Estrategia didáctica para estimular el aprendizaje de Matemática en la secundaria básica (página 2)

Para comprender la esencia del proceso de
enseñanza – aprendizaje en la
escuela
secundaria básica, en particular en la enseñanza de
la Matemática es necesario analizar algunos
conceptos y algunas de las exigencias de la enseñanza de
la ciencia y
en particular de la enseñanza de la Matemática en
el ámbito internacional.

Fundamentos psicopedagógicos de la estrategia
didáctica

• El aprendizaje desarrollador. Esencia y
  dimensiones

Al caracterizar la esencia del aprendizaje desarrollador, D.
Castellanos Simón y otros, 2001, expresan: "Un
aprendizaje desarrollador es aquel que garantiza en el individuo la
apropiación activa y creadora de la cultura,
propiciando el desarrollo de
su auto-perfeccionamiento constante, de su autonomía y
autodeterminación, en íntima conexión con
los necesarios procesos de
socialización, compromiso y responsabilidad
social"[1]

Por tanto, para ser desarrollador, el aprendizaje
tendría que cumplir con tres criterios
básicos:

• 1. Promover el desarrollo integral de la
  personalidad del educando, es decir, activar la
  apropiación de conocimientos, destrezas y capacidades
  intelectuales en estrecha armonía con la
  formación de sentimientos, motivaciones, cualidades,
  valores, convicciones e ideales. En otras palabras,
  tendría que garantizar la unidad y equilibrio de lo
  cognitivo y lo afectivo-valorativo en el desarrollo y
  crecimiento personal de los aprendices.

• 2. Potenciar el tránsito progresivo de la
  dependencia a la independencia y a la
  autorregulación, así como el
  desarrollo en el sujeto de la capacidad de conocer, controlar
  y transformar creadoramente su propia persona y su medio.

• 3. Desarrollar la capacidad para realizar
  aprendizajes a lo largo de la vida, a partir del dominio de
  las habilidades y estrategias para aprender a
  aprender, y de la necesidad de una
  autoeducación constante.

• La enseñanza desarrolladora. Exigencias

D. Castellanos y otros, 2001, identifican la enseñanza
que propicia y estimula el aprendizaje
desarrollador, como una enseñanza
desarrolladora. Al referirse a la esencia de esta
enseñanza expresan que esta es: "…el proceso
sistémico de transmisión de la cultura en la
institución escolar en función
del encargo social, que se organiza a partir de los niveles de
desarrollo actual y potencial de los y las estudiantes, y conduce
el tránsito continuo hacia niveles superiores de
desarrollo, con la finalidad de formar una personalidad
integral y autodeterminada, capaz de transformarse y de
transformar su realidad en un contexto histórico concreto"[2]

Una enseñanza desarrolladora debe apoyarse en una
sólida fundamentación filosófica y
psicológica. La concepción del aprendizaje
propuesta previamente (aprendizaje desarrollador) se
sustenta en una concepción del desarrollo
humano que penetra su esencia, y le confiere obviamente su
impronta especial. La educación
desarrolladora, concretizada en el sistema de
acciones de
aprendizaje y de enseñanza, reflejará igualmente
esta naturaleza
singular de los procesos analizados. Desde esta óptica,
la intencionalidad y finalidad del proceso de
enseñanza-aprendizaje trasciende entonces la tradicional
concepción lineal y parcializada del mismo como mero
reproductor de contenidos.

La concepción del proceso de enseñanza –
aprendizaje que se está planteando supone, además,
una visión integral, que reconozca no solamente
sus componentes estructurales, sino también las relaciones
que se establecen entre los mismos, y entre ellos y el propio
proceso como un todo. Una comprensión más rica, que
incluya a protagonistas, niveles y relaciones como elementos
integrantes de su estructura.

Consecuentemente, el diseño
del proceso abarcará dialécticamente los
componentes tradicionalmente reconocidos (objetivo,
contenido, método,
medio, evaluación) como elementos mediatizadores
de las relaciones entre los protagonistas (alumno/a,
profesor/a,
grupo), y también, de manera muy especial,
incluirá las relaciones que se establecen entre
ellos. Se destaca aquí el papel del problema
como un elemento significativo que expresa, precisamente, el
carácter dialéctico del mismo.

Finalmente, el reconocimiento de los niveles de organización del proceso, como
manifestación de su carácter
sistémico, permitirá comprender su
estructura espacial y funcional. Sólo a partir de un
sólido enfoque de sistema pueden integrarse los diferentes
componentes de manera tal que conformen una totalidad con
identidad
propia, desarrolladora, y que a la vez, cada uno mantenga su
identidad como parte en función de la identidad del
sistema como una totalidad, o sea, en función de la
contradicción o problema a resolver.

En otras palabras, los rasgos esenciales que caracterizan una
enseñanza desarrolladora adquieren verdadero significado
al establecerse una relación cualitativamente superior
entre los componentes del proceso, y entre éstos y el
propio proceso. Este planteamiento orienta hacia un análisis más profundo del papel de
cada uno de ellos en su interrelación, y muy especialmente
hacia los nexos entre los protagonistas y los restantes
componentes. Los componentes son los que dan sentido y
concreción a las relaciones que se establecen entre
alumno/a, profesor/a y grupo.

• Exigencias para un aprendizaje
  desarrollador de las ciencias

Las exigencias que estimulan el desarrollo integral de
la
personalidad de los alumnos y las alumnas en el aprendizaje
de las Ciencias se
han descritos por (Silvestre 1999, Zilberstein 2000, Zilberstein,
Portela y Mcpherson 2000)[3]. Entre esas
exigencias se encuentran:

1. Que el aprendizaje se realice a partir de la
búsqueda del conocimiento
por el alumno, utilizando en la clase métodos y
procedimientos
que estimulen el pensamiento
teórico, llegar a la esencia y vinculen el contenido con
la vida.

Se hace necesario estimular la búsqueda activa
por parte de las alumnas y alumnos y motivarlos a "aprender
construyendo ciencia", a
investigar, a proponer soluciones
alternativas y a estar "insatisfechos" constantemente con lo que
aprenden. Hoy se necesita promover la actividad, pero no por la
sola actividad en sí misma. Hay que evitar el
activismo de la enseñanza, la
participación no reflexiva del escolar!.

Promover la actividad de búsqueda del
conocimiento debe favorecer el paso de las acciones externas con
los objetos, al plano mental interno, que permite al
alumno poder
operar con ese conocimiento, por lo que esa actividad
deberá estimular el análisis y la
reflexión del contenido que va surgiendo ante
él, para establecer los nexos, las relaciones a partir
de la esencia.

2. Se deberá concebir un sistema de actividades
que ejerciten en las alumnas y alumnos los procesos de
análisis, síntesis,
comparación, abstracción y generalización,
que posibiliten la formación de conceptos y el desarrollo
de los procesos lógicos del pensamiento.

Las actividades que desarrollen los escolares deben permitir
el análisis y la síntesis, de la
clasificación y la comparación, de la
búsqueda de lo esencial, del establecimiento de
relaciones, procedimientos generales cuya adquisición
irá favoreciendo el desarrollo intelectual del alumno y el
autoaprendizaje (aprender a aprender).

En las Ciencias, la solución y planteamiento de
problemas
por parte de los alumnos, debe llevarlos a crear en ellos
contradicciones entre lo que conocen y lo desconocido,
despertar su interés
por encontrar la solución, plantear hipótesis y llegar a realizar
experimentos que permitan comprobarlas, todo lo cual los
puede motivar a buscar información, profundizar en los elementos
precisos para responder a sus interrogantes, y que el aprendizaje
se desvíe de la "adquisición memorística" y
propicie el desarrollo del pensamiento.

3. Concepción de la tarea docente en
función de que permita la búsqueda y a la
revelación analítica del conocimiento.

Las tareas docentes son
aquellas actividades que se orientan para que el alumno las
realice en clases o fuera de esta, implican la búsqueda y
adquisición de conocimientos, el desarrollo de habilidades
y la formación integral de su personalidad (Silvestre
2000).

La actividad planificada para dirigir la actividad
cognoscitiva de los escolares se organiza en diferentes tipos de
tareas, planteadas por el profesor o que surgen en la interacción alumno profesor. Tales tareas
contendrán indicaciones y estas servirán de
guía para la realización de la actividad (la ayuda
del otro).

Las tareas deben estar dirigidas a incidir, tanto en la
búsqueda de la información, al desarrollo de
habilidades, a la formación de puntos de vista, juicios, a
la realización de valoraciones por el alumno, todo lo cual
además de que permite que se apropie de conocimientos,
contribuye al desarrollo de su pensamiento y a la
formación de valores.

Las tareas deben constituir un sistema y estar en
correspondencia con los objetivos que
se trace el docente. Deberán ser suficientes, variadas y
diferenciadas.

4. Desarrollar formas de actividad y de comunicación colectivas, que favorezcan la
interacción de lo individual con lo colectivo en el
proceso de aprendizaje.

La interacción grupal favorece que el alumno se apropie
del contenido de enseñanza siendo protagonista de su
propio aprendizaje, sin desconocer que cada estudiante debe
actuar con independencia
y el papel determinante de la "dirección adecuada" del docente en cada
tipo de actividad.

En la clase de Ciencias deberán prevalecer procesos
comunicativos que respeten y potencien la individualidad de los
integrantes del grupo, estimulando el planteamiento de nuevas
ideas, otorgándole valor a lo que
cada uno de sus miembros exprese.

El intercambio de información, las reflexiones
grupales, la interacción entre sus miembros, favorece el
pensamiento de cada estudiante, le permite confrontar ideas,
completarlas, variarlas e incluso llegar a nuevos planteamientos.
Es decir, el trabajo del
grupo contribuye al desarrollo de cada uno de sus
integrantes.

Las diferentes formas de organización del
proceso docente deberán incluir el trabajo en el
aula y fuera de esta, en grupos, por
equipos (cuatro o cinco estudiantes), por parejas e
individual.

5. Vincular el contenido de aprendizaje con la
práctica social y estimular la valoración por el
alumno en el plano educativo.

El logro de este propósito exige que el alumno logre
identificar las cualidades que le confieren el valor al objeto de
estudio y que realice su valoración, es decir que
encuentre el valor social que posee, así como el sentido
para sí.

Es indiscutible el efecto positivo que se produce en el
estudiante, respecto al aprendizaje de un contenido, el hecho de
que encuentre la utilidad social
que tiene y la utilidad individual que puede reportarle el
conocimiento con el que está interactuando.

La revelación del significado social y la
búsqueda del sentido personal pueden,
por una parte, favorecer el interés del alumno por el
contenido de aprendizaje y, por otra, abrir la posibilidad de
utilizar el contenido con fines educativos.

Por otra parte, la interacción entre los alumnos
durante la actividad en la clase, propiciará diferentes
momentos en que se puedan ejercer importantes influencias
educativas, a partir de la valoración y
autovaloración de su comportamiento
y del resultado de la actividad.

• Tendencias internacionales actuales en la
  enseñanza de la Matemática

M. de Guzmán, 1993[4]identificó,
como resultado de sus observaciones personales, un grupo de
tendencias internacionales en la enseñanza de la
Matemática, que apuntan, a juicio de los autores de este
trabajo, hacia una concepción desarrolladora de la
enseñanza de la Matemática. Estas tendencias
son:

• La educación matemática se debe concebir
  como un proceso de inmersión en las formas propias de
  proceder del ambiente matemático, a la manera como el
  aprendiz de artista va siendo imbuido, como por
  ósmosis, en la forma peculiar de ver las cosas
  características de la escuela en la que se
  entronca.

• Continuo apoyo en la intuición directa de lo
  concreto. Apoyo permanente en lo real. Es necesario cuidar y
  cultivar la intuición en general, la
  manipulación operativa del espacio y de los mismos
  símbolos. Es preciso no abandonar la
  comprensión e inteligencia de lo que se hace, por
  supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por
  entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos
  de nuestra mente en su acercamiento a los objetos
  matemáticos. Si la matemática es una ciencia
  que participa mucho más de lo que hasta ahora se
  pensaba del carácter de empírica, sobre todo en
  su invención, que es mucho más interesante que
  su construcción formal, es necesario que la
  inmersión en ella se realice teniendo en cuenta mucho
  más intensamente la experiencia y la
  manipulación de los objetos de los que surge. La
  formalización rigurosa de las experiencias iniciales
  corresponde a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo
  mental, como a cada etapa

• Hacer hincapié en la transmisión de los
  procesos de pensamiento propios de la matemática
  más bien que en la mera transferencia de contenidos.
  La matemática es, sobre todo, saber hacer, es una
  ciencia en la que el método claramente predomina sobre
  el contenido. Por ello se concede una gran importancia al
  estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la
  psicología cognitiva, que se refieren a los procesos
  mentales de resolución de problemas. En esta
  dirección se encauzan los intensos esfuerzos por
  transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la
  resolución de problemas en general, por estimular la
  resolución autónoma de verdaderos problemas,
  más bien que la mera transmisión de recetas
  adecuadas en cada materia.

Aprovechar al máximo las nuevas
tecnologías. La aparición de herramientas
tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales
está comenzando a influir fuertemente en los intentos por
orientar nuestra educación
matemática primaria y secundaria adecuadamente, de forma
que se aprovechen al máximo de tales instrumentos. Este es
uno de los retos importantes del momento presente.

• La búsqueda de la motivación del alumno
  desde un punto de vista más amplio, que no se limite
  al posible interés intrínseco de la
  matemática y de sus aplicaciones. Se trata de hacer
  patentes los impactos mutuos que la evolución de la
  cultura, la historia, el desarrollo de la sociedad, por una
  parte, y la matemática, por otra, se han
  proporcionado.

• Algunos principios metodológicos aconsejables
  para la enseñanza de la Matemática

El mencionado autor señala, sobre la base de las
tendencias generales analizadas, algunos principios
metodológicos que podrían guiar apropiadamente la
enseñanza de la Matemática en la escuela. Estos
principios, propuestos por M. Guzmán refuerzan la
necesidad de un enfoque desarrollador del proceso de
enseñanza – aprendizaje de esta asignatura. Estos
son:

Hacia la adquisición de los procesos
típicos del pensamiento matemático. La
inculturación a través del aprendizaje activo

El proceso de aprendizaje matemático en cualquier nivel
educacional debe ocurrir, según el autor, de una forma
semejante a la que el hombre ha
seguido en su creación de las ideas matemáticas, de modo parecido al que el
matemático activo utiliza al enfrentarse con el problema
de matematización de la parcela de la realidad de la que
se ocupa.

Se trata, en primer lugar, de poner al alumno en contacto con
la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos
matemáticos que deben explorar los alumnos.
Para ello es importante que el profesor conozca a fondo el
contexto histórico que enmarca estos conceptos
adecuadamente.

Normalmente la historia proporciona una
magnífica guía para enmarcar los diferentes temas,
los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de
la materia, da
luces para entender la razón que ha conducido al hombre para
ocuparse de ellos con interés.

En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a
través del intento directo de una modelización de
la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las
estructuras
matemáticas en cuestión. Se pueden acudir para ello
a las otras ciencias que hacen uso de las matemáticas, a
circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la
presentación de juegos
tratables matemáticamente, de los que en más de una
ocasión a lo largo de la historia han surgido ideas
matemáticas de gran profundidad.

Puestos los estudiantes delante de las situaciones-problema en
las que tuvo lugar la gestación de las ideas que son
objeto de estudio, el profesor debe tratar de estimular su
búsqueda independiente, su propio descubrimiento paulatino
de estructuras matemáticas sencillas, de problemas
interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de
modo natural.

Está claro que el profesor no debe esperar que los
alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad
elaboró tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo
intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la
búsqueda con guía, sin aniquilar el placer de
descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, así como la
detección de técnicas
concretas, de estrategias
útiles de pensamiento en el campo en cuestión y de
su transmisión a los estudiantes.

El contenido de la enseñanza, así concebido,
resulta lleno de sentido, plenamente motivado y mucho más
fácilmente asimilable. Su aplicación a la
resolución de los problemas, que en un principio
aparecían como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser
una verdadera fuente de satisfacción y placer intelectual,
de asombro ante el poder del pensamiento matemático eficaz
y de una fuerte atracción hacia la matemática.

La utilización de la historia en la
enseñanza de la Matemática

El valor del conocimiento histórico no consiste en
tener una batería de historietas y anécdotas
curiosas para entretener a los alumnos a fin de hacer un alto en
el camino.

La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para
entender y hacer comprender una idea difícil del modo
más adecuado. Los diferentes métodos del
pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la
geometría. han surgido en circunstancias
históricas muy interesantes y muy peculiares,
frecuentemente en la mente de pensadores muy singulares, cuyos
méritos, no ya por justicia, sino
por ejemplaridad, es muy útil resaltar.

La historia debería ser un potente auxiliar para
objetivos tales como:

– hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en
matemáticas

– enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas,
problemas, junto con su motivación, precedentes,…

3. La utilización de la heurística
en la enseñanza de la matemática

La enseñanza a través de la resolución de
problemas es actualmente el método más invocado
para poner en práctica el principio general de aprendizaje
activo y de inculturación mencionado en el punto cuando se
hizo el análisis de las tendencias. Lo que en el fondo se
persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera
sistemática los procesos de
pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos
problemas.

La enseñanza por resolución de problemas pone el
énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de
aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor
no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones
privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento
eficaces.

Se trata de considerar como lo más importante:

– que el alumno manipule los objetos matemáticos

– que active su propia capacidad mental

– que ejercite su creatividad

– que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin
de mejorarlo conscientemente

– que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades
a otros aspectos de su trabajo mental

– que adquiera confianza en sí mismo

– que se divierta con su propia actividad mental

– que se prepare así para otros problemas de la ciencia
y, posiblemente, de su vida cotidiana

– que se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la
ciencia.

La forma de presentación de un tema matemático
basada en el espíritu de la resolución de problemas
debería proceder más o menos del siguiente
modo:

propuesta de la situación problema de la que surge el
tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos,
juegos…) — manipulación independiente por los
estudiantes — familiarización con la situación y
sus dificultades — elaboración de estrategias posibles —
ensayos
diversos por los estudiantes — herramientas elaboradas a lo
largo de la historia (contenidos motivados) — elección de
estrategias — ataque y resolución de los problemas —
recorrido crítico (reflexión sobre el proceso) —
afianzamiento formalizado (si conviene) — generalización
— nuevos problemas — posibles transferencias de resultados, de
métodos, de ideas,…

En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia
actividad dirigida con tino por el profesor, colocando al alumno
en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir
descubriendo por sí mismo lo que los grandes
matemáticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas
del procedimiento
bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivación contra aburrimiento,
adquisición de procesos válidos contra
rígidas rutinas inmotivadas que se pierden en el
olvido….

4. Sobre la preparación necesaria para la
enseñanza de la matemática a través de la
resolución de problemas.

La preparación para este tipo de enseñanza
requiere una inmersión personal, seria y profunda. No se
trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino
de adquirir unas nuevas actitudes que
calen y se vivan profundamente.

A mi parecer esta tarea se realiza más efectivamente
mediante la formación de pequeños grupos de
trabajo. El trabajo en grupo en este tema tiene una serie de
ventajas importantes:

– proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al
permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una misma
situación-problema

– se puede aplicar el método desde diferentes
perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo,
otras en el de observador de su dinámica

– el grupo proporciona apoyo y estímulo en una labor
que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por
la constancia que requiere

– el trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar los
progresos que el método es capaz de producir en uno mismo
y en otros

-el trabajo en grupo proporciona la posibilidad de prepararse
mejor para ayudar a nuestros estudiantes en una labor semejante
con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en
diferentes circunstancias y personas.

Algunos de los aspectos que es preciso atender en la
práctica inicial adecuada son los siguientes:

– exploración de los diferentes bloqueos que
actúan en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una
actitud sana y
agradable frente a la tarea de resolución de problemas

– práctica de los diferentes métodos y
técnicas concretas de desbloqueo

– exploración de las aptitudes y defectos propios
más característicos, con la elaboración de
una especie de autorretrato heurístico

– ejercicio de diferentes métodos y alternativas

– práctica sostenida de resolución de problemas
con la elaboración de sus protocolos y su
análisis en profundidad

5. La necesidad de una adecuada motivación
y presentación

Los alumnos se encuentran intensamente bombardeados por
técnicas de comunicación muy poderosas y
atrayentes. Es una fuerte competencia con
la que se enfrenta el profesor en la enseñanza cuando
trata de captar una parte substancial de su atención. Es necesario que el profesor lo
tenga en cuenta constantemente y que el sistema
educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como
el vídeo, la
televisión, la radio,
el
periódico.

6. Fomentar el gusto por la Matemática

La actividad física es un placer
para una persona sana. La
actividad intelectual también lo es. La matemática
orientada como saber hacer independiente, bajo una guía
adecuada, es un ejercicio atrayente. De hecho, una gran parte de
los niños
más jóvenes pueden ser introducidos de forma
agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el
inicio razonable de un conocimiento matemático. Lo que
suele suceder es que los profesores no ha sabido mantener este
interés y ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo
el desarrollo matemático del niño. El gusto por el
descubrimiento en matemáticas es posible y fuertemente
motivador para superar otros aspectos rutinarios necesarios de su
aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. La
apreciación de las posibles aplicaciones del pensamiento
matemático en las ciencias y en las tecnologías
actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas
más orientadas hacia la práctica. Otros se
sentirán más movidos ante la contemplación
de los impactos que la matemática ha ejercido sobre la
historia y filosofía del hombre, o ante la biografía de tal o
cual matemático famoso.

Es necesario romper, con todos los medios, la
idea preconcebida, y fuertemente arraigada en las personas,
proveniente con probabilidad
de bloqueos iniciales en la niñez de muchos, de que la
matemática es necesariamente aburrida, abstrusa,
inútil, inhumana y muy difícil.

Los aspectos abordados hasta aquí, a juicio de la
autora de este trabajo, deben tomarse en consideración al
diseñar e implementar cualquier estrategia didáctica para la enseñanza de la
Matemática en el contexto actual de las transformaciones
que se ejecutan en la Educación Secundaria Básica
cubana.

Diseño de la estrategia didáctica para estimular y propiciar el
aprendizaje desarrollador en la enseñanza de la
Matemática en la Educación Secundaria

La estrategia elaborada tiene como objetivo
general diseñar un conjunto de acciones para
ejecutar el proceso de enseñanza – aprendizaje,
durante el desarrollo de la clase, de manera que promueva y
estimule el aprendizaje desarrollador

Descripción de la estrategia
didáctica

La estrategia didáctica que se propone incluye un
conjunto de acciones a ejecutar por el profesor durante le
ejecución y evaluación
del proceso de enseñanza – aprendizaje en una
video clase,
una clase de software y una clase de
repaso.

Primera etapa: Ejecución del proceso de
enseñanza – aprendizaje

Esta etapa tiene dos fases, que son:

• I. Fase de preparación del
  alumno para la clase

• II. Fase de desarrollo de la
  clase

Primera fase: Preparación del alumno
para la clase de repaso, video clase o clase de software

Un aspecto importante en el desarrollo de una clase, video
clase o clase de software, lo constituye la fase introductoria
o preparatoria, cuya función fundamental es la
preparación didáctica, entendida como la
reactivación de los conocimientos y capacidades que son
necesarios para comprender lo nuevo.

En esta fase preparatoria se destacan tres tareas
fundamentales:

• 1. El repaso y la comprobación de los
  conocimientos, habilidades y capacidades ya asimilados por el
  alumno.

• 2. Reproducir o preparar los conceptos e ideas
  necesarias para elaborar un nuevo contenido.

• 3. Despertar el interés y la atención
  de los alumnos por el estudio del nuevo contenido
  (Motivación)

• 4. Planteamiento del objetivo

Para lograr el efecto deseado de esta fase, el profesor debe
estar claro que estas tareas no se realizan por separado, el
éxito
de esta fase radica cuando éste es capaz de relacionar las
cuatro tareas mediante el planteamiento de preguntas, o
dirigiendo la conversación de repaso de tal forma que
éste se convierta simultáneamente en una introducción de lo nuevo. La tercera tarea
constituye un elemento de particular importancia que determina en
gran medida el éxito de la clase.

Recordemos que por interés se entiende una actitud
específica, cognoscitiva ante los objetos y
fenómenos de la realidad, una relación con el
objeto que crea en el alumno la tendencia de dirigir la
atención preferentemente hacia él y por
atención se entiende la orientación y
concentración de la conciencia en un
determinado fenómeno, problema, etc.

En relación con la tercera tarea, es importante
destacar que de la forma en que se obtenga el objetivo depende
que el proceso de orientación se ponga en marcha
realmente. El objetivo puede ser "comunicado", "dado a conocer" o
"indicado"; totalmente preparado por el maestro o también
desarrollado o elaborado.

Resulta obvio que la elaboración o desarrollo de un
objetivo es didácticamente más valioso que una
simple indicación del mismo, que es lo que generalmente se
observa en la práctica diaria de un gran número de
docentes. La aparente ventaja en la simple comunicación
del objetivo, suponiendo que sea un ahorro de
tiempo, en la
mayoría de los casos no es suficiente, porque la
deficiente orientación de los alumnos hacia un objetivo
actúa negativamente sobre el desarrollo y resultados del
aprendizaje.

Lo más recomendable, para garantizar una correcta
orientación del objetivo, es desarrollarlo o elaborarlo
(mediante un problema o situación problemática, el
desarrollo de una idea conductora, una hipótesis,
etc.)

A continuación se muestra, mediante
ejemplos de Matemática, cómo se realiza esta fase
introductoria o preparatoria

En la clase: Introducción al concepto
ecuación cuadrática. Método de
resolución por descomposición en factores. El
profesor puede orientarle a los a los alumnos la siguiente
situación problemática:

1. La longitud de los lados de un triángulo ABC,
rectángulo en C, están dadas por las expresiones:
AB = 2x + 3; BC = x y AC= 3x – 3. Calcula el perímetro del
triángulo.

En lugar de dar o plantear una situación
problemática se ofrecen varias, de modo que el alumno
pueda escoger la que desee. Para que el alumno solucione este
ejercicio el profesor puede formular las preguntas
siguientes:

¿Cómo se calcula el perímetro de un
triángulo?

¿Qué relación existe entre los tres lados
de un triángulo rectángulo?

Una vez recordado estos contenidos el alumno los aplica
consecuentemente y llega a obtener una ecuación de la
forma que
evidentemente no puede resolver.

¿Es resolvible esa ecuación? ¿Qué
necesitamos?

Actividades como estas permiten relacionar las tareas de la
fase introductoria o preparatoria de la clase, para llegar a
definir el problema objeto de estudio.

Problema: definir este tipo de ecuaciones y
buscar un procedimiento que permita resolverlas

Acciones a ejecutar
en esta fase

• 1. Diseñar las situaciones
  problemáticas que se presentarán a los alumnos.
  En esta acción es muy importante que el profesor tenga
  en cuenta los resultados del diagnóstico de cada uno
  de los alumnos del aula, no solo en lo que respecta a su
  nivel de preparación y desarrollo, sino
  también, a sus gustos, intereses y preferencias.

• 2. Orientar la tarea (situación
  problemática)

• 3. Organizar la participación de los alumnos
  para la ejecución de la tarea. Estas pueden realizarse
  individualmente o de forma colectiva (por parejas, en
  pequeños grupos).

• 4. Estimular a los alumnos mediante impulsos para que
  logren identificar el problema que debe resolverse en la
  clase, video clase o clase de software o comprender la
  necesidad de ocuparse del estudio del problema.

• 5. Presentar la Guía de Observación de
  la videoclase, precisando aquellos aspectos del contenido a
  los que los alumnos deben prestar atención, es decir,
  conocimientos, procedimientos, etc. (válida solamente
  para las videoclases).

• 6. Orientar a los alumnos que anoten cuidadosamente
  todas las dudas o inquietudes en relación con los
  contenidos o ejercicios que se abordan en la video clase

Segunda Fase: Desarrollo de la:

• Video clase

• Clases de software

• Clases de repaso

Acciones a ejecutar en esta fase:

A) En las videoclases de contenido:

1. Organizar los alumnos en torno al
televisor para la observación de la video clase.

2. Utilizar los recursos
necesarios para concentrar la atención de los alumnos,
evitando que estos se distraigan y pierdan el hilo conductor de
las explicaciones y ejemplificaciones que realice el tele –
profesor.

3. Realizar el debate
dirigido una vez concluida la observación de la video
clase. Para ello puede utilizar preguntas que obliguen al alumno
a reflexionar sobre lo observado y tareas que exijan de un
razonamiento previo, tanto desde el punto de vista
matemático como lógico.

4. Ofrecer los niveles de ayuda necesarios a cada alumno en
correspondencia con su nivel de preparación y
desarrollo.

5. Orientar las actividades del software
educativo para el estudio independiente en correspondencia
con las necesidades de cada alumno. Estas pueden ser de
carácter teórico o práctico.

6. Orientar tareas que impliquen una búsqueda o una
pequeña investigación por parte de los alumnos y
que estén relacionadas con el origen o desarrollo de los
contenidos que se abordan en la video clase. Estas tareas pueden
ser: origen de las ecuaciones cuadráticas, Método
empleado por All Khuwarizmi para resolver las ecuaciones
cuadráticas. Datos
biográficos de Diofanto, etc.

B) En las video clase de resolución de ejercicios y
problemas

Además de ejecutar las acciones 1) y 2) indicadas para
las video clase de contenidos, se ponen en práctica las
siguientes:

3. Realizar reactivaciones explícitas del contenido
asimilado y que pueden ser útiles para la
realización de los ejercicios.

4. Ofrecer niveles de ayuda (impulsos) a los alumnos que
presenten dificultades con la realización de los
ejercicios.

5. Proponer ejercicios auxiliares que sirvan de apoyo para
comprender y realizar los ejercicios indicados por el tele –
profesor.

6. Enseñar a los alumnos estrategias de aprendizaje
para el autocontrol del ejercicio y no esperar necesariamente a
la solución que se explica por el tele – profesor.

7. Analizar otras variantes de solución de los
ejercicios y problemas.

8. Proponer otros ejercicios que integren y sistematicen los
conocimientos y procedimientos empleados en la realización
de los ejercicios propuestos en la video clase. Pueden ser
tomados del L/T, de la Matemática Recreativa, etc.

C) En las clases de software

1. Utilizar el módulo de contenido para reactivar los
conocimientos, métodos y procedimientos que se requieren
para realizar las softareas que se han planificado.

2. Orientar los ejercicios en correspondencia con el nivel de
preparación y desarrollo de cada alumno.

3. Supervisar la realización del ejercicio. Para ello
se pueden utilizar varios procedimientos: 1) pedir a los alumnos
que se equivoquen que desarrollen el ejercicio en sus cuadernos,
2) pedir a los alumnos que hayan acertado en la respuesta que lo
desarrollen en sus cuadernos para comprobar la solución,
3) pedir a los alumnos que comenten la vía de
solución como una manera de explicitar sus razonamientos,
4) remitir a los alumnos que presenten dificultades al
módulo de contenido.

D) En las clases de repaso

1) Sistematizar y generalizar conocimientos y procedimientos
previamente asimilados por los alumnos y que sean útiles
para resolver los ejercicios y problemas que se orientarán
durante la clase.

2) Proponer ejercicios y problemas:

a) que permitan valorar el nivel de desempeño cognitivo de los alumnos.

b) que sen diferentes entre sí para evitar la
transferencia rutinaria y esquemática de conocimientos,
métodos y procedimientos de solución.

c) que exijan de la integración de conocimientos.

d) de final abierto

3) Ofrecer niveles de ayuda a los alumnos que lo
requieran.

4) Utilizar la solución de ejercicios y problemas en
grupo para propiciar el intercambio de ideas y opiniones en
cuanto a las vías de solución.

5) Entrenar a los alumnos en la utilización de los
procedimientos y estrategias heurísticas.

6) Analizar y generalizar las estrategias de aprendizaje
empleadas por aquellos alumnos que demuestren tener éxito
en la solución de los ejercicios y problemas.

7) Utilizar distintas formas de repaso: encuentros de
conocimientos, juegos didácticos, etc.

Segunda etapa: Evaluación del
aprendizaje

El desarrollo del PEA, requiere como toda actividad, el
control de sus
progresos y resultados para comprobar la correspondencia de los
mismos con los objetivos planteados. La evaluación, como
función de la dirección, constituye por tanto un
elemento importante en la enseñanza desarrolladora.

En una enseñanza desarrolladora, la evaluación
debe contribuir a un diagnóstico dinámico, continuo e
integral del estudiantado. Por lo tanto, las actividades
evaluativas y los instrumentos de evaluación deben
propiciar el diagnóstico de la actividad intelectual
productivo-creadora (de su componente procesal y operacional) y
del desarrollo alcanzado en las habilidades de reflexión y
regulación metacognitiva. Deben ir dirigidas igualmente a
determinar en qué medida el aprendizaje realizado por
los/las estudiantes es significativo y cómo logra
implicarse en la formación de motivaciones, sentimientos,
actitudes y valores. Debe poner el énfasis en establecer
la calidad de los
nuevos aprendizajes, es decir, su solidez y duración, sus
posibilidades de ser recuperado, generalizado y transferido a
nuevas situaciones, es decir, su funcionalidad. Y finalmente,
debe ofrecer indicaciones a los/las docentes para determinar en
qué medida estos aprendizajes están promoviendo el
crecimiento personal de los/las aprendices, de su capacidad de
aprender a aprender, y de su disposición para hacerlo
permanentemente.

Acciones a ejecutar durante esta etapa

1. Determinar el contenido objeto de evaluación
¿Qué se evalúa?

El/la docente evaluará todos los elementos integrantes
del proceso desarrollado. El contenido de la evaluación
está condicionado por la concepción desarrolladora
de proceso de enseñanza aprendizaje asumida. Así
evaluará fundamentalmente:

• El nivel de desarrollo alcanzado por el estudiante en la
  apropiación del contenido. ¿De cuál
  contenido? De aquellos elementos que, de acuerdo con la
  concepción de aprendizaje adoptada, integran el
  contenido necesario para el logro de los objetivos propuestos
  como, por ejemplo, conocimientos, habilidades, procesos,
  estrategias, sentimientos, valores, y otros.

• El desempeño de los protagonistas, cada uno en el
  rol que le corresponde: los estudiantes en la
  apropiación creadora de los contenidos, y los
  docentes, en la organización de las tareas y
  condiciones para una apropiación de esta
  naturaleza.

• El diseño del proceso. Es importante para el
  profesor valorar cómo la clase cumple su
  función desarrolladora, lo que supone
  comprobar su funcionamiento como microsistema, y cada uno de
  sus componentes en su interrelación.

• Los métodos de aprendizaje y de enseñanza
  planificados, pues este componente, como momento de
  concreción del diseño del proceso, constituye
  un elemento integrador por excelencia, y su
  valoración hace "emerger" los problemas y dificultades
  más significativos que pueden encontrarse en otros
  elementos y aspectos del proceso.

• El propio componente evaluativo, su planificación,
  los instrumentos elaborados y aplicados, así como su
  procesamiento. Esto resulta muy necesario, pues a veces los
  resultados de la evaluación resultan insatisfactorios
  y se buscan las causas en diferentes factores, aunque
  generalmente no se cuestiona la pertinencia de los criterios
  valorativos asumidos, ni de los instrumentos y
  técnicas aplicadas para la evaluación

2. Seleccionar los métodos, procedimientos y los
instrumentos para evaluar ¿Cómo se evalúa?
¿Con qué se evalúa?

La selección
de los métodos, procedimientos y los instrumentos de
evaluación constituye también una
problemática para los/las, quienes generalmente, cuando
piensan en métodos, piensa en "la clase que da", en el
contenido nuevo que el alumno aprende. Sin embargo, al
diseñar este componente, el profesor debe determinar
cuáles acciones evaluativas debe desarrollar con sus
estudiantes para garantizar una información confiable,
objetiva y válida.

La preparación de pruebas,
exámenes, preguntas, tareas individuales y grupales,
teóricas y prácticas, actividades investigativas,
entre otros procedimientos de evaluación, constituye
también un aspecto al que el profesor debe prestar
atención y por tanto, debe preparase para ello. Los
diferentes contenidos de enseñanza-aprendizaje exigen de
formas diferentes de evaluación. Técnicas y
procedimientos tan disímiles de evaluación como la
observación, los registros
anecdóticos y los diarios de clase, los textos escritos,
producciones plásticas y musicales y otros productos de
la actividad, los juegos de simulación
y dramáticos, las entrevistas,
los diálogos, debates y asambleas, entre otros, permiten a
los maestros y maestras buscar creadoramente alternativas para
caracterizar el estado
actual y potencial de sus estudiantes no sólo en
relación con los contenidos conceptuales, sino
también con los contenidos procedimentales y
afectivos-valorativos.

3. Determinar el momento adecuado para evaluar
¿Cuándo se evalúa?

Siempre, evaluando en cada momento lo que se necesite.
Así el profesor evaluará la marcha
sistemática del proceso, mediante variadas actividades e
instrumentos acorde con la diversidad de tareas desarrolladas por
el alumno durante el aprendizaje.

La evaluación parcial será determinada por el
docente acorde con los momentos en que deben evidenciarse saltos
cualitativos en el estudiante acorde con el diseño de su
curso y/o la estrategia elaborada. Así será al
terminar varias unidades, o al final de cada bloque de contenido.
Esta evaluación se fundamenta en la sistematización
de los contenidos que el estudiante va desarrollando.

Es importante destacar que aún cuando no haya examen o
prueba final, o no exista una actividad dedicada exclusivamente a
la evaluación final, los objetivos generales o finales de
la asignatura deben ser evaluados, pues estos revelan, en primer
lugar, el mayor nivel de generalidad y sistematización de
los conocimientos, habilidades y valores de los que deben
apropiarse los/las estudiantes. En segundo lugar, de violarse
este nivel, la comprobación de la efectividad y
pertinencia de los niveles superiores del proceso
resultaría mutilada.

4. Dar participación a los alumnos/alumnas en su
evaluación.

Durante mucho tiempo, el proceso de control y
evaluación se ha visto como una tarea propia y
única del profesor. En los marcos de esta
concepción de enseñanza – aprendizaje donde
el alumno es considerado como centro y protagonista activo, y los
métodos conducen a la participación consciente y
autorregulada del estudiante en el proceso, resulta esencial
pensar en la necesidad de cambios en la concepción del
control y la evaluación. En este sentido, la
evaluación no es prerrogativa exclusiva de profesores y
profesoras. Los/las estudiantes participan en su
evaluación (aprenden a autoevaluarse objetivamente y a
evaluar igualmente a sus compañeros) como vía para
la autorregulación de su aprendizaje.

En este sentido, otro elemento de la concepción de
enseñanza – aprendizaje planteada que corrobora la
necesidad de asumir vías diferentes –que incluyan a
los/las aprendices- para el control y la evaluación, es el
relacionado con la importancia asignada a la metacognición.

Conclusiones

Como resultado de la
investigación realizada se pudo arribar a las
siguientes conclusiones:

• 1. Para que un alumno de la educación
  secundaria sea capaz de solucionar problemas propios de las
  diferentes asignaturas y de la vida cotidiana, con una
  actuación transformadora y valorativa, aplicar los
  conocimientos asimilados, emplear de estrategias y
  técnicas de aprendizaje específicas, y actuar
  con un nivel de independencia y autorregulación de su
  conducta adecuado a su edad, tal y como se declara en el
  Modelo de Secundaria Básica resulta imprescindible el
  enfoque desarrollador del proceso de enseñaza –
  aprendizaje en todas las asignaturas del
  currículo.

• 2. El enfoque desarrollador del proceso de
  enseñaza – aprendizaje de la Matemática
  en la escuela cubana, en particular en la Educación
  Secundaria Básica, no puede estar ajeno a las
  exigencias que plantea la concepción desarrolladora de
  las Ciencias, ni a las tendencias actuales internacionales de
  la enseñanza de esta ciencia, las cuales aportan
  elementos esenciales para diseñar, ejecutar y evaluar
  el proceso.

• 3.  La concepción de una estrategia para la
  enseñanza de la Matemática en la Secundaria
  Básica, en el contexto actual de las transformaciones
  que se realizan en este nivel educacional, que propicie un
  aprendizaje para toda la vida, debe estar sustentada en: a)
  la relación entre educación, desarrollo y
  aprendizaje, b) el enfoque desarrollador del proceso de
  enseñanza – aprendizaje, y c) en el enfoque
  desarrollador de la enseñanza de las ciencias.

Bibliografía

ABREU, EDDY Y NOCEDO, IRMA: Metodología de investigación
Pedagógica y Psicológica, 2da parte, EDITORIAL
Pueblo y Educación, LA HABANA, 1984.

ALVAREZ, CARLOS Y ELVIA MARÍA GONZÁLEZ.
Lecciones de didáctica general. Editorial
Edilnaco Ltda, Colombia,
1998.

ALEJO MARTÍNEZ, PEDRO A. Una alternativa
didáctica para estimular el desarrollo de la creatividad de
los alumnos de secundaria básica en la enseñanza de
la Matemática.- 2008.- Tesis de Maestría.-
Cienfuegos.- 2008.- 80h

ARTEAGA VALDÉS, ELOY. Las tareas formales y de
contenido en el diagnóstico en la asignatura
Matemática. – Revista
Electrónica Xixim, (Querétaro),
2003

_____________________. El sistema de tareas para el trabajo
independiente creativo en la enseñanza de la
Matemática en el preuniversitario. – 2001. –
Tesis
Doctoral-. – Cienfuegos. – 2001.- 120h

______________________. La contribución de los
problemas matemáticos cerrados heurísticos y
abiertos al desarrollo de las potencialidades creativas de los
alumnos. – Revista electrónica Más educativa,
(Barcelona). 2001

CASTELLANOS, DORIS Y MARÍA DOLORES CÓRDOVA.
Hacia una comprensión de la inteligencia. En:
SELECCIÓN DE ARTÍCULOS:"La inteligencia:
un acercamiento a su comprensión y
estimulación". Serie Varona. La Habana, 1995

COLL, CESÁR. Interacción entre los alumnos y
aprendizaje escolar / C. Coll y R. Colomina .- En Desarrollo
Psicológico y Educación / C. Coll, J. Palacios y A.
Marchesi . – Madrid:
Alianza Editorial, S.A., 1993.

COLECTIVO DE AUTORES. Pedagogía. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana, 1984.

Compendio de Pedagogía. –La Habana: Editorial Pueblo y
Educación, 2003. –354p.

DANILOV, M. A. Didáctica de la Escuela Media
/ M. A. Danilov, M. N. Skatkin. – La Habana: Editorial
Libros para la
Educación, 1978.- 366p

EDGARDO BIANCHI, ARIEL . Del Aprendizaje a la
Creatividad. – Buenos Aires:
Ediciones Braga, S.A. , 1990. – 279p.

FARIÑAS LEÓN , GLORIA. Maestro. Una estrategia
para la enseñanza . – La Habana : Editorial
Academia, 1995.

GIL PÉREZ DANIEL y GUZMÁN OZÁMIZ MIGUEL.
Enseñanza de las Ciencias y la Matemática.
Tendencias e Innovaciones.- Organización de Estados
Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la
Cultura.- Editorial Popular. – 1993.- 93p

GONZÁLEZ SOCA, ANA MARÍA REINOSO CÁPIRO,
CARMEN. Nociones de sociología, psicología y
pedagogía.- la Habana: Editorial Pueblo y
Educación, 2004.- p.72

GONZÁLEZ SOCA, ANA M, RECAREY FERNÁNDEZ, SILVIA
y ADDINE FERNÁNDEZ, FÁTIMA C. El proceso de
enseñanza – aprendizaje: un reto para el cambio
educativo, en Didáctica: teoría
y práctica, Editorial Pueblo y Educación, La
Habana, 2004, pp. 43 –65.

GONZÁLEZ, FERNANDO. Comunicación,
personalidad y desarrollo. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana, 1995.

GONZÁLEZ, FERNANDO Y ALBERTINA MITJANS. La
personalidad. Su educación y desarrollo. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana, 1989.

Hacia una concepción del aprendizaje desarrollador.
Colección Proyectos.
Colectivo de autores.- p 35

LABARRERE, GUILLERMINA Y GLADYS VALDIVIA.
Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación,
La Habana, 1988.

MAJMUTOV, M. I. La Enseñanza Problémica. — La
Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1983. – 371p.

MARCHESI, ÁLVARO Y ELENA MARTÍN. Calidad de
la enseñanza en tiempos de cambio. Alianza Editorial,
Madrid, 1998.

Modelo de Secundaria Básica. Colectivo de
Autores. Editorial: Molinos Trade, S.A., 2007.- 93p

Pedagogía. La Habana: Editorial Pueblo y
Educación, 1981.390p.

Pedagogía/ G. Neuner y otros. La Habana: Editorial
Libros para la Educación, 1978. – 476p

PÉREZ, ANGEL. Los procesos de
enseñanza-aprendizaje: análisis didáctico de
las principales teorías del
aprendizaje. En: J. Gimeno Sacristán y A. L.
Pérez (Eds.), Comprender para transformar la
enseñanza. Ediciones Morata, Madrid, 1992.

PUJOLÁS MASET, PERE. Atención a la diversidad y
aprendizaje cooperativo en la educación obligatoria.
– Granada: Ediciones ALJIBE, 2001. – 203p.

RICO, PILAR Y MARGARITA SILVESTRE. El proceso de
enseñanza-aprendizaje. ICCP, La Habana, 1997.

__________. La Actividad Docente. Algunas Consideraciones.
– pp. 56 – 62. – En Revista Educación (La
Habana). – No. 58, jul.- sept. 1985.

_________. Reflexión y Aprendizaje en el Aula. –
La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1996. –
52pSEMINARIO NACIONAL PARA EDUCADORES. –La Habana: Ed. Juventud
Rebelde, 2001. 15p

SILVESTRE, MARGARITA Y JOSÉ ZILBERSTEIN.
¿Cómo hacer más eficiente el
aprendizaje?. Ediciones CEIDE, México,
1999.

YAKOLIEV, NICOLAI: Metodología y técnica de la
clase, EDITORIAL de libros para la educación. LA HABANA,
1979.

ZILBERSTEIN TORUNCHA JOSÉY PORTELA FALGUERAS
ROLANDO. Una concepción desarrolladora de
la
motivación y el aprendizaje de las ciencias. IPLAC.-
2002.-42p

Anexos

Clases de repaso desarrolladas en la ESBU: 5 de Septiembre
del municipio de Cienfuegos donde se aplicó la estrategia
didáctica

Clase de repaso # 11, dado que era la primera clase de
repaso, se tuvo presente que un primer repaso, es decir,
inmediatamente después de haber introducido el contenido,
tiene carácter de profundización, luego se
planteó en la fase de motivación la siguiente
situación problemática:

El área de un rectángulo es de 24 unidades
cuadradas y su ancho es de 3 unidades. ¿Cuál es el
valor de p en la ecuación cuadrática si se sabe que una de las
soluciones de dicha ecuación es numéricamente igual
a la longitud del lado de dicho rectángulo.

Este ejercicio se formuló para todos los alumnos y se
pidió que lo resolvieran en parejas. A algunos alumnos que
presentaba dificultades en la asignatura se les brindaron las
ayudas siguientes:

¿Cómo se calcula el área de un
rectángulo?

¿Cómo se puede calcular la longitud del lado que
se desconoce?

¿Si una de las soluciones de la ecuación es
¿Cómo
podemos calcular el valor de p?

Todos los alumnos pudieron resolver el ejercicio sustituyendo
el valor hallado en la ecuación y despejando
posteriormente el valor de p.

Luego el profesor planteó la siguiente situación
problémica ¿Cómo hallar los valores de
p y q, conociendo las soluciones de la ecuación?

Dado que los alumnos todos manifestaron la imposibilidad de
dar respuesta a esta pregunta problémica, entonces el
profesor explicó que existe una relación entre las
soluciones de la ecuación y el valor de sus
coeficientes.

Ya en la fase de desarrollo de la clase se subdividió
el grupo clase en pequeños subgrupos de 4 estudiantes. A
cada subgrupo se le orientó el ejercicio siguiente:

Resuelve las ecuaciones siguientes:

7.1. Calcula en cada caso

7.2. Compare los resultados obtenidos con el coeficiente de la
x y con el término independiente

7.3. ¿A qué conclusión puedes llegar?

7.4. Resuelve la ecuación 2×2 – 11x +14=0 y
compruebe si sucede lo mismo

7.5. Completa los espacios en blanco:

Si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación
cuadrática de la forma x2 + px + q = 0, entonces se cumple
que:

X1 + X2 = _____

X1 . X2 = ______

Como se puede apreciar este es un ejercicio portador de nueva
información, que le permite a los alumnos descubrir
mediante una generalización la relación que existe
entre las soluciones de una ecuación cuadrática de
la forma x2 + px + q = 0 y el valor de los coeficientes p y q.
Esto no es otra cosa que el teorema de Vieta, que luego
estudiarán en el 10mo grado. De modo que a esto
último no se hará referencia en la clase.

Concluida la realización del ejercicio se
analizó en el grupo grande la solución.
Quedó a cargo del profesor hacer algunas precisiones y
aclaraciones.

En la clase se plantearon otros ejercicios como los
siguientes:

Para el primer nivel de desempeño:

1. Escribe las ecuaciones de la forma que tienen las soluciones que se indican en
cada caso

• a) x1 = 2 y x2 = 9

• b) x1 = 7 y x2 = 49

• c) x1 = 0.5 y x2 = 0.25

Para el segundo nivel de desempeño:

1. Determine para qué valores de m la ecuación
tiene
solución única.

2. Averigua los valores que debe tomar p para que la
ecuación tenga soluciones iguales.

Para el tercer nivel de desempeño:

1. Para las soluciones de la ecuación se cumple que: Determina el valor de q.

2. Demuestra que la suma de las dos soluciones de la
ecuaciónes –
b/a y su producto
c/a.

3. Determina K en la ecuación de modo que una de las soluciones sea
x=4.

4. Averigua los valores que debe tomar K para que la
ecuación tenga dos soluciones iguales.

5. Determina K en la ecuación de modo que entre las soluciones x1 y x2
exista la siguiente relación:

a) x1 = x2

b) x1 = -4×2

La clase de repaso # 12, se motivó con la siguiente
situación problemática:

Cada graduado de 9no grado escribe la dirección de los
demás alumnos del aula En total se copian 600 direcciones.
¿Cuántos alumnos tiene el aula?

Durante el desarrollo de esta clase se ejemplificó a
los alumnos el programa
heurístico general para la resolución de
problemas.

– Orientación hacia el problema :

P: Lee detenidamente el problema y exprésalo con tus
palabras. ¿De qué se trata el problema?

¿Qué debemos hallar?

¿Qué datos nos dan?

¿Qué podemos hacer en este caso?

¿Cómo pudiéramos representar la
situación planteada?

¿Cómo podemos escribir el número de
alumnos y de direcciones que escribe cada alumno?

¿Es necesario introducir variables?
¿Cuál? ¿Qué representa?

-Trabajo con el problema

¿Pudiéramos establecer alguna relación
entre los elementos dados y buscados?

¿Cómo?

¿Qué nos hace falta para hallar la
solución?

¿Es posible plantear una ecuación que nos
permita hallar la solución del problema?

Si cada graduado escribe la dirección de los
demás alumnos del aula ¿Cómo
pudiéramos expresar el total de direcciones?

-Solución del problema

El alumno ejecuta el plan de
ejecución.

n (n-1)=600

n2- n – 600=0

(n -25) (n+24)=0

n1 = 25 n2 = – 24

Evaluación de la solución y de la vía de
solución

Comprobación del problema en el texto y el
análisis de las otras vías de solución. Con
la finalidad de que los alumnos fijen los conocimientos
adquiridos en la unidad

Durante el desarrollo de la clase se plantearon otros
problemas como los siguientes:

Para el primer nivel de desempeño:

1. Descomponer el número 15 en dos factores cuyo
producto sea 54

2. Halla un número positivo cuyo cuadrado, sumado con
el doble del número, da 48

3. El producto de dos números consecutivos es 210.
¿Cuáles son los números?

4. Halla un número positivo, tal que su cuadrado excede
en 55 al séxtuplo del mismo número

Para el segundo nivel de desempeño:

1. Dos números difieren en 4, y la suma de sus
cuadrados es 250. ¿Cuáles son estos
números?

2. Halla dos números positivos cuya diferencia sea 2 y
el producto es 8.

Para el tercer nivel de desempeño:

1. Halla un número de dos cifrasen que la cifra de las
decenas es igual al cuadrado de la cifra de las unidades, y la
suma de las dos cifras sea 12.

2. Hállense tres números consecutivos en los que
el cuadrado del número del medio sea mayor en una unidad
al producto de los dos restantes.

3. Leonard Euler, fue un matemático suizo. A el se debe
e siguiente problema:

Dos campesinas llevaron al mercado 100
huevos en total; una de ellas tenía una cantidad mayor de
huevos que la otra, no obstante ambas obtuvieron por la venta iguales
sumas de dinero. Una de
ellas le dijo a la otra: "Si yo tuviera tus huevos ganaría
15 pesos. La segunda le contestó: "Y si yo tuviera los
tuyos, obtendría por ellos pesos. ¿Cuántos huevos
tenían cada una?

4. Se quiere calcular mentalmente sin realizar todos los
cálculos señalados, el siguiente cociente:

para realizar
este cálculo,
es necesario determinar los números de la serie de
Rachinski, que cumple las propiedades siguientes:

• a) son cinco números consecutivos.

• b) La suma de los cuadrados de las tres primeras
  cifras es igual a la suma de los cuadrados de otras dos.

¿Puede ustedes determinar los números que
integran esta serie?

En la orientación del estudio independiente se le
orientó a los alumnos que trabajaron en estos dos
ejercicios que recopilarán datos biográficos de
Euler.

Se les dio a conocer, además, que Rachinski fue un
catedrático ruso, profesor de Ciencias
Naturales de la Universidad.

Para este grupo de estudiantes se orientó además
el ejercicio siguiente:

En una fiesta de graduación de un grupo de 9no grado de
una Secundaria Básica, todos los asistentes se estrecharon
la mano en señal de despedida. En total se produjeron 66
apretones de mano. ¿Cuántos fueron los
graduados?

La clase de repasó # 13, se motivó con la
siguiente situación problemática,
relacionada con la vida:

1. El huerto de una escuela tiene forma de rectángulo,
cuyos lados miden 30,5 m y 29,7 m, respectivamente. Se pretende
hacer una remodelación de las dimensiones de este,
según se muestra en la figura siguiente y de manera que su
área aumente hasta 1721 m2: ¿Cuánto debe
medir x en estas circunstancias?

Una vez planteado el problema a todo el grupo se
subdividió en pequeños grupos de 4 estudiantes cada
uno para que intentaran resolver el problema, se les
informó a los alumnos que emplearán los pasos que
se estudiaron en la clase anterior.

Mientras los alumnos trabajaban en la solución del
ejercicio, el profesor dio algunos impulsos útiles para
resolver el problema.

Concluido el ejercicios se expuso por los integrantes de un
subgrupo la solución y a partir de aquí se
explicó cómo un ejercicio geométrico de
cálculo podía resolverse con ayuda de las
ecuaciones cuadráticas, lo cual se continuaría
trabajando en la clase.

En el desarrollo se propusieron otros ejercicios como los
siguientes:

Para el primer nivel de desempeño:

1. El lado mayor de un rectángulo es 4,0cm mayor que el
lado menor. Calcula la longitud del lado menor si se sabe que su
área es de 60 cm2

2. Un triángulo tiene 3,0cm más de altura que de
base y su área es 20 m2 . Halla la longitud de su base y
de su altura.

Para el segundo nivel de desempeño:

1. La base mayor de un trapecio mide 12mm y la altura es el
doble de la base menor. Si el área es igual a 160 mm2,
¿cuánto miden la base menor y la altura?

2. la diferencia entre el valor numérico del
perímetro y el área de un cuadrado es 3, siendo el
área el número menor. Halla la longitud del lado
del cuadrado.

3. Un jardín de forma rectangular tiene 2700 m2 de
superficie y su perímetro mide 210 m. Cuáles son
sus dimensiones.

Para el tercer nivel de desempeño:

1. El perímetro del fondo cuadrado de un
depósito es 96 m menor que el número de metros
cuadrados del mismo fondo del depósito.
¿Cuál es la longitud del lado?

2. En un terreno rectangular, el largo es el doble del ancho.
Si el largo aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se
duplica. Halla las dimensiones del terreno.

3. Un parque tiene 480 m de largo y 320 m de ancho. Se decide
duplicar su área, conservando la forma rectangular. Para
ello se añaden dos franjas de terreno de igual ancho a dos
lasos consecutivos. Halla el ancho de las franjas.

3. Comprueba que la diferencia entre las áreas de un
triángulo rectángulo isósceles de lados a+b
y otro triángulo rectángulo escaleno de lados a+b y
a-b (a>b) es igual al área de un rectángulo de
lados a+b.

Como se puede apreciar esta clase tuvo como propósito
integrar los conocimientos de geometría
y ecuaciones cuadráticas.

Todos los ejercicios propuestos para esta clase se
desarrollaron en pequeños grupos para propiciar el debate
y el intercambio de ideas y opiniones de los alumnos.

En la etapa de evaluación se decidió hacer
evaluaciones orales en el desarrollo de cada una de las clases de
repaso y una evaluación escrita, que se proyectó de
la siguiente manera.

Evaluación escrita

A continuación se proponen tres ejercicios para que
usted seleccione cuál de ellos desea resolver.

Aclaración:

A cada ejercicio corresponde una calificación
diferente

Autores:

Dr. C. Eloy Arteaga Valdés

Lic. Lisdaynet Armada Arteaga

Lic. Fadaray García Lima

Lic. Alejandro Díaz

[1] Hacia una concepción del
aprendizaje desarrollador. Colección Proyectos.
Colectivo de autores.– p. 42

[2] Hacia una concepción del
aprendizaje desarrollador. Colección Proyectos.
Colectivo de autores.- p .66

[3] ZILBERSTEIN TORUNCHA JOSéY PORTELA
FALGUERAS ROLANDO. Una concepción desarrolladora de la
motivación y el aprendizaje de las ciencias. IPLAC.-
2002.-p 24-40

[4] GIL PéREZ DANIEL y GUZMÁN
OZÁMIZ MIGUEL. Enseñanza de las Ciencias y la
Matemática. Tendencias e Innovaciones.-
Organización de Estados Iberoamericanos para la
Educación, la Ciencia y la Cultura.- Editorial Popular.
– 1993.- p. 63-93