Guía de Matemáticas para el examen de ingreso a la UNAM (Parte II) (página 2)

4. Si Pm (-1,3) es el punto medio del segmento AB y
B tiene por coordenadas B(8,6) entonces las coordenadas de A
son:

a) (- 10,
0)                
b) (- 10,
3)                   
c) (- 3, –
10)                 
d) (0,
10)                      
e) (10, 3)

5. ¿Cuál es el punto medio del segmento cuyos
extremos son los puntos P1 (- b, – a) y
P2(a, b)?

a)          
b)
           
c) (0,
0)                     
d)

7.3 

Pendiente de una recta.

La pendiente es la inclinación que tiene una recta, es el
cociente de la altura y la base. Podemos calcularla a partir de
dos puntos A(x1, y1) y B (x2,
y2), la pendiente queda determinada como:

Ejemplo.

1. Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los
puntos A (3, -1) y B (7, 2)

Nota: Te sugerimos realizar los siguientes ejercicios
como medida de refuerzo para aprenderte las fórmulas. Te
recomendamos verificar leyes de los signos, ya que es el error
común en éste tipo de ejercicios.

Encuentre la distancia, la pendiente y el punto medio entre
los puntos dados:

1) P (-5, 1) y Q (3, 7)
                           
2) R (5, 7) y S (3,
1)                                 
3) A (2, – 4) y B (- 4, 4)

4) C (-1, – 4) y D (3,
6)                         
5) G (0, 0) y H (- 6,
-7)                            
6) T (- 2, 5) y S (6, 4)

7.4  Ecuación de la recta.

La recta esta determinada por una ecuación de primer
grado; es decir, el exponente de las variables es 1. Su forma
general es:

Ax + By + C = 0

Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente (m) y
su ordenada al origen (b).

 Pendiente  
     Ordenada al
origen

Y con éstos datos obtenemos la forma
Simplificada:

De la ecuación simplificada, consideramos y = 0,
obtenemos un valor que llamaremos a
(abscisa). Obteniendo la ecuación Simétrica:

Ejercicio 3:

1. La pendiente de la recta 2x + 4y – 5 = 0 es:

a) – 1/2   
                 
b) ½   
                        
c) – 4/5 
                      
d) 2 
                           
e) – 2

2. La pendiente de la recta 6x -2y +1 = 0 es:

a) – 1/2   
                 
b) ½   
                        
c) – 4/5 
                      
d) – 3 
                         
e) 3

3. La pendiente de la recta 6x – 3y + 1 = 0

a) – 1/2 
                   
b) ½  
                         
c) – 2 
                         
d) 2 
                           
e) 3

4. La pendiente y ordenada al origen de la recta 4(x – 1) + 2y
= 0 son:

a) m = – 2, b = – 2      b) m = – 2,
b = 2          
c) m = 2, b =
2             
d) m = 3, b =
2             
e) m = 4, b = – 1

Ahora analizaremos algunos casos especiales para encontrar la
ecuación de una recta:

Caso I. Si nos dan dos puntos
A(x1, y1) y B (x2,
y2); primero calculamos la pendiente y posteriormente
utilizamos la ecuación:

… 
Ecuación Punto pendiente

Ejemplo.

Encuentre la ecuación de la recta formada por los puntos
A (3, – 1) y B (7, 2)

Primero calcularemos la pendiente.

Posteriormente utilizaremos la ecuación punto pendiente,
sustituyendo cualquiera de los dos puntos dados y la pendiente
encontrada. Tomaremos A (3, – 1) y pendiente

 y – (-1) = 3/4 (x – 3)

4 (y + 1) = 3 (x – 3)

   4y + 4  = 3x – 9

– 3x + 4y + 4 + 9 = 0

– 3x + 4y + 13 = 0  ó

   3x – 4y – 13 = 0  solución.

Ejercicio 4:

1. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(5,
0) Y Q (0, – 3) es:

a) 3x – 5y + 15 =
0                            
b) 3x – 5y – 15 =
0                               
c) 3x – 5y + 1 = 0

d) 5x – 3y -1 =
0                               
e) 5x + 3y – 1 = 0

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos C (-5,
0) y B (0, 6) es:

a) 6x + 5y + 30 =
0                            
b) 6x – 5y – 30 =
0                               
c) 5x + 6y + 30 = 0

d) 5x – 6y + 30 =
0                            
e) 6x – 5y + 30 = 0

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa
por  los puntos  (-2, – ½ ) y (-1/5 , 3)?

a) -35x – 18y + 61 = 0     b) 35x – 18y +
61= 0       c) – 35x + 18y + 61 =
0    d) 35x + 18y + 61 = 0

4. La ecuación de la recta que pasa por los puntos
P1(- 2, – 1) y P2 ( ½ , 6) es:

a) 14y – 5x + 4 =
0          b) 14y –
5x – 4 = 0         
c) 5y – 14x – 23 =
0         d) 5y + 14x +
23 = 0

Caso 2. Si nos dan un punto y la
pendiente, se sustituyen los datos en la ecuación
punto pendiente.

Encuentre la ecuación de la recta formada por el punto A
( 2, – 3) y la pendiente m = – 2.

           y
– (-3) = -2 (x – 2)

             
y + 3  = -2x + 4

 2x + y + 3 – 4 = 0

        2x + y -1 = 0 
solución.

Ejercicio 5:

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta cuya
pendiente es – 3/5 y pasa por el punto (- 6, – 8 )?

a) 5y + 3x + 58 =
0          b) 5y –
3x + 22 = 0         
c) 5y – 3x + 58 = 0       
d)5y + 3x – 22 = 0

2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa
por el punto P( 1/3, – 4) y cuya pendiente es – 2?

a) 3x + 6y – 25 =
0          b) 3x +
6y + 23 = 0         
c) 6x + 3y – 14 = 0        d)
6x + 3y + 10 = 0

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta cuya
pendiente es – 3/2  y que interseca al eje y en (0, –
5)?

a) 3x + 2y – 10 =
0          b) 3x +
2y + 10 = 0         
c) 6x + 2y – 5 =
0          d) 6x +
2y + 5 = 0

4. Ecuación de la recta cuya pendiente es – 3/8  y
que interseca al eje y en (0, – 1)?

a) 3x + 8y – 1 =
0           
b) 3x + 8y + 8 =
0           
c) 8x + 3y + 8=
0          d) 8x +
8y + 3 = 0

7.5  Paralelismo y perpendicularidad.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos
rectas.

-   Paralelas si m1 =
m2 (Si las pendientes son iguales)

-   Perpendiculares si:
m1m2 = – 1 (Si
son de signo contrario y recíprocas)

Caso 3. Encontrar la ecuación de una recta dado
un punto y la ecuación de una recta
paralela a ella.

Como las rectas son paralelas, entonces las pendientes son
iguales, por lo que si tomamos el punto dado y la pendiente
de  la recta dada, tendremos nuestro problema resuelto.

Ejemplo:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, – 2) y
es paralela a la recta 5x + 12y – 30 = 0 es:

Como son paralelas, las pendientes son iguales, entonces m = –
5 / 12

Tomando el punto (5, – 2) y la pendiente m = – 5 / 12; la
sustituimos en la ecuación punto pendiente y
–  y1 = m (x –
x1)

    y – (-2) = -5 / 12 (x – 5)

          
 12 (y + 2) = -5 (x – 5)

         
   12y + 24 = – 5x + 25

          5x +
12y + 24 -25 = 0

           
5x + 12y -1 = 0     solución.

Ejercicio 6:

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa
por el punto (-1, 6) y es paralela a la recta x – 5y + 6 = 0?

a) x – 5y + 31 =
0               
b) x – y + 11 =
0                    
c) 5x + y + 11 =
0                  
d) 5x – y + 11 = 0

2. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 7) y
es paralela a la recta y = -1/2x+ 15/2, es:

a) 2x + y – 5 =
0         b) 2x – y + 5 =
0           
c) x + 2y – 15
=0           d)
x – 2y + 15 =
0          e) 2x –
4= 0

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 8, 4)
y es paralela a la recta y = 2x +5 es:

a) 2x + y – 5 =
0         b) 2x – y +20 =
0           c)
x + 2y – 15
=0           d)
x +
2y=0                  
e) x – y =0

4. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 5, –
5) y es paralela a la recta y = – x +5 es:

a) x +y =
0                
b) x – y =
0                  
c) x + y – 10
=0            
d) x – y +10 =
0            
e) x + y + 10 = 0

Caso 4. Encontrar la ecuación de una recta dado
un punto y la ecuación de una recta
perpendicular a ella.

Como las rectas son perpendiculares, entonces las pendientes
son inversas y de signo contrario, por lo que si tomamos el punto
dado y la pendiente perpendicular de  la recta dada,
tendremos nuestro problema resuelto.

Ejemplo:

La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, – 2) y
es perpendicular a la recta 5x + 12y – 30 = 0 es:

Como son perpendiculares, las pendientes son recíprocas y
de signo contrario, entonces m1 = -5 / 12 y su
perpendicular m2 =12 / 5

Tomando el punto (5, -2) y la pendiente m = 12 / 5; la
sustituimos en la ecuación punto pendiente y –
y1 = m (x – x1 )

  y – (-2)  = 12 / 5 (x – 5)

5 (y + 2)   = 12 (x – 5)

  5y + 10  = 12x – 60

     
        12x – 5y – 60 –
10 = 0

        
             12x
– 5y – 70 = 0     solución.

Ejercicio 7:

1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa
por el punto (- 1, 6) y es perpendicular a la recta x – 5y + 6 =
0?

a) x + 5y + 11 =
0               
b) x + y + 11 =
0                   
c) 5x + y – 1 = 0      d) 5x – y + 11 =
0

2. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 7) y
es perpendicular a la recta y= – 1/2x + 15/2, es:

a) 2x + y –
5=0          
b) 2x – y +
5=0             
c) x + 2y – 15
=0           d)
x – 2y +
15=0           
e) 2x – 4 = 0

3. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 8, 4)
y es perpendicular a la recta y = 2x + 5 es:

a) 2x + y – 5 =
0         b) 2x – y + 5 =
0           
c) x + 2y – 15 =
0          d) x + 2y
=
0                
e) x – y = 0

4. La ecuación de la recta que pasa por el punto (- 5, –
5) y es perpendicular a la recta y = – x + 5 es:

a) x +y =
0                
b) x – y =
0                  
c) x +y -10 =
0             
d) x -y +10 =
0             
e) 5x+ 5y = 0

UNIDAD 8.  

Circunferencia

Ejemplo.

Dada la ecuación ordinaria, determine la ecuación
general de la circunferencia (x – 3)2 + (y +
1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 – 25 =
0

       
    x2 + y2 –
6x + 2y – 15 = 0   solución.

8.2  Forma general.

x2 + y2 + Dx + Ey + F =
0… Ecuación general

Elementos:

Centro                               
Radio

Caso I. Dada la ecuación general, encontrar los
elementos, el centro y el radio.

Ejemplo.

El centro y el radio de la circunferencia x2 +
y2 – 2x – 14y + 5 = 0 son:

               
Centro  C  y su
radio  

Ejercicio 8:

1. Coordenadas del centro de la circunferencia:
x2 + y2 + 4x – 6y + 12 = 0

a) (- 2, – 3
)                       
b) ( 2, – 3
)                            
c) (- 2, 3
)                             
d) ( 2, 3 )

2. El centro y el radio de la circunferencia x2
+ y2 – 8x+ 14y + 31 = 0 son:

a) C(7, – 4) r = 5        
b) C(- 7,4) r = 3       
c) C(4, – 2) r = 3      
d) C(- 4, 2) r =        
e) C(4, -7), r =

3. El centro y el radio de la circunferencia x2
+ y2 +2x +2y – 11 = 0 son:

a) C(1, 1) r =
13          b) C(1,
-1) r =
11           c)
C (1, 1) r =
         d) C(-1, -1) r =
     
e) C(-1, 1) r =

4. Dada la ecuación de la circunferencia
x2 + y2 +4x + 6y + 9 = 0, su centro
y radio son:

a) C(- 2, – 3), r = 2     b) C(- 2, 3), r
= 4          
c) C(2, -3), r =
2           
d) C(4, 6) r =
3              
e) C(4, 6), r = 9

Caso II. Dados los elementos, centro y radio, encontrar
la ecuación ordinaria o general.

Solo sustituimos el centro y el radio en la ecuación
ordinaria y en el caso de que soliciten la general, desarrollamos
los cuadrados igualamos a cero y simplificamos.

Ejemplo.

¿Cuál es la ecuación ordinaria de la
ecuación cuyo centro esta en (-3, 4) y radio 8?

(x + 3)2 + (y –
4)2 = 64     Nota: los
valores del centro al
ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 – 64
= 0

              
x2 + y2 – 6x – 8y – 39 =
0   solución.

Ejercicio 9:

1. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia
con centro en (- 4, 6) y radio 6?

a) (x – 4)2 + (y + 6)2 =
36                                            
b) (x – 4)2 + (y + 6)2 = 6

c) (x + 4)2 + (y – 6)2 =
36                                            
d) (x + 4)2 + (y – 6)2 = 6

2. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia
con centro en (- 1, 1/5) y radio 9?

a) (x – 1)2 + (y + 1/5)2 =
3                                           
b) (x + 1)2 + (y – 1/5)2 = 3

c) (x – 1)2 + (y + 1/5 )2 =
81                                        
d) (x + 1)2 + (y – 1/5)2 = 81

3. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia
con centro en (- 3, – 4) y radio 3?

a) x2 – 8x + y2 + 6y = –
16                                           
b) x2 + 8x + y 2 – 6y = -16

c) x 2+ 6x + y2 + 8y =
-16                                           
d) x 2 – 6x + y2 + 8y = -16

4. x2 + y2 – 8x +6y + 9 =0 
es la ecuación de una circunferencia en la forma general, su
ecuación en forma canónica es:

a) (x – 4)2 + (y – 3)2 =9 
                           
b) (x + 4)2 + (y – 3)2 =
9                         
c) (x – 4)2 + (y + 3)2 =
9   

d) (x +4)2 + (y – 3)2
=16                            
e) (x – 4)2 + (y + 3)2 = 16

Caso III. Dado el centro y un punto de la
circunferencia.

Primero debemos calcular el radio, éste se calcula
utilizando la distancia entre dos puntos, posteriormente
sustituimos el centro y el radio en la ecuación ordinaria,
si solicitan la ecuación general, desarrollamos los
binomios.

Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia, si
tiene como centro el punto (3, – 1) y pasa por el punto (7,
2)

Primero calculamos la distancia entre los puntos

Posteriormente tomamos el centro de la circunferencia (3, – 1)
y el radio 5 y lo sustituimos en la ecuación ordinaria.

(x – 3)2 + (y +
1)2 = 25

Desarrollando los cuadrados

x2 – 6x + 9 + y2 + 2y + 1 – 25 =
0

            
x2 + y2 – 6x + 2y -15 =
0   solución.

Ejercicio 10:

1. La ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
P(6, 0), con centro en C(2, – 3) es:

a) x2 + y2 + 4x – 6y + 2 =
0                       
b) x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0
                 
c) x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

d) x2 + y2 – 6x + 4y = 0
                           
e) x2 + y2 – 6x -12 = 0

Caso IV. Dado dos puntos que conforman el
diámetro.

Al calcular el punto medio de los dos puntos del
diámetro, obtenemos el centro; luego calculamos la distancia
del centro a cualquiera de los dos puntos para obtener el
radio.

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo
diámetro esta determinada por el segmento  que une los
puntos  A (- 4, -10) y      B (6,
14)

Primero calcularemos el punto medio para encontrar el centro

Ahora calcularemos la distancia del centro a cualquiera de los
dos puntos dados.

Con el centro C (1,2) y el radio 13, los sustituimos en la
ecuación ordinaria.

(x – 1)2 + (y –
2)2 = 169     Nota: los
valores del centro al ingresar, cambian de signo.

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero,

x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 169
= 0

            
x2 + y2 – 2x – 4y -159 =
0   solución.

2. La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es
el segmento que une los puntos A(3, – 2) y B(5, 4) es:

a) x2 + y2 – 2x – 8y =
0                             
b) x2 + y2  -2x – 8y + 1=
0 
                   
c) x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0

d) x2 + y2 – 8x – 2y + 7 =
0                       
e) x2 + y2 + 8x – 2y = 0

Parábola

9.1  Horizontal y vertical con vértice en el
origen.

                      
             Vertical                                                                          
Horizontal

x2 + Ey = 0 
                           Ecuación
General de la
Parábola        
y2 + Dx = 0

x2 = 4py  
                                       Ecuación
Ordinaria          
y2 = 4px

Vértice:  V(0, 0)
                                                                    
Vértice:  V(0, 0)

Foco:  F(0, p)
                                                                       
Foco:  F(p, 0)

Directriz: y = –
p                                                                    
Directriz: x = – p

Lado recto: LR =
ç4pç                                                            
Lado recto: LR = ç4pç

Ejemplo:

Encuentre las coordenadas del foco de la parábola cuya
ecuación es     x2 -12y =
0

Primero despejamos x2 de la ecuación,
obteniéndose:                  
                   x2
= 12 y

Comparando con la ecuación de la parábola de la
forma:             
          x2
= 4py    concluimos que es vertical cóncava a
la derecha

Y si la coordenada del foco se define como:   
F ( 0, p )   e igualando  4p = 12 , al despejar se
obtiene p = 3

Concluimos que la coordenada del foco es  F( 0, 3
)

Ejercicio 11:

1. Las coordenadas del foco de la parábola cuya
ecuación es x2 = – 16y 
son:

a) ( 0 , 4
)                           
b) ( 4 , 0
)                              
c) (- 4 ,0
)                             
d) ( 0 , – 4 )

2. ¿Cuál es el foco para la parábola 12x = –
3y2?

a) F( 0,
1)                           
b) F(1 ,
0)                              
c) F(0,
-1)                             
d) F(- 1, 0)

3. ¿Cuáles son las coordenadas del foco de la
parábola   -y2 = – 7/2
x?

a) F (- 7/8 ,
0)                    
b) F(0, –
7/8)                         
c) F ( 7/8 , 0
)                        
d) F( 0, 7/8)

4. ¿Cuál es la ecuación de la directriz de la
parábola   y2 = – 8 / 3 x?

a) x = –
2/3                        
b) x =
2/3                              
c) x = –
32/3                          
d) x = 32/3

5. La ecuación de la parábola con vértice en el
origen y foco  F (7, 0) es:

a) – y2 = 7x
              
b) y2 =
14x                   
c) y2 =
-21x                  
d) y2 =
28x                   
e) y2 = – 28x

6. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con
vértice en el origen, foco en (¾ , 0) y  directriz
x = – ¾?

a) x2 = –
3y                        
b) y2 = –
3x                           
c) x2 =
3y                              
d) y2 = 3x

7. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con
vértice en el origen y cuyo foco es el punto  F(0, 1/8
)?

a) x2 = -1/8
y                      
b) y2 = -1/2
x                        
c) x2 =  1/2
y                         
d) y2 = 1/8 x

8. ¿Cuál es la ecuación de la parábola con
vértice en (0, 0), foco en x, y pasa por (4,
6)?

a) x2 =
9y                           
b) y2 =
9x                              
c) x2 = –
9y                           
d) y2 = – 9x

9.2  Horizontal y vertical con vértice fuera del
origen.

           
Vertical                                                                                
Horizontal

Ax2 +Dx + Ey + F = 0  
                       Ecuación
General            
Cy2 +Dx +Ey + F = 0

(x –
h)2  = 4p (y –
k)                          
Ecuación
Ordinaria          
(y – k)2 = 4p (x
– h)

Vértice:  V(h, k)
        Directriz:
 y = k –
p                                   
Vértice: V(h, k)   
      Directriz:  x = h –
p

Foco:  F(h, k+ p)
      Lado recto:  LR =
ç4p
ç                          
    Foco:  F(h + p,
k)        
    Lado recto:  LR = ç4p ç

Para transformar la ecuación general a ecuación
ordinaria, se debe completar a un trinomio cuadrado perfecto y
factorizar. En el caso inverso, sólo se desarrolla el
cuadrado, el producto, se factoriza y se
iguala a cero.

Ejemplos:

1. Encontrar el vértice de la ecuación de la
parábola x2 – 6x – 12y – 51 = 0

El primer paso consiste en dejar únicamente a la
incógnita que este elevada al cuadrado

 x2 – 6x = 12y + 51

Posteriormente completar
cuadrados:          
x2 – 6x + 9 = 12y + 51 +9

Factorizar:                                               
(x – 3)2 = 12y + 60

Factorizar:                                               
(x – 3)2  = 12(y + 5)

Obtener el vértice V (3, – 5)

Ejercicio 12:

1. La parábola cuya ecuación es y2
+ 4y – 4 x + 16 = 0, tiene por vértice el
punto:

a) (3,
2)                              
b) (2,
3)                                 
c) (3, –
2)                              
d) (- 2, 3)

2. ¿Cuáles son las coordenadas del foco de la
parábola cuya ecuación es y2 – 6y + 8x =
7?

a) (0,
3)                              
b) (5,
2)                                 
c) (3,
0)                                 
d) (3, 4)

3. ¿Cuál es el foco de la parábola cuya
ecuación es: 5y2 + 30y + x + 50 = 0?

a) F (- 29/5, –
3)                 
b) F (- 101/20, -3
)                
c) F (- 9/5, –
5)                      
d) F (- 61/20, – 5)

4. Encuentre la longitud del lado recto de la
parábola:  x2 – 4y + 8 = 0

a)
8                                    
b)
16                                     
c)
2                                       
d) 4

5. ¿Cuál es la longitud del lado recto de la
parábola cuya ecuación es y2 + 6y + 6x +
39 = 0

a)
2                                    
b)
3                                      
c)
5                                       
d) 6

6. ¿Cuál es la ecuación de la directriz de la
parábola: x2 – 3x + 3y – 15/4 = 0?

a) y = –
5                           
b) y = – 11/4
                        
c) y =
5/4                              
d) y = 1

7. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto
F( – 6, 4) y la directriz la recta x = 2 es:

a) y2 + 16x – 8y + 48 =0
                    
b) x2 + 2x – 8y – 7 = 0 
                         
c) y2 – 8x – 2y + 7 = 0

d) y2 + 8x – 2y – 41
=0                       
e) x2 + 6x – 16y – 41 = 0

8. La ecuación de la parábola con foco F (0, 3) y
directriz y + 3 = 0, es:

a) y2 + 12x – 2y – 3 =
0                      
b) x2 – 12x – 4y =
0                              
c) x2 + 12x – 6y +1 = 0 

d) x2 – 12y =
0                                   
e) y2 – 12x = 0

9. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto
F(5, – 2) y la directriz la recta x = – 3 es:

a) x2 + 4x – 8y + 7 =0  
                      
b) x2 – 4x – 8y – 7 = 0  
                        
c) y2 + 16x – 4y – 20 = 0

d) y2 -16x + 4y + 20
=0                      
e) x2 + 6x – 16y – 41 = 0

10. La ecuación de la parábola cuyo foco es el punto
F(- 2, – 2) y la directriz la recta y = 2 es:

a) y2 + 8x + 4y + 4 =0  
                      
b) y2 – 8x – 4y – 4 = 0 
                         
c) x2 – 4x – 8y – 4 = 0  

d) x2 + 4x + 8y + 4
=0                        
e) y2 + 8x = 0

11. ¿Cuál es la ecuación de la parábola
cuyo foco está en (1, 8) y la ecuación de su directriz
es y = – 4?

a) (x – 1)2 = 24 (y –
2)          b) (y –
1)2 = 24 (x –
2)            
c) (x – 2)2 = -24 (y –
1)           
d) (y – 2)2 = – 24 (x – 1)

12. ¿Cuál es la ecuación de la parábola
con V(4, 2); L.R = 6. Eje horizontal.

a) (y + 2)2 = +6(x +
4)           b)
(y – 2)2 = +6(x – 4)
            
c) (x – 2)2 = +6(y –
4)             
d) (x + 2)2 = +6(y + 4)

13. ¿Cuál es la ecuación de la parábola
con vértice en (3, – 1) y ecuación de la directriz x =
– ½?

a) y2 – 6y + 2x + 11 =
0        b) 2×2
– 12x + y + 19 =
0         c)
y2 + 2y – 14x + 43 =
0         d)
2×2 + 12x – 7y + 25 = 0

14. La ecuación de la parábola con vértice en
(3, 2) y directriz x – 5 = 0 es:

a) y2 + 8x – 4y – 20 = 0 
                    
b) y2 + 4y +20 = 0
                                
c)y2 + x – 2y – 10 = 0 

d) y2 – 4x + 8y – 10 = 0   
                  
e y2 – 8x + 4y + 20 = 0

UNIDAD 10.  

Elipse

10.1  Horizontal y vertical con centro en el
origen.

Ecuación ordinaria  (a > b) 

        
     (Horizontal)      
                                               
      (Vertical)

       Vértices
  V(+ a,
0)                       
Centro  C(0,
0)             
         Vértices
  V( 0, + a)

         
Focos   F(+ c,
0)                                                                      
    
       Focos   F(0,
+ c)

   Eje menor   B(0, +
b)                                                           
      Eje menor   B(+
b, 0)

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + F
= 0      Ecuación General

también:      
                    
Lado Recto:                                     
Excentricidad:  

Ejemplo:

Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuación
es   9×2 + 5y2 – 45 =
0

El primer paso consiste en dejar únicamente a las
incógnitas que están elevadas al cuadrado:

         
9×2 + 5y2 = 45

Posteriormente convertirla a su forma
ordinaria:       

Simplificando,
tenemos:                           
  
          ,
por lo tanto es vertical, donde:   
a2 = 9   y   b2
= 5

Como:     ,
sustituyendo:            
           
   entonces:    c = 2,  
a = 3   y  

También, lado recto es:  ,  y la
excentricidad es: 

Concluyendo, entonces tenemos: ,

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6,   eje menor BB" = 2b
=   y  
eje focal FF" = 2c = 2(2) = 4

Ejercicio 13:

1. ¿Cuáles son los vértices de la elipse
100×2 + 4y2 = 1?

a) V1(-1/10, 0)  V2 (1/10,
0)   b) V1(- ½, 0)  V2
(½,
0)           
c) V1(0, – 1/10)  V2 (0,
1/10)     d) V1( 0, – 1/2) 
V2 (0, 1/2 )

2. Uno de los vértices de la elipse cuya ecuación es
16×2 + 9y2 = 144 es el punto:

a) (- 3,
0)                           
b) (- 4,
0)                              
c) (0,
4)                                 
d) (0, 3)

3. ¿Cuáles son los focos de la elipse cuya
ecuación es 9×2 + 16y2 =
96?

a)          
b)         
c)         
d)

4. ¿Cuál es la longitud del eje mayor de la elipse
cuya ecuación es:

a)                                 
b)                                  
c)
18                                     
d) 81

5. ¿Cuál es la longitud del eje menor de la elipse
cuya ecuación es ?

a)                               
b)
6                                      
c)                                  
d) 12

6. Ecuación de la elipse cuyos vértices que definen al
eje mayor son V (0, 6) V´(0, – 6) y excentricidad ½
es:

a) 3×2 + 4y2 – 10 =
0                          
b) 4×2 – 3y2 – 108 =
0                            
c) 3×2 – 4y2 – 108 = 0

d) 4×2 + 3y2 – 108 =
0                        
e) 3×2 + 4y2 – 108 = 0

7. Ecuación de la elipse cuyos vértices son V(0 , 4)
y V(0, – 4) y focos F(0, 2) y  F´(0, – 2) es:

a) 3×2 + 4y2 + 48 = 0 
                        
b) 3×2 – 4y2 + 48 =
0   
                         
c) 3×2 + 4y2 – 48 = 0 

d) 4×2 – 3y2 – 48 =
0                          
e) 4×2 + 3y2 – 48 = 0

8. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con 2a =
10 y Foco en F(4, 0)

a) 9×2 + 25y2 =
225             
b) 25×2 + 9y2 =
225                
c) x2 + y2 =
34                       
d) 4×2 + 10y2 = 225

9. ¿Cuál es la ecuación de la elipse si 
LR =20/3  V1=(- 6, 0), V2=(6, 0)

a)  – 5×2 + 9y2 =
180           
b) 5×2 – 9y2 =
180                  
c) 5×2 + 9y2 =
180                  
d) 9×2 + 5y2 = 180

10. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con
excentricidad igual a 3/5 y vértices en (0, 5) y (0, –
5)?

a)                      
b)                        
c)                         
d)

11. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con focos
F1(0, 3/5)  y F2 (0, – 3/5) y cuyo eje
mayor mide dos unidades de longitud?

a) 25×2 + 91y2 =
91             
b) 16×2 + 25y2 =
16                
c) 91×2 + 25y2 =
91                
d) 25×2 + 16y2 = 16

12. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con
vértice en (0, 4) y pasa por el punto ?

a)                      
b)                        
c)                          
d)

13. ¿Cuál es la longitud del eje mayor de la elipse
cuya ecuación es 25×2 + 36y2 =
900?

a)
5                                    
b)
6                                      
c)
10                                     
d) 12

10.2  Horizontal y vertical con centro fuera
del origen.

Ecuación ordinaria  (a > b)

(Horizontal)                                   
(Vertical)

Vértices     V(h
+ a,
k)                     
Centro C(h,
k)                  
  Vértices     V(h, k +
a)

   Focos     F(h
+ c,
k)                                                 
           
   Focos     F(h, k + c)

                       
Eje menor     B(h, k +
b)                                                                     
Eje menor     B(h + b, k)

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 + Cy2 + Dx
+ Ey + F = 0…Ecuación General

también:      
                    
Lado Recto:                                     
Excentricidad:  

Ejemplo:

Encontrar todos los elementos de la elipse cuya ecuación
es        9×2 +
4y2 – 72x – 24y + 144  = 0

El primer paso consiste en agrupar las mismas
variables:                   
(9×2 – 72x )+ (4y2 – 24y) = –
144

Factorizar por factor
común:                                       
               
9(x2 – 8x )+ 4(y2 – 6y) = – 144

Completando los trinomios cuadrados
perfectos:                    
   9(x2 – 8x + 16)+
4(y2 – 6y +9) = – 144 + 144 + 36

Reduciendo a binomios al
cuadrado:               
                                  
9(x – 4)2+ 4(y – 3)2 = 36

Dividiendo entre
36:                                                    
                 

Simplificando,
tenemos:                                                         
          

por lo tanto es vertical, donde su centro C (h, k) es C(4 ,
3)  y los valores de:   a2 =
9   y   b2 = 4

Como:     ,
sustituyendo:            
   entonces:    ,   a
= 3   y   b = 2

También, lado recto es:  ,  y la
excentricidad es: 

Concluyendo, entonces tenemos:
Vértices:     

                                              
 Focos:     

                                  
         Eje menor: 
   

eje mayor VV" = 2a = 2(3) = 6,   eje menor BB" = 2b
=   y  
eje focal FF" = 2c =

Ejercicio 14:

1. ¿Cuál es el nuevo origen de la ecuación:
x2 + 9y2 + 4x – 18y – 23 = 0 ?

a) (2, –
1)                           
b) (- 2,
1)                              
c) (1, –
2)                              
d) (- 1, 2)

2. Las coordenadas del centro de la elipse cuya ecuación
es 4×2 + y2 – 24x – 4y + 24 = 0
son:

a) C (- 2, –
3)            
b) C (- 2,
3)                  
c) C (2, –
3)                  
d) C (2.
3)                    
e) C (3, 2)

3. ¿Cuales son los vértices de la elipse cuya
ecuación es ?

a)             
b)           
c)          
d)

4. ¿Cuáles son los vértices de la elipse cuya
ecuación es: ?

a) V1= ( 13/3 , 5)  V2 ( 11/3 ,
5)                                          
b) V1= ( 4 , -15/3)  V2 ( 4 ,
14/3)

c) V1= ( 17/4 , 5)  V2 ( 16/4 ,
5)                                          
d) V1= ( 4 , 21/4)  V2 ( 4 , 19/4)

5. Los focos de la elipse 4×2 +
9y2 – 36 = 0 son:

a) (0, ), (0,
–)   
       b) (5, 5), (- 5, –
5)       c) (0, 7), (0, –
7)         d)
(, 0),
(-,
0)      e) (0, 4), (0, – 4)

6. ¿Cuáles son los focos de la elipse cuya
ecuación es: 9×2 + 54x + 25y2
– 250y = 1319?

a) (5 , – 15) ; ( 5 , 9
)           
b) (-15, 5) ; ( 9 , 5
)                
c) ( 15, – 5) ; (- 9 , –
5)        d) (- 5 , 15) ; (- 5
, – 9)

7. ¿Cuál es el valor del lado recto de la elipse
cuya ecuación es 9×2 + 16y2 +
96y – 36x + 36 = 0?

a) 3/2
                                
b)
8/3                                    
c)
32/9                               
d) 9/2

8. La excentricidad de la elipse con ecuación
9×2 + 25y2 – 54x + 100y – 44 =
0

a) ¾     
                    
b) 4/5      
                    
c) 3/5    
                      
d) 2/3   
                       
 e) 2/5

9. Calcule la excentricidad de la elipse, cuya ecuación
es

a)                                
b)                                   
c)                                
d)

10. ¿Cuál es la distancia entre los focos de una
elipse si sus semiejes miden 5/3 y 8/5 unidades de longitud?

a) 7/30
u                            
b) 14/15
u                             
c) 28/30
u                           
d) 28/15 u

11. Si los semiejes de una elipse miden 8 cm y 17 cm,
¿cuál es la distancia entre los focos?

a) 15
cm.                           
b) 16
cm.                              
c) 30 cm. 
                         
d) 34 cm.

12. Si los semiejes  de una elipse miden 14 y 12 unidades
de longitud, ¿Cuál es el valor de la excentricidad de
la elipse?

a)                               
b)                                 
c)                               
d)

13. El lado recto de la elipse 4×2 +
y2 – 24x -4y + 24 = 0 es:

a) ½
                         
b)
2                             
c)
3                              
d)
4                             
e) 8

14. ¿Cuál es la ecuación de la elipse con
V1 (- 8, 5 );  V2 ( 12, 5 ),  LR
= 5?

a)        
b)            
c)        
d)

15. La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos
F(2, 1), F(- 2, 1) y excentricidad e = ½ es:

a)                       
b)
                        
c)

d)                      
e)

16. La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos
F(3, 0), F´(3, – 4) y excentricidad e = 1/2 es:

a)                       
b)                          
c)

d)                      
e)

17. La ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos
F(4, 4) F´(4, – 2) y excentricidad e = 3/5 es:

a)                       
b)                          
c)

d)                      
e)

UNIDAD 11.  

Hipérbola

11.1  Horizontal y vertical con centro en el
origen.

Ecuación ordinaria  (no importa el tamaño de a,
sólo debe estar con el positivo)

                                                        
                   
Distancia focal 2c

                                                        
                        
Eje transverso 2a

                                                        
                              
Eje conjugado 2b

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

Ax2 –
Cy2 + F = 0    Ecuación
General

11.2  Horizontal y vertical con centro fuera
del origen.

Ecuación ordinaria  (no importa el tamaño de a,
sólo debe estar con el positivo)

                                         
         
                        
Eje transverso
2a                  

                                         
          
                            
Eje conjugado 2b

                                         
         

                                  
Distancia focal 2c

Desarrollas e igualas a cero y obtienes:

    
  Ax2 – Cy2 + Dx +
Ey + F = 0     Ecuación General

Ejercicio 15:

1.De acuerdo con sus datos de la gráfica, ¿Cuál
es su ecuación?

2. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices
de la hipérbola cuya ecuación es ?

a) (2, 5), (10,
5)                   
b) (5, 2), (5,
10)                     
c) (-2, 5), (-10,
5)                           
d) (5, – 2), (5, – 10)

3. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices
de la hipérbola cuya ecuación es ?

a) (- 4, 0), (- 4,
4)               
b) (2, – 7), (2, –
1)                  
c) (2, – 6), (2, –
2)                           
d) (- 4, – 1), (4, 5)

4. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la
hipérbola cuya ecuación es ?

a) (- 5, – 2), (- 5,
2)            
b) (- 7, 0), (- 3,
0)                  
c) (- 5, – 2), (- 5,
2)            
d) (- 5- 2 , 0), (- 5 + 2, 0)

5. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la
hipérbola cuya ecuación es ?

a) (7, – 5), (- 23, –
5)           b)
(- 7, – 5), (23, –
5)             
c) (- 5, – 7), (- 5,
23)          
d) (- 5, 7),( – 5, – 23)

6. ¿Cuál es la distancia entre los focos de la
hipérbola cuya ecuación es ?

a)
17                                  
b)
                               
c)
145                                
d)

7. ¿Cuál es la distancia entre los focos de la
hipérbola cuya ecuación es 16×2 –
9y2 = 144?

a)
2                                    
b) 
7                                     
c)
27                                  
d)  10

8. El lado recto de la  hipérbola es igual
a:

a) 4 u. l.
                   
b) 10 u. l.
                    
c) 16 u. l.
                    
d) 20 u. l.
                 
e) 36 u. l.

9. El lado recto de la  hipérbola es igual
a:

a) 4 u. l.
                   
b) 16 u. l.
                    
c) 12 u. l.
                    
d) 6 u. l.
                   
e) 20 u. l.

10. El lado recto de la hipérbola es igual
a:

a) 2 u. l.
                   
b) 3 u. l.
                      
c) 1 u. l.
                      
d) 4 u. l.
                   
e) 9 u. l.

11. La ecuación  representa una hipérbola cuyo
lado recto es igual a:

a) 1
                          
b)                          
c)
2                              
d)                       
e)

12. La excentricidad de la hipérbola 9×2 –
7y2 + 256 = 0 es:

a)
-3/4                      
b)
¾                            
c)
7/9                           
d)
9/7                        
e) 4/3

13. ¿Cuáles son las ecuaciones de las
asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es
4×2 – y2 = 16?

a) y = + ¼
x                       
b) y = + ½
x                          
c) y = +
2x                         
d) y = + 4x

14. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas
de la hipérbola cuya ecuación es 36×2 –
16y2 = 64?

a) y = + 3/2
x                     
b) y = + 8/3
x                        
c) y = + 2/3
x                     
d) y = + 3/8 x

15. La ecuación de la hipérbola con centro en el
origen, vértice en el punto V(6, 0) y uno de sus focos es el
punto F(12, 0) es:

a) 3×2 – y2 + 108 =
0                          
b) x2 + 3y2 + 108 =
0                             
c) 3×2 – y2 – 108 = 0

d) 3×2 – 12y2 – 108 =
0                       
e) 3×2 + 12y2 – 108 = 0

16. La ecuación de la hipérbola cuyos focos son F(
6, 0) y F´(-6, 0) y excentricidad igual a 3/2 es:

a) 5×2 + 4y2 – 80 =
0                          
b) 5×2 – 4y2 – 80 = 0
                             
c) x2 – y2 – 16 = 0

d) 4×2 – 4y2 – 80 = 0
                         
e) 3×2 – 2y2 – 20 = 0

UNIDAD 12. 

Ecuación general de segundo
grado

12.1  Identificación de cónicas

A partir de la ecuación general, calcularemos el
discriminante (B2 – 4AC), de
ésta manera podemos determinar la sección
cónica.

Ax2 + Bxy +
Cy2 + Dx + Ey + F = 0

B2 – 4AC < 0, La curva es una
elipse.

B2 – 4AC = 0, La curva es una
parábola.

B2 – 4AC > 0, la curva es una
hipérbola.

En el caso particular de que B = 0,

Obtenemos:             
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A = C representa una circunferencia

Si A ¹ C y tienen el mismo signo, es una elipse

Si A y C tienen signos diferentes es una hipérbola

Si A = 0 y C ¹ 0, o A ¹ 0 y C = 0 es una
parábola

Si A = 0 y C = 0 es una recta.

Análisis de una curva a partir de su ecuación.

Ejercicio 16:

1. La  representación gráfica de la
ecuación: 9×2 + 16y2 + 36x –
524 = 0 es:

a) Un
Punto                        
b) Una
elipse                         
c) Una
hipérbola                    
d) Una parábola

2. La ecuación 24×2 – 16y2
+ 24x – 32y – 10 = 0 corresponde a la gráfica de un a

a) Un
punto                        
b)
Hipérbola                          
c) Rectas que se
cortan          d)
Rectas paralelas

3. La ecuación 9×2 – 4y2
-12x + 8y + 104 = 0 corresponde a la gráfica de una

a)
Elipse                            
b)
Parábola                           
c)
Hipérbola                          
d) Circunferencia

4. La ecuación general Ax2 + B xy +
Cy2 + Dx + E y + F =0, representa una elipse,
cuando:

a) B2 – 4AC
=0           b)
B2 – 4AC > 1
            
c) B2 – 4AC > 0
           
d) B2  – 4AC ¹ 1
           
e) B2 – 4AC < 0

5. La curva cuya ecuación es 4×2 – 24 xy +
11 y2 + 56x – 58y + 95 = 0 presenta una:

a) Circunferencia        b)
Recta                       
c)
Parábola                  
d)
Hipérbola                 
e) Elipse

6. La curva cuya ecuación es x2 +
y2 + 2x – 4y – 8 = 0, representa una:

a) Circunferencia        b)
Recta                       
c)
Parábola                  
d)
Hipérbola                 
e) Elipse

7. La ecuación 6×2 + 4xy +
y2 + 4x – 2y + 2 = 0 corresponde a:

a) Recta 
                  
b) Circunferencia
          c)
Parábola 
                
d) Elipse
                     
e) Hipérbola

8. La ecuación 4×2 + 2xy+
6y2 + 6x – 10y + 9 = 0 corresponde a:

a) Recta 
                  
b) Circunferencia
          c)
Parábola 
                
d) Elipse
                     
e) Hipérbola

9. La ecuación 4×2 – 4xy +
y2 + 4x + 2y – 5 = 0 corresponde a una:

a) Recta 
                  
b) Circunferencia
          c)
Parábola 
                
d) Elipse
                     
e) Hipérbola

Respuestas a los ejercicios de
Geometría Analítica