, pero todas pasarán por un punto común  denominado vértice:

Distancias:

>Distancia entre dos puntos: .

>Distancia de un punto a una recta :

Ángulo de dos rectas:

a)     Cuando conocemos los vectores directores utilizamos la ecuación vista en vectores.

b)    Cuando conocemos (directa o indirectamente) la pendiente de dos rectas utilizamos esta:

Rectas y puntos notables de un triángulo:

Mediatrices: circuncentro:

Mediatriz: línea que divide a un segmento en dos partes iguales, es decir, pasa por su punto medio y es normal a él.

Circuncentro: punto de corte con las medianas.

Alturas: ortocentro:

Alturas: recta normal que une un vértice con el lado opuesto.

Ortocentro: punto de corte de las alturas.

Medianas: baricentro:

Medianas: línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Baricentro: punto de corte de las medianas.

Bisectrices: incentro:

Bisectrices: recta que divide al ángulo formado por dos rectas en dos partes iguales. Aplicamos la siguiente ecuación:

Incentro: punto de corte de las bisectrices.

Rectas y puntos notables del triángulo. Ejercicios resueltos.

Mediatrices y circuncentro

Calcular las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3).

á Hallamos las ecuaciones de dos mediatrices:

a)     Ecuación de la mediatriz del lado AC:

1.     Calculamos las coordenadas del punto medio del lado AC:

2.     Hallamos la ecuación de la mediatriz, la cuál pasará por el punto medio M(1,1) y su vector director será normal a la recta AC:

b)    Hallamos, del mismo modo, la ecuación de la mediatriz del lado AB, que será, como podréis comprobar (si queréis), .

á Hallamos las coordenadas del circuncentro: dado que el ortocentro es el punto de intersección de las mediatrices, hemos de resolver el sistema planteado por las ecuaciones m1 y m2, siendo los resultados del despeje en x e y las coordenadas del circuncentro:

Alturas y ortocentro

Calcular las coordenadas del ortocentro del triángulo ABC de vértices A(-1,1), B(2,4) y C(4,1).

áEcuación de la altura del lado AC

á Ecuación de la altura del lado BC (mismo método):

á Resolvemos el sistema de las dos alturas, para obtener las coordenadas  del ortocentro:

Medianas y baricentro

Calcular las coordenadas del baricentro del triángulo ABC de vértices A(-1,1), B(2,4) y C(4,1).

áHallar la ecuación de la mediana del lado AC:

a)     Calculamos las coordenadas del punto medio AC;

b)    Vector director de la mediana, a partir de M y del vértice B:

Ecuación de la mediana AC

á Repetimos el mismo proceso para hallar la ecuación de la mediana del lado AB

á Coordenadas del baricentro: resolvemos el sistema de ecuaciones de las dos medianas:

*El baricentro es el centro de gravedad del triángulo, por lo que sus coordenadas también se puede obtener sumando las tres "x" de los vértices y dividiendo entre tres, y hacer los mismo con las "y":

   

Bisectrices e incentro

Hallar la ecuación de la bisectriz de la recta AB y AC, siendo A(-1,1), B(2,4) y C(4,1).

á Calculamos la ecuación de las rectas:

*Incentro: origina una circunferencia inscrita. Para calcularlo debemos obtener la ecuación de otra bisectriz y resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos bisectrices.

EJERCICIO: HALLA LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA LA TRIÁNGULO ABC DE ESTE EJERCICIO.

 

 

Autor:

Adrián Domingo Giménez