Guía de Matemáticas para el examen de ingreso a la UNAM (Parte I) (página 2)
Mínimo común múltiplo
(m.c.m.).- Es el número menor de los múltiplos
en común de un grupo de
números. Para calcularlo se descomponen en factores primos
cada uno de los números hasta que todos sean uno y se
multiplican los primos obtenidos.
Máximo común divisor (M.C.D.).- Es
el número mayor de los múltiplos en común de
un grupo de números. Para calcularlo se descomponen en
factores primos cada uno de los números hasta que no
tengan un divisor primo común y se multiplican los primos
obtenidos.
1.3. Operaciones con
números racionales:
Suma y resta de fracciones.- Se resuelven,
obteniendo el m.c.m. de cada uno de los diferentes denominadores,
y se divide entre cada denominador y multiplicando por cada
numerador. Al final los números obtenidos se suman o
restan, dependiendo del caso.
Nota: Cuando los denominadores son iguales, entonces
solo se suman o restan los numeradores.
Multiplicación de fracciones.- Se
resuelven, multiplicando el numerador por numerador y denominador
por denominador.
División de fracciones.- Se resuelven,
multiplicando el primer numerador por el segundo denominador,
colocando el resultado en el numerador y multiplicando el primer
denominador por el segundo numerador, colocando el resultado en
el denominador.
Potencia y Raíz
Potencia: Es el número de
veces en que debe multiplicarse la base por si misma,
según su exponente.
Raíz: Es el valor que al
multiplicarse por si mismo tantas veces como lo indique el
índice, se obtiene el valor que esta dentro del
radical.
Ejem:
Ejem:
1.4 Razones y
Proporciones
Razón: Es el cociente de dos
números, es decir una fracción, donde el numerador
se llama antecedente y al denominador consecuente. La
razón se representa como sigue:
Ejem:
Proporción: Es la igualdad de
dos razones. La razón se representa como sigue:
Ejem:
donde los números 7 y 6 son extremos y los
números 3 y 14 son medios.
1.5 Regla de Tres
Regla de tres directa ó
Proporción directa.- Cuando comparamos dos razones del
mismo tipo establecemos una equivalencia, obtenemos una
proporción, es decir, si una aumenta o disminuye, la otra
también aumenta o disminuye en la misma
proporción.
Ejem: Si en una empresa un
empleado gana $4400 por 20 días trabajados. ¿Cuanto
ganará por 30 días?
Regla de tres inversa ó
Proporción inversa.- Cuando comparamos dos razones uno
de los parámetros aumenta y el otro disminuye. Esto es muy
claro en casos de producción con respecto al tiempo.
Ejem: Si en una empresa 20
obreros producen 50,000 fusibles en 5 días.
¿Cuantos obreros se requieren para producir la misma
cantidad de fusibles en 4 días?
1.6 Tanto por Ciento
Definición: Es una fracción cuyo
denominador es 100, es decir la centésima parte de algo.
Se expresa con el símbolo %. Cuando se va a operar la
cantidad, se tiene que cambiar por una fracción o por un
decimal equivalente.
Ejem: 18% 0.18
33.5% 0.335
Cálculo del
porcentaje:
Para obtener el porcentaje, se multiplica la cantidad
por el tanto por ciento expresado en forma decimal.
Ejem: Calcular el 32% de 1450 Calcular el
3% de 1655
1450(0.32) = 464 1655(0.03) =
49.65
También se puede obtener un
número en específico con regla de tres
directa.
Ejem: Hallar el número del cual 400
es el 8%
Ejem: Hallar el número del cual 4590
es el 60%
También se puede aplicar para
resolver problemas como
los siguientes:.
Ejem: Un vendedor recibe de comisión el 12% por
venta realizada.
Si vende mercancía por un total de $44000. ¿Cuanto
recibirá de comisión?
$44000(0.12) = $5280
Ejem: Un producto que
cuesta $120, se requiere que al venderse, se obtenga una ganancia
del 8.5%. ¿En cuanto debe venderse?
Reactivos Unidad 1:
UNIDAD 2.
Álgebra
2.1 Propiedades y
Definiciones
Término Algebraico.- Es la
expresión algebraica, que se compone de: signo,
coeficiente, base ó literal y exponente.
Término Semejante.- Es la
expresión algebraica, que se compone de misma base y mismo
exponente, aunque su signo y coeficiente sean
diferentes.
Ejem: es
semejante a
Ejem: es
semejante a
Clasificación de Términos
Algebraicos.- Se clasifican según su número de
términos, de la siguiente manera:
Monomio = un solo término Ejem:
Binomio = dos términos Ejem:
Trinomio = tres términos Ejem:
Polinomio = 2 ó más términos Ejem:
2.2 Leyes de los
signos
Suma y Resta:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Multiplicación y
División:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
2.3 Signos de
Agrupación
Definición.- Son los signos
que nos sirven para agrupar términos u operaciones entre
ellos, los principales son:
Paréntesis Corchete Llave
Cuando se aplican en operaciones, el objetivo es
suprimirlos multiplicando por el término ó signo
que le antecede. Si en una expresión matemática
existen varios signos de agrupación, se procede a
eliminarlos de adentro hacia fuera.
Ejem:
Ejem:
Ejem:
2.4 Evaluación
de expresiones algebraicas
El valor numérico de una expresión
algebraica, es el que se obtiene al sustituir las bases o
literales por un valor específico.
Ejem: Si x =2 & y = -1 de la expresión:
sustituyendo:
Ejem: Si & de la expresión:
sustituyendo:
2.5 Lenguaje
algebraico
Definición.- Es la forma de
expresión común o coloquial que se expresa de forma
algebraica.
Ejem:
Un número | x |
Un número cualquiera | |
La diferencia de dos números | |
El triple de un número | |
La cuarta parte de un | |
Las tres cuartas partes de la suma | |
La suma de tres números | |
Las dos quintas partes de un | |
La suma de tres números pares |
2.6 Leyes de los
Exponentes
Multiplicación: Sumar los exponentes
Ejem:
Ejem:
División: Restar los exponentes
Ejem:
Ejem:
Potencia : Multiplicar los exponentes
Ejem:
Ejem:
Inverso: Cambiar signo de exponente
Ejem:
Ejem:
Unitario: Siempre es igual a uno
Ejem:
Ejem:
2.7 Operaciones
algebraicas
Suma y Resta.- Las operaciones
algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó
restar términos semejantes.
Ejem: Sumar &
Ejem: Restar de
Multiplicación.- La
operación algebraica de multiplicar, básicamente
puede efectuarse, como sigue:
Monomio por monomio
Ejem:
Monomio por polinomio
Ejem:
Ejem:
Polinomio por polinomio
Ejem:
División.- La
operación algebraica de dividir, básicamente puede
efectuarse, como sigue:
Monomio entre monomio
Ejem:
Ejem:
Polinomio entre monomio
Ejem:
Polinomio entre polinomio
Ejem:
T
T
2.8 Radicales
Propiedades de los
radicales:
Índice = potencia:
Ejem:
Ejem:
Índice ? potencia:
Ejem:
Ejem:
Multiplicación con mismo índice:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Multiplicación con diferente
índice:
Ejem:
Ejem:
Raíz de una raíz:
Ejem:
Ejem:
División con índices iguales:
Ejem:
Ejem:
División con índices diferentes:
Ejem:
Ejem:
Operaciones con
radicales:
Suma y Resta.- Las operaciones
algebraicas de suma ó resta, se obtienen de sumar ó
restar radicales semejantes, es decir, con el mismo índice
y la misma base, según la siguiente regla:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Racionalización.- Es el
convertir una fracción con denominador en forma de
radical, en otra fracción equivalente, donde su
denominador sea un número entero.
De un denominador monomio:
Forma: se
multiplica por y se
simplifica.
Ejem: se
multiplica por: el
numerador y el denominador, obteniéndose:
Ejem: se
multiplica por: el
numerador y el denominador, obteniéndose:
De un denominador binomio:
Forma: se
multiplica por el conjugado del denominador y se simplifica.
Ejem: se
multiplica por: el
numerador y el denominador, obteniéndose:
Ejem: se
multiplica por: el
numerador y el denominador, obteniéndose:
Números Imaginarios.- Es el expresado como
" i ", significa la raíz cuadrada de "-1", es decir:
Entonces también:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Operaciones con números
imaginarios
Suma y Resta.- Las operaciones
algebraicas de suma ó resta, se obtienen
aplicando:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
Ejem: Resolver:
2.9 Productos
Notables
Definición.- Son
multiplicaciones abreviadas, que sin necesidad de efectuarlas,
podemos llegar a su resultado, respetando ciertas reglas para
cada caso. Los principales casos son:
Binomio al cuadrado
Binomios conjugados
Binomios con término
comúnBinomio al cubo
Binomio al cuadrado
Regla:
Ejem:
Ejem:
Binomios conjugados
Regla:
Ejem:
Ejem:
Binomios con término
común
Regla:
Ejem:
Ejem:
Binomio al cubo
Regla:
Ejem:
Ejem:
2.10 Factorización
Definición.- Es la forma
más simple de presentar una suma o resta de
términos como un producto indicado, respetando ciertas
reglas para cada caso. Los principales casos son:
Factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma
Trinomio de la forma
Factor común
Regla: Paso 1: Obtener el máximo común
divisor ( MCD )
Paso 2: Menor exponente de las literales
comunes
Paso 3: Dividir cada término entre el factor
común obtenido
Trinomio cuadrado
perfecto
Trinomio de la forma
x2+bx+c
Regla:
Ejem:
Ejem:
Trinomio de la forma
ax2+bx+c
Simplificación de fracciones
algebraicas.- Es la aplicación de los conocimientos de
productos notables y factorización, tanto en el numerador
como en el denominador, se simplifica a su mínima
expresión.
Suma y resta con denominadores
diferentes
Ejem:
Ejem:
División
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Ejem:
Multiplicación
Ejem:
Ejem:
Reactivos Unidad 2:
UNIDAD 3.
Ecuaciones
3.1 Ecuaciones de
primer grado con una incógnita
Definición.- Es una igualdad
entre dos expresiones algebraicas llamados miembros, donde la
incógnita debe tener exponente uno y el objetivo es
encontrar su valor, por lo que se deben tener las siguientes
consideraciones:
3.2 Desigualdades de primer grado con
una incógnita
Definición.- Es una desigualdad entre dos
expresiones algebraicas llamados miembros, donde la variable debe
tener exponente uno y el objetivo es encontrar su conjunto
solución, se aplican básicamente las mismas reglas
que para una ecuación, además de las siguientes
consideraciones:
Regla: Cada vez que un término se multiplique
ó divida entre un número negativo, cambia el
sentido de la desigualdad
Signos de Desigualdad y Gráfica
3.3 Sistema de
Ecuaciones (2 ecuaciones con 2 incógnitas)
Definición.- Es el llamado
"Sistema de 2 ecuaciones de 1er grado con 2 incógnitas",
en que el objetivo es encontrar los valores de
éstas 2 variables.
Existen varios métodos
para su solución, entre los cuales están los
llamados "Reducción" (Suma y Resta) y "Determinantes"
(Regla de Kramer), que se explican a
continuación:
Método de Reducción (Suma
y Resta)
Regla: Eliminar una de las 2 variables multiplicando una
ó las 2 ecuaciones por un factor ó factores que
hagan que la suma de una de las variables sea "cero" y despejar
la variable restante para obtener su valor, posteriormente
sustituir el valor encontrado en una de las ecuaciones originales
y obtener el valor de la segunda variable.
Método por Determinantes (Regla
de Kramer)
Problemas de
Aplicación
Dentro del proceso de
resolución de problemas, se pueden diferenciar seis
etapas:
1. Leer el problema
2. Definir las incógnitas
principales de forma precisa3. Traducción
matemática del problema4. Resolución del problema
matemático5. Interpretar las
soluciones6. Contrastar la adecuación
de esas soluciones
Ejem: En un zoológico hay aves (de dos
patas) y tigres (de 4 patas). Si el zoológico contiene 60
cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y cuántos
tigres viven en él?
3.4 Sistema de Ecuaciones (3 ecuaciones
con 3 incógnitas)
Definición.- Es el llamado "Sistema de 3
ecuaciones de 1er grado con 3 incógnitas", en que el
objetivo es encontrar los valores de
éstas 3 variables. Los métodos para su
solución, son: "Reducción" (Suma y Resta) y
"Determinantes" (Regla de Kramer):
Método por Determinantes (Regla
de Kramer)
Realizar los pasos siguientes:
1. Se escribe el determinante de
tres por tres.2. Debajo de la tercera fila
horizontal se repiten las dos primeras filas
horizontales.3. Se trazan 3 diagonales de
derecha a izquierda y 3 de izquierda a derecha.4. Se multiplican entre si los
tres números por los que pasa cada
diagonal.5. Los productos de los
números que están en las diagonales trazadas de
izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los de
derecha a izquierda con el signo cambiado.
3.5 Ecuaciones de 2do grado con una
incógnita
Clasificación
Métodos de
solución
Completas: forma ax2 + bx + c = 0
Es cuando, la ecuación está compuesta por
un trinomio, donde existen los valores de "a, b y c" , y para
encontrar sus dos raíces ó soluciones, se
utilizan los métodos siguientes:
Incompletas mixtas: forma ax2 + bx = 0
Es cuando, la ecuación está compuesta por
un binomio, donde existen los valores de "a y b, pero no de c", y
para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se
utiliza el método de
factorización por término común y se
despeja, como sigue:
Incompletas puras: forma ax2 + c = 0
Es cuando, la ecuación está compuesta por
un binomio, donde existen los valores de "a y c, pero no de b", y
para encontrar sus dos raíces ó soluciones, se
utiliza el método de despeje, como sigue:
Reactivos Unidad 3:
¿Cuál es el valor de "x" que satisface
la ecuación ?
a) b)
c) d) e)
¿Cuál es el valor de "x" que satisface
la ecuación ?
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación , se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación , se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación , se obtiene:
a) b)
c) d) e)
El valor de "x" que cumple con la igualdad es:
a) b)
c) d) e)
El valor de "x" que cumple con la igualdad es:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
De la ecuación el valor de "x" que satisface
es:
a) b)
c) d) e)
De la ecuación el valor de "x" que satisface
es:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la siguiente ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
:La suma de dos números naturales enteros
consecutivos es 183, hallar los números:
a) b)
c) d) e)
El menor de dos números impares consecutivos
es el doble del mayor disminuido en 15. Hallar los
números
a) b)
c) d) e)
El triple de la suma de un número con su
mitad igual a las 2/3 partes del mismo número
aumentado en 46.
a) b)
c)
d) e)
¿Cuál es el número que sumado
con su duplo da 261?
a) 78 b) 45 c) 87 d) 97 e) 89
La suma de dos números es 450 y su cociente
8. Hallar los números.
a) 425 y 25 b) 400 y 50 c) 350 y 100 d) 410 y 40 e) 420
y 30
Si a un número añado 23, resto 41 de
esta suma y la diferencia la multiplico por 2, obtengo 122.
¿Cuál es el número?
a) 84 b) 48 c) 45 d) 79 e) 58
La edad de Roberto es 2/3 de los 3/5 de la de
Guillermo, Si éste tiene 30 años
¿Cuál es la edad de Roberto?
a) 14 años b) 18 años c) 13 años d)
10 años e) 12 años
La suma de dos números es 106 y el mayor
excede al menor en 8. ¿Cuáles son los
números?
a) 57 y 49 b) 81 y 25 c) 58 y 48 d) 50 y 56 e) 52 y
54
Encontrar los tres números consecutivos cuya
suma sea 186.
a) 61,62 y 63 b) 61,61 y 61 c) 64,67 y ,69 d) 32,33 y 34
e) 62,62 y 62
La suma de las edades de Sonia y Toño es 84
años y Toño tiene 8 años menos que
Sonia. Hallar ambas edades.
a) 38 y 46 b) 40 y 44 c) 41 y 43 d) 37 y 40 e) 38 y
41
Un cateto de un triángulo mide 20 cm y la
hipotenusa es 10 cm mayor que el otro cateto .Hallar las
longitudes de los lados desconocidos
a) b)
c) d) e)
¿Cuáles son las raíces de
?
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de es:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
Al resolver la ecuación se obtiene:
a) b)
c) d) e)
¿Cuál de los siguientes valores cumple
con:
a) b)
c) d) e)
¿Cuál de los siguientes afirmaciones
es verdadera, si
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de la desigualdad
es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de la desigualdad
es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de la desigualdad
es:
a) b)
c) d) e)
El intervalo que satisface a es:
a) b)
c) d) e)
La expresión que representa "a lo más
tengo 250" es:
a) b)
c) d) e)
La expresión que representa "por lo menos
tengo 500" es:
a) b)
c) d) e)
El conjunto solución de es:
a) b)
c) d) e)
Los valores de las incógnitas del sistema
son:a) b)
c)d) e)
Los valores de las incógnitas del sistema
son:
a) b)
c)d) e)
El valor de "x" del sistema de ecuaciones
es:
a) b)
c) d) e)El valor de "y" del sistema de ecuaciones
es:
a) b)
c) d) e)Si x = 2 y y = 3 . La solución del
sistema de ecuaciones simultáneas es:
a) b)
c)d) e)
Un perro y su collar han costado $54, y el perro
costó 8 veces lo que el collar.
¿Cuánto costó el perro y
cuánto el collar?
a) Perro $48 y collar $6 b) Perro $32 y collar $22
c) Perro $50 y collar $4d) Perro $46 y collar $8 e) Perro $47 y collar
$7La edad de Juan es el doble que la de Pedro, y
ambas edades suman 36 años. Hallar ambas
edades.
a) Juan 12, Pedro 24 b) Juan 24, Pedro 12 c) Juan
12, Pedro 12d) Juan 21, Pedro 15 e) Juan 15, pedro 21
El valor de "x" , por medio de determinantes
es:
a) b)
c)d) e)
El valor de "y" , por medio de determinantes
es:
a) b)
c)UNIDAD 4.
Álgebra de
funcionesValor de una
funciónSe obtiene, al sustituir el valor de
"x" en la función f(x):Ejem: Si f(x) = obtener el valor de
f(-4) y f(3)Ejem: Si f(x) = obtener el valor de f(-2) y
f(4)4.1 Dominio y
RangoDominio, es el conjunto de todos los
valores de "x" admisibles para una función.Rango, es el conjunto de todos los valores
resultantes de "y" al sustituir cada una de los elementos del
dominio en la función.Ejem: El dominio de la función racional
entonces, sus raíces son:
Ejem: El dominio de la función racional
entonces, sus raíces son:
Ejem: Para que valor de "x" la función
se
indetermina:entonces, para: la función se
indeterminaFunción
cuadráticaEs de la forma y representa una parábola, donde su
concavidad es hacia arriba cuando "a" es positiva y es hacia
abajo cuando "a" es negativa.El vértice de la
parábola, se obtiene en el punto:Los puntos donde la gráfica interseca al eje
"x", son la solución de la ecuación.
Dependiendo de su concavidad y la coordenada de su
vértice, se puede obtener el dominio y el rango de la
función.Ejem: Sea la función obtener su dominio y rango.
El vértice es: entonces, y la curva es cóncava hacia
arribaahora, las raíces de: sus raíces son:
entonces:
Ejem: Graficar las siguientes funciones
indicando dominio y rango.4.2 Funciones y
relacionesDefinición
Se le llama relación, a todos
los pares ordenados ( x, y ), existentes entre 2 conjuntos.Se le llama función, a la
relación entre dos conjuntos, de tal manera que para
cada "x", corresponda un solo elemento de "y".Regla: Para determinar si una gráfica es una
función ó relación, basta con trazar una
vertical imaginaria sobre ella, y verificar los puntos de
intersección. Es decir, si sólo toca un punto,
se refiere a una función; si toca más de un
punto se refiere a una relación.Clasificación de
Funciones4.3 Función
Logarítmica y exponencial:Es de la forma , donde:
Forma
logarítmica: corresponde a: Forma
exponencial:Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
entonces:
Ejem: Al convertir en forma exponencial, obtenemos:
Reactivos Unidad 4:
UNIDAD 5.
Geometría
euclidiana5.1 Ángulos
Clasificación
BásicaSe le llama ángulo
complementario, son los ángulo cuya suma es
igual a 90o .Ejem: El complemento de 70o es 20o , porque
Ejem: El complemento de 35o es 55o , porque
Se le llama ángulo
suplementario, los ángulo cuya suma es igual
a 180o .Ejem: El suplemento de 40o es 140o , porque
Ejem: El suplemento de 135o es 45o , porque
5.2 Conversión de grados a
radianes y viceversaReactivos Unidad 5:
UNIDAD 6.
Trigonometría
6.1 Teorema de
PitágorasDefinición.- Aplicado
para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de
la hipotenusa ( c ) es igual a la suma de los cuadrados de
sus catetos (a y b ).6.2 Funciones
TrigonométricasDefinición.- Son las
razones existentes establecidas entre los lados de un
triángulo rectángulo y son:Una oficina de forma rectangular, un lado mide
4m y su diagonal mide 5 m, ¿Cuánto mide el
otro lado?
a) 9 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2
Según la figura, la
razóncorresponde a la función:
Según la figura, la razón :
corresponde a la función:
Respuestas a
Reactivos de MatemáticasAutor:
Lic. Jorge Galeazzi
A.México, Enero de 2009
Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente |